완전 함자

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 일반화
참조

1. 개요

완전 함자는 아벨 범주 사이의 가법 함자 중, 짧은 완전열을 보존하는 함자를 의미한다. 왼쪽 완전 함자는 짧은 완전열의 왼쪽 완전성을 보존하는 함자이며, 오른쪽 완전 함자는 짧은 완전열의 오른쪽 완전성을 보존하는 함자이다. 함자가 왼쪽 완전성과 오른쪽 완전성을 모두 만족하면 완전 함자라고 한다. 완전 함자는 동치, 쌍대성, 사영 대상과 관련된 Hom 함자, 쌍대 공간, 층의 대역 단면 함자, 텐서 곱 함자, 평가 함자 등 다양한 예시를 가지며, 일반 범주에서도 정의될 수 있다.

2. 정의

아벨 범주 $\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 가 주어졌다고 하자. $\mathcal C$ 에서 $\mathcal D$ 로 가는 함자 중, 아벨 군의 구조를 보존하는 함자를 '''가법 함자'''(additive functor^영어)라고 한다. 구체적으로, 함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 가 가법 함자라는 것은 모든 대상 $A,B\in\mathcal C$ 에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 $F|_{\hom(A,B)}\colon\hom(A,B)\to\hom(F(A),F(B))$ 가 아벨 군의 군 준동형임을 의미한다.

이러한 가법 함자가 완전열, 특히 짧은 완전열을 얼마나 잘 보존하는지에 따라 여러 종류의 '완전성'이 정의된다. 대표적으로 '''완전 함자'''(exact functor^영어), '''왼쪽 완전 함자'''(left-exact functor^영어), '''오른쪽 완전 함자'''(right-exact functor^영어), 그리고 '''반 완전 함자'''(half-exact functor^영어)가 있다.

함자가 공변인지 반변인지에 따라 완전성의 구체적인 정의 방식이 달라진다. 각 완전성의 자세한 정의와 성질은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. 완전 함자

아벨 범주

\mathcal C

와

\mathcal D

가 주어졌다고 하자.

\mathcal C

에서

\mathcal D

로 가는 '''가법 함자'''(additive functor^영어)는 다음 성질을 만족시키는 함자

F\colon\mathcal C\to\mathcal D

이다.

(가법성) 모든 대상 $A,B\in\mathcal C$ 에 대하여, $F|_{\hom(A,B)}\colon\hom(A,B)\to\hom(F(A),F(B))$ 는 아벨 군의 군 준동형이다.

아벨 범주

\mathcal C

와

\mathcal D

사이의 공변 가법 함자

F\colon\mathcal C\to\mathcal D

(따라서

F(0)=0

)에 대하여,

\mathcal C

의 임의의 짧은 완전열

:

0 \to A\ \stackrel{f}{\to} \ B\ \stackrel{g}{\to} \ C \to 0

이 주어졌을 때, 함자

F

는 다음과 같이 정의된다.

'''완전 함자'''(exact functor^영어): $0 \to F(A) \ \stackrel{F(f)}{\longrightarrow} \ F(B)\ \stackrel{F(g)}{\longrightarrow} \ F(C) \to 0$ 가 $\mathcal D$ 에서 짧은 완전열을 이룬다.
'''왼쪽 완전 함자'''(left-exact functor^영어): $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ 가 $\mathcal D$ 에서 완전열을 이룬다.
'''오른쪽 완전 함자'''(right-exact functor^영어): $F(A)\to F(B)\to F(C)\to0$ 가 $\mathcal D$ 에서 완전열을 이룬다.
'''반 완전 함자'''(half-exact functor^영어): $F(A)\to F(B)\to F(C)$ 가 $\mathcal D$ 에서 완전열을 이룬다. 이는 위상적 반 완전 함자(topological half-exact functor^영어)의 개념과는 다르다.

아벨 범주

\mathcal C

와

\mathcal D

사이의 반변 가법 함자

G\colon\mathcal C\to\mathcal D

에 대하여,

\mathcal C

의 임의의 짧은 완전열

:

0 \to A\ \stackrel{f}{\to} \ B\ \stackrel{g}{\to} \ C \to 0

이 주어졌을 때, 함자

G

는 다음과 같이 정의된다.

