슈어 직교 관계

\sum_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)}

여기서 $\backslash overline\{\backslash beta(g)\}$는 ''g''에 대한 $\backslash beta$의 값의 복소 켤레를 나타낸다. 이 내적과 관련하여, 기약 지표는 함수류 공간에 대한 정규 직교 기저를 형성하며, 이는 지표표의 행에 대한 직교 관계를 생성한다.

:

$g,\; h\; \backslash in\; G$에 대해 지표표의 열에 동일한 내적을 적용하면 다음과 같다.

:

여기서 합은 $G$의 모든 기약 지표 $\backslash chi\_i$에 대한 것이며, $\backslash left\; |\; C\_G(g)\; \backslash right\; |$는 $g$의 중앙화 부분군의 차수를 나타낸다. 지표표의 동일한 열에 $g$와 $h$가 있을 때만 $g$와 $h$가 켤레류이므로, 이는 지표표의 열이 직교한다는 것을 의미한다.

직교 관계는 다음을 포함한 많은 계산을 돕는다.

• 알 수 없는 지표를 기약 지표의 선형 결합으로 분해하기
• 일부 기약 지표만 알려져 있을 때 완전한 지표표 구성하기
• 군의 켤레류의 대표자의 중앙화 부분군의 차수 찾기
• 군의 차수 찾기

$\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\_\{mn\}$을 차수가 |''G''|인 유한군 $G\; =\; \backslash \{R\backslash \}$의 행렬 요소 중 기약 행렬 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$이라고 하자. 임의의 유한군의 모든 행렬 표현은 유니타리 표현과 동치임을 증명할 수 있으므로, $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$가 유니타리라고 가정한다.

:$$

\sum_{n=1}^{l_\lambda} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nk} = \delta_{mk} \quad \hbox{for all}\quad R \in G,



여기서 $l\_\backslash lambda$는 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$의 (유한) 차원이다.^[1]

'''직교 관계'''는 ''기약'' 표현의 행렬 요소에 대해서만 유효하며, 다음과 같다.

:$$

\sum_{R\in G}^

\; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\mu)} (R)_{n'm'} =

\delta_{\lambda\mu} \delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac

{l_\lambda}.



여기서 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\_\{nm\}^*$는 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\_\{nm\}\backslash ,$의 켤레 복소수이며, 합은 ''G''의 모든 원소에 대한 것이다.

크로네커 델타$\backslash delta\_\{\backslash lambda\backslash mu\}$는 행렬이 동일한 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; =\; \backslash Gamma^\{(\backslash mu)\}$에 있으면 1이다. $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$와 $\backslash Gamma^\{(\backslash mu)\}$가 동치이지 않으면 0이다. 나머지 두 크로네커 델타는 0이 아닌 결과를 얻으려면 행과 열의 인덱스가 같아야 함($n=n\text{'}$ 및 $m=m\text{'}$)을 나타낸다. 이 정리는 대(Great) 직교 정리(Grand Orthogonality Theorem)라고도 알려져 있다.

모든 군은 항등 표현(모든 군 원소가 1에 매핑됨)을 갖는다.

이것은 기약 표현이다. 대 직교 관계는 즉시 다음을 의미한다.

:$$

\sum_{R\in G}^

\; \Gamma^{(\mu)} (R)_{nm} = 0



$n,m=1,\backslash ldots,l\_\backslash mu$이고 항등 표현과 같지 않은 임의의 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash mu)\}\backslash ,$에 대해.

대직교성 정리를 구체적인 예에 응용함으로써, 다음과 같은 중요한 결론이 도출된다.

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현이 전부 ''n''개 있었다고 가정하자. 이 각 기약 표현의 차원의 제곱을 기약 표현 전체에 걸쳐 더한 것은, 그 점군의 차수(즉, 원소의 수, 대칭 조작의 수)와 같다.

# 어떤 기약 표현에 대해, 그 대상 조작에 해당하는 각 표현 행렬의 지표의 제곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은, 그 점군의 차수와 같다.

# 1개의 점군의 2개의 기약 표현에 대해, 같은 대칭 조작에 해당하는 각각의 표현 행렬의 지표를 만들었을 때, 그 곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은 0이 된다. 다시 말해, 기약 표현의 모든 대칭 조작의 표현 행렬의 지표를 성분으로 하는 벡터는, 다른 기약 표현 간에 직교한다(단순 지표의 직교성).

