스핀 표현

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1. 개요
2. 설정
- 2.1. 실수 및 복소수 공간에서의 이차 형식
3. 복소 스핀 표현
4. 실 표현
- 4.1. 설명 및 표
참조

1. 개요

스핀 표현은 유한 차원 실수 또는 복소 벡터 공간에서 정의되며, 직교군과 스핀군의 관계를 통해 정의된다. 스핀 표현은 복소 스핀 표현과 실 스핀 표현으로 나뉘며, 복소 스핀 표현은 클리퍼드 대수와 외대수를 사용하여 구성된다. 실 스핀 표현은 복소 스핀 표현의 실수 부분으로 나타나며, 실 구조, 사원 구조, 에르미트 구조와 같은 추가적인 구조를 가질 수 있다. 부호수에 따라 스핀 표현의 구조가 결정되며, 다양한 저차원 리 대수의 동형 사상을 통해 이해할 수 있다.

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스핀 표현
개요
분야	수학, 물리학
하위 분야	표현론, 군론, 기하학
정의
연관 개념
연관 개념	스피너, 클리퍼드 대수, 직교군, 특수 직교군, 리 군, 리 대수, 표현론

2. 설정

$V$ 를 비퇴화 이차 형식 $Q$ 가 주어진 유한 차원 실수 또는 복소 선형 공간이라 한다. $Q$ 를 보존하는 선형 사상은 직교군 $\text{O}(V,Q)$ 을 형성한다. 이 군의 항등 성분은 특수 직교군 $\text{SO}(V,Q)$ 이다. 스핀군 $\text{Spin}(V,Q)$ 는 $\text{SO}(V,Q)$ 의 유일한 연결 이중 덮개이다. 따라서 군 준동형사상 $h:\text{Spin}(V,Q)\rightarrow\text{SO}(V,Q)$ 의 핵에는 $1, -1$ 로 표시되는 두 개의 원소가 있으며 여기서 1은 항등원이다.^[1]

$\text{O}(V,Q)$ , $\text{SO}(V,Q)$ , $\text{Spin}(V,Q)$ 은 모두 리 군이며, 고정된 $(V,Q)$ 에 대해 이 리 군들의 리 대수는 모두 $\mathfrak{so}(V,Q)$ 이다.^[1]

스핀 표현은 어떤 의미에서 $\text{SO}(n,\mathbb C)$ 와 $\text{SO}(p,q)$ 표현으로부터 나오지 않는 $\text{Spin}(n,\mathbb C)$ 와 $\text{Spin}(p,q)$ 의 가장 간단한 표현이다.^[1]

2. 1. 실수 및 복소수 공간에서의 이차 형식

유한 차원 실수 또는 복소 벡터 공간 ''V''에서 비퇴화 형식 이차 형식 ''Q''를 보존하는 선형 사상들은 직교군 O(''V'', ''Q'')를 형성한다. 이 군의 항등 성분은 특수 직교군 SO(''V'', ''Q'')이다. SO(''V'', ''Q'')는 유일한 연결된 이중 피복군인 스핀군 Spin(''V'', ''Q'')를 가지며, 군 준동형사상 ''h'': Spin(''V'', ''Q'') → SO(''V'', ''Q'')가 존재한다. 이 준동형사상의 커널은 두 개의 원소 {1, −1}로 구성되며, 여기서 1은 항등원이다.

복소수의 경우, 이차 형식은 ''V''의 차원 ''n''에 의해 동형 사상까지 고유하게 결정된다. ''V'' = '''C'''^''n''이라 가정하면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

Q(z_1,\ldots, z_n) = z_1^2+ z_2^2+\cdots+z_n^2.

해당 리 군은 O(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C'''), Spin(''n'', '''C''')로 표기된다.

실수의 경우, 이차 형식은 음이 아닌 정수 쌍 (''p'', ''q'')에 의해 결정된다. 여기서 ''n'' = ''p'' + ''q''는 ''V''의 차원이고, ''p'' − ''q''는 부호수이다. ''V'' = '''R'''^''n''이라 가정하면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

Q(x_1,\ldots, x_n) = x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_p^2-(x_{p+1}^2+\cdots +x_{p+q}^2).

해당 리 군은 O(''p'', ''q''), SO(''p'', ''q''), Spin(''p'', ''q'')로 표기된다.

