일반화 좌표

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1. 개요
2. 수학적 정의
- 2.1. 홀로노믹 구속
- 2.2. 비 홀로노믹 구속
3. 일반화 속도
- 3.1. 운동 에너지
- 3.2. 일반화 운동량
4. 제약 조건과 자유도
5. 예
6. 일반화 좌표와 가상일
참조

1. 개요

일반화 좌표는 물리학에서 계의 위치를 설명하기 위해 사용되는 좌표의 집합으로, 계의 자유도에 따라 독립적인 좌표를 선택한다. 이는 뉴턴 역학의 데카르트 좌표계와 달리 관성계일 필요가 없으며, 길이의 차원을 가지지 않는 각도 또한 일반화 좌표가 될 수 있다. 일반화 좌표는 운동의 라그랑주 방정식을 공식화하는 것을 단순화하며, 홀로노믹, 비홀로노믹 구속 조건이 있는 계를 설명하는 데 유용하다. 일반화 속도는 일반화 좌표의 시간 미분으로, 계의 동역학적 상태를 설명하는 데 사용되며, 운동 에너지를 계산하는 데 활용된다. 일반화 운동량은 일반화 좌표에 대한 정준 공액이며, 라그랑지안이 특정 좌표에 의존하지 않으면 보존된다. 이중 진자, 끈 위의 구슬, 구면 진자 등 다양한 물리 시스템의 운동을 분석하는 데 활용되며, 가상일의 원리를 통해 일반화 힘을 계산하는 데 사용된다.

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일반화 좌표
개요
유형	좌표계
분야	물리학, 수학
역사
창시자	조제프루이 라그랑주
특징
자유도	시스템의 자유도를 설명하는 데 필요한 최소한의 독립 변수 집합
응용 분야	라그랑주 역학, 해밀턴 역학, 다체계 동역학
수학적 표현
정의	일반화 좌표는 시스템의 구성을 고유하게 지정하는 매개변수 집합이다.
기호	q₁, q₂, ..., qₙ
변환	x = x(q₁, q₂, ..., qₙ, t) y = y(q₁, q₂, ..., qₙ, t) z = z(q₁, q₂, ..., qₙ, t)
라그랑주 역학	L = T - V (여기서 L은 라그랑지안, T는 운동 에너지, V는 퍼텐셜 에너지) Lagrangian: L(q₁, ..., qₙ, q̇₁, ..., q̇ₙ, t) q̇ᵢ = dqᵢ/dt (일반화 속도)
운동 방정식	d/dt (∂L/∂q̇ᵢ) - ∂L/∂qᵢ = Qᵢ
일반화 힘	Qᵢ (보존력 및 비보존력 포함)
예시
단순 진자	일반화 좌표: 각도 θ 라그랑지안: L = (1/2)ml²θ̇² + mgl cos θ

2. 수학적 정의

N개의 입자를 가진 계에서 k개의 홀로노믹 구속이 주어졌을 때, 이 계의 좌표들은 다음과 같은 제약 조건을 갖는다.

: $f_i (x_1, \; x_2, \; x_3, \; \cdots, \; x_n, \; t)\quad i = 1,\;2,\;\cdots,\;k$

이 때, 이 계의 자유도는 회전과 같은 자유도를 무시하고 병진에 의한 자유도만을 고려하면 3N-k개가 된다. 이 계를 기술하는 3N-k개의 서로 독립인 좌표 집합 {q₁, q₂, …, q_3N-k}를 '''일반화 좌표'''라 한다. 일반화 좌표는 관성계일 필요도 없고, 뉴턴 역학에서 자주 쓰는 데카르트 좌표계일 필요도 없으며, 길이의 차원을 가지지 않는 각 또한 일반화 좌표가 될 수 있다. 임의의 3N-k개의 매개변수가 계의 상태를 완벽히 표현할 수 있다면, 이 매개변수들은 일반화 좌표가 될 수 있으며, 이를 통해 기존 좌표계와 달리 운동을 분석할 수 있는 유연성을 제공한다.^[4]

일반화 좌표는 계의 배열을 정의하는 최소한의 독립 좌표를 제공하도록 선택되어 운동의 라그랑주 방정식을 공식화하는 것을 단순화한다. 그러나 유용한 일반화 좌표 집합이 종속적일 수도 있는데, 이는 하나 이상의 구속 조건 방정식에 의해 관련되어 있음을 의미한다.