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현의 수는, 그 류의 수와 같다.

# 같은 류에 속하는 표현 행렬의 지표는 같다(닮음 변환의 성질).

2. 1. 유한군에 대한 슈어 직교성

$G$가 (이산 위상의) 유한군이라고 하자. 이 경우, 하르 측도는 셈측도에 비례한다.

이 경우, 다음이 추가로 성립한다. 임의의 $g,h\backslash in\; G$에 대하여,

:$\backslash sum\_\{\backslash alpha\backslash in\; I\}\backslash overline\{\backslash operatorname\{tr\}\backslash pi\_\backslash alpha(h)\}\; \backslash operatorname\{tr\}\backslash pi\_\backslash alpha(g)\; =\; |C\_G(g)|\backslash delta\_\{[g],[h]\}$

여기서 $[g],[h]\backslash in\backslash operatorname\{Cl\}(G)$는 군의 원소의 공액류이며, $|C\_G(g)|$는 $g$의 중심화 부분군 $C\_G(g)$의 크기이다.

복소수 값을 갖는 유한 군 ''G''의 함수류의 공간은 다음과 같은 자연스러운 내적을 갖는다.

:$\backslash left\backslash langle\; \backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash right\backslash rangle\; :=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash left|\; G\; \backslash right|\}\backslash sum\_\{g\; \backslash in\; G\}\; \backslash alpha(g)\; \backslash overline\{\backslash beta(g)\}$

여기서 $\backslash overline\{\backslash beta(g)\}$는 ''g''에 대한 $\backslash beta$의 값의 복소 켤레를 나타낸다. 이 내적과 관련하여, 기약 지표는 함수류 공간에 대한 정규 직교 기저를 형성하며, 이는 지표표의 행에 대한 직교 관계를 생성한다.

:

$g,\; h\; \backslash in\; G$에 대해 지표표의 열에 동일한 내적을 적용하면 다음과 같다.

:

여기서 합은 $G$의 모든 기약 지표 $\backslash chi\_i$에 대한 것이며, $\backslash left\; |\; C\_G(g)\; \backslash right\; |$는 $g$의 중앙화 부분군의 차수를 나타낸다. 지표표의 동일한 열에 $g$와 $h$가 있을 때만 $g$와 $h$가 켤레류이므로, 이는 지표표의 열이 직교한다는 것을 의미한다.

직교 관계는 다음을 포함한 많은 계산을 돕는다.

• 알 수 없는 지표를 기약 지표의 선형 결합으로 분해하기
• 일부 기약 지표만 알려져 있을 때 완전한 지표표 구성하기
• 군의 켤레류의 대표자의 중앙화 부분군의 차수 찾기
• 군의 차수 찾기

$\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\_\{mn\}$을 차수가 |''G''|인 유한군 $G\; =\; \backslash \{R\backslash \}$의 행렬 요소 중 기약 행렬 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$이라고 하자. 임의의 유한군의 모든 행렬 표현은 유니타리 표현과 동치임을 증명할 수 있으므로, $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$가 유니타리라고 가정한다.

:$$

\sum_{n=1}^{l_\lambda} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nk} = \delta_{mk} \quad \hbox{for all}\quad R \in G,



여기서 $l\_\backslash lambda$는 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$의 (유한) 차원이다.^[1]

'''직교 관계'''는 ''기약'' 표현의 행렬 요소에 대해서만 유효하며, 다음과 같다.

:$$

\sum_{R\in G}^

\; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\mu)} (R)_{n'm'} =

\delta_{\lambda\mu} \delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac

{l_\lambda}.



여기서 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\_\{nm\}^*$는 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\_\{nm\}\backslash ,$의 켤레 복소수이며, 합은 ''G''의 모든 원소에 대한 것이다.