'''완전 함자'''(exact functor^영어): $0 \to G(C) \to G(B) \to G(A) \to 0$ 가 $\mathcal D$ 에서 짧은 완전열을 이룬다.
'''왼쪽 완전 함자'''(left-exact functor^영어): $0 \to G(C) \to G(B) \to G(A)$ 가 $\mathcal D$ 에서 완전열을 이룬다.
'''오른쪽 완전 함자'''(right-exact functor^영어): $G(C) \to G(B) \to G(A) \to 0$ 가 $\mathcal D$ 에서 완전열을 이룬다.
'''반 완전 함자'''(half-exact functor^영어): $G(C) \to G(B) \to G(A)$ 가 $\mathcal D$ 에서 완전열을 이룬다.

함자의 완전성은 짧은 완전열뿐만 아니라 일반적인 완전열을 사용하여 동등하게 정의할 수 있다.

공변 가법 함자 $F$ 에 대하여:
* 왼쪽 완전성: $\mathcal C$ 속의 임의의 완전열 $0\to A\to B\to C$ 에 대하여, $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ 는 $\mathcal D$ 속의 완전열이다. (즉, $F$ 는 핵을 핵으로 보낸다.)
* 오른쪽 완전성: $\mathcal C$ 속의 임의의 완전열 $A\to B\to C\to0$ 에 대하여, $F(A)\to F(B)\to F(C)\to0$ 는 $\mathcal D$ 속의 완전열이다. (즉, $F$ 는 여핵을 여핵으로 보낸다.)
* 완전성: $F$ 가 왼쪽 완전 함자이고 오른쪽 완전 함자인 것과 동치이다. 또한, $\mathcal C$ 속의 임의의 완전열 $A\to B\to C$ 에 대하여, $F(A)\to F(B)\to F(C)$ 가 $\mathcal D$ 속의 완전열인 것과 동치이다.

반변 가법 함자 $G$ 에 대하여:
* 왼쪽 완전성: $\mathcal C$ 속의 임의의 완전열 $A\to B\to C\to0$ 에 대하여, $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)$ 는 $\mathcal D$ 속의 완전열이다. (즉, $G$ 는 여핵을 핵으로 보낸다.)
* 오른쪽 완전성: $\mathcal C$ 속의 임의의 완전열 $0\to A\to B\to C$ 에 대하여, $G(C)\to G(B)\to G(A)\to0$ 는 $\mathcal D$ 속의 완전열이다. (즉, $G$ 는 핵을 여핵으로 보낸다.)
* 완전성: $G$ 가 왼쪽 완전 함자이고 오른쪽 완전 함자인 것과 동치이다. 또한, $\mathcal C$ 속의 임의의 완전열 $A\to B\to C$ 에 대하여, $G(C)\to G(B)\to G(A)$ 가 $\mathcal D$ 속의 완전열인 것과 동치이다.

2. 2. 왼쪽 완전 함자

아벨 범주

\mathcal C

와

\mathcal D

사이의 가법 함자가 주어졌다고 하자.

공변 가법 함자

F\colon\mathcal C\to\mathcal D

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 '''왼쪽 완전 함자'''(left-exact functor^영어)라고 한다.

$\mathcal C$ 속의 임의의 짧은 완전열 $0\to A\to B\to C\to0$ 에 대하여, $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ 는 $\mathcal D$ 속의 완전열을 이룬다.
$\mathcal C$ 속의 임의의 완전열 $0\to A\to B\to C$ 에 대하여, $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ 는 $\mathcal D$ 속의 완전열을 이룬다. 이는 함자 $F$ 가 핵을 핵으로 보존한다는 의미이다.

반변 가법 함자

G\colon\mathcal C\to\mathcal D

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 '''왼쪽 완전 함자'''(left-exact functor^영어)라고 한다.

$\mathcal C$ 속의 임의의 짧은 완전열 $0\to A\to B\to C\to0$ 에 대하여, $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)$ 는 $\mathcal D$ 속의 완전열을 이룬다.
$\mathcal C$ 속의 임의의 완전열 $A\to B\to C\to0$ 에 대하여, $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)$ 는 $\mathcal D$ 속의 완전열을 이룬다. 이는 함자 $G$ 가 여핵을 핵으로 변환한다는 의미이다.

2. 3. 오른쪽 완전 함자

아벨 범주

\mathcal C

와

\mathcal D

사이의 가법 함자

F\colon\mathcal C\to\mathcal D

가 주어졌다고 하자.

