아녜시의 마녀

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1. 개요
2. 정의
3. 방정식
- 3.1. 데카르트 방정식
- 3.2. 매개변수 방정식
4. 성질
5. 역사
6. 응용
7. 대중 문화
참조

1. 개요

아녜시의 마녀는 좌표평면에서 특정 원과 직선의 관계를 통해 정의되는 곡선이다. 이 곡선은 피에르 드 페르마, 루이지 귀도 그란디 등에 의해 연구되었으며, 특히 마리아 가에타나 아녜시의 저서를 통해 널리 알려졌다. '마녀'라는 이름은 존 콜슨의 번역 과정에서 오역으로 인해 붙여졌으며, 데카르트 방정식, 매개변수 방정식 등 다양한 형태로 표현된다. 아녜시의 마녀는 코시 분포, 룬게 현상, X선 스펙트럼 분석 등 다양한 분야에 응용되며, 구글 두들, 소설, 음악 앨범 등 대중문화에서도 활용되었다.

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아녜시의 마녀
개요
아녜시의 마녀
유형	대수 곡선
차수	3
종수	0
특이점	첨점
방정식
데카르트 좌표	y = rac{8a^3}{x^2 + 4a^2}
매개변수 방정식	x = 2a tan θ, y = 2a cos²θ

2. 정의

thumb

좌표평면에서 중심이 (0, a)이고 반지름이 a인 원을 생각하자. 점 (0, 0)을 지나는 직선은 이 원과 점 A에서 만나며, 직선 y=2a 위의 점 N에서 이 직선과 만난다. A를 지나는 수평선과 N을 지나는 수직선을 그리면 교점 P를 구할 수 있다. '''아녜시의 마녀'''는 점 P의 자취이다.

직선 OA와 y축 사이의 각 θ를 이용하여 아녜시의 마녀의 방정식을 나타낼 수 있다. P의 좌표를 (x, y)라고 하자. 그러면 ∠OAM=90˚이고, OM는 원의 지름이다. 직각삼각형 OAM의 성질에 의하여

:

OA = OM \cos\theta = 2a \cos\theta

를 얻는다. 점 A, N을 각각 x축에 사영(projection)한 점을 R, S라고 하자. 그러면 ONS는 직각삼각형이므로 OS = x = NS tanθ = 2a tanθ가 성립하고, OAR이 직각삼각형이므로

AR = y = OA \cos\theta = 2a \cos^{2}\theta

를 얻는다. 따라서 아녜시의 마녀의 방정식은

:

x=2a\tan\theta, y=2a\cos^{2}\theta

가 된다.

여기서 x와 y의 관계식을 찾으려면 위 식의 θ를 소거해야 한다. 등식

1 + \tan^{2}\theta = \frac{1}{\cos^{2}\theta}

를 이용하면 다음을 얻는다.

:

y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}.

이 곡선을 작도하기 위해서는, 두 점 ''O''와 ''M''에서 시작하여 ''OM''을 지름으로 하는 원을 그린다. 원 위의 다른 점 ''A''에 대해, 할선 ''OA''와 ''M''에서의 접선이 만나는 점을 ''N''이라고 하자. ''P''는 ''A''를 지나고 ''OM''에 수직인 선과, ''N''을 지나고 ''OM''에 평행한 선이 만나는 점이라고 하자. 그러면 ''P''는 아녜시의 마녀 위에 놓인다. 아녜시의 마녀는 동일한 ''O''와 ''M''의 선택으로부터 이러한 방식으로 작도될 수 있는 모든 점 ''P''로 구성된다. 여기에는 극한 경우로 점 ''M'' 자체도 포함된다.

3. 방정식

아녜시의 마녀는 주어진 원과 직선을 이용하여 정의되는 곡선으로, 데카르트 좌표계를 이용한 방정식과 매개변수를 이용한 방정식으로 표현할 수 있다.

아녜시의 마녀는 다음과 같은 데카르트 방정식을 갖는다.

: $y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}$

이 식은 $a=\tfrac12$ 를 대입하여 다음과 같이 단순화할 수 있다.

