정규 직교 기저

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 위상 벡터 공간
- 2.2. 힐베르트 공간
3. 성질
4. 예시
5. 기본 공식
6. 정규 직교계
7. 정규 직교 기저의 존재성
8. 기저의 선택과 동형 사상
9. 주 균등 공간으로서의 정규 직교 기저
참조

1. 개요

정규 직교 기저는 힐베르트 공간의 총집합으로, 정규 직교성을 만족하는 집합이다. 힐베르트 공간의 임의의 원소를 정규 직교 기저의 선형 결합으로 나타낼 수 있으며, 이러한 기저는 힐베르트 공간의 힐베르트 차원을 결정한다. 정규 직교 기저는 힐베르트 공간의 특성을 이해하는 데 중요한 역할을 하며, 푸리에 급수 전개, 노름 계산 등 다양한 수학적 표현과 연산에 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

힐베르트 공간 - 모멘트 문제
모멘트 문제는 측도 공간에서 특정 조건을 만족하는 적분 가능 함수가 존재하는지, 존재한다면 유일한지 묻는 문제로, 고전적인 형태로는 실수선 위의 측도와 수열을 다루며, 유일성 판별에는 칼레만 조건과 크레인 조건 등이 사용된다.
힐베르트 공간 - 유니터리 작용소
유니터리 작용소는 힐베르트 공간에서 내적을 보존하며 에르미트 수반과의 곱이 항등 작용소가 되는 유계 선형 작용소로, 양자역학이나 푸리에 변환 등에서 활용되고 유한 차원에서는 유니터리 행렬로 표현된다.
푸리에 해석학 - 라플라스 변환
라플라스 변환은 함수 f(t)를 복소수 s를 사용하여 적분을 통해 다른 함수 F(s)로 변환하는 적분 변환이며, 선형성을 가지고 미분방정식 풀이 등 공학 분야에서 널리 사용된다.
푸리에 해석학 - 푸리에 변환
푸리에 변환은 복소 함수를 주파수 성분으로 분해하는 적분 변환으로, 푸리에 급수의 확장 개념이며, 시간-주파수 영역 변환, 선형성, 컨볼루션 정리, 불확정성 원리 등의 성질을 가지며 다양한 분야에 활용된다.
선형대수학 - 벡터 공간
벡터 공간은 체 위의 가군으로 정의되는 대수적 구조로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 가지며 특정 공리들을 만족하고, 기저, 차원, 선형 사상 등의 개념을 통해 수학과 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.
선형대수학 - 선형 결합
선형 결합은 벡터 공간에서 벡터들의 스칼라 곱의 합으로 표현되는 식으로, 벡터 집합의 선형 독립성 판단 및 부분 공간 생성과 관련되며, 계수 제약을 통해 다양한 종류의 결합을 정의할 수 있고, 위상 벡터 공간이나 가군으로 일반화될 수 있다.

정규 직교 기저
정의
정의	내적 공간 V의 기저 (basis) B가 다음 조건을 만족하면 정규 직교 기저라고 한다.
조건 1	B의 모든 벡터의 크기가 1이다.
조건 2	B의 서로 다른 두 벡터는 직교한다.
예시
예시 1	유클리드 공간 R^n의 표준 기저 (standard basis)는 정규 직교 기저이다.
예시 2	함수 공간 L^2([0, 1])에서, 삼각 함수 계열 {1, cos(2πx), sin(2πx), cos(4πx), sin(4πx), ...}는 정규 직교 계열이다. 푸리에 급수는 이러한 정규 직교 계열을 사용하여 함수를 표현하는 방법이다.
성질
그램-슈미트 과정	그램-슈미트 과정을 통해 임의의 기저로부터 정규 직교 기저를 만들 수 있다.
기저 변환	정규 직교 기저를 사용하면 기저 변환이 용이해진다.
푸리에 해석	정규 직교 기저는 푸리에 해석과 같은 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

내적 공간 ''V''에서의 기저 $B = \{ \boldsymbol{e_i} | i \in I \}$ 가 모든 $\boldsymbol{e_i}$ 에 대해 $\langle \boldsymbol{e_i}, \boldsymbol{e_j} \rangle = \delta_{ij}$ (크로네커 델타)를 만족할 때, 이 기저 $B$ 를 정규 직교 기저라고 한다. 즉, 크기가 1로 정규화되고 모든 원소가 서로 직교하는 기저를 말한다.

예를 들어, 유클리드 공간 '''R'''^''n''의 표준 기저는 벡터의 점곱을 내적으로 하는 정규 직교 기저이다. 또한, 표준 기저의 회전이나 경면(일반적으로 임의의 직교 변환)에 의한 상(像)도 정규 직교 기저이며, '''R'''^''n''의 임의의 정규 직교 기저는 이 방법으로 얻을 수 있다.