이 함자

F

가 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면 '''오른쪽 완전 함자'''(right-exact functor^영어)라고 한다. 이 두 조건은 서로 동치이다.

$\mathcal C$ 안의 임의의 짧은 완전열 $0\to A\to B\to C\to0$ 에 대하여, $F(A)\to F(B)\to F(C)\to0$ 는 $\mathcal D$ 안의 완전열을 이룬다.
$\mathcal C$ 안의 임의의 완전열 $A\to B\to C\to0$ 에 대하여, $F(A)\to F(B)\to F(C)\to0$ 는 $\mathcal D$ 안의 완전열을 이룬다. 이는 함자 $F$ 가 여핵을 여핵으로 보존한다는 의미이다.

마찬가지로, 아벨 범주

\mathcal C

에서

\mathcal D

로 가는 반변 가법 함자

G\colon\mathcal C\to\mathcal D

가 주어졌다고 하자.

이 함자

G

가 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면 '''오른쪽 완전 함자'''(right-exact functor^영어)라고 한다. 이 두 조건은 서로 동치이다.

$\mathcal C$ 안의 임의의 짧은 완전열 $0\to A\to B\to C\to0$ 에 대하여, $G(C)\to G(B)\to G(A)\to0$ 는 $\mathcal D$ 안의 완전열을 이룬다.
$\mathcal C$ 안의 임의의 완전열 $0\to A\to B\to C$ 에 대하여, $G(C)\to G(B)\to G(A)\to0$ 는 $\mathcal D$ 안의 완전열을 이룬다. 이는 함자 $G$ 가 핵을 여핵으로 변환한다는 의미이다.

2. 4. 반변 함자의 경우

'''P'''와 '''Q'''를 아벨 범주라고 하고, ''G''가 '''P'''에서 '''Q'''로의 반변 가법 함자라고 하자. 만약

:

0 \to A\ \stackrel{f}{\to} \ B\ \stackrel{g}{\to} \ C \to 0

가 '''P'''에서 짧은 완전열일 때, ''G''는 다음과 같이 정의된다.

다음 완전열

:

0 \to G(C) \ \stackrel{G(g)}{\longrightarrow} \ G(B)\ \stackrel{G(f)}{\longrightarrow} \ G(A) \to 0

이 '''Q'''에서 완전열이면, ''G''를 '''완전 함자'''라고 한다.

다음 완전열

:

0 \to G(C) \ \stackrel{G(g)}{\longrightarrow} \ G(B)\ \stackrel{G(f)}{\longrightarrow} \ G(A)

이 '''Q'''에서 완전열이면, ''G''를 '''좌 완전 함자'''라고 한다.

다음 완전열

:

G(C) \ \stackrel{G(g)}{\longrightarrow} \ G(B)\ \stackrel{G(f)}{\longrightarrow} \ G(A) \to 0

이 '''Q'''에서 완전열이면, ''G''를 '''우 완전 함자'''라고 한다.

다음 완전열

:

G(C) \ \stackrel{G(g)}{\longrightarrow} \ G(B)\ \stackrel{G(f)}{\longrightarrow} \ G(A)

이 '''Q'''에서 완전열이면, ''G''를 '''반 완전 함자'''라고 한다.

함자가 완전성을 보존하는지 확인하기 위해 항상 짧은 완전열 전체

0 \to A \to B \to C \to 0

로 시작할 필요는 없다. 아래의 정의들은 위의 정의들과 동치이다.

''G''가 '''좌 완전'''이라는 것은, ''A''→''B''→''C''→0이 완전열일 때 0→''G''(''C'')→''G''(''B'')→''G''(''A'')가 완전열이라는 것과 필요충분조건이다. (즉, "''G''가 여핵을 핵으로 변환"하는 경우)
''G''가 '''우 완전'''이라는 것은, 0→''A''→''B''→''C''가 완전열일 때 ''G''(''C'')→''G''(''B'')→''G''(''A'')→0이 완전열이라는 것과 필요충분조건이다. (즉, "''G''가 핵을 여핵으로 변환"하는 경우)
''G''가 '''완전'''이라는 것은, ''A''→''B''→''C''가 완전열일 때 ''G''(''C'')→''G''(''B'')→''G''(''A'')가 완전열이라는 것과 필요충분조건이다.