3. 복소 스핀 표현

표준 이차 형식 $Q$가 주어진 $V = \mathbb{C}^n$을 고려하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\mathfrak{so}(V,Q) = \mathfrak{so}(n,\mathbb C).$

$Q$와 연관된 $V$의 대칭 쌍선형 형식은 $\langle\cdot,\cdot\rangle$로 표기한다. 복소수의 경우, 이차 형식은 $V$의 차원 $n$에 의해 동형사상까지 유일하게 결정된다. 구체적으로, $V = \mathbb{C}^n$이라고 가정할 수 있으며, 다음이 성립한다.

: $Q(z_1,\ldots, z_n) = z_1^2+ z_2^2+\cdots+z_n^2.$

해당 리 군은 $O(n, \mathbb{C})$, $SO(n, \mathbb{C})$, $Spin(n, \mathbb{C})$로 표기되며, 리 대수는 $\mathfrak{so}(n, \mathbb{C})$로 표기된다.

스핀 표현은 $SO(n, \mathbb{C})$의 표현에서 나오지 않는 $Spin(n, \mathbb{C})$의 가장 간단한 표현이다. 스핀 표현은 실수 또는 복소 벡터 공간 $S$와 $Spin(n, \mathbb{C})$에서 일반 선형군 $GL(S)$로의 군 준동형사상 $\rho$의 조합으로 나타낼수 있으며, 원소 $-1$이 $\rho$의 커널에 ''없다''는 조건을 만족해야 한다.^[4]

$S$가 이러한 표현이면, 리 군과 리 대수 간의 관계에 따라, 이는 $\mathfrak{so}(n, \mathbb{C})$에서 $S$의 자기 준동형 사상의 리 대수 $\mathfrak{gl}(S)$로의 리 대수 준동형사상을 유도한다.

3. 1. 등방 부분 공간 및 근계

스핀 표현은 V의 극대 완전 등방 부분 공간의 쌍 (W, W*)의 선택으로 구성된다. W와 W*는 쌍대 벡터 공간이며, 카르탕 부분 대수 h는 대각 행렬을 사용하여 정의된다.^[4] 근계는 h*의 기저 ε₁, ..., εₘ에 대해 구성되며, 양의 근계와 단순 근이 정의된다.

만약

a_1,\dots,a_m

가

W

의 기저라면,

\langle \alpha_i,a_j\rangle = \delta_{ij}

를 만족하는

W^*

의 유일한 기저

\alpha_1,\dots,\alpha_m

가 존재한다.

A

가

m\times m

행렬이면,

A

는 이 기저에 대해

W

의 자기 사상을 유도하고, 전치

A^T

는

\langle Aw, w^* \rangle = \langle w,A^\mathrm{T} w^*\rangle

를 만족하는

W^*

의 변환을 유도한다.

\mathfrak{so}(n,\mathbb C)

의 랭크는

m

이고,

n\times n

대각 행렬은

m

차원 아벨 부분 대수를 결정한다.

\epsilon_1, \dots, \epsilon_m

을 대각 행렬

A

에 대해

\epsilon_k(\rho_A)

가

A

의

k

번째 대각 성분인

\mathfrak h^*

의 기저라고 할 때, 이는

\mathfrak h^*

의 기저가 된다.

이제

\mathfrak h

와 관련된 근계를 구성할 수 있다. 근 공간(

\mathfrak h

의 작용에 대한 동시 고유 공간)은 다음 원소들로 생성된다.

$a_i\wedge a_j,\; i\neq j,$ 근(동시 고유값) $\varepsilon_i + \varepsilon_j$
$a_i\wedge \alpha_j$ ( $i= j$ 이면 $\mathfrak h$ 에 있음) 근 $\varepsilon_i - \varepsilon_j$
$\alpha_i\wedge \alpha_j,\; i\neq j,$ 근 $-\varepsilon_i - \varepsilon_j$

n

이 홀수이고

u

가

U

의 0이 아닌 원소인 경우,

$a_i\wedge u,$ 근 $\varepsilon_i$
$\alpha_i\wedge u,$ 근 $-\varepsilon_i.$

따라서 기저

\epsilon_1, \dots, \epsilon_m

에 대해 근들은

(\pm 1,\pm 1, 0, 0, \dots, 0)

의 치환인

\mathfrak h^*

의 벡터들이다. (

n=2m+1

인 경우

(\pm 1, 0, 0, \dots, 0)

의 치환들)

양의 근계는

\varepsilon_i + \varepsilon_j

(

i \neq j

),

\varepsilon_i - \varepsilon_j

(

i < j

) 및 (

n

이 홀수인 경우)

\varepsilon_i

로 주어진다. 해당 단순 근은 다음과 같다.