일반화 좌표는 일반적으로 위치를 유일하게 지정하는 양 $q_n$ $(n=1,2,3,...)$ 으로 표현되며, 다입자계에 대해서도 번호를 이어서 사용하여 나타낸다.

예를 들어, 원주 위에 한정된 운동의 경우, 평면 위(2차원)의 운동이므로 뉴턴 역학에서 사용되는 데카르트 좌표에서는 변수가 2개 필요하지만, 원의 반지름이 정해져 있다면 이 운동의 위치는 각도 또는 원주 위의 거리 1변수만으로 나타낼 수 있다. 이것을 변수로 삼으면 편리하므로, 일반화 좌표로 사용할 수 있다.

단, 뉴턴 운동 방정식은 직선 위에 평행 투영된 좌표계 상에서만 성립하므로, 이 일반화 좌표를 직접 사용할 수 없고, 평행하지 않은 두 개의 좌표축에 평행한 방향으로 각각 필요하다.

일반화 좌표에 대한 운동 방정식은 에너지 관계를 이용한 라그랑주 방정식이다.

2. 1. 홀로노믹 구속

3차원 실수 좌표 공간의 개 입자 시스템에서, 각 입자의 위치 벡터는 직교 좌표의 3-튜플로 표현할 수 있다.

:

\begin{align}& \mathbf{r}_1 = (x_1,y_1,z_1), \\& \mathbf{r}_2 = (x_2,y_2,z_2), \\& \qquad \qquad \vdots \\& \mathbf{r}_N = (x_N,y_N,z_N)\end{align}

어떤 위치 벡터든 로 나타낼 수 있으며, 여기서 은 입자에 대한 레이블이다. '''홀로노믹 구속조건'''은 입자 에 대한 다음과 같은 형태의 '''구속 조건 방정식'''이다.^[4]

:

f(\mathbf{r}_k, t) = 0

이는 해당 입자의 3개의 공간 좌표를 서로 연결하므로 독립적이지 않다. 구속 조건은 시간에 따라 변할 수 있으므로 시간 은 구속 조건 방정식에 명시적으로 나타난다. 어떤 순간에도 하나의 좌표는 다른 좌표로 결정된다. 예를 들어, 와 이 주어지면 도 결정된다. 하나의 구속 조건 방정식은 '''하나'''의 구속 조건으로 계산된다. 개의 구속 조건이 있으면 각각 방정식이 있으므로 개의 구속 조건 방정식이 있다. 각 입자에 대해 하나의 구속 조건 방정식이 있는 것은 아니며, 시스템에 구속 조건이 없으면 구속 조건 방정식도 없다.

2. 2. 비 홀로노믹 구속

기계 시스템은 일반화 좌표와 그 도함수 모두에 제약 조건을 포함할 수 있다. 이러한 유형의 제약 조건을 비홀로노믹 제약 조건이라고 한다. 1계 비홀로노믹 제약 조건은 다음과 같은 형태를 가진다.

:

g(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = 0\,,

이러한 제약 조건의 예로는 속도 벡터의 방향을 제한하는 구르는 바퀴 또는 칼날 가장자리가 있다. 비홀로노믹 제약 조건은 일반화 가속도와 같은 고차 도함수를 포함할 수도 있다.

3. 일반화 속도

계의 상태를 기술하기 위해서는 좌표만으로는 충분하지 않으며, 입자들의 운동 상태에 대한 정보도 필요하다. 이를 위해 각 일반화 좌표의 시간에 대한 미분, 즉 일반화 속도(generalized velocity^영어) 개념을 도입한다. 일반화 속도는 다음과 같이 정의된다.

: $\dot{q}_i \equiv {d q_i \over dt}$

이 값을 알면 이후의 계의 상태를 추적할 수 있으며, 이것이 일반화 속도의 역학적 중요성이다.

일반화 좌표는 위치를 유일하게 지정하는 양 $q_n$ ( $n=1,2,3,...$ )으로 표현되며, 다입자계에서도 번호를 이어서 나타낸다. 예를 들어 반지름이 정해진 원주 위의 운동은 각도나 원주 위의 거리와 같이 하나의 변수만으로 나타낼 수 있으므로 일반화 좌표로 사용할 수 있다.

뉴턴 운동 방정식은 직선 위에 평행 투영된 좌표계에서만 성립하므로, 일반화 좌표를 직접 사용할 수 없고, 평행하지 않은 두 좌표축에 평행한 방향으로 각각 필요하다. 일반화 좌표에 대한 운동 방정식은 에너지 관계를 이용한 라그랑주 방정식이다.