크로네커 델타$\backslash delta\_\{\backslash lambda\backslash mu\}$는 행렬이 동일한 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; =\; \backslash Gamma^\{(\backslash mu)\}$에 있으면 1이다. $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$와 $\backslash Gamma^\{(\backslash mu)\}$가 동치이지 않으면 0이다. 나머지 두 크로네커 델타는

0이 아닌 결과를 얻으려면 행과 열의 인덱스가 같아야 함($n=n\text{'}$ 및 $m=m\text{'}$)을 나타낸다. 이 정리는 대(Great) 직교 정리(Grand Orthogonality Theorem)라고도 알려져 있다.

모든 군은 항등 표현(모든 군 원소가 1에 매핑됨)을 갖는다.

이것은 기약 표현이다. 대 직교 관계는 즉시 다음을 의미한다.

:$$

\sum_{R\in G}^

\; \Gamma^{(\mu)} (R)_{nm} = 0



$n,m=1,\backslash ldots,l\_\backslash mu$이고 항등 표현과 같지 않은 임의의 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash mu)\}\backslash ,$에 대해.

대직교성 정리를 구체적인 예에 응용함으로써, 다음과 같은 중요한 결론이 도출된다.

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현이 전부 ''n''개 있었다고 가정하자. 이 각 기약 표현의 차원의 제곱을 기약 표현 전체에 걸쳐 더한 것은, 그 점군의 차수(즉, 원소의 수, 대칭 조작의 수)와 같다.

# 어떤 기약 표현에 대해, 그 대상 조작에 해당하는 각 표현 행렬의 지표의 제곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은, 그 점군의 차수와 같다.

# 1개의 점군의 2개의 기약 표현에 대해, 같은 대칭 조작에 해당하는 각각의 표현 행렬의 지표를 만들었을 때, 그 곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은 0이 된다. 다시 말해, 기약 표현의 모든 대칭 조작의 표현 행렬의 지표를 성분으로 하는 벡터는, 다른 기약 표현 간에 직교한다(단순 지표의 직교성).

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현의 수는, 그 류의 수와 같다.

# 같은 류에 속하는 표현 행렬의 지표는 같다(닮음 변환의 성질).

2. 1. 1. 내적을 이용한 표현

복소수 값을 갖는 유한 군 ''G''의 함수류의 공간은 다음과 같은 자연스러운 내적을 갖는다.

:$\backslash left\backslash langle\; \backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash right\backslash rangle\; :=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash left|\; G\; \backslash right|\}\backslash sum\_\{g\; \backslash in\; G\}\; \backslash alpha(g)\; \backslash overline\{\backslash beta(g)\}$

여기서 $\backslash overline\{\backslash beta(g)\}$는 ''g''에 대한 $\backslash beta$의 값의 복소 켤레를 나타낸다. 이 내적과 관련하여, 기약 지표는 함수류 공간에 대한 정규 직교 기저를 형성하며, 이는 지표표의 행에 대한 직교 관계를 생성한다.

:

$g,\; h\; \backslash in\; G$에 대해 지표표의 열에 동일한 내적을 적용하면 다음과 같다.

:

여기서 합은 $G$의 모든 기약 지표 $\backslash chi\_i$에 대한 것이며, $\backslash left\; |\; C\_G(g)\; \backslash right\; |$는 $g$의 중앙화 부분군의 차수를 나타낸다. 지표표의 동일한 열에 $g$와 $h$가 있을 때만 $g$와 $h$가 켤레류이므로, 이는 지표표의 열이 직교한다는 것을 의미한다.

2. 1. 2. 행렬 표현을 이용한 표현

$G$가 (이산 위상의) 유한군이라고 하자. $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\_\{mn\}$을 차수가 |''G''|인 유한군 $G\; =\; \backslash \{R\backslash \}$의 행렬 요소 중 기약 행렬 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$이라고 하자. 임의의 유한군의 모든 행렬 표현은 유니타리 표현과 동치임을 증명할 수 있으므로, $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$가 유니타리라고 가정한다.

:$$

\sum_{n=1}^{l_\lambda} \; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\lambda)} (R)_{nk} = \delta_{mk} \quad \hbox{for all}\quad R \in G,



여기서 $l\_\backslash lambda$는 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$의 (유한) 차원이다.^[1]

'''직교 관계'''는 ''기약'' 표현의 행렬 요소에 대해서만 유효하며, 다음과 같다.