:

\varepsilon_1-\varepsilon_2, \varepsilon_2-\varepsilon_3, \ldots, \varepsilon_{m-1}-\varepsilon_m, \left\{\begin{matrix}\varepsilon_{m-1}+\varepsilon_m& n=2m\\\varepsilon_m & n=2m+1.\end{matrix}\right.

양의 근들은 단순 근들의 음이 아닌 정수 선형 결합이다.

3. 2. 스핀 표현들과 그 가중치

\mathfrak{so}(n,\mathbb C)

의 스핀 표현은 외대수

S=\wedge^\bullet W

및

S'=\wedge^\bullet W^*

를 통해 구성된다.^[5]

V

의 작용은 클리포드 대수

\text{Cl}_n \mathbb C

에서

\text{End}(S)

로 가는 준동형 사상을 유도한다.

S

와

S'

는 모두

\mathfrak{so}(n,\mathbb C)

의 표현이며, 실제로 동등한 표현이므로,

S

에 중점을 둔다.

S

의 가중치는

\bigl(\pm \tfrac12,\pm \tfrac12, \ldots \pm\tfrac12\bigr)

의 모든 가능한 조합이다. 각 가중치 공간은 1차원이며,

S

의 원소는 디랙 스피너라고 한다.

n

이 짝수일 때,

S

는 기약 표현이 아니다.

S_+=\wedge^{\mathrm{even}} W

와

S_-=\wedge^{\mathrm{odd}} W

는 불변 부분 공간이며, 각각

2^{m-1}

차원 기약 표현이다. 이들의 원소를 바일 스피너 (키랄 스핀 표현 또는 반정수 스핀 표현)라고 부른다.

S_+

와

S_-

의 최고 가중치는 각각

\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, \tfrac12\bigr)

와

\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, -\tfrac12\bigr)

이다.

n

이 홀수일 때,

S

는

2^{m}

차원인

\mathfrak{so}(n,\mathbb C)

의 기약 표현이며, 최고 가중치는

\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots \tfrac12\bigr)

이다.

''n''을 8로 나눈 나머지에 따라 '''so'''(''n'','''C''')를 ''S''에 대한 고전 리 대수의 부분 대수로 실현하는 방법은 다음 표와 같다.

n mod 8	스피너 대수
0	$\mathfrak{so}(S_+)\oplus\mathfrak{so}(S_-)$
1	$\mathfrak{so}(S)$
2	$\mathfrak{gl}(S_{\pm})$
3	$\mathfrak{sp}(S)$
4	$\mathfrak{sp}(S_+)\oplus\mathfrak{sp}(S_-)$
5	$\mathfrak{sp}(S)$
6	$\mathfrak{gl}(S_{\pm})$
7	$\mathfrak{so}(S)$

3. 3. 이중 선형 형식

S^영어는 쌍대 표현 S*^영어와 동형이며, 비축퇴 불변 쌍선형 형식 β^영어가 정의된다.

n=2m+1^영어이 홀수일 때, 동형 사상 B:S→S*^영어는 S^영어가 기약이기 때문에 슈어 보조정리에 의해 유일하며, S^영어에서 비축퇴 불변 쌍선형 형식 β^영어를 다음과 같이 정의한다.

:

\beta(\varphi,\psi) = B(\varphi)(\psi).

여기서 불변성은 \mathfrak{so}(n,\mathbb C)의 모든 ξ^영어와 S^영어의 φ,ψ^영어에 대해

:

\beta(\xi\cdot\varphi,\psi) + \beta(\varphi,\xi\cdot\psi) = 0

임을 의미한다. 즉, ξ^영어의 작용은 β^영어에 대해 반대칭적이다.

n=2m^영어일 때 상황은 m^영어의 홀짝성에 더 민감하게 의존한다. m^영어이 짝수인 경우와 홀수인 경우에 따라 β^영어의 성질이 달라진다.^[3]

3. 4. 대칭과 텐서 제곱

β의 대칭성은 클리포드 대수 또는 표현론을 사용하여 결정된다.^[6] 텐서 제곱 S ⊗ S는 다양한 k에 대해 V에서 k-형식의 직합으로 분해된다. n mod 8에 따라 so(n, C)는 S에 대한 고전 리 대수의 부분 대수로 실현된다.

n = 2m + 1 (홀수)이면, 슈어 보조정리에 따라 다음이 성립한다.

