전파 인자

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1. 개요
2. 비상대론적 전파 인자
3. 상대론적 전파 인자
4. 전파 인자와 파인만 도형
5. 관련 특이 함수
참조

1. 개요

전파 인자는 양자장론에서 입자의 이동을 설명하는 데 사용되는 수학적 표현이다. 비상대론적, 상대론적 전파 인자로 나뉘며, 입자가 한 시점에서 다른 시점으로 이동할 확률 진폭을 나타낸다. 전파 인자는 슈뢰딩거 방정식, 클라인-고든 방정식 등의 그린 함수로 정의되며, 시간 변화 연산자, 경로 적분, 파인만 도형 등 다양한 방법으로 표현된다. 파인만 도형을 통해 입자 간의 상호작용을 계산하는 데 활용되며, 가상 입자의 개념을 포함한다. 또한, 디랙, 벡터 입자 등 다양한 입자에 대한 전파 인자가 존재하며, 게이지 이론에서 게이지 고정에 따라 전파 인자의 형태가 달라진다.

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전파 인자
개요
종류	양자장론에서의 운동량 공간에서의 그린 함수
설명	입자가 특정 시공간 지점에서 다른 시공간 지점으로 이동할 확률 진폭
관련 개념	파인만 다이어그램, 경로 적분 공식화, 장, 입자
정의
정의	두 점 사이의 모든 가능한 경로를 합산하여 얻는 함수
수학적 표현
일반적인 표현	G(x, y) (x에서 y로의 전파)
자유 스칼라 장 전파 인자	G(x, y) = ∫ d^4p / (2π)^4 e^(-ip(x-y)) / (p^2 - m^2 + iε)
응용
파인만 다이어그램	파인만 다이어그램 계산에 사용
LSZ 축약 공식	LSZ 축약 공식에 사용
관련 학자
관련 학자	리처드 파인만

2. 비상대론적 전파 인자

비상대론적 양자역학에서 전파 인자는 어떤 시점의 공간 위치에서 이후 시점의 위치로 이동하는 기본 입자의 확률 진폭을 나타낸다. 전파 인자는 슈뢰딩거 방정식의 그린 함수(기본 해)이다. 즉, 계의 해밀토니안을 H라고 할 때, 전파 인자 K(x,t;x',t')는 다음 방정식을 만족한다.^[3]

: $\left( H_x - i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \right) K(x,t;x',t') = -i\hbar \delta(x-x')\delta(t-t')$

여기서 $H_x$ 는 x 좌표로 기술된 해밀토니안이고, $\delta(x)$ 는 디랙 델타 함수이다.

이를 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

: $K(x,t;x',t') = \langle x | \hat{U}(t,t') | x'\rangle$

여기서 $\hat{U}(t,t')$ 는 시간 t'에서의 상태를 시간 t의 상태로 만드는 계의 유니타리 시간 발전 연산자이다.

양자역학의 전파 인자는 경로 적분 공식을 사용하여 찾을 수도 있다.

: $K(x,t;x',t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q},q,t) dt\right] D[q(t)]$

여기서 경로 적분의 경계 조건은 $q(t)=x$ , $q(t')=x'$ 이다. 또한 $L$ 은 계의 라그랑지안을 나타낸다. 이 더해진 경로는 시간에 의해서만 진행된다.

전파 인자를 사용하면 초기 파동 함수와 시간 간격을 통해 시스템의 파동 함수를 구할 수 있다. 새로운 파동 함수는 다음과 같다.

: $\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t') K(x,t; x', t') dx'.$

만약 $K(x,t;x',t')$ 가 차이 $x-x'$ 에만 의존한다면, 이 식은 초기 상태와 전파 인자의 합성곱이 된다. 시간 이동 불변계에 대해, 전파 인자는 시간의 차이 $(t-t')$ 에만 의존하므로, 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t') ~.$

2. 1. 정의

파동 방정식

:

\hat O\psi(x,t)=0

을 따르는 장

\psi(x,t)

를 생각할 때, 여기서

\hat O

는

x

와

t

에 대한 미분 연산자이다. 이때, 전파인자

K(x,t;x',t')

는 다음을 만족한다.