3. 1. 운동 에너지

라그랑주 역학에서는 일반화 좌표로 기술되는 운동 에너지 T를 자주 구하게 된다. 하지만 이는 일반적으로 다음과 같은 일반화 속도의 이차 형식으로 나타나지 않음에 주의해야 한다.

:

T \neq \sum_i c_i \dot{q}_i^2

일반적으로 운동 에너지를 구하기 위해서는 데카르트 좌표계를 통해 먼저 운동 에너지를 구하고, 이를 일반화 좌표로 변환시켜 사용한다.^[10]

:

T =\sum_{i=1} ^N \frac {m_i}{2} \left ( \dot x_i^2 + \dot y_i^2 + \dot z_i^2 \right )

:

x_i = x_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )

:

y_i = y_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )

:

z_i = z_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )

여기서, 운동에너지를 구하기 위한 데카르트 좌표계는 항상 관성계이어야 하지만, 변환 후의 일반화 좌표는 관성계일 필요는 없다. 이 좌표 선택의 자유도가 일반화 좌표의 장점이다.

계의 총 운동 에너지는 다음과 같이 정의된다.^[10]

:

T = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^N m_k \dot{\mathbf{r}}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k\,,

여기서 ·는 내적이다. 운동 에너지는 속도 의 함수일 뿐, 좌표 자체의 함수는 아니다. 대조적으로 중요한 관찰 결과는^[11]

:

\dot{\mathbf{r}}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k = \sum_{i,j=1}^n \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right)\dot{q}_i\dot{q}_j ,

이며, 이는 운동 에너지가 일반적으로 제한 조건이 시간에 따라 변하는 경우 일반화된 속도, 좌표 및 시간의 함수임을 보여준다. 따라서 이다.

입자에 대한 제한 조건이 시간에 무관한 경우, 시간에 대한 모든 편미분은 0이 되고, 운동 에너지는 일반화된 속도에 대해 2차 동차 함수가 된다.

시간에 무관한 경우에도, 이 식은 입자 의 궤적에 대한 선소의 제곱을 취하는 것과 동등하다.

:

ds_k^2 = d\mathbf{r}_k\cdot d\mathbf{r}_k = \sum_{i,j=1}^n \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right) dq_i dq_j \,,

그리고 시간의 미분 제곱, 으로 나누어 입자 의 속도 제곱을 얻는다. 따라서 시간에 무관한 제약 조건의 경우 선소만 알면 입자의 운동 에너지를 빠르게 얻을 수 있으며, 따라서 라그랑주량을 얻을 수 있다.^[12]

2차원 및 3차원 극좌표의 다양한 경우를 살펴보면 다음과 같다.

2차원 극좌표

:

\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 \,,

3차원 원통 좌표

:

\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2 \,,

3차원 구면 좌표

:

\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta \, \dot{\varphi}^2 \,.

3. 2. 일반화 운동량

일반화 운동량은 좌표에 대해 정준적으로 공액이며, 다음과 같이 정의된다.

:

p_i =\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.

만약 라그랑지안이 어떤 좌표에 의존하지 않는다면, 오일러-라그랑주 방정식에 따라 대응하는 일반화 운동량은 보존량이 된다. 시간에 대한 미분이 0이므로 운동량은 운동의 상수임을 의미한다.

:

\frac{\partial L}{\partial q_i} =\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} =\dot{p}_i =0\,.

4. 제약 조건과 자유도

N개의 입자를 가진 계에 k개의 홀로노믹 구속이 주어지고, 이 계의 좌표들 간의 관계식이 다음과 같다고 가정하자.

: $f_i (x_1, \; x_2, \; x_3, \; \cdots, \; x_n, \; t)\quad i = 1,\;2,\;\cdots,\;k$

이 때, 이 계의 자유도는 회전과 같은 자유도를 무시하고 병진에 의한 자유도만을 고려하면 3N-k개가 된다. 이 계를 기술하는 3N-k개의 서로 독립인 좌표 집합 {q₁, q₂, …, q_3N-k}를 '''일반화 좌표'''라고 한다. 이 좌표는 관성계일 필요도 없고, 뉴턴 역학에서 자주 쓰는 데카르트 좌표계일 필요도 없다. 심지어, 길이의 차원을 가지지 않는 각 또한 일반화 좌표가 될 수 있다. 3N-k개의 매개변수가 계의 상태를 완벽히 표현할 수 있다면, 이 매개변수들은 일반화 좌표가 될 수 있으며, 이를 통해 기존 좌표계와 달리 운동 분석에 유연성을 제공한다.

