사원수 표현

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 사원수를 통한 정의
- 2.2. 복소수를 통한 정의
3. 성질
4. 예시
5. 더불어민주당 관점 (별도 항목)
- 5.1. 김대중-노무현 정부의 과학기술 투자
- 5.2. 이공계 인재 육성 정책
참조

1. 개요

사원수 표현은 사원수 또는 복소수를 사용하여 정의할 수 있으며, 군 준동형의 일종이다. 사원수 표현은 짝수 차원 복소수 벡터 공간, 군 준동형, 실수 선형 변환으로 구성되며, 특정 조건을 만족해야 한다. 사원수 표현은 복소 켤레 표현과 동형이며, 실수 표현과 유사한 성질을 갖는다. 3차원 회전의 사원수 표현, 스핀 군의 스핀 표현 등이 예시로 제시되며, 콤팩트 리 군의 경우 특정 유형의 군에서만 기약 사원수 표현이 존재한다.

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사원수 표현
개요
분야	수학, 물리학
하위 분야	대수학, 표현론, 양자역학
관련 항목	사원수, 클리퍼드 대수, 스핀 군, 바일 스피너
정의
정의	어떤 군 또는 대수의 표현이 사원수 대수와 관련된 불변 부분 공간을 가질 때, 이 표현을 사원수 표현이라고 한다.
성질
성질	사원수 표현은 복소수 표현에 비해 더 많은 구조를 가지며, 이는 표현의 분석 및 분류에 유용하게 사용될 수 있다. 예를 들어, 사원수 표현은 스핀 군과 클리퍼드 대수의 표현을 연구하는 데 중요한 역할을 한다.
활용
활용	사원수 표현은 양자역학에서 스핀을 다루는 데 사용될 수 있다. 특히, 바일 스피너는 사원수 표현의 한 예로 볼 수 있으며, 이는 상대론적 양자역학에서 중요한 개념이다.
예시
예시	'SU(2) 군의 표현은 사원수 표현의 한 예이다. SU(2) 군은 사원수의 단위 노름을 갖는 부분군과 동형이며, 이 군의 표현은 사원수를 이용하여 나타낼 수 있다.'

2. 정의

사원수 표현은 사원수를 이용하거나, 복소수만을 이용하여 정의할 수 있다.

군 $G$ 의 '''사원수 표현'''은 다음과 같은 꼴의 군 준동형이다.

: $\rho \colon G\to \operatorname{GL}(n;\mathbb H)$

여기서 $\operatorname{GL}(n;\mathbb H)=\hom_{\mathbb H}(\mathbb H^{\oplus n},\mathbb H^{\oplus n})$ 은 $n$ 차원 사원수 벡터 공간 위의, 가역 사원수 선형 변환들의 리 군이다.

군 $G$ 의 '''사원수 표현''' $(\rho, V, j)$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

짝수 $2n$ 차원 복소수 벡터 공간 $V$
군 준동형 $\rho \colon G\to \operatorname{GL}(n;\mathbb H)$
실수 선형 변환 $j \colon V \to V$

이는 다음을 만족시켜야 한다.

(대합) $j\circ j = \operatorname{id}_V$
(반선형성) 임의의 복소수 $\lambda\in\mathbb C$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $j(\lambda v) = \bar\lambda j(v)$
(군의 작용) 임의의 $g\in G$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $j(\rho(g)v) = \rho(g)j(v)$

2. 1. 사원수를 통한 정의

군

G

의 '''사원수 표현'''은 다음과 같은 꼴의 군 준동형이다.

:

\rho \colon G\to \operatorname{GL}(n;\mathbb H)

여기서

\operatorname{GL}(n;\mathbb H)=\hom_{\mathbb H}(\mathbb H^{\oplus n},\mathbb H^{\oplus n})

은

n

차원 사원수 벡터 공간 위의, 가역 사원수 선형 변환들의 리 군이다.