:

\hat OK(x,t;x',t')=-\delta(x-x')\delta(t-t')

.

즉 파동 방정식 연산자의 그린 함수다. 이는 간혹 유일하지 않을 수 있는데, 이 경우 적절한 경계 조건을 가한다.

비상대론적 입자는 슈뢰딩거 방정식을 따르므로, 그 전파인자는 슈뢰딩거 방정식의 그린 함수이다. 계의 해밀토니안을

H

로 쓰면, 입자가

x',t'

에서

x,t

로 이동할 확률진폭을 나타내는 전파인자

K(x,t; x',t')

는 다음을 만족한다.

:

\left(-iH/\hbar-\frac{\partial}{\partial t} \right) K(x,t;x',t') =-i \hbar\delta(x-x')\delta(t-t')

.

따라서, 시간 변화 연산자

:

U(t,t')=\exp\left(-i/\hbar\int_t^{t'}H\;dt\right)

에 대하여 다음을 만족한다.

:

K(x,t;x',t') = \langle x | \hat{U}(t,t') | x'\rangle

즉, 전파인자는 시간 변화에 대한 확률 진폭이다.

초기 상태가 주어지면, 그 시간 변화를 전파 인자로 나타낼 수 있다.

:

\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t' ) K(x,t; x', t') dx'

전파 인자를 경로 적분으로 정의할 수도 있다. 계의 라그랑지언

L

이 주어지면,

:

K(x,t;x',t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q},q,t) dt\right] D[q(t)]

.

여기서 경계조건은

q(t)=x, q(t')=x'

이다.

비상대론적 양자역학에서 전파 인자는 기본 입자가 한 시점(t')의 한 공간 점(x')에서 나중 시점(t)의 다른 공간 점(x)으로 이동할 확률 진폭을 제공한다.^[3]

그린 함수 G는 슈뢰딩거 방정식에 대한 함수이며, 다음을 만족한다.

G(x, t; x', t') = \frac{1}{i\hbar} \Theta(t - t') K(x, t; x', t')

\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - H_x \right) G(x, t; x', t') = \delta(x - x') \delta(t - t'),

여기서

H_x

는 해밀토니안을,

\delta(x)

는 디랙 델타 함수를,

\Theta(t)

는 헤비사이드 계단 함수를 나타낸다.

2. 2. 자유 입자의 전파 인자

비상대론적 입자는 슈뢰딩거 방정식을 따르며, 그 전파인자는 슈뢰딩거 방정식의 그린 함수이다. 자유 입자의 경우, 1차원 자유 입자의 전파 인자는 다음과 같이 표현된다.^[17]

:

K(x, x'; t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} dk\, e^{ik(x-x')} e^{-\frac{i\hbar k^2 t}{2m}} = \left(\frac{m}{2\pi i\hbar t}\right)^{\frac{1}{2}} e^{-\frac{m(x-x')^2}{2i\hbar t}}.

N차원의 경우, 전파 인자는 다음과 같이 각 차원의 전파 인자의 곱으로 간단하게 표현할 수 있다.

:

K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t).

2. 3. 조화 진동자의 전파 인자

시간 변환에 불변하는 시스템의 경우, 전파 인자는 시간 차에만 의존하므로 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

K(x, t; x', t') = K(x, x'; t - t').

1차원 양자 조화 진동자의 전파 인자는 Mehler kernel이며,^[4]^[5] 다음과 같다.

:

K(x, x'; t) = \left(\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sin \omega t}\right)^{\frac{1}{2}} \exp\left(-\frac{m\omega\big((x^2 + x'^2) \cos\omega t - 2xx'\big)}{2i\hbar \sin\omega t}\right).

이는 van Kortryk의 SU(1,1) 리 군 항등식을 사용하여 이전의 자유 입자 결과에서 얻을 수 있다.^[6]

:

\begin{align}&\exp \left( -\frac{it}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mathsf{p}^2 + \frac{1}{2} m\omega^2 \mathsf{x}^2 \right) \right) \\&= \exp \left( -\frac{im\omega}{2\hbar} \mathsf{x}^2\tan\frac{\omega t}{2} \right) \exp \left( -\frac{i}{2m\omega \hbar}\mathsf{p}^2 \sin(\omega t) \right) \exp \left( -\frac{im\omega }{2\hbar} \mathsf{x}^2 \tan\frac{\omega t}{2} \right),\end{align}

위 식은 연산자

\mathsf{x}

와

\mathsf{p}

에 유효하며, 이 연산자는 하이젠베르크 관계

[\mathsf{x},\mathsf{p}] = i\hbar

를 만족한다.