일반적인 내적 공간 ''V''에 대해, 그 정규 직교 기저는 ''V'' 상의 정규화된 직교 좌표계를 정하는 데 이용할 수 있다. 그러한 좌표계 하에서는 내적을 벡터의 점곱과 동일시할 수 있기 때문에, 정규 직교 기저의 존재에 대해서는 (일반적인 유한 차원 내적 공간을 조사하는 것이 아니라) 점곱을 갖는 '''R'''^''n''의 경우를 조사하는 것으로 충분하다. 따라서 임의의 유한 차원 내적 공간은 정규 직교 기저를 가지며, 실제로 이를 얻기 위해서는 임의의 기저에 그람-슈미트 과정을 사용하면 된다.

함수 해석학에서는, 정규 직교 기저의 개념을 일반적인 (반드시 유한 차원이 아닌) 내적 공간 (전 힐베르트 공간)에 대해서도 정의할 수 있다^[10]。

2. 1. 위상 벡터 공간

위상체

K

위의 위상 벡터 공간

V

의 부분 집합

B\subseteq V

의 '''선형 생성'''은 다음과 같다.

:

\operatorname{Span}B=\left\{a_1e_1+\cdots+a_ne_n\colon n\in\mathbb N,\;a_1,a_2,\dots,a_n\in K,\;e_1,e_2,\dots,e_n\in B\right\}

선형 생성

\operatorname{Span}B

가

V

의 조밀 집합이라면,

B

를

V

의 '''총집합'''(total set|토털 셋^영어)이라고 한다.

V

의 총집합들의 집합은 부분 집합 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 이에 대한 극소 원소 (즉, 임의의

b\in B

에 대하여

B\setminus\{b\}

가 총집합이 아닌 총집합

B

)를

V

의 '''위상 기저'''(topological basis|토폴로지컬 베이시스^영어)라고 한다.

2. 2. 힐베르트 공간

K

를 실수체 또는 복소수체라고 하자.

K

-힐베르트 공간

\mathcal H

의 총집합

B\subseteq\mathcal H

가 다음 조건을 만족시킨다면,

B

를

\mathcal H

의 '''정규 직교 기저'''라고 한다.

(정규·직교성) 모든 $e,e'\in B$ 에 대하여, $\langle e,e'\rangle=\delta_{e,e'}$

여기서

:

\delta_{e,e'}=\begin{cases}1&e=e'\\0&e\ne e'\end{cases}

는 크로네커 델타이다.

바나흐 공간의 샤우데르 기저와 달리, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 전순서를 갖지 않으며, 가산 집합일 필요도 없다. 벡터 공간의 하멜 기저는 모든 원소를 유한 개의 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타내지만, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 임의의 원소를 유한 또는 가산 무한 개의 기저 벡터들의 선형 결합으로 나타낸다. 다만, 힐베르트 공간이 유한 차원일 경우, 힐베르트 기저·샤우데르 기저·하멜 기저의 개념은 서로 일치한다.

함수 해석학에서는 정규 직교 기저의 개념을 일반적인 (반드시 유한 차원이 아닌) 내적 공간 (전 힐베르트 공간)에 대해서도 정의할 수 있다^[10]。전 힐베르트 공간 ''H''가 주어졌을 때, ''H''의 정규 직교 기저는 ''H''의 정규 직교계이며, ''H''를 위상적으로 생성하는 것을 말한다. 즉, ''H''의 각 벡터는 기저에 속하는 벡터의 ''무한'' 선형 결합으로 유일하게 표현된다. 이 경우의 정규 직교 기저를 ''H''의 '''힐베르트 기저'''라고 부르기도 한다. 이 의미에서의 정규 직교 기저는 무한 선형 결합을 사용하므로, 일반적으로 벡터 공간으로서의 기저(하멜 기저)가 아님에 주의해야 한다. 더 명확히 말하면, 정규 직교 기저에 의해 생성되는 부분 공간(정규 직교 기저에 속하는 벡터의 ''유한'' 선형 결합 전체)은 전체 공간 ''H''에서 조밀하지만, 전체 공간 ''H''와 일치하지 않을 수 있다.