3. 성질

함자는 좌 완전 함자이면서 동시에 우 완전 함자일 때 완전 함자라고 한다.

(공변) 함자가 좌 완전 함자인 것은 유한 극한을 극한으로 보내는 것과 동치이다. 마찬가지로, 공변 함자가 우 완전 함자인 것은 유한 쌍대극한을 쌍대극한으로 보내는 것과 동치이다. 반변 함자의 경우, 좌 완전 함자인 것은 유한 쌍대극한을 극한으로 보내는 것과 동치이며, 우 완전 함자인 것은 유한 극한을 쌍대극한으로 보내는 것과 동치이다.

좌 완전 함자가 완전 함자가 되지 못하는 정도는 그 함자의 우 유도 함자로 측정할 수 있다. 비슷하게, 우 완전 함자가 완전 함자가 되지 못하는 정도는 그 함자의 좌 유도 함자로 측정할 수 있다.

좌 완전 함자와 우 완전 함자는 수반 함자와의 관계 때문에 자주 등장한다. 함자 ''F''가 함자 ''G''의 좌 수반 함자라면, ''F''는 우 완전 함자이고 ''G''는 좌 완전 함자이다.

4. 예시

완전 함자, 좌완전 함자, 우완전 함자의 몇 가지 기본적인 예시는 다음과 같다.

아벨 범주 사이의 동치나 쌍대성은 항상 완전 함자이다. 예를 들어, 체 $K$ 에 대한 벡터 공간의 범주 $K-\operatorname{Vect}$ 에서 쌍대 공간을 취하는 함자 $\hom_K(-, K)$ 는 완전 함자이다.
Hom 함자는 대표적인 좌완전 함자이다. 아벨 범주 $\mathcal{C}$ 의 대상 $A$ 에 대해, 공변 함자 $\hom_{\mathcal{C}}(A, -)$ 와 반변 함자 $\hom_{\mathcal{C}}(-, A)$ 는 모두 좌완전하다. 이들이 완전 함자가 되는 것은 각각 $A$ 가 사영 대상이거나 단사 대상일 때, 그리고 오직 그 때뿐이다.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]
위상 공간 $X$ 위의 아벨 군의 층들로 이루어진 아벨 범주에서, 각 층 $F$ 에 그 전역 단면의 군 $F(X)$ 를 대응시키는 함자는 좌완전하다.
환 $R$ 위의 오른쪽 $R$ -가군 $T$ 가 주어졌을 때, 왼쪽 $R$ -가군 $X$ 에 $T \otimes_R X$ 를 대응시키는 텐서 곱 함자는 우완전 함자이다. 이 함자가 완전 함자가 되는 것은 $T$ 가 평탄 가군일 때, 그리고 오직 그 때뿐이다.
아벨 범주 $\mathcal{A}$ 와 작은 범주 $\mathcal{C}$ 에 대해, 함자 범주 $\mathcal{A}^{\mathcal{C}}$ 는 아벨 범주이다. $\mathcal{C}$ 의 대상 $X$ 에 대해, 함자를 $X$ 에서 평가하는 함자 $E_X \colon \mathcal{A}^{\mathcal{C}} \to \mathcal{A}$ 는 완전 함자이다.

4. 1. 동치/쌍대성

아벨 범주 사이의 동치나 쌍대성은 항상 완전 함자이다.

예를 들어, 체

K

에 대한 벡터 공간들의 범주

K-\operatorname{Vect}

를 생각해보자. 각 벡터 공간

V

에 그 쌍대 공간

:

V^* = \hom_K(V, K)

을 대응시키는 연산은 반변 함자

:

\hom_K(-, K) \colon K-\operatorname{Vect} \to K-\operatorname{Vect}^{\operatorname{op}}

를 정의한다. 이 함자는

K-\operatorname{Vect}

와 그 쌍대 범주

K-\operatorname{Vect}^{\operatorname{op}}

사이의 쌍대성을 나타내며, 완전 함자이다. 이것이 완전 함자인 이유는 여러 방식으로 설명할 수 있다. 예를 들어, 체

K

는 자기 자신 위의 단사

K

-가군이기 때문으로 설명하거나, 또는

K

-벡터 공간의 모든 짧은 완전열은 분할하고 모든 가법 함자는 분할열을 분할열로 보내기 때문이라고 설명할 수도 있다.