:$$

\sum_{R\in G}^

\; \Gamma^{(\lambda)} (R)_{nm}^*\;\Gamma^{(\mu)} (R)_{n'm'} =

\delta_{\lambda\mu} \delta_{nn'}\delta_{mm'} \frac

{l_\lambda}.



여기서 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\_\{nm\}^*$는 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\_\{nm\}\backslash ,$의 켤레 복소수이며, 합은 ''G''의 모든 원소에 대한 것이다.

크로네커 델타$\backslash delta\_\{\backslash lambda\backslash mu\}$는 행렬이 동일한 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\; =\; \backslash Gamma^\{(\backslash mu)\}$에 있으면 1이다. $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$와 $\backslash Gamma^\{(\backslash mu)\}$가 동치이지 않으면 0이다. 나머지 두 크로네커 델타는 0이 아닌 결과를 얻으려면 행과 열의 인덱스가 같아야 함($n=n\text{'}$ 및 $m=m\text{'}$)을 나타낸다. 이 정리는 대(Great) 직교 정리(Grand Orthogonality Theorem)라고도 알려져 있다.

모든 군은 항등 표현(모든 군 원소가 1에 매핑됨)을 갖는다. 이것은 기약 표현이다. 대 직교 관계는 즉시 다음을 의미한다.

:$$

\sum_{R\in G}^

\; \Gamma^{(\mu)} (R)_{nm} = 0



$n,m=1,\backslash ldots,l\_\backslash mu$이고 항등 표현과 같지 않은 임의의 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash mu)\}\backslash ,$에 대해.

대직교성 정리를 구체적인 예에 응용함으로써, 다음과 같은 중요한 결론이 도출된다.

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현이 전부 ''n''개 있었다고 가정하자. 이 각 기약 표현의 차원의 제곱을 기약 표현 전체에 걸쳐 더한 것은, 그 점군의 차수(즉, 원소의 수, 대칭 조작의 수)와 같다.

# 어떤 기약 표현에 대해, 그 대상 조작에 해당하는 각 표현 행렬의 지표의 제곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은, 그 점군의 차수와 같다.

# 1개의 점군의 2개의 기약 표현에 대해, 같은 대칭 조작에 해당하는 각각의 표현 행렬의 지표를 만들었을 때, 그 곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은 0이 된다. 다시 말해, 기약 표현의 모든 대칭 조작의 표현 행렬의 지표를 성분으로 하는 벡터는, 다른 기약 표현 간에 직교한다(단순 지표의 직교성).

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현의 수는, 그 류의 수와 같다.

# 같은 류에 속하는 표현 행렬의 지표는 같다(닮음 변환의 성질).

2. 2. 콤팩트 군에 대한 슈어 직교성

$G$가 콤팩트위상군이면 좌·우 하르 측도가 일치하며, 군의 총 측도가 1이 되게 규격화할 수 있다.

$G$의 복소수 연속 기약 표현들의 (동형류의) 집합을 $\backslash \{\backslash pi\_\backslash alpha\backslash \}\_\{a\backslash in\; I\}$라고 하면, 이들은 연속 군 준동형이다.

:$\backslash pi\_\backslash alpha\backslash colon\; G\backslash to\backslash operatorname\{GL\}(V\_\backslash alpha)$

이며, $V\_\backslash alpha$는 모두 유한 차원 복소 벡터 공간이다. $V\_i$의 정규 직교 기저를 $\backslash \{|e\_i\backslash rangle\backslash \}\_\{i=1,\backslash dots,\backslash dim\; V\_\backslash alpha\}$라고 하면, 다음이 성립한다.

:$\backslash int\_G\backslash overline\{\backslash langle\; e\_\{i\text{'}\}|\backslash pi\_\{\backslash alpha\text{'}\}(g)|e\_\{j\text{'}\}\backslash rangle\}\backslash langle\; e\_i|\backslash pi\_\backslash alpha(g)|e\_j\backslash rangle\backslash ,dg=\backslash frac1\{\backslash dim\; V\_\backslash alpha\}\backslash delta\_\{\backslash alpha,\backslash alpha\text{'}\}\backslash delta\_\{i,i\text{'}\}\backslash delta\_\{j,j\text{'}\}$

따라서, 지표에 대해서는 다음이 성립한다.