:

S\otimes S \cong \bigoplus_{j=0}^{m} \wedge^{2j} V^*

여기서 양변의 차원은

2^{2m}

이고, 오른쪽의 표현은 동일하지 않다.

\wedge^{2j}V^*

성분의 대칭은 j와 번갈아 나타난다. 조합론을 통해 다음을 알 수 있다.

:

\sum_{j=0}^m (-1)^j \dim \wedge^{2j} \Complex^{2m+1} = (-1)^{\frac12 m(m+1)} 2^m = (-1)^{\frac12 m(m+1)}(\dim \mathrm S^2S-\dim \wedge^2 S)

이 부호는

S^{2}S

에서 발생하는 표현과

\wedge^2S

에서 발생하는 표현을 결정한다.^[6]

n = 2m (짝수)이면, 더 복잡하지만,

S^{2}S_{\pm}

,

\wedge^{2}S_{\pm}

및

S_+\otimes S_-

는 각각 k-형식들의 직합으로 분해된다. (k=m에 대해 자기 쌍대 및 반자기 쌍대 m-형식으로 추가 분해)

주요 결과는 다음 표와 같이 n mod 8에 따라 S에 대한 고전 리 대수의 부분 대수로

\mathfrak{so}(n,\mathbb C)

를 구현한다.

$n \mod 8$	0	1	2	3	4	5	6	7
스피너 대수	$\mathfrak{so}(S_+)\oplus\mathfrak{so}(S_-)$	$\mathfrak{so}(S)$	$\mathfrak{gl}(S_{\pm})$	$\mathfrak{sp}(S)$	$\mathfrak{sp}(S_+)\oplus\mathfrak{sp}(S_-)$	$\mathfrak{sp}(S)$	$\mathfrak{gl}(S_{\pm})$	$\mathfrak{so}(S)$

4. 실 표현

$\mathfrak{so}(n,\mathbb C)$ 의 복소 스핀 표현은 작용을 실수 부분 대수로 제한하여 $\mathfrak{so}(p,q)$ 의 실 표현 ''S''를 생성한다. 이때 실수 리 대수의 작용 하에서 변하지 않는 추가적인 "실" 구조가 존재하며, 이는 세 가지 유형으로 나뉜다.

# 불변 복소 반선형 사상 $r: S\rightarrow S$ 가 존재하며, $r^2=\text{id}_S$ 이다. 그러면 $r$ 의 고정점 집합은 $S_{\mathbb R}\otimes \mathbb C= S$ 인 $S$ 의 실 부분 공간 $S_{\mathbb R}$ 이다. 이를 '''실수 구조'''라고 한다.

# 불변 복소 반선형 사상 $j: S\rightarrow S$ 가 존재하며, $j^2=-\text{id}_S$ 이다. 이에 따라 삼중항 $i,j,k:=ij$ 는 $S$ 를 사원수 선형 공간 $S_{\mathbb H}$ 로 만든다. 이를 '''사원수 구조'''라고 한다.

# 가역적인 불변 복소 반선형 사상 $b:S\rightarrow S^*$ 가 존재한다. 이는 $S$ 에 의사 에르미트 쌍선형 형식을 정의하며, 이를 '''에르미트 구조'''라고 한다.

$\mathfrak{so}(p,q)$ 에 대해 불변인 구조의 유형들은 부호수 $p - q \mod 8$ 에만 의존하며, 아래 표와 같다.

$p - q \mod 8$	0	1	2	3	4	5	6	7
구조	$\mathbb R+\mathbb R$	$\mathbb R$	$\mathbb C$	$\mathbb H$	$\mathbb H+\mathbb H$	$\mathbb H$	$\mathbb C$	$\mathbb R$

여기서 $\mathbb R$ , $\mathbb C$ , $\mathbb H$ 는 각각 실수 구조, 에르미트 구조, 사원수 구조를 나타내며, $\mathbb R+\mathbb R$ 및 $\mathbb H+\mathbb H$ 는 반정수 스핀 표현이 각각 실수 또는 사원수 구조를 허용함을 나타낸다.

4. 1. 설명 및 표

''p'' - ''q'' mod 8에 따라 불변 구조의 유형이 결정된다. 홀수 차원과 짝수 차원의 경우를 나누어 구조를 요약하면 다음과 같다.