N

차원의 경우, 전파 인자는 곱을 통해 간단하게 얻을 수 있다.

:

K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t).

1차원 조화 진동자의 전파 인자는 Mehler kernel이다.

N

차원의 경우, 전파 인자는 다음 곱으로 쉽게 얻을 수 있다.

:

K(\vec{x},\vec{x}';t)=\prod_{q=1}^N K(x_q,x_q';t)~.

3. 상대론적 전파 인자

상대론적 전파 인자는 로렌츠 불변하며, 기본 입자가 두 시공간 사건 사이를 이동할 진폭을 나타낸다.

양자장론에서 자유(또는 상호작용하지 않는) 스칼라장 이론은 스핀-0 입자를 설명하며, 이 이론에서 여러 가지 전파 인자를 찾을 수 있다.

뒤처진 전파 인자 (retarded propagator)
앞선 전파 인자 (advanced propagator)
파인먼 전파 인자

디랙 방정식을 따르는 입자의 전파 인자나, 광자의 전파 인자도 상대론적 전파 인자에 해당한다.

3. 1. 스칼라 전파 인자

상대론적 스칼라(스핀 0) 입자의 파동 방정식은 클라인-고든 방정식이다. 따라서 전파 인자는 클라인-고든 방정식의 그린 함수이다.

위치 공간에서 전파 인자

G(x,y)

는 다음과 같다.

:

(\square_x^2 + m^2)G(x,y)=-\delta(x-y)

푸리에 변환으로, 이를 운동량 공간으로 고쳐 쓸 수 있다.

:

G(x,y) = \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2}

그러나 민코프스키 공간에서는 이 적분이 극을 가지므로, 적분을 제대로 정의할 수 없다. 따라서 분모에 무한소의 작은 값을 더하여 적분 경로를 명확히 하는데, 이에는 여러 가지 방법이 있다.

'''뒤처진 전파 인자'''(retarded propagator^영어):

:

G_{ret}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}

'''앞선 전파 인자'''(advanced propagator^영어):

:

G_{adv}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}

'''파인먼 전파 인자''':

:

\ G_F(x,y)  = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 -  m^2 + i\epsilon}

이를 운동량 공간으로 푸리에 변환하면 훨씬 더 간단하다.

:

\tilde{G}_{ret}(p) = \frac{1}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}

:

\tilde{G}_{adv}(p) = \frac{1}{(p_0-i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}

:

\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 -  m^2 + i\epsilon}.

3. 1. 1. 위치 공간 표현

상대론적 스칼라 (스핀 0) 입자의 파동 방정식은 클라인-고든 방정식이다. 따라서, 전파 인자는 클라인-고든 방정식의 그린 함수이다. 위치 공간에서 전파 인자

G(x,y)

는 다음을 만족한다.

:

(\square_x^2 + m^2)G(x,y)=-\delta(x-y)

여기서

$x, y$ 는 민코프스키 시공간의 두 점
$\square_x = \tfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$ 는 $x$ 좌표에 작용하는 달랑베르시안 연산자
$\delta(x-y)$ 는 디랙 델타 함수

4차원 민코프스키 시공간에서 전파 인자 방정식의 푸리에 변환을 수행하면 다음과 같다.

:

\,(-p^2 + m^2)G(p)=-1~.

이 식은 방정식

xf(x) = 1

의 해(소호츠키-플레멜 정리 참조)인 분포의 의미에서 역변환될 수 있다.

:

f(x) = \frac{1}{x \pm i\varepsilon} = \frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),

여기서

\varepsilon

는 0으로의 극한을 의미한다.

해는 다음과 같다.

:

G(x, y) = \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 \pm i\varepsilon},

여기서

:

p(x - y) := p_0(x^0 - y^0) - \vec{p} \cdot (\vec{x} - \vec{y})

는 4-벡터 내적이다.