4. 2. Hom 함자

Hom 함자는 좌완전 함자의 가장 기본적인 예시 중 하나이다.

'''A'''가 아벨 범주이고 ''A''가 '''A'''의 대상이라고 하자.

공변 Hom 함자 ''F''_''A''(''X'') = Hom_'''A'''(''A'',''X'')는 '''A'''에서 아벨 군의 범주 '''Ab'''로 가는 공변 좌완전 함자를 정의한다.^[1]^[5] 이 함자 ''F''_''A''가 완전 함자가 되는 것은 ''A''가 사영 대상일 때, 그리고 오직 그 때뿐이다.^[2]^[6]
반변 Hom 함자 ''G''_''A''(''X'') = Hom_'''A'''(''X'',''A'')는 반변 좌완전 함자이다.^[3]^[7] 이 함자 ''G''_''A''가 완전 함자가 되는 것은 ''A''가 단사 대상일 때, 그리고 오직 그 때뿐이다.^[4]^[8]

예를 들어, ''k''가 체이고 ''V''가 ''k'' 위의 벡터 공간일 때, 쌍대 공간 ''V''* = Hom_''k''(''V'',''k'')는 ''k''-벡터 공간의 범주에서 자기 자신으로 가는 반변 완전 함자를 생성한다. 이것이 완전 함자인 이유는 ''k''가 단사 ''k''-가군이기 때문이다. 다른 관점에서는, 모든 ''k''-벡터 공간의 짧은 완전열은 분할되고, 모든 가법 함자는 분할열을 분할열로 보내기 때문이라고 설명할 수도 있다.

다른 예로, ''X''가 위상 공간이라고 하자. ''X'' 위의 아벨 군의 층들로 이루어진 아벨 범주를 생각할 수 있다. 이 범주에서 각 층 ''F''에 그 전역 단면의 군 ''F''(''X'')을 대응시키는 공변 함자는 좌완전 함자이다.

4. 3. 쌍대 공간

체

k

위의 벡터 공간

V

를 생각하자.

V

의 쌍대 공간

V^*

는 선형 사상들의 공간

\operatorname{Hom}_k(V, k)

로 정의된다.

각 벡터 공간

V

에 그 쌍대 공간

V^*

를 대응시키는 과정은

k

-벡터 공간의 범주

k\text{-Vect}

에서 그 쌍대 범주

(k\text{-Vect})^{\operatorname{op}}

로 가는 반변 함자

:

\operatorname{Hom}_k(-, k) \colon k\text{-Vect} \to (k\text{-Vect})^{\operatorname{op}}

를 정의한다.

이 쌍대 공간 함자는 완전 함자이다. 즉, 짧은 완전열을 보존한다. 이것은 다음 두 가지 방법으로 설명될 수 있다.

# 체

k

는 자기 자신 위의 단사

k

-가군이다. 반변 Hom 함자

\operatorname{Hom}(-, A)

는 대상

A

가 단사 대상일 때 완전 함자가 되므로,^[4]^[8]

\operatorname{Hom}_k(-, k)

는 완전 함자이다.

# 또는, 벡터 공간의 모든 짧은 완전열은 분할 가능하다. 가법 함자는 분할 가능한 짧은 완전열을 항상 (분할 가능한) 짧은 완전열로 보내므로, 쌍대 공간 함자는 완전 함자이다.

4. 4. 층의 대역 단면 함자

''X''가 위상 공간일 때, ''X'' 위의 아벨 군의 층들로 이루어진 아벨 범주를 생각할 수 있다. 이 범주에서 각 층 ''F''에 그 대역 단면의 군 ''F''(''X'')를 대응시키는 함자는 좌완전 함자이다.

4. 5. 텐서 곱 함자

환 ''R''과 오른쪽 ''R''-가군 ''T''가 주어졌을 때, 텐서 곱 연산을 사용하여 왼쪽 ''R''-가군의 범주에서 아벨 군의 범주 '''Ab'''로 가는 함자 ''H''_''T''를 정의할 수 있다. 즉, ''H''_''T''(''X'') = ''T'' ⊗ ''X''이다. 이 함자는 공변 우완전 함자이다. 이는 왼쪽 ''R''-가군의 완전열 ''A'' → ''B'' → ''C'' → 0이 주어지면, 이에 대응하는 아벨 군의 열 ''T'' ⊗ ''A'' → ''T'' ⊗ ''B'' → ''T'' ⊗ ''C'' → 0 또한 완전열이 된다는 의미이다.