:$\backslash int\_G\backslash overline\{\backslash operatorname\{tr\}\backslash pi\_\{\backslash alpha\text{'}\}(g)\}\backslash operatorname\{tr\}\backslash pi\_\backslash alpha(g)\backslash ,dg=\backslash delta\_\{\backslash alpha,\backslash alpha\text{'}\}$

유한군에서 콤팩트군으로의 직교 관계의 일반화(SO(3)과 같은 콤팩트 리 군 포함)는 기본적으로 간단하며, 그룹에 대한 합산을 그룹에 대한 적분으로 바꾼다.

모든 콤팩트군 $G$는 고유한 양쪽 불변 하르 측도를 가지므로 그룹의 부피는 1이다. 이 측도를 $dg$로 나타낸다. $(\backslash pi^\backslash alpha)$를 $G$의 기약 표현의 완전한 집합이라고 하고, $\backslash phi^\backslash alpha\_\{v,w\}(g)=\backslash langle\; v,\backslash pi^\backslash alpha(g)w\backslash rangle$를 표현 $\backslash pi^\backslash alpha$의 행렬 계수라고 하면 직교 관계는 두 부분으로 나눌 수 있다.

1) $\backslash pi^\backslash alpha\; \backslash ncong\; \backslash pi^\backslash beta$이면

:$$

\int_G \phi^\alpha_{v,w}(g)\phi^\beta_{v',w'}(g)dg=0



2) $\backslash \{e\_i\backslash \}$가 표현 공간 $\backslash pi^\backslash alpha$의 정규 직교 기저이면

:$$

\int_G \phi^\alpha_{e_i,e_j}(g)\overline{\phi^\alpha_{e_m,e_n}(g)}dg=\delta_{i,m}\delta_{j,n}\frac{1}{d^\alpha}



여기서 $d^\backslash alpha$는 $\backslash pi^\backslash alpha$의 차원이다. 이러한 직교 관계와 모든 표현이 유한 차원을 갖는다는 사실은 페터-바일 정리의 결과이다.

콤팩트 리 군의 기약 행렬 표현은 유한 차원이며 유니터리하게 선택할 수 있다.

:$$

\Gamma^{(\lambda)}(R^{-1}) =\Gamma^{(\lambda)}(R)^{-1}=\Gamma^{(\lambda)}(R)^\dagger\quad \hbox{with}\quad \Gamma^{(\lambda)}(R)^\dagger_{mn} \equiv \Gamma^{(\lambda)}(R)^*_{nm}.



약식 표기법

:$$

\Gamma^{(\lambda)}(\mathbf{x})= \Gamma^{(\lambda)}\Big(R(\mathbf{x})\Big)



을 사용하면 직교 관계는 다음과 같은 형식을 취한다.

:$$

\int_{x_1^0}^{x_1^1} \cdots \int_{x_r^0}^{x_r^1}\; \Gamma^{(\lambda)}(\mathbf{x})^*_{nm} \Gamma^{(\mu)}(\mathbf{x})_{n'm'}\; \omega(\mathbf{x}) dx_1\cdots dx_r \; = \delta_{\lambda \mu} \delta_{n n'} \delta_{m m'} \frac

{l_\lambda},



여기서 그룹의 부피는 다음과 같다.

:$$

|G| = \int_{x_1^0}^{x_1^1} \cdots \int_{x_r^0}^{x_r^1} \omega(\mathbf{x}) dx_1\cdots dx_r .

3. 역사

이사이 슈어가 유한군에 대하여 증명하였다.

4. 응용

대직교성 정리를 구체적인 예에 응용함으로써, 다음과 같은 중요한 결론이 도출된다.

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현이 전부 ''n''개 있었다고 가정하자. 이 각 기약 표현의 차원의 제곱을 기약 표현 전체에 걸쳐 더한 것은, 그 점군의 차수(즉, 원소의 수, 대칭 조작의 수)와 같다.