: $y = \frac{1}{x^2+1}$

또한, 매개변수 θ 또는 t를 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: $x = 2a \tan \theta,\quad y = 2a \cos ^2 \theta$

: $x = 2at, \quad y = \frac{2a}{t^2+1}$

3. 1. 데카르트 방정식

좌표평면에서 중심이 (0, a)이고 반지름이 a인 원에서, 점 (0, 0)을 지나는 직선은 이 원과 점 A에서 만나며, 직선 y=2a 위의 점 N에서 이 직선과 만난다. A를 지나는 수평선과 N을 지나는 수직선을 그리면 교점 P를 구할 수 있다. 이때, 아녜시의 마녀는 점 P의 자취로 나타낼 수 있다.

직선 OA와 y축 사이의 각 θ를 이용하여 아녜시의 마녀의 방정식을 표현할 수 있다. P의 좌표를 (x, y)라고 하면, ∠OAM=90˚이고, OM는 원의 지름이다. 직각삼각형 OAM의 성질에 의하여

:

OA = OM \cos\theta = 2a \cos\theta

를 얻는다.

점 A, N을 각각 x축에 사영(projection)한 점을 R, S라고 하면, ONS는 직각삼각형이므로 OS = x = NS tanθ = 2a tanθ가 성립하고, OAR이 직각삼각형이므로

AR = y = OA \cos\theta = 2a \cos^{2}\theta

를 얻는다. 따라서 아녜시의 마녀의 방정식은

:

x=2a\tan\theta, y=2a\cos^{2}\theta

가 된다.

여기서 x와 y의 관계식을 찾으려면 위 식의 θ를 소거해야 한다. 등식

1 + \tan^{2}\theta = \frac{1}{\cos^{2}\theta}

를 이용하면 다음을 얻는다.

:

y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}.

이 식으로부터 곡선이 x축을 점근선으로 가지는 것과, 곡선과 점근선 사이의 넓이는

4 \pi a^{2}

로 원의 넓이의 4배가 되는 것을 알 수 있다. 또한, 이 곡선은 θ=±π/6에서 2개의 변곡점을 가짐을 알 수 있다.

점 ''O''가 원점에 있고 점 ''M''이 양의

y

축에 놓여 있으며 지름 ''OM''을 가진 원의 반지름이

a

라고 가정하면, ''O'' 와 ''M''에서 생성된 아녜시의 마녀는 다음과 같은 데카르트 방정식을 가진다.

:

y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2} =\frac{(2a)^3}{(x)^2+(2a)^2}.

이 방정식은

a=\tfrac12

를 선택하여 다음 형태로 단순화할 수 있다.

:

y = \frac{1}{x^2+1}.

또는 분모 제거를 통해 삼차 대수 방정식으로 나타낼 수 있다.

:

(x^2+1)y=1.

이 곡선은 단순화된 형태로, 함수 그래프이며 아크탄젠트 함수의 도함수이다.

thumb

아녜시의 마녀는 ''OM''과 ''OA'' 사이의 각도(시계 방향)인 θ를 매개변수로 하는 매개변수 방정식으로 설명할 수도 있다.

:

\begin{align}x &= 2a \tan \theta, \\y &= 2a \cos ^2 \theta.\end{align}

''a'' = 1/2일 때, 방정식은 다음과 같이 간단해진다.

:

y = \frac{1}{x^2+1}

''t''에 의한 매개변수 표시를 통해 다음 식으로 나타낼 수도 있다.

:

x = 2at, \quad y = \frac{2a}{t^2+1}

\theta\,

를 OM과 OA가 이루는 각(시계 방향)으로 하면, 곡선은 다음 식으로도 나타낼 수 있다.

:

x = 2a \tan \theta,\quad y = 2a \cos ^2 \theta

\theta\,

를 ''x''축과 OA가 이루는 각(반시계 방향)으로 하면, 곡선은 다음 식으로도 나타낼 수 있다.