위 표현에서 적분 경로를 변형하는 방법에 따라 전파 인자의 형태가 달라진다. 경로의 선택은

p_0

적분으로 표현된다.

피적분 함수는 다음 두 개의 극점을 갖는다.

:

p_0 = \pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2},

이를 피하는 방법에 따라 다른 전파 인자를 얻는다.

'''뒤처진 전파 인자'''(retarded propagator^영어):

:

G_{ret}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) - \frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} & \textrm{ if }\, x \prec y \\0 & \textrm{otherwise}\end{matrix} \right.

여기서

:

\tau_{xy}:= \sqrt{ (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2}

는

x

에서

y

간의 고유시간이고,

J_1

는 제1종 베셀함수이다.

'''앞선 전파 인자'''(advanced propagator^영어):

:

G_{adv}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = \left\{ \begin{matrix}

\frac{1}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} & \textrm{ if }\, y \prec x \\

0 & \textrm{otherwise}.\end{matrix} \right.

'''파인먼 전파 인자''':

$\ G_F(x,y)$	$\ = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\epsilon}$
	$\ = \left \{ \begin{matrix}$

3. 1. 2. 운동량 공간 표현

상대론적 스칼라 입자의 파동 방정식인 클라인-고든 방정식의 그린 함수는 푸리에 변환을 통해 운동량 공간에서 표현될 수 있다. 민코프스키 공간에서 이 적분은 극(極)을 가지므로, 적분 경로를 명확히 하기 위해 분모에 작은 값을 더하는 여러 방법이 사용된다.운동량 공간에서 뒤처진 전파 인자, 앞선 전파 인자, 파인먼 전파 인자는 다음과 같이 표현된다.:

\tilde{G}_{ret}(p) = \frac{1}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}

:

\tilde{G}_{adv}(p) = \frac{1}{(p_0-i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2}

:

\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 -  m^2 + i\epsilon}.

여기서 ε은 무한소의 작은 양수이다. 이러한 표현들은 위치 공간 전파 함수보다 훨씬 간단하며, 파인만 다이어그램 계산에 유용하다.

3. 1. 3. 인과적 전파 인자

상대론적 스칼라 (스핀 0) 입자의 파동 방정식은 클라인-고든 방정식이며, 전파 인자는 이 방정식의 그린 함수이다. 인과적 전파 인자는 이 그린 함수를 이용하여 입자의 인과율을 고려하여 정의된다.

'''뒤처진 전파 인자'''(retarded propagator^영어)는 다음과 같이 정의된다.

:

G_{ret}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) - \frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} & \textrm{ if }\, x \prec y \\0 & \textrm{otherwise}\end{matrix} \right.

여기서

:

\tau_{xy}:= \sqrt{ (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2}

는

x

에서

y

간의 고유시간이고,

J_1

는 제1종 베셀함수이다. 뒤처진 전파 인자는

y

가

x

보다 인과적으로 앞설 때만 0이 아닌 값을 갖는다.

'''앞선 전파 인자'''(advanced propagator^영어)는 다음과 같이 정의된다.

:

G_{adv}(x,y) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0 - i\epsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = \left\{ \begin{matrix}

\frac{1}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}} & \textrm{ if }\, y \prec x \\

0 & \textrm{otherwise}.\end{matrix} \right.^[7]

앞선 전파 인자는

x

가

y

보다 인과적으로 앞설 때만 0이 아닌 값을 갖는다.

이 두 전파 인자는 자유 스칼라장의 진공 기댓값과 교환자를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

G_\text{ret}(x,y) = -i \langle 0| \left[ \Phi(x), \Phi(y) \right] |0\rangle \Theta(x^0 - y^0)

:

G_\text{adv}(x,y) = i \langle 0|\left[ \Phi(x), \Phi(y) \right]|0\rangle \Theta(y^0 - x^0)

여기서

\Theta (x)

는 헤비사이드 계단 함수를,

\left[\Phi(x),\Phi(y) \right]

는 교환자를 나타낸다.