일반화 좌표는 계의 배열을 정의하는 최소한의 독립 좌표를 제공하여 라그랑주 방정식을 단순화한다. 그러나 유용한 일반화 좌표 집합이 종속적일 수도 있는데, 이는 하나 이상의 구속 조건 방정식에 의해 관련되어 있음을 의미한다.^[4]

3차원 실수 좌표 공간의 N개 입자 시스템에서 각 입자의 위치 벡터는 직교 좌표의 3-튜플로 표현할 수 있다.

: $\begin{align}& \mathbf{r}_1 = (x_1,y_1,z_1), \\& \mathbf{r}_2 = (x_2,y_2,z_2), \\& \qquad \qquad \vdots \\& \mathbf{r}_N = (x_N,y_N,z_N)\end{align}$

어떤 위치 벡터든 $\mathbf{r}_k$ 로 나타낼 수 있으며, 여기서 $k$ 는 입자에 대한 레이블이다. '''홀로노믹 구속조건'''은 입자 $k$ 에 대한 다음과 같은 형태의 '''구속 조건 방정식'''이다.

: $f(\mathbf{r}_k, t) = 0$

이는 해당 입자의 3개의 공간 좌표를 서로 연결하므로 독립적이지 않다. 구속 조건은 시간에 따라 변할 수 있으므로 시간 $t$ 는 구속 조건 방정식에 명시적으로 나타난다. 어떤 순간에도 하나의 좌표는 다른 좌표로 결정된다. 예를 들어, $x_k$ 와 $z_k$ 가 주어지면 $y_k$ 도 결정된다. 하나의 구속 조건 방정식은 '''하나'''의 구속 조건으로 계산된다. $C$ 개의 구속 조건이 있으면 각각 방정식이 있으므로 $C$ 개의 구속 조건 방정식이 있다. 각 입자에 대해 하나의 구속 조건 방정식이 있는 것은 아니며, 시스템에 구속 조건이 없으면 구속 조건 방정식도 없다.

지금까지 시스템의 구성은 $3N$ 개의 양으로 정의되었지만, $C$ 개의 좌표는 각 구속 조건 방정식에서 하나의 좌표를 제거하여 없앨 수 있다. 독립 좌표의 수는 $n = 3N - C$ 이다. ( $D$ 차원에서는 원래 구성에 $ND$ 개의 좌표가 필요하며, 구속 조건에 의한 감소는 $n = ND - C$ 를 의미한다). 시스템의 구속 조건을 활용하면서 전체 시스템의 구성을 정의하는 데 필요한 최소한의 좌표 수를 사용하는 것이 이상적이다. 이러한 양을 이러한 맥락에서 '''일반화 좌표'''라고 하며, $q_j(t)$ 로 표시한다. 이것들을 $n$ -튜플로 모으는 것이 편리하다.

: $\mathbf{q}(t) = (q_1(t),\ q_2(t),\ \ldots,\ q_n(t))$

이는 시스템의 '''구성 공간'''의 한 점이다. 이들은 서로 독립적이며 각각 시간의 함수이다. 기하학적으로 이들은 직선을 따라 길이이거나 곡선을 따라 호 길이이거나 각도일 수 있으며, 반드시 직교 좌표나 다른 표준 직교 좌표일 필요는 없다. 각 자유도에 대해 하나씩 있으며, 따라서 일반화 좌표의 수는 자유도의 수인 $n$ 과 같다. 자유도는 시스템의 구성을 변경하는 양에 해당한다. 예를 들어, 진자의 각도나 철사를 따라 구슬이 이동한 호의 길이 등이 있다.

구속 조건에서 자유도만큼 많은 독립 변수를 찾을 수 있다면, 이러한 변수를 일반화 좌표로 사용할 수 있다.^[5] 입자 $k$ 의 위치 벡터 $\mathbf{r}_k$ 는 모든 $n$ 개의 일반화 좌표(그리고 그것을 통해 시간)의 함수이다.^[6]^[7]^[8]^[5]^[9]

: $\mathbf{r}_k = \mathbf{r}_k(\mathbf{q}(t)) \,,$

그리고 일반화 좌표는 구속 조건과 관련된 매개변수로 생각할 수 있다.