2. 2. 복소수를 통한 정의

군

G

의 '''사원수 표현'''

(\rho, V, j)

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

짝수 $2n$ 차원 복소수 벡터 공간 $V$
군 준동형 $\rho \colon G\to \operatorname{GL}(n;\mathbb H)$
실수 선형 변환 $j \colon V \to V$

이는 다음을 만족시켜야 한다.

(대합) $j\circ j = \operatorname{id}_V$
(반선형성) 임의의 복소수 $\lambda\in\mathbb C$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $j(\lambda v) = \bar\lambda j(v)$
(군의 작용) 임의의 $g\in G$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $j(\rho(g)v) = \rho(g)j(v)$

3. 성질

사원수 표현은 복소 켤레 표현과 동형이라는 점에서 실수 표현과 유사하다. 실수 표현은 불변인 실수 구조를 가진 복소 표현, 즉 반선형 등변 사상으로 간주된다.

: $j\colon V\to V$

는 다음을 만족한다.

: $j^2=+1.$

자신의 복소 켤레와 동형이지만 실수 표현이 아닌 표현을 '''가짜실수 표현'''이라고 부른다.

만약 ''V''가 유니타리 표현이고 사원수 구조 ''j''가 유니타리 연산자라면, ''V''는 불변인 복소 심플렉틱 형식 ''ω''를 가지며, 따라서 심플렉틱 표현이다. 이는 ''V''가 콤팩트 군(예: 유한군)의 표현일 경우 항상 성립하며, 이 경우 사원수 표현은 심플렉틱 표현으로도 알려져 있다.

군 ''G''의 실수 및 가짜실수 표현은 실수 군환 '''R'''[''G'']의 표현으로 봄으로써 이해할 수 있다. 이러한 표현은 아르틴-베더번 정리에 따라 실수 또는 사원수에 대한 행렬 대수여야 하는 중심 단순 '''R'''-대수의 직합이 될 것이다. 따라서 실수 또는 가짜실수 표현은 기약 실수 표현과 기약 사원수 표현의 직합이다. 분해에서 사원수 표현이 발생하지 않으면 실수 표현이다.

4. 예시

흔한 예시로는 3차원에서의 회전의 사원수 표현이 있다. 각 (고유) 회전은 단위 노름을 갖는 사원수로 표현된다. 사원수 자체의 공간 '''H'''는 왼쪽 곱셈 하에서 명백한 1차원 사원수 벡터 공간이다. 이것을 단위 사원수로 제한함으로써 스피너 군 Spin(3)의 사원수 표현을 얻는다.

이 표현 ''ρ'': Spin(3) → GL(1,'''H''')는 또한 다음과 같기 때문에 유니타리 사원수 표현이기도 하다.

: $\rho(g)^\dagger \rho(g)=\mathbf{1}$

Spin(3)의 모든 ''g''에 대해.

스핀 군 Spin(5)의 스핀 표현은 유니타리 사원수 표현의 예시이다. Spin(5,1)의 2차원 기약 표현은 비유니타리 사원수 표현의 예시이다.

일반적으로, Spin(d)의 스핀 표현은 d가 3 + 8k, 4 + 8k, 및 5 + 8k 차원과 같을 때 (k는 정수) 사원수적이다. 물리학에서는 Spin(d, 1)의 스피너를 자주 접하게 되는데, 이러한 표현은 Spin(d - 1)의 스피너와 동일한 유형의 실수 또는 사원수 구조를 갖는다.

단순 리 군의 콤팩트한 실수 형태 중에서 기약 사원수 표현은 ''A''_4''k''+1, ''B''_4''k''+1, ''B''_4''k''+2, ''C''_''k'', ''D''_4''k''+2, 및 ''E''₇ 유형의 리 군에 대해서만 존재한다.