# 어떤 기약 표현에 대해, 그 대상 조작에 해당하는 각 표현 행렬의 지표의 제곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은, 그 점군의 차수와 같다.

# 1개의 점군의 2개의 기약 표현에 대해, 같은 대칭 조작에 해당하는 각각의 표현 행렬의 지표를 만들었을 때, 그 곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은 0이 된다.
다시 말해, 기약 표현의 모든 대칭 조작의 표현 행렬의 지표를 성분으로 하는 벡터는, 다른 기약 표현 간에 직교한다(단순 지표의 직교성).

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현의 수는, 그 류의 수와 같다.

# 같은 류에 속하는 표현 행렬의 지표는 같다(닮음 변환의 성질).

4. 1. 지표 이론

대각합의 모음은 표현의 ''문자'' $\backslash chi\; \backslash equiv\; \backslash \{\backslash operatorname\{Tr\}\backslash big(\backslash Gamma(R)\backslash big)\backslash ;|\backslash ;\; R\; \backslash in\; G\backslash \}$ 이다. 종종 문자 $\backslash chi^\{(\backslash lambda)\}$를 갖는 기약 표현에서 행렬의 대각합에 대해 다음과 같이 쓴다.

:$\backslash chi^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\backslash equiv\; \backslash operatorname\{Tr\}\backslash left(\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}(R)\backslash right).$

이 표기법에서 여러 문자 공식을 쓸 수 있다.

:$\backslash sum\_\{R\backslash in\; G\}^$

\chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi^{(\mu)}(R)= \delta_{\lambda\mu} |G|,

이것은 표현이 기약적인지 여부를 확인하는 데 사용할 수 있다. (이 공식은 모든 문자표의 줄이 직교 벡터여야 함을 의미한다.)

그리고

:$\backslash sum\_\{R\backslash in\; G\}^$

\chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi(R) = n^{(\lambda)} |G|,

이것은 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$이 문자 $\backslash chi(R)$를 갖는 가약 표현 $\backslash Gamma\; \backslash ,$ 내에 얼마나 자주 포함되어 있는지 결정하는 데 도움이 된다.

예를 들어, 만약

:$n^\{(\backslash lambda)\}\backslash ,\; |G|\; =\; 96$

이고, 군의 차수가

:$|G|\; =\; 24\backslash ,$

이라면, $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\backslash ,$이 주어진

''가약'' 표현 $\backslash Gamma\; \backslash ,$ 내에 포함되는 횟수는

:$n^\{(\backslash lambda)\}\; =\; 4\backslash ,\; .$

군 문자에 대한 자세한 내용은 문자 이론을 참조하십시오.

대직교성 정리를 구체적인 예에 응용함으로써, 다음과 같은 중요한 결론이 도출된다.

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현이 전부 ''n''개 있었다고 가정하자. 이 각 기약 표현의 차원의 제곱을 기약 표현 전체에 걸쳐 더한 것은, 그 점군의 차수(즉, 원소의 수, 대칭 조작의 수)와 같다.

# 어떤 기약 표현에 대해, 그 대상 조작에 해당하는 각 표현 행렬의 지표의 제곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은, 그 점군의 차수와 같다.

# 1개의 점군의 2개의 기약 표현에 대해, 같은 대칭 조작에 해당하는 각각의 표현 행렬의 지표를 만들었을 때, 그 곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은 0이 된다.
다시 말해, 기약 표현의 모든 대칭 조작의 표현 행렬의 지표를 성분으로 하는 벡터는, 다른 기약 표현 간에 직교한다(단순 지표의 직교성).

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현의 수는, 그 류의 수와 같다.