$\mathbf{q}$ 의 해당 시간 미분은 일반화 속도이다.

: $\dot{\mathbf{q}} = \frac{d\mathbf{q}}{dt} = (\dot{q}_1(t),\ \dot{q}_2(t),\ \ldots,\ \dot{q}_n(t))$

(양 위의 각 점은 하나의 시간 미분을 나타낸다). 속도 벡터 $\mathbf{v}_k$ 는 시간에 대한 $\mathbf{r}_k$ 의 전미분이다.

: $\mathbf{v}_k = \dot{\mathbf{r}}_k = \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\dot{q}_j \,.$

따라서 일반적으로 일반화 속도와 좌표에 따라 달라진다. 일반화 좌표와 속도의 초기값을 별도로 지정할 수 있으므로 일반화 좌표 $q_j$ 와 속도 $\dot{q}_j$ 는 '''독립 변수'''로 취급할 수 있다.

일반화 좌표는 일반적으로 위치를 유일하게 지정하는 양 $q_n$ ( $n=1,2,3,...$ )으로 표현되며, 다입자계에 대해서도 번호를 이어서 사용하여 나타낸다.

예를 들어, 원주 위에 한정된 운동을 예로 들면, 이것은 일반적으로 평면 위(2차원)의 운동이므로, 뉴턴 역학에서 사용되는 데카르트 좌표에서는 변수가 2개 필요하지만, 원의 반지름이 정해져 있다면 이 운동의 위치는 각도 또는 원주 위의 거리 1변수만으로 나타낼 수 있다. 이것을 변수로 삼으면 편리하므로, 일반화 좌표로 사용할 수 있다.

단, 뉴턴 운동 방정식은 직선 위에 평행 투영된 좌표계 상에서만 성립하므로, 이 일반화 좌표를 직접 사용할 수 없고, 평행하지 않은 두 개의 좌표축에 평행한 방향으로 각각 필요하다.

5. 예

평면 위에서 운동하는 이중 진자는 데카르트 좌표계를 사용하면, $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ 와 같이 네 개의 좌표가 필요하다. 하지만 이 운동의 자유도는 2이므로, 일반화 좌표를 사용하면 더 편리하게 운동을 기술할 수 있다. 보통 이 문제를 기술하기 위해 오른쪽 그림과 같이 각 $\theta_1$, $\theta_2$를 일반화 좌표로 사용한다. 그에 관계된 변환식은 다음과 같다.

:

\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace L_1\sin\theta_1,  L_1\cos\theta_1 \rbrace

:

\lbrace x_2, y_2 \rbrace = \lbrace L_1\sin\theta_1+L_2\sin\theta_2,   L_1\cos\theta_1+L_2\cos\theta_2 \rbrace

일반화 좌표는 일반적으로 위치를 유일하게 지정하는 양 $q_n$ ($n=1,2,3,...$)으로 표현되며, 다입자계에 대해서도 번호를 이어서 사용하여 나타낸다.

예를 들어, 원주 위에 한정된 운동은 평면 위(2차원)의 운동이므로, 뉴턴 역학에서 사용되는 데카르트 좌표에서는 변수가 2개 필요하지만, 원의 반지름이 정해져 있다면 각도 또는 원주 위의 거리 1변수만으로 나타낼 수 있다.

뉴턴 운동 방정식은 직선 위에 평행 투영된 좌표계 상에서만 성립하므로, 일반화 좌표를 직접 사용할 수 없고, 평행하지 않은 두 개의 좌표축에 평행한 방향으로 각각 필요하다. 일반화 좌표에 대한 운동 방정식은 에너지 관계를 이용한 라그랑주 방정식이다.

5. 1. 끈 위에서 움직이는 구슬

끈 위에서 움직이는 구슬은 자유도가 1이므로 일반화 좌표를 사용하면 매우 쉽게 운동을 기술할 수 있다. 끈 위의 기준점으로부터 구슬까지 끈을 따라 잰 거리 l을 일반화 좌표로 사용하면, 3차원 좌표를 써서 복잡하게 풀어야 할 문제가 1차원 문제로 간단해진다.