3. 1. 4. 파인만 전파 인자

1948년 리처드 파인만이 도입한 '''파인만 전파 인자'''는 다음과 같다.^[8]

$\ G_F(x,y)$	$\ = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 - m^2 + i\epsilon}$
	$\ = \left \{ \begin{matrix}$

여기서

s:= (x^0 - y^0)^2 - (\vec{x} - \vec{y})^2.

이다.

x

와

y

는 민코프스키 공간의 두 점이며, 지수 안의 점은 4차원 벡터의 내적이다.

H_1^{(1)}

는 한켈 함수이며,

K_1

은 변형 베셀 함수이다.

이 표현은 장 이론에서 자유 스칼라 장의 ''시간 정렬 곱''의 진공 기대값으로 직접 유도될 수 있다. 즉, 시공간 점의 시간 정렬이 동일하도록 항상 곱을 취한다.

:

\begin{align}G_F(x-y) & = -i \lang 0|T(\Phi(x) \Phi(y))|0 \rang \\[4pt]& = -i \left \lang 0| \left [\Theta(x^0 - y^0) \Phi(x)\Phi(y) + \Theta(y^0 - x^0) \Phi(y)\Phi(x) \right] |0 \right \rang.\end{align}

이 표현은 필드 연산자가 점

x

와

y

가 스페이스라이크 간격으로 분리될 때 서로 교환 가능하면 로렌츠 불변이다.

일반적인 유도는 로렌츠 공변 정규화를 사용하여 장 사이에 단일 입자 운동량 상태의 완전한 집합을 삽입한 다음, 적분자가 위와 같을 경우(따라서 무한소 허수 부분) 에너지 축을 따라 윤곽 적분을 통해 인과적인 시간 정렬을 제공하는 함수를 얻을 수 있음을 보여주는 것이다. 즉, 극점을 실수선에서 벗어나게 한다.^[9]

파인만 전파 인자는 양자 이론의 경로 적분 공식을 사용하여 유도할 수도 있다.

위치 공간 프로파게이터의 푸리에 변환은 운동량 공간 안의 프로파게이터로 생각할 수 있다. 운동량 공간에서 생각하는 것이 위치 공간의 프로파게이터를 생각하는 것보다 훨씬 단순하다.

운동량 공간의 프로파게이터는 (위에서 본 것처럼) 적분 경로가 적절할 때에만 제대로 이해할 수 있음에도 불구하고, 명백한 항

\epsilon

을 가지고 쓰여진다. 이

\epsilon

항은 경계 조건과 인과율이 조화됨을 의미한다.

4원 운동량

p

에 대해 운동량 공간 내의 파인만 프로파게이터는 다음과 같다.

:

\tilde{G}_F(p) = \frac{1}{p^2 -  m^2 + i\epsilon}.

파인만 다이어그램 계산을 위해, 보통 이것들에

-i

의 인자를 곱하여 나타내는 것이 편리하다(기호 변경).

3. 2. 디랙 전파 인자

디랙 방정식을 따르는 입자의 전파 인자는 다음과 같다.

:

\tilde{S}_F(p) = {1 \over \gamma^\mu p_\mu - m + i\epsilon} = {1 \over p\!\!\!/ - m + i\epsilon}

위치 공간에서는 다음과 같다.

:

S_F(x-y) = \int{{d^4 p\over (2\pi)^4} \, e^{-i p \cdot (x-y)} }\, {(\gamma^\mu p_\mu + m) \over p^2 - m^2 + i \epsilon}= \left({\gamma^\mu (x-y)_\mu \over |x-y|^5}+ {  m \over |x-y|^3} \right) J_1(m |x-y|).

1938년 폴 디랙에 의해 소개되었다.^[10]^[11]

입자가 스핀을 가지면, 그 전파자는 일반적으로 입자의 스핀 또는 편광 지수를 포함하기 때문에 다소 더 복잡해진다. 스핀 입자에 대한 전파자가 만족하는 미분 방정식은 다음과 같다.^[12]

:

(i\not\nabla' - m)S_F(x', x) = I_4\delta^4(x'-x),

여기서 는 4차원 단위 행렬이고, 파인만 슬래시 표기법을 사용한다. 이것은 시공간에서 델타 함수 소스에 대한 디락 방정식이다. 운동량 표현을 사용하면,

:

S_F(x', x) = \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]}\tilde S_F(p),

방정식은 다음과 같다.