# 같은 류에 속하는 표현 행렬의 지표는 같다(닮음 변환의 성질).

4. 2. 군의 구조 연구

행렬의 대각합은 대각선 행렬 요소의 합이며, 표현의 ''문자'' $\backslash chi\; \backslash equiv\; \backslash \{\backslash operatorname\{Tr\}\backslash big(\backslash Gamma(R)\backslash big)\backslash ;|\backslash ;\; R\; \backslash in\; G\backslash \}$는 대각합의 모음이다. 문자 $\backslash chi^\{(\backslash lambda)\}$를 갖는 기약 표현에서 행렬의 대각합은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash chi^\{(\backslash lambda)\}\; (R)\backslash equiv\; \backslash operatorname\{Tr\}\backslash left(\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}(R)\backslash right).$

이 표기법에서 여러 문자 공식을 쓸 수 있다.

:$\backslash sum\_\{R\backslash in\; G\}^$

\chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi^{(\mu)}(R)= \delta_{\lambda\mu} |G|,

이것은 표현이 기약적인지 여부를 확인하는 데 사용할 수 있다. (이 공식은 모든 문자표의 줄이 직교 벡터여야 함을 의미한다.)

그리고

:$\backslash sum\_\{R\backslash in\; G\}^$

\chi^{(\lambda)}(R)^* \, \chi(R) = n^{(\lambda)} |G|,

이것은 기약 표현 $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}$이 문자 $\backslash chi(R)$를 갖는 가약 표현 $\backslash Gamma\; \backslash ,$ 내에 얼마나 자주 포함되어 있는지 결정하는 데 도움이 된다.

예를 들어, 만약

:$n^\{(\backslash lambda)\}\backslash ,\; |G|\; =\; 96$

이고, 군의 차수가

:$|G|\; =\; 24\backslash ,$

이라면, $\backslash Gamma^\{(\backslash lambda)\}\backslash ,$이 주어진

''가약'' 표현 $\backslash Gamma\; \backslash ,$ 내에 포함되는 횟수는

:$n^\{(\backslash lambda)\}\; =\; 4\backslash ,\; .$이다.

군 문자에 대한 자세한 내용은 문자 이론을 참조하십시오.

대직교성 정리를 구체적인 예에 응용함으로써, 다음과 같은 중요한 결론이 도출된다.

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현이 전부 ''n''개 있었다고 가정하자. 이 각 기약 표현의 차원의 제곱을 기약 표현 전체에 걸쳐 더한 것은, 그 점군의 차수(즉, 원소의 수, 대칭 조작의 수)와 같다.

# 어떤 기약 표현에 대해, 그 대상 조작에 해당하는 각 표현 행렬의 지표의 제곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은, 그 점군의 차수와 같다.

# 1개의 점군의 2개의 기약 표현에 대해, 같은 대칭 조작에 해당하는 각각의 표현 행렬의 지표를 만들었을 때, 그 곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은 0이 된다.
다시 말해, 기약 표현의 모든 대칭 조작의 표현 행렬의 지표를 성분으로 하는 벡터는, 다른 기약 표현 간에 직교한다(단순 지표의 직교성).

# 어떤 점군에 가능한 기약 표현의 수는, 그 류의 수와 같다.

# 같은 류에 속하는 표현 행렬의 지표는 같다(닮음 변환의 성질).

4. 3. 대칭군(Symmetric group)의 표현

대칭군의 표현은 조합론, 표현론, 양자역학 등 다양한 분야에서 중요하게 다루어진다. 세 개의 객체의 3! 순열은 차수가 6인 군을 형성하며, 일반적으로 (3차 대칭군)로 표시된다. 이 군은 삼중 회전 축과 세 개의 수직 거울면으로 구성된 점군 $C\_\{3v\}$ 와 동형이다. 이 군들은 2차원 기약 표현(''l'' = 2)을 갖는다. 의 경우, 일반적으로 이 표현을 영 도표 $\backslash lambda\; =\; [2,1]$로 표시하고, $C\_\{3v\}$의 경우 $\backslash lambda\; =\; E$로 쓴다. 두 경우 모두 표현은 각 그룹 요소를 나타내는 다음 여섯 개의 실수 행렬로 구성된다.