:

x = 2a \cot \theta,\quad y=2a\sin ^2 \theta

3. 2. 매개변수 방정식

직선 OA와 y축 사이의 각 θ를 이용하여 아녜시의 마녀의 방정식을 나타낼 수 있다. P의 좌표를 (x, y)라고 하면, ∠OAM=90˚이고, OM는 원의 지름이다. 직각삼각형 OAM의 성질에 의하여

:

OA = OM \cos\theta = 2a \cos\theta

를 얻는다. 점 A, N을 각각 x축에 사영(projection)한 점을 R, S라고 하면, ONS는 직각삼각형이므로 OS = x = NS tanθ = 2a tanθ가 성립하고, OAR이 직각삼각형이므로

AR = y = OA \cos\theta = 2a \cos^{2}\theta

를 얻는다. 따라서 아녜시의 마녀의 방정식은

:

x=2a\tan\theta, y=2a\cos^{2}\theta

가 된다.

원의 반지름을 ''a''로 하면(''c''=2''a'') 곡선의 매개변수 방정식은 다음과 같다.

:

x = 2a \tan \theta,\quad y = 2a \cos ^2 \theta

''t''에 의한 매개변수 표시를 통해 다음 식으로 나타낼 수도 있다.

:

x = 2at, \quad y = \frac{2a}{t^2+1}

θ를 OM과 OA가 이루는 각(시계 방향)으로 하면, 곡선은 다음 식으로도 나타낼 수 있다.

:

x = 2a \tan \theta,\quad y = 2a \cos ^2 \theta

θ를 ''x''축과 OA가 이루는 각(반시계 방향)으로 하면, 곡선은 다음 식으로도 나타낼 수 있다.

:

x = 2a \cot \theta,\quad y=2a\sin ^2 \theta

4. 성질

좌표평면에서 중심이 (0, a)이고 반지름이 a인 원을 생각하자. 점 (0, 0)을 지나는 직선은 이 원과 점 A에서 만나며, 직선 y=2a 위의 점 N에서 이 직선과 만난다. A를 지나는 수평선과 N을 지나는 수직선을 그리면 교점 P를 구할 수 있다. '''아녜시의 마녀'''는 점 P의 자취이다.

직선 OA와 y축 사이의 각 θ를 이용하여 아녜시의 마녀의 방정식을 나타낼 수 있다. P의 좌표를 (x, y)라고 하자. 그러면 ∠OAM=90˚이고, OM는 원의 지름이다. 직각삼각형 OAM의 성질에 의하여

: $OA = OM \cos\theta = 2a \cos\theta$

를 얻는다. 점 A, N을 각각 x축에 사영(projection)한 점을 R, S라고 하자. 그러면 ONS는 직각삼각형이므로 OS = x = NS tanθ = 2a tanθ가 성립하고, OAR이 직각삼각형이므로 $AR = y = OA \cos\theta = 2a \cos^{2}\theta$ 를 얻는다. 따라서 아녜시의 마녀의 방정식은

: $x=2a\tan\theta, y=2a\cos^{2}\theta$

가 된다.

여기서 x와 y의 관계식을 찾으려면 위 식의 θ를 소거해야 한다. 등식 $1 + \tan^{2}\theta = \frac{1}{\cos^{2}\theta}$ 를 이용하면 다음을 얻는다.

: $y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}.$

이 식으로부터 x → ±∞일 때 y → 0이므로, 이 곡선은 x축을 점근선으로 가짐을 알 수 있다. 이 곡선과 점근선 사이의 넓이는 $4 \pi a^{2}$ (원의 넓이의 4배)이다. 또한, 이 곡선은 θ=±π/6에서 2개의 변곡점을 가짐을 알 수 있다.

이 곡선의 주요 속성은 적분법에서 파생될 수 있다.