:

\begin{align}& (i \not \nabla' - m)\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\tilde S_F(p)\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]} \\[6pt]= {} & \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}(\not p - m)\tilde S_F(p)\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]} \\[6pt]= {} & \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}I_4\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]} \\[6pt]= {} & I_4\delta^4(x'-x),\end{align}

여기서 우변에는 4차원 델타 함수의 적분 표현이 사용된다. 따라서

:

(\not p - m I_4)\tilde S_F(p) = I_4.

왼쪽에서 다음을 곱하여

(\not p + m)

(표기법에서 단위 행렬을 생략) 감마 행렬의 속성을 사용하면,

\begin{align}\not p \not p & = \tfrac{1}{2}(\not p \not p + \not p \not p) \\[6pt]& = \tfrac{1}{2}(\gamma_\mu p^\mu \gamma_\nu p^\nu + \gamma_\nu p^\nu \gamma_\mu p^\mu) \\[6pt]& = \tfrac{1}{2}(\gamma_\mu  \gamma_\nu + \gamma_\nu\gamma_\mu)p^\mu p^\nu \\[6pt]& = g_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = p_\nu p^\nu  = p^2,\end{align}

디랙 장을 나타내는 양자 전기역학의 전자에 사용되는 파인만 다이어그램에 사용되는 운동량 공간 전파자는 다음과 같은 형태를 갖는 것으로 나타났다.

:

\tilde{S}_F(p) = \frac{(\not p + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon} = \frac{(\gamma^\mu p_\mu + m)}{p^2 - m^2 + i \varepsilon}.

는 복소 -평면의 극점을 처리하는 방법에 대한 처방이다. 이는 극점을 적절하게 이동시켜 파인만 적분 경로를 자동으로 생성한다. 때로는 다음과 같이 쓰여진다.

:

\tilde{S}_F(p) = {1 \over \gamma^\mu p_\mu - m + i\varepsilon} = {1 \over \not p - m + i\varepsilon}

간단하게. 이 표현식은 에 대한 속기 표기법일 뿐임을 기억해야 한다. "행렬 분의 1"은 그렇지 않으면 무의미하다. 위치 공간에서는 다음을 얻는다.

:

S_F(x-y) = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \, e^{-i p \cdot (x-y)} \frac{\gamma^\mu p_\mu + m}{p^2 - m^2 + i \varepsilon} = \left( \frac{\gamma^\mu (x-y)_\mu}{|x-y|^5} + \frac{m}

3. 3. 벡터 입자 (게이지 보존)의 전파 인자

게이지 이론에서 게이지 보손의 전파 인자는 게이지 고정 방법에 따라 달라진다. 파인만과 슈퇴켈베르크 (Ernst Stueckelberg)가 사용한 게이지에서 광자의 전파 인자는 다음과 같다.:

{-i g^{\mu\nu} \over p^2 + i\epsilon }.

질량을 가진 벡터장의 전파 인자는 슈티켈베르크 라그랑지안으로부터 유도할 수 있다. 게이지 파라미터

\lambda

를 갖는 일반적인 형태는 다음과 같다.

:

\frac{g_{\mu\nu} - k_\mu k_\nu / m^2}{k^2-m^2 + i \epsilon} + \frac{k_\mu k_\nu /m^2}{k^2 - m^2/\lambda + i \epsilon}.

4. 전파 인자와 파인만 도형

파인만 전파자는 처음에는 이해하기 어려운 몇 가지 속성을 가지고 있다. 특히, 교환자와 달리 전파자는 광원뿔 밖에서도 ''0이 아니''지만, 공간과 같은 간격에서는 빠르게 감소한다. 입자 운동에 대한 진폭으로 해석하면 이는 가상 입자가 빛보다 빠르게 이동하는 것으로 해석된다.