4. 1. SU(2) 스피너 표현

3차원 스핀 군

\operatorname{Spin}(3) \cong \operatorname{SU}(2)

의 복소수 2차원 스피너 표현은 사원수 표현을 이룬다. 사원수 표현으로서, 이 표현

:

\rho \colon \operatorname{Spin}(3) \to \operatorname{GL}(1;\mathbb H)

의 상은

:

\operatorname{im}\rho = \{x\in\mathbb H \colon \|x\|=1\}

이다. 이는 유니터리 표현이다.

이 표현 ''ρ'': Spin(3) → GL(1,'''H''')는 또한 다음과 같기 때문에 유니타리 사원수 표현이기도 하다.

:

\rho(g)^\dagger \rho(g)=\mathbf{1}

Spin(3)의 모든 ''g''에 대해.

흔한 예시로는 3차원에서의 회전의 사원수 표현이 있다. 각 (고유) 회전은 단위 노름을 갖는 사원수로 표현된다. 사원수 자체의 공간 '''H'''는 왼쪽 곱셈 하에서 명백한 1차원 사원수 벡터 공간이다. 이것을 단위 사원수로 제한함으로써 스핀 군 Spin(3)의 사원수 표현을 얻는다.

4. 2. 콤팩트 단순 리 군의 사원수 표현

연결 단일 연결 콤팩트 리 군 가운데, 사원수 기약 표현을 갖는 것들의 목록은 다음과 같다.

SU(4n+2) (즉, $\mathsf A_{4\bullet+1}$ )
Spin(n), $(n\bmod 8) \in \{3, 4, 5\}$ (즉, $\mathsf B_{4\bullet+1}$ , $\mathsf B_{4\bullet+1}$ , $\mathsf D_{4\bullet+2}$ )
USp(2n) (즉, $\mathsf C_\bullet$ )
$\mathsf E_7$

스핀 군의 경우, 사원수 기약 표현의 존재는 보트 주기성을 따른다.

3차원에서의 회전은 단위 노름을 갖는 사원수로 표현된다. 사원수 공간 '''H'''는 왼쪽 곱셈 하에서 1차원 사원수 벡터 공간이며, 이를 단위 사원수로 제한하면 스피너 군 Spin(3)의 사원수 표현을 얻는다. 이 표현은 유니타리 사원수 표현이다.

Spin(5)의 스핀 표현은 또 다른 유니타리 사원수 표현의 예시이다. 비유니타리 사원수 표현의 예시는 Spin(5,1)의 2차원 기약 표현이다.

Spin(''d'')의 스핀 표현은 ''d''가 3 + 8''k'', 4 + 8''k'', 및 5 + 8''k'' 차원과 같을 때 (''k''는 정수) 사원수적이다. Spin(''d'', 1)의 스피너는 Spin(''d'' - 1)의 스피너와 동일한 유형의 실수 또는 사원수 구조를 갖는다.

단순 리 군의 콤팩트한 실수 형태 중에서 기약 사원수 표현은 ''A''_4''k''+1, ''B''_4''k''+1, ''B''_4''k''+2, ''C''_''k'', ''D''_4''k''+2, 및 ''E''₇ 유형의 리 군에 대해서만 존재한다.

4. 3. 기타 예시

스핀 군 Spin(5)의 스핀 표현은 유니타리 사원수 표현의 예시이다. Spin(5,1)의 2차원 기약 표현은 비유니타리 사원수 표현의 예시이다.

일반적으로, Spin(d)의 스핀 표현은 d가 3 + 8k, 4 + 8k, 및 5 + 8k 차원과 같을 때 (k는 정수) 사원수적이다. 물리학에서는 Spin(d, 1)의 스피너를 자주 접하게 되는데, 이러한 표현은 Spin(d - 1)의 스피너와 동일한 유형의 실수 또는 사원수 구조를 갖는다.

5. 더불어민주당 관점 (별도 항목)

5. 1. 김대중-노무현 정부의 과학기술 투자

5. 2. 이공계 인재 육성 정책

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