2차원 공간에서 중력만 작용하는 마찰 없는 와이어 위에서 미끄러지는 구슬의 경우, 구슬에 대한 구속 조건은 형태로 표현할 수 있다. 여기서 구슬의 위치는 로 나타낼 수 있으며, 는 와이어의 어떤 점으로부터의 호 길이 매개변수이다. 이는 시스템에 대한 적절한 일반화 좌표 선택이다. 구슬의 위치는 하나의 숫자 로 매개변수화할 수 있으며, 구속 방정식은 두 좌표 와 를 연결하기 때문에(하나가 다른 하나로 결정됨) 두 개의 좌표 대신 하나의 좌표만 필요하다. 구속력은 와이어가 구슬을 와이어 위에 유지하기 위해 구슬에 작용하는 반작용력이며, 비구속 외력은 구슬에 작용하는 중력이다.^[1]

와이어가 구부러짐으로써 시간에 따라 모양이 변한다고 가정해 보면, 구속 방정식과 입자의 위치는 각각 다음과 같다.

:

f(\mathbf{r}, t) = 0 \,,\quad \mathbf{r} = (x(s, t), y(s, t))

이제 와이어의 모양이 변함에 따라 좌표가 변하기 때문에 시간 에 따라 달라진다. 시간은 좌표를 통해 암시적으로 그리고 구속 방정식에 명시적으로 나타난다.^[1]

5. 2. 임의의 면 위에서 움직이는 물체

임의의 면 위에서 움직이는 물체의 운동은 3차원 상에서 이루어지지만 2개의 자유도를 가지고 있다. 구 위에서 움직이는 물체를 생각해보면, 구면 좌표계의 각 좌표 θ, φ를 변수로 사용하는 것이 좋다. 나머지 좌표 r은 계의 홀로노믹 구속에 의해 쉽게 없어진다.

5. 3. 단순 진자

단순 진자는 회전축에 매달린 질량 M이 반지름 L의 원 위에서 움직이도록 제한되는 시스템이다.^[13]^[14] 이 시스템에서 일반화 좌표와 데카르트 좌표를 사용하여 움직임을 나타낼 수 있다.

질량의 위치는 좌표 벡터 '''r''' = (''x'', ''y'')로 정의되며, ''y''는 수직 방향이다. 좌표 ''x''와 ''y''는 다음 원의 방정식에 의해 제한된다.

:''f''(''x'', ''y'') = ''x''²+''y''² - L²=0,

이는 M의 움직임을 제한하고, 속도 성분에 대한 제약 조건도 제공한다.

:

이제 M의 수직 방향으로부터의 각도 위치를 정의하는 매개변수 θ를 도입하면, 좌표 ''x''와 ''y''는 다음과 같이 표현된다.

:'''r''' = (''x'', ''y'') = (''L''sinθ, -''L''cosθ).

θ를 사용하면 원의 방정식에 의한 제약 조건을 피할 수 있다.

질량 m에 작용하는 중력은 데카르트 좌표로 다음과 같이 표현된다.

:'''F'''=(0,-mg),

여기서 g는 중력 가속도이다.

질량 m이 궤적 '''r'''을 따를 때 중력의 가상일은 다음과 같다.

:

변분 δ'''r'''은 좌표 ''x''와 ''y'' 또는 매개변수 θ로 계산할 수 있다.

:δ'''r''' = (δ''x'', δ''y'') = (''L''cosθ, ''L''sinθ)δθ.

따라서 가상일은 다음과 같이 주어진다.

:

δ''y''의 계수는 적용된 힘의 ''y'' 성분이며, δθ의 계수는 일반화 좌표 θ를 따라 일반화 힘으로 알려져 있으며, 다음과 같이 주어진다.

:

운동 에너지 T는 다음과 같다.

:

매개변수 θ를 사용하면 가상일 원리의 달랑베르 형태는 다음과 같이 표현된다.

:

이는 다음이 된다.

:

또는

:

이 공식은 단일 매개변수와 제약 방정식이 없기 때문에 하나의 방정식을 생성한다.

이는 매개변수 θ가 진자를 분석하는 데 데카르트 좌표 ''x''와 ''y''와 같은 방식으로 사용될 수 있는 일반화 좌표임을 보여준다.

5. 4. 이중 진자

'''평면 위에서 운동하는 이중 진자'''는 데카르트 좌표계를 사용하면 네 개의 좌표로 운동을 기술할 수 있다. 하지만 이 운동의 자유도는 2이기 때문에, 데카르트 좌표계보다 일반화 좌표를 사용하면 더 편리하게 운동을 기술할 수 있다.