마녀곡선과 점근선 사이의 면적은 고정된 원의 면적의 4배( $4\pi a^2$ )이다.
아녜시의 마녀곡선의 점근선을 중심으로 한 회전체의 부피는 $4\pi^2a^3$ 이다. (마녀곡선을 정의하는 원을 동일한 선을 중심으로 회전시켜 형성된 토러스 부피의 두 배)
이 곡선은 정의 원과의 접점에서 고유한 정점을 갖는다. (이 점은 곡률이 극소 또는 극댓값에 도달하는 유일한 점). 마녀곡선을 정의하는 원은 또한 정점에서 접원이며, 동일한 방향과 곡률을 공유하여 해당 점에서 곡선에 "접하는" 유일한 원이다. 이것은 곡선의 정점에서 접원이기 때문에 곡선과 3차 접촉을 갖는다.
이 곡선은 $\left( \pm\frac{2a}{\sqrt{3}}, \frac{3a}{2}\right)$ 점에서 두 개의 변곡점을 갖는다. (각도 $\theta=\pm\pi/6$ 에 해당)
이 곡선을 사영 평면에서 곡선으로 고려하면, 무한대 상의 직선이 점근선과 교차하는 지점에서 세 번째 무한 변곡점이 존재한다. 변곡점 중 하나가 무한대이므로, 마녀곡선은 비특이 3차 곡선에서 가능한 최소한의 유한한 실수 변곡점 수를 갖는다.
마녀곡선과 점근선 사이에 새길 수 있는 직사각형의 최대 면적은 $4a^2$ 이다. (직사각형의 높이는 정의 원의 반지름, 너비는 원의 지름의 두 배)

''y''축에 대해 선대칭이며, ''x''축을 점근선으로 한다.
변곡점은 $\left(-\frac{2a}{\sqrt{3}},\frac{3a}{2}\right),\left(\frac{2a}{\sqrt{3}},\frac{3a}{2}\right)$ 이다.
곡선과 ''x''축 사이의 영역의 면적은 원래 원 면적의 4배( $4 \pi a^2$ )이다.
위 영역의 무게중심은 (0, a/2)이다. (원래 원의 무게중심은 (0, a)이다).
곡선과 ''x''축을 ''y''축 주위로 회전시켜서 만들어지는 입체의 부피는 $4\pi^2 a^3$ 이다.

5. 역사

아녜시의 마녀는 피에르 드 페르마와 루이지 귀도 그란디에 의해 이미 연구된 바 있다. 그란디는 이 곡선을 '베르시에라'(versiera^it)라고 불렀는데, 존 콜슨이 아녜시의 책을 영어로 번역하면서 '베르시에라'를 '아베르시에라'(aversiera^it, 악마 또는 마녀)로 오역하여 '아녜시의 마녀'라는 이름이 붙게 되었다.^[40]^[41]^[42]

이 곡선은 1659년 페르마의 구적법 논문에서 연구되었으며, 페르마는 곡선 아래 면적을 계산하고 디옥클레스의 시소이드에도 같은 방법이 적용된다고 주장했다. 페르마는 이 곡선이 "한 박식한 기하학자에 의해" 제안되었다고 썼으며, 앙투안 드 라루베르가 그 기하학자일 것이라는 추측이 있다.

아이작 뉴턴도 이 곡선에 대한 작도를 발견했지만, 1779년에 사후 출판되었다. 그란디는 이 곡선에 'versiera' 또는 'versoria'라는 이름을 제안했는데, 이는 시트를 의미하기도 하지만, versine 함수를 언급하려 했을 수도 있다.

1748년, 마리아 가에타나 아녜시는 ''이탈리아 청년을 위한 해석학 입문''을 출판하여 이 곡선에 대한 연구를 포함시켰다. 아녜시는 곡선을 기하학적으로 정의하고, 대수 방정식을 결정하고, 꼭짓점, 점근선 및 변곡점을 찾았다.

이탈리아에서는 이 곡선을 '''la versiera di Agnesi''' 라고 부르며, 영어 번역은 the curve of Agnesi 이지만, 케임브리지 대학교 교수 존 콜슨의 오역으로 인해 '''witch of Agnesi''' 라고도 불린다.

"The Witch of Agnesi"는 Robert Spiller에 의한 창작 소설이다.

5. 1. 초기 연구

아녜시의 마녀는 아녜시가 처음 발견한 것은 아니다. 이 곡선은 이미 피에르 드 페르마와 루이지 귀도 그란디(Luigi Guido Grandi^it, 1671–1742)에 의하여 연구된 바 있었다.^[39] 그란디는 이를 ‘곡선’을 뜻하는 단어 versiera|베르시에라^it라고 불렀고, 아녜시도 저서 Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana^it에서 마찬가지로 versiera^it라고 불렀다.