함자 ''H''_''T''는 ''T''가 평탄 가군일 때, 그리고 오직 그 경우에만 완전 함자가 된다. 예를 들어, 유리수의 집합

\mathbb{Q}

는 정수환

\mathbb{Z}

위의 평탄 가군이다. 따라서

\mathbb{Z}

-가군에

\mathbb{Q}

를 텐서 곱하는 연산은 완전 함자이다. 이를 증명하려면

\mathbb{Z}

-가군의 단사 사상

i: M \to N

에 대해, 텐서 곱으로 유도된 사상

M \otimes \mathbb{Q} \to N \otimes \mathbb{Q}

가 단사임을 보이면 된다.

M \otimes \mathbb{Q}

의 원소

m \otimes q

가 0이 되는 것은

m

이 비틀림 원소이거나

q=0

일 때뿐이다. 만약

m \otimes q

가 사상의 커널에 속한다면, 즉

i(m) \otimes q = 0

이라면

i(m)

은 비틀림 원소이다.

i

는 단사이므로

m

역시 비틀림 원소이고, 따라서

m \otimes q = 0

이다. 그러므로

M \otimes \mathbb{Q} \to N \otimes \mathbb{Q}

는 단사 사상이다.

반대로, ''T''가 평탄 가군이 아니면 텐서 곱 함자는 일반적으로 좌완전하지 않다. 예를 들어,

\mathbf{Z}

-가군의 짧은 완전열

5\mathbf{Z} \hookrightarrow \mathbf{Z} \twoheadrightarrow \mathbf{Z}/5\mathbf{Z}

를 생각해보자. 여기에

\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}

를 텐서 곱하면

5\mathbf{Z} \otimes (\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}) \to \mathbf{Z} \otimes (\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}) \to (\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}) \otimes (\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}) \to 0

이라는 열을 얻는다. 그런데

\mathbf{Z} \otimes (\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}/5\mathbf{Z}

이고

5\mathbf{Z} \otimes (\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}) \cong 5\mathbf{Z}/25\mathbf{Z} \cong \mathbf{Z}/5\mathbf{Z}

이다. 첫 번째 사상은

5z \otimes a \mapsto z \otimes 5a = z \otimes 0 = 0

이므로 영사상이다. 하지만

5\mathbf{Z} \otimes (\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}/5\mathbf{Z}

는 영 가군이 아니므로, 이 열은

5\mathbf{Z} \otimes (\mathbf{Z}/5\mathbf{Z})

에서 완전하지 않다. 이는

\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}

가 평탄

\mathbf{Z}

-가군이 아니기 때문이다.

텐서 곱 함자의 우완전성은 다음 정리로 공식화될 수 있다.
정리: 곱셈 항등원을 갖는 가환환 ''R''에 대해 ''A'', ''B'', ''C'', ''P''를 ''R''-가군이라 하자. 만약

A \ \stackrel{f}{\to} \ B\ \stackrel{g}{\to} \ C \to 0

이 ''R''-가군의 짧은 완전열이라면,

:

A\otimes_{R} P \stackrel{f \otimes P}\to B\otimes_{R} P \stackrel{g \otimes P}\to C \otimes_{R} P \to 0

또한 ''R''-가군의 짧은 완전열이다. 여기서

f \otimes P(a \otimes p):=f(a) \otimes p

이고

g \otimes P(b \otimes p):=g(b) \otimes p

이다.

이 정리로부터 유용한 따름정리를 얻을 수 있다. 만약 ''I''가 ''R''의 아이디얼이라면,

P \otimes_{R} (R/I) \cong P/IP

이다.
증명: ''R''-가군의 완전열

I \stackrel{f}\to R \stackrel{g}\to R/I \to 0

(여기서 ''f''는 포함 사상, ''g''는 사영 사상)을 생각하자. 위 정리에 의해 다음 열도 짧은 완전열이다.

:

I\otimes_{R} P \stackrel{f \otimes P}\to R\otimes_{R} P \stackrel{g \otimes P}\to R/I \otimes_{R} P \to 0

완전성에 의해,

R/I \otimes_{R} P \cong (R\otimes_{R} P)/\mathrm{Im}(f\otimes P)

이다. ''f''가 포함 사상이므로

\mathrm{Im}(f\otimes P)

는

I \otimes_R P

의 상과 같다.