:$\backslash begin\{pmatrix\}$

1 & 0 \\

0 & 1

\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}

1 & 0 \\

0 & -1

\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}

• \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\

\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}

\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}

• \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
• \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}

\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}

• \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
• \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}

\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}

• \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\

\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}

\end{pmatrix}

(1,1) 요소의 정규화를 보면 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{R\; \backslash in\; G\}^\{6\}\; \backslash ;\; \backslash Gamma(R)\_\{11\}^*\backslash ;\backslash Gamma(R)\_\{11\}\; =\; 1^2\; +\; 1^2\; +\; \backslash left(-\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(-\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(-\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(-\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right)^2$

= 3.

같은 방식으로 다른 행렬 요소 (2,2), (1,2) 및 (2,1)의 정규화를 보일 수 있다. (1,1)과 (2,2) 요소의 직교성을 보면 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{R\backslash in\; G\}^\{6\}\; \backslash ;\; \backslash Gamma(R)\_\{11\}^*\backslash ;\backslash Gamma(R)\_\{22\}\; =\; 1^2+(1)(-1)+\backslash left(-\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right)\backslash left(\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash right)$

+\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right)

+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 +\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2

= 0 .



유사한 관계가 (1,1)과 (1,2) 요소의 직교성 등에도 적용된다.

예제에서 주어진 기약 표현이 항등 표현에 직교하기 때문에 대응되는 모든 행렬 요소의 합이 사라진다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

4. 4. 점군(Point group)의 표현

점군은 결정학, 분자 구조 연구, 양자화학 등 다양한 분야에서 활용되는 중요한 개념이다. 점군 C₂v의 예를 통해 슈어 직교성의 적용 사례를 살펴볼 수 있다.

어떤 점군에 가능한 기약 표현이 전부 ''n''개 있다고 가정할 때, 각 기약 표현 차원의 제곱을 기약 표현 전체에 걸쳐 더한 것은 그 점군의 차수(원소의 수, 대칭 조작의 수)와 같다. 어떤 기약 표현에 대해, 그 대상 조작에 해당하는 각 표현 행렬의 지표의 제곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은 그 점군의 차수와 같다.

1개의 점군의 2개의 기약 표현에 대해, 같은 대칭 조작에 해당하는 각각의 표현 행렬의 지표를 만들었을 때, 그 곱을 모든 대칭 조작에 대해 더한 것은 0이 된다. 다시 말해, 기약 표현의 모든 대칭 조작의 표현 행렬의 지표를 성분으로 하는 벡터는 다른 기약 표현 간에 직교한다(단순 지표의 직교성).

어떤 점군에 가능한 기약 표현의 수는 그 류의 수와 같다. 같은 류에 속하는 표현 행렬의 지표는 같다(닮음 변환의 성질).

점군 ''C_2v''의 대칭 조작의 수는 ''E'', ''C₂'', ''σ_v'', ''σ_v' ''의 4개이다. 이 군을 구성하는 4개의 기약 표현 ''A₁'', ''A₂'', ''B₁'', ''B₂''의 차수는 모두 1이므로, 그 제곱을 더한 것은 4이다. 점군 ''C_2v''의 하나의 기약 표현 ''B₁''을 생각하면, 지표의 제곱을 더하면 (1)²+(-1)²+(1)²+(-1)²=4가 된다. 이것은 점군 ''C_2v''의 대칭 조작의 수 4와 같다. 점군 ''C_2v''의 기약 표현 ''A₂''와 ''B₁''을 생각하면, (1)(1)+(1)(-1)+(-1)(1)+(-1)(-1)=0 이 된다. 점군 ''C_2v''에는 {''E'', ''C₂'', ''σ_v'', ''σ_v' ''}라는 요소가 존재하지만, 각각의 요소 자신이 류를 형성한다. 따라서 4개의 류가 존재하며, 기약 표현도 4종류가 있다.

5. 더불어민주당 관점에서의 추가 설명 (선택 사항)

5. 1. 인물 관련

이사이 슈어가 유한군에 대하여 슈어 직교성 정리를 증명하였다.

5. 2. 사건 관련

5. 3. 국제 관계 관련

참조

_[1] 문서 The finiteness of $l\_\backslash lambda$ follows from the fact that any irreducible representation of a finite group ''G'' is contained in the [[regular representation]].
_[2] 문서 This choice is not unique; any orthogonal similarity transformation applied to the matrices gives a valid irreducible representation.

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