존 콜슨(John Colson^영어)이 아녜시의 책을 영어로 번역할 때 versiera|베르시에라^it를 aversiera^it(적(敵), 악마 또는 마녀 [신의 적])로 혼동하여 ‘마녀’로 오역하였다.^[40]^[41]^[42] 그 뒤 이 곡선은 ‘아녜시의 마녀’로 불리게 되었다.

이 곡선은 1659년 피에르 드 페르마가 쓴 구적법 논문에서 연구되었다. 페르마는 이 논문에서 곡선 아래 면적을 계산하고, (자세한 내용은 없이) 동일한 방법이 디옥클레스의 시소이드에도 적용된다고 주장했다. 페르마는 이 곡선이 "''ab erudito geometra''" [한 박식한 기하학자에 의해] 제안되었다고 적었다. 앙투안 드 라루베르가 이 곡선을 페르마에게 제안한 기하학자일 것이라고 추측된다.

이 곡선에 대한 작도는 루이지 귀도 그란디에 의해 발견되었으며, 동일한 작도는 아이작 뉴턴에 의해서도 더 일찍 발견되었지만, 1779년에 사후에 출판되었다. 그란디는 또한 이 곡선에 대해 이탈리아어로 ''versiera'' 또는 라틴어로 ''versoria''라는 이름을 제안했다. 라틴어 용어는 돛을 돌리는 밧줄인 시트에도 사용되지만, Grandi는 대신 자신의 작도에 나타난 versine 함수를 언급하려 했을 수도 있다.

1748년, 마리아 가에타나 아녜시는 미적분학 초창기 교과서인 ''이탈리아 청년을 위한 해석학 입문''을 출판했다. 그녀는 이 책에서 다른 두 곡선을 먼저 고려한 후, 이 곡선에 대한 연구를 포함시켰다. 그녀는 곡선을 특정 비율을 만족하는 점들의 자취로 기하학적으로 정의하고, 대수 방정식을 결정하고, 꼭짓점, 점근선 및 변곡점을 찾았다.

5. 2. 마리아 가에타나 아녜시

마리아 가에타나 아녜시는 이 곡선을 그란디를 따라 ''versiera''라고 명명했다.^[39] 당시 이탈리아에서는 라틴어 ''adversarius''에서 파생된 ''aversiero'' 또는 ''versiero''와 같은 다른 단어를 통해 악마에 대해 이야기하는 것이 일반적이었는데, 이는 하나님의 "적"을 의미했다. 특히 ''Versiera''는 악마의 아내, 즉 "마녀"를 나타내는 데 사용되었다.^[40] 이 때문에 케임브리지 대학교 교수 존 콜슨은 이 곡선의 이름을 "마녀"로 잘못 번역했다.^[41] 아녜시와 이 곡선에 대한 여러 현대 연구는 이 잘못된 번역이 어떻게 일어났는지에 대해 약간씩 다른 추측을 제시한다.^[42]

스티븐 스티글러는 그란디 자신이 "말장난을 하고 있었을 수도 있다"고 제안하는데, 악마를 정현 반원과 연결하고 정현 함수를 여성의 가슴 모양과 연결하는 이중 언어 유희를 한 것이라는 것이다(둘 다 이탈리아어로 "seno"라고 쓸 수 있다).

이 곡선의 성질에 관해서는 피에르 드 페르마(1630년), 루이지 귀도 그란디(이탈리아어])(1703년), 마리아 가에타나 아녜시(1748년)의 연구가 알려져 있다.^[39]

5. 3. 명칭의 유래

아녜시의 마녀라는 명칭은 마리아 가에타나 아녜시가 처음 사용한 것이 아니다. 이 곡선은 이미 피에르 드 페르마와 루이지 귀도 그란디(Luigi Guido Grandi^it, 1671–1742)에 의해 연구된 바 있었다. 그란디는 이 곡선을 ‘곡선’을 뜻하는 versiera|베르시에라^it라고 불렀고, 아녜시도 자신의 저서 Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana^it에서 versiera^it라고 명명했다.^[39]

존 콜슨(John Colson^영어)이 아녜시의 책을 영어로 번역할 때 versiera|베르시에라^it를 aversiera^it(적(敵), 악마 또는 마녀 [신의 적])로 혼동하여 ‘마녀’로 오역했다.^[40]^[41]^[42] 그 뒤 이 곡선은 ‘아녜시의 마녀’로 불리게 되었다.