홀수 스핀 표현은 다음 표와 같이 요약될 수 있다.

	n mod 8	1, 7	3, 5
p−q mod 8		$\mathfrak{so}(2N,\mathbb C)$	$\mathfrak{sp}(2N,\mathbb C)$
1, 7	$\mathbb R$	$\mathfrak{so}(N,N)$ 또는 $\mathfrak{so}(2N)$	$\mathfrak{sp}(2N,\mathbb R)$
3, 5	$\mathbb H$	$\mathfrak{so}^*(N,\mathbb H)$	$\mathfrak{sp}(N/2,N/2)$ ^† 또는 $\mathfrak{sp}(N)$

(†) $n$ > 3인 경우 $N$ 은 짝수이고, $n=3$ 인 경우 $\mathfrak{sp}(1)$ 이다.

짝수 스핀 표현은 다음 표와 같이 요약된다.

	n mod 8	0	2, 6	4
p-q mod 8		$\mathfrak{so}(2N,\mathbb C)$ + $\mathfrak{so}(2N,\mathbb C)$	$\mathfrak{sl}(2N,\mathbb C)$	$\mathfrak{sp}(2N,\mathbb C)$ + $\mathfrak{sp}(2N,\mathbb C)$
0	$\mathbb R$ + $\mathbb R$	$\mathfrak{so}(N,N)$ + $\mathfrak{so}(N,N)$ ^∗	$\mathfrak{sl}(2N,\mathbb R)$	$\mathfrak{sp}(2N,\mathbb R)$ + $\mathfrak{sp}(2N,\mathbb R)$
2, 6	$\mathbb C$	$\mathfrak{so}(2N,\mathbb C)$	$\mathfrak{su}(N,N)$	$\mathfrak{sp}(2N,\mathbb C)$
4	$\mathbb H$ + $\mathbb H$	$\mathfrak{so}^(N,\mathbb H)$ + $\mathfrak{so}^(N,\mathbb H)$	$\mathfrak{sl}(N,\mathbb H)$	$\mathfrak{sp}(N/2,N/2)$ + $\mathfrak{sp}(N/2,N/2)$ ^†

(*) $pq=0$ 의 경우 대신에 $\mathfrak{so}(2N)+\mathfrak{so}(2N)$ 이다.

(†) $n$ > 4이고 $pq=0$ ( $n=4$ , $N=1$ 포함)인 경우 짝수이다. 대신 $\mathfrak{sp}(N)+\mathfrak{sp}(N)$ 이다.

복소 경우의 저차원 동형 사상은 다음과 같은 실수 형태를 갖는다.

유클리드 부호	민코프스키 부호	기타 부호
$\mathfrak{so}(2)$ ≅ $\mathfrak{u}(1)$	$\mathfrak{so}(1,1)$ ≅ $\mathbb R$	colspan="2" \|
$\mathfrak{so}(3)$ ≅ $\mathfrak{sp}(1)$	$\mathfrak{so}(2,1)$ ≅ $\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$	colspan="2" \|
$\mathfrak{so}(4)$ ≅ $\mathfrak{sp}(1)$ ⊕ $\mathfrak{sp}(1)$	$\mathfrak{so}(3,1)$ ≅ $\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$	$\mathfrak{so}(2,2)$ ≅ $\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$ ⊕ $\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)$
$\mathfrak{so}(5)$ ≅ $\mathfrak{sp}(2)$	$\mathfrak{so}(4,1)$ ≅ $\mathfrak{sp}(1,1)$	$\mathfrak{so}(3,2)$ ≅ $\mathfrak{sp}(4,\mathbb R)$
$\mathfrak{so}(6)$ ≅ $\mathfrak{su}(4)$	$\mathfrak{so}(5,1)$ ≅ $\mathfrak{sl}(2,\mathbb H)$	$\mathfrak{so}(4,2)$ ≅ $\mathfrak{su}(2,2)$	$\mathfrak{so}(3,3)$ ≅ $\mathfrak{sl}(4,\mathbb R)$

이 표에서 누락된 실수 리 대수의 유일한 특수 동형 사상은 $\mathfrak{so}^*(3,\mathbb H) \cong \mathfrak{su}(3,1)$ 과 $\mathfrak{so}^*(4,\mathbb H)\cong\mathfrak{so}(6,2)$ 이다.

참조

_[1] 서적 Chapter I.6
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 서적 Chapter 20
_[5] 문서
_[6] 문서

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