표준적인 동형 사상

R \otimes_R P \cong P

(정의:

r \otimes p \mapsto rp

) 와

I \otimes_R P \cong IP

(정의:

i \otimes p \mapsto ip

) 를 이용하면,

R/I \otimes_{R} P \cong P / IP

임을 알 수 있다.

이 따름정리의 예로,

P = \mathbf{Z}[1/2] := \{a/2^k : a, k \in \mathbf{Z}\}

일 때,

P \otimes_{\mathbf{Z}} (\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}) \cong P/mP

임을 보일 수 있다. 더 나아가,

m = 2^n k

(단, ''k''는 홀수) 라고 하면

P/mP \cong P/kP

임을 보일 수 있다. 예를 들어 ''m''=12일 경우,

12 = 2^2 \cdot 3

이므로

k=3

이다.

P \otimes_{\mathbf{Z}} (\mathbf{Z}/12\mathbf{Z}) \cong P/3P

가 된다.

4. 6. 평가 함자

'''A'''가 아벨 범주이고 '''C'''가 임의의 작은 범주일 때, '''C'''에서 '''A'''로 가는 모든 함자로 구성된 함자 범주 '''A'''^'''C'''를 생각할 수 있다. 이 함자 범주 '''A'''^'''C''' 역시 아벨 범주가 된다. 이때, '''C'''의 임의의 대상 ''X''에 대해, ''X''에서의 평가로 정의되는 함자 ''E''_''X'' : '''A'''^'''C''' → '''A'''는 완전 함자이다.

5. 일반화

완전 함자의 개념은 아벨 범주에만 한정되지 않고, 더 넓은 범위의 범주로 확장되어 일반화될 수 있다. 이러한 일반화는 수학의 여러 분야에서 중요한 의미를 가진다.

대표적인 예로 그로텐디크는 SGA4에서 유한 극한과의 교환 법칙을 이용하여 좌 완전 함자와 우 완전 함자를 일반적인 범주에 대해 정의했다. 또한 퀼렌의 완전 범주 사이의 완전 함자나 정규 범주 사이의 정규 함자 역시 기존 아벨 범주에서의 완전 함자 개념을 일반화한 것이다.

5. 1. 그로텐디크의 정의

SGA4 제1권 1절에서는 아벨 범주뿐만 아니라 일반적인 범주에 대해서도 좌 완전 함자와 우 완전 함자의 개념을 정의한다. 그 정의는 다음과 같다.

: 유한 사영 극한(각각 주입 극한)을 갖는 범주 ''C''가 있다고 하자. 이때, ''C''에서 다른 범주 ''C′''로 가는 함자 ''u''가 좌 완전(각각 우 완전)하다는 것은, ''u''가 유한 사영 극한(각각 주입 극한)과 가환함을 의미한다.

이 일반적인 정의는 추상적임에도 불구하고 유용한 결과를 제공한다. 예를 들어, SGA4 1.8절에서 그로텐디크는 범주 ''C''가 특정 조건을 만족할 때, 함자가 pro-representable 함수라는 것과 좌 완전하다는 것이 동치임을 증명했다.

또한, 퀼렌의 완전 범주 사이의 완전 함자는 여기서 다루는 아벨 범주 사이의 완전 함자를 일반화한다. 정규 범주 사이의 정규 함자 역시 때때로 완전 함자라고 불리며, 여기서 논의된 완전 함자를 일반화하는 개념이다.

5. 2. 퀼렌의 완전 범주

퀼렌의 완전 범주 사이의 완전 함자는 아벨 범주 사이의 완전 함자를 일반화한 개념이다.

5. 3. 정규 범주

정규 범주 사이의 정규 함자는 때때로 완전 함자라고 불리기도 하며, 이는 이 문서에서 다루는 완전 함자의 개념을 일반화한다.

참조

_[1] 서적 Theorem 3.1
_[2] 서적 Prop. 3.9
_[3] 서적 Theorem 3.1
_[4] 서적
_[5] 서적 Theorem 3.1
_[6] 서적 Prop. 3.9
_[7] 서적 Theorem 3.1
_[8] 서적

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