6. 응용

곡선의 축소된 버전은 코시 분포의 확률 밀도 함수이다. 이는 x-축 위에 고정된 점 p에 대해, p를 지나는 임의의 선이 x축과 교차하는 점의 좌표 x로 결정되는 확률 변수 x에 대한 확률 분포이다. 코시 분포는 정규 분포와 시각적으로 유사한 봉우리 분포를 가지지만, 헤비 테일 분포이므로 대칭성에도 불구하고 일반적인 정의에 의해 기댓값을 갖지 못한다. 마녀 곡선 자체의 관점에서 보면, 이는 곡선과 점근선 사이 영역의 도심의 x-좌표가 이 영역의 대칭성과 유한한 면적에도 불구하고 잘 정의되지 않음을 의미한다.

수치 해석에서, 등간격 보간점을 사용하여 함수를 다항식 보간법으로 근사할 때, 더 많은 점을 사용하면 오히려 근사 오차가 커져 보간 결과가 원래 함수로 수렴하지 않고 발산하는 경우가 발생할 수 있다. 이 역설적인 현상은 룬게 현상이라고 불린다. 칼 데이비드 톨메 룬게는 룬게 함수 y=1/(1+25x^2)|y=1/(1+25x^2)^영어 , 즉 아녜시의 마녀를 축소한 버전을 구간 [-1,1]에서 보간하면서 이 현상을 처음 발견했다. 동일한 현상은 더 넓은 구간 [-5,5]에서 마녀 곡선 y=1/(1+x^2) 자체에 대해서도 발생한다.

아녜시의 마녀는 X선 선의 스펙트럼 에너지 분포를 근사하는 데 사용된다.

매끄러운 언덕의 단면은 마녀 곡선과 유사한 모양을 가진다. 이러한 모양을 가진 곡선은 수학적 모델링에서 흐름의 일반적인 지형 장애물로 사용되어 왔다. 깊은 물 속의 솔리톤도 이와 같은 모양을 가질 수 있다.

고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 이 곡선의 한 버전을 사용하여 π에 대한 라이프니츠 공식을 유도했다. 이 공식은 다음과 같은 무한 급수이다.

: $\frac{\pi}{4} = 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots,$

이 공식은 곡선 아래 면적을 함수 1/(1+x^2)의 적분과 같게 하고, 이 함수의 테일러 급수 전개를 무한 등비 급수 1-x^2+x^4-x^6+⋯로 사용한 뒤 항별로 적분하여 유도할 수 있다.

7. 대중 문화

2014년 5월 16일, 구글은 마리아 아녜시 탄생 296주년을 기념하여 구글 두들을 게시했다.^[1]

로버트 스필러의 소설 제목이기도 한데, 이 소설에는 교사가 이 용어의 유래에 대한 설명을 하는 장면이 포함되어 있다.

재즈 4중주단 라디우스(Radius)의 음악 앨범 제목이기도 하며, 앨범 표지에는 아녜시의 마녀 곡선의 작도 이미지가 담겨 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Wolfram MathWorld, Witch of Agnesi https://mathworld.wo[...]
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_[3] 서적 Fermat’s Enigma. The quest to solve the world’s greatest mathematical problem Walker Books
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_[36] 간행물 Correction and Additions for "Maria Gaetana Agnesi"
_[37] 서적 Curves and their Properties https://files.eric.e[...] National Council of Teachers of Mathematics
_[38] 서적 岩波数学公式I
_[39] 웹사이트 http://www.mathcurve[...]
_[40] 서적 Women in Mathematics
_[41] 서적 Fermat's Enigma 新潮社
_[42] 서적 The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes

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