고전 역학에서는 입자와 인과적 영향이 이동할 수 있는 간격이 동일하지만, 양자장론에서는 교환자가 어떤 연산자가 서로 영향을 미칠 수 있는지 결정한다. 양자장론에서 진공은 적극적인 참여자이며, 입자 수와 장 값은 불확정성 원리에 의해 관련되어 있다. 장 값은 심지어 입자 수가 ''0''일 때조차 불확실하다. 만약 국소적으로 장 Φ(''x'')|Φ(''x'')^영어의 진공 값을 측정한다면(또는 더 정확하게는, 작은 영역에서 장을 평균화하여 얻은 연산자를 측정한다면) 진공 값에서 상당한 변동을 찾을 확률 진폭이 0이 아니다. 더욱이, 장의 역학은 어느 정도 공간적으로 상관된 변동을 선호하는 경향이 있다. 따라서 공간적으로 분리된 장에 대한 0이 아닌 시간 정렬 곱은 이러한 진공 변동에서 비국소적인 상관 관계에 대한 진폭을 측정하며, 이는 EPR 상관 관계와 유사하다. 실제로 전파자는 종종 자유장에 대한 ''2점 상관 함수''라고 불린다.

양자장론의 공리에 따르면 모든 관측 가능한 연산자는 공간과 같은 분리에서 서로 교환되므로, 이러한 상관 관계를 통해 다른 EPR 상관 관계를 통해 보낼 수 있는 것보다 더 이상 메시지를 보낼 수 없다. 상관 관계는 무작위 변수에 있다.

가상 입자에 관해서는, 공간과 같은 분리에서의 전파자는 결국 진공으로 사라지는 가상 입자-반입자 쌍을 생성하거나, 진공에서 나오는 가상 쌍을 감지하기 위한 진폭을 계산하는 수단으로 생각할 수 있다. 파인만의 언어로, 이러한 생성 및 소멸 과정은 가상 입자가 시간을 거슬러 앞뒤로 이동하는 것과 동일하며, 이는 광원뿔 밖으로 이동할 수 있다. 그러나 시간을 거슬러 신호를 보내는 것은 허용되지 않는다.

전파 인자는 가장 흔하게 확률 진폭을 계산하는 데 사용되며, 이는 파인만 도형을 통해 입자 상호작용을 계산하는 데 활용된다. 일반적으로 진폭은 각 ''내부 선''에 대해 전파 인자의 인수를 받게 되는데, 이는 초기 상태 또는 최종 상태에서 입자의 입·출을 나타내지 않는 모든 선을 의미한다. 또한, 선이 만나는 모든 내부 꼭짓점에 대해 해당 이론의 라그랑지안의 상호작용 항과 형태가 유사하고, 이에 비례하는 인수를 받게 된다. 이러한 규칙들을 ''파인만 규칙''이라고 한다.

내부 선은 가상 입자에 해당한다. 전파 인자는 고전적인 운동 방정식에 의해 허용되지 않는 에너지 및 운동량 조합에 대해서도 사라지지 않으므로, 가상 입자는 껍질 벗어남이 허용된다고 말한다.

전파 인자 내 입자가 전달하는 에너지는 심지어 ''음수''일 수도 있다. 이는 입자가 한 방향으로 가는 대신, 해당 반입자가 ''반대'' 방향으로 이동하여 반대 흐름의 양의 에너지를 전달하는 경우로 해석할 수 있다. 전파 인자는 두 가지 가능성을 모두 포괄한다. 이는 페르미온의 경우, 전파 인자가 에너지와 운동량에 대해 짝함수가 아니므로 부호에 주의해야 함을 의미한다.

가상 입자는 에너지와 운동량을 보존한다. 그러나 껍질 벗어남이 가능하므로, 도형에 닫힌 ''루프''가 포함된 경우, 루프에 참여하는 가상 입자의 에너지와 운동량은 부분적으로 제약되지 않는다. 루프 내 한 입자의 양의 변화는 다른 입자의 동일하고 반대되는 변화로 균형을 이룰 수 있기 때문이다. 따라서 파인만 도형의 모든 루프는 가능한 에너지와 운동량의 연속체에 대한 적분을 필요로 한다. 일반적으로 이러한 전파 인자 곱의 적분은 발산할 수 있으며, 이는 재규격화 과정을 통해 처리해야 하는 상황이다.