일반화 좌표의 장점은 이중 진자 분석에서 분명해진다. 두 질량의 수직 방향으로부터의 각도 위치를 정의하는 일반화 좌표를 도입하면, 데카르트 좌표계보다 더 간결하게 운동 방정식을 유도할 수 있다.

이중 진자의 각 질량의 수직 방향으로부터의 각도 위치를 정의하는 일반화 좌표 θ₁, θ₂를 도입하면 다음과 같다.

:

\mathbf{r}_1 = (L_1\sin\theta_1, -L_1\cos\theta_1), \quad \mathbf{r}_2 = (L_1\sin\theta_1, -L_1\cos\theta_1) + (L_2\sin\theta_2, -L_2\cos\theta_2).

오일러-라그랑주 방정식은 미지의 일반화 좌표 θ₁, θ₂에 대한 두 개의 방정식을 생성한다.^[15]

:

(m_1+m_2)L_1^2\ddot{\theta}_1+m_2L_1L_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_2-\theta_1) + m_2L_1L_2\dot{\theta_2}^2\sin(\theta_1-\theta_2) = -(m_1+m_2)gL_1\sin\theta_1,

:

m_2L_2^2\ddot{\theta}_2+m_2L_1L_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_2-\theta_1) + m_2L_1L_2\dot{\theta_1}^2\sin(\theta_2-\theta_1)=-m_2gL_2\sin\theta_2.

5. 5. 구면 진자

6. 일반화 좌표와 가상일

가상일의 원리는 계가 정적 평형 상태에 있으면, 이 상태에서 계의 모든 가상 변위에 대해 작용하는 힘의 가상일이 0이라는 것을 나타낸다. 즉, 모든 변분 δ'''r'''에 대해 δ''W'' = 0이다.^[16] 일반좌표로 표현하면, 이것은 모든 가상 변위에 대한 일반화된 힘이 0이라는 조건과 같다. 즉, ''F'' = 0이다.

계에 작용하는 힘을 '''F''' (''j'' = 1, 2, …, ''m'')라고 하고, 이 힘들이 데카르트 좌표 '''r''' (''j'' = 1, 2, …, ''m'')를 가진 점에 작용한다고 가정하면, 평형 위치에서의 가상 변위에 의해 생성되는 가상일은 다음과 같이 주어진다.

: $\delta W = \sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \delta\mathbf{r}_j.$

여기서 δ'''r''' (''j'' = 1, 2, …, ''m'')는 물체의 각 점의 가상 변위를 나타낸다.

이제 각 δ'''r'''이 일반좌표 ''q'' (''i'' = 1, 2, …, ''n'')에 의존한다고 가정하면,

: $\delta \mathbf{r}_j = \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_1} \delta{q}_1 + \ldots + \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_n} \delta{q}_n,$

이고

: $\delta W = \left(\sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_1}\right) \delta{q}_1 + \ldots + \left(\sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_n}\right) \delta{q}_n.$

''n'' 항

: $F_i = \sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_i},\quad i=1,\ldots, n,$

은 계에 작용하는 일반화된 힘이다. 케인(Kane)^[17]은 이 일반화된 힘을 시간 미분의 비율로도 표현할 수 있음을 보였다.

: $F_i = \sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{v}_j}{\partial \dot{q}_i},\quad i=1,\ldots, n,$

여기서 '''v'''는 힘 '''F'''의 작용점의 속도이다.

임의의 가상 변위에 대해 가상일이 0이 되려면, 각 일반화된 힘이 0이어야 한다. 즉,

: $\delta W = 0 \quad \Rightarrow \quad F_i =0, i=1,\ldots, n.$

참조

_[1] 서적 https://books.google[...]
_[2] 서적 Fundamentals of multibody dynamics: theory and applications https://books.google[...] Springer
_[3] 서적 Mechanics: From Newton's Laws to Deterministic Chaos https://books.google[...] Springer
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 문서 Some authors e.g. Hand & Finch take the form of the position vector for particle {{mvar|k}}, as shown here, as the condition for the constraint on that particle to be holonomic.
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적 Principles of Dynamics Prentice Hall
_[14] 웹사이트 Newtonian Dynamics http://farside.ph.ut[...]
_[15] 웹사이트 Double Pendulum http://scienceworld.[...] 2007-00-00
_[16] 서적
_[17] 서적 Dynamics: theory and applications McGraw-Hill

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