5. 관련 특이 함수

양자장론에서 중요하게 다루는 관련 특이 함수들은 장 연산자 곱의 진공 기대값을 사용하여 간단하게 정의된다.

두 스칼라 장 연산자의 교환자는 파울리-요르단 함수 $\Delta(x-y)$ 로 다음과 같이 정의된다.^[15]^[16]

: $\langle 0 | \left[ \Phi(x),\Phi(y) \right] | 0 \rangle = i \, \Delta(x-y)$

이때,

: $\,\Delta(x-y) = G_\text{ret} (x-y) - G_\text{adv}(x-y)$

이는 다음을 만족한다.

: $\Delta(x-y) = -\Delta(y-x)$

그리고 $(x-y)^2 < 0$ 이면 0이다.

$\Delta(x-y)$ 의 양의 진동수 부분과 음의 진동수 부분은 컷 전파자라고도 불리며, 상대론적으로 불변하는 방식으로 정의할 수 있다.

양의 진동수 부분은 다음과 같이 정의된다.

: $\Delta_+(x-y) = \langle 0 | \Phi(x) \Phi(y) |0 \rangle,$

음의 진동수 부분은 다음과 같다.

: $\Delta_-(x-y) = \langle 0 | \Phi(y) \Phi(x) |0 \rangle.$

이들은 다음을 만족한다.^[16]

: $\,i \Delta = \Delta_+ - \Delta_-$

그리고

: $(\Box_x + m^2) \Delta_{\pm}(x-y) = 0.$

두 스칼라 장 연산자의 반교환자는 $\Delta_1(x-y)$ 함수를 사용하여 다음과 같이 정의된다.

: $\langle 0 | \left\{ \Phi(x),\Phi(y) \right\} | 0 \rangle = \Delta_1(x-y)$

이며,

: $\,\Delta_1(x-y) = \Delta_+ (x-y) + \Delta_-(x-y).$

이것은 $\,\Delta_1(x-y) = \Delta_1(y-x).$ 를 만족한다.

위에서 정의된 지연, 전진 및 파인만 전파 인자는 모두 클라인-고든 방정식의 그린 함수이다.

이들은 특이 함수와 다음과 같은 관계를 갖는다.^[16]

: $G_\text{ret}(x-y) = \Delta(x-y) \Theta(x^0-y^0)$

: $G_\text{adv}(x-y) = -\Delta(x-y) \Theta(y^0-x^0)$

: $2 G_F(x-y) = -i \,\Delta_1(x-y) + \varepsilon(x^0 - y^0) \,\Delta(x-y)$

여기서 $\varepsilon(x^0-y^0)$ 는 $x^0-y^0$ 의 부호이다.

참조

_[1] 간행물 The mathematics of PDEs and the wave equation http://www.mathtube.[...] University of Calgary, Seismic Imaging Summer School 2006-08-07
_[2] 간행물 Ch.: 9 Green's functions http://www.roe.ac.uk[...] FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15
_[3] 문서
_[4] 논문 Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations https://www.ncbi.nlm[...] 1937
_[5] 서적 Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics Dover Books on Physics 2000
_[6] 논문 Exact quantum dynamical solutions for oscillator-like systems 1956
_[7] 서적 Finite Quantum Electrodynamics, The Causal Approach Springer 2012-11-13
_[8] 간행물 Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics http://www.worldscie[...] WORLD SCIENTIFIC 2022-08-17
_[9] 서적 Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals John Wiley & Sons
_[10] 간행물 Classical theory of radiating electrons https://royalsociety[...] 1938-08-05
_[11] 웹사이트 Dirac propagator in nLab https://ncatlab.org/[...] 2023-11-08
_[12] 문서 2008
_[13] 문서 Quantum theory of gravitation https://dspace.libra[...] library.uu.nl
_[14] 웹사이트 Graviton and gauge boson propagators in AdSd+1 https://cds.cern.ch/[...]
_[15] 간행물 Zur Quantenelektrodynamik ladungsfreier Felder 1928
_[16] 서적 Relativistic Quantum Mechanics McGraw-Hill
_[17] 웹사이트 Saddle point approximation http://planetmath.or[...]
_[18] 문서

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