3. 성질

모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 가진다. (이는 초른 보조정리와 그람-슈미트 과정을 사용하여 보일 수 있다.)^[1]

주어진 힐베르트 공간의 서로 다른 정규 직교 기저들의 크기는 모두 서로 같다. 힐베르트 공간의 정규 직교 기저의 크기를 힐베르트 공간의 '''힐베르트 차원'''(Hilbert dimension^영어)이라고 한다. 이는 일반적으로 하멜 차원보다 같거나 작다.^[1]

초른 보조정리와 그람-슈미트 과정을 사용하여 임의의 힐베르트 공간이 기저를 가지며, 따라서 정규 직교 기저를 가짐을 보일 수 있다. 또한, 하나의 공간의 어떤 두 정규 직교 기저도 동일한 농도를 가진다.^[4] 힐베르트 공간이 가분이 되는 것은, 그것이 가산 정규 직교 기저를 가질 때이며, 그 때에 한한다.^[4]

4. 예시

'''R'''³^영어의 경우, 벡터 집합 { '''e₁''' = (1, 0, 0), '''e₂''' = (0, 1, 0), '''e₃''' = (0, 0, 1) }는 표준 기저라고 불리며, 표준 내적에 대한 '''R'''³^영어의 정규 직교 기저를 형성한다.
:'''증명:''' 간단한 계산을 통해 이러한 벡터들의 내적이 0 (⟨'''e₁''', '''e₂'''⟩ = ⟨'''e₁''', '''e₃'''⟩ = ⟨'''e₂''', '''e₃'''⟩ = 0)이고, 각 크기가 1 (∥'''e₁'''∥ = ∥'''e₂'''∥ = ∥'''e₃'''∥ = 1)임을 알 수 있다. 이는 {'''e₁''', '''e₂''', '''e₃'''}가 정규 직교 집합임을 의미한다. 모든 벡터 ('''x''', '''y''', '''z''') ∈ R³은 기저 벡터의 스케일 합 ('''x''','''y''','''z''') = '''x''' '''e₁''' + '''y''' '''e₂''' + '''z''' '''e₃'''으로 표현될 수 있다. 따라서 {'''e₁''', '''e₂''', '''e₃'''}는 '''R'''³^영어을 생성하므로 기저여야 한다. 또한 원점을 통과하는 축을 중심으로 회전하거나 원점을 통과하는 평면에 대해 반사된 표준 기저도 '''R'''³^영어의 정규 직교 기저를 형성함을 보일 수 있다.^[10]
'''R'''ⁿ^영어의 경우, 표준 기저와 내적도 유사하게 정의된다. 다른 정규 직교 기저는 그룹 O(n)의 직교 변환에 의해 표준 기저와 관련된다.
'''R'''³^영어의 표준기저를 원점을 지나는 축 주위로 회전하거나 원점을 지나는 평면에 관해 반전하여도 '''R'''³^영어의 정규직교 기저가 된다.
지수 함수 ''f''_''n''(''x'')^영어 = exp(2π''inx'')를 원소로 하는 집합 {''f''_''n'' : ''n'' ∈ '''Z'''}는 제곱 적분 가능 함수로 이루어진 복소 선형 공간 L²([0, 1])의 기저가 된다. 이 사실은 푸리에 급수 이론에서 기본적인 것이다.
집합 {''e''_''b'' : ''b'' ∈ ''B''}를 다음과 같이 정의한다.

:

e_b(c)=\begin{cases}1 & (\text{if }b=c)\\ 0 & \text{(otherwise)}\end{cases}

:이것은 제곱 합 가능 수열로 이루어진 공간 ℓ²(''B'')의 기저를 이룬다.

슈트름-리우빌 고유값 문제의 고유 함수 전체
직교 행렬은, 각 열 벡터로 이루어진 집합이 정규 직교계를 이룬다.

5. 기본 공식

만약 $B$ 가 $H$ 의 정규 직교 기저이면, 모든 원소 $x \in H$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[10]

: $x = \sum_{b\in B}\langle x,b\rangle b$

그리고 $x$ 의 노름의 제곱은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[10]

: $\|x\|^2 = \sum_{b\in B}|\langle x,b\rangle |^2.$

$B$ 가 비가산 집합이라 할지라도, 이 합에서 셀 수 있을 만큼 많은 항들만이 0이 아니며, 따라서 표현은 잘 정의된다. 이 합은 또한 $x$ 의 ''푸리에 전개''라고 불리며, 이 공식은 일반적으로 파르세발의 항등식으로 알려져 있다.^[10]

임의의 벡터 '' $\boldsymbol{x} \in V$ ''는 정규 직교 기저 $B$ 를 사용하여 다음과 같이 전개할 수 있다.^[11]

: $\boldsymbol{x} =\sum_{\boldsymbol{b}\in B}\langle \boldsymbol{x} , \boldsymbol{b}\rangle \boldsymbol{b}$

즉, 전개 대상과 각 기저 벡터의 내적이 해당 기저 벡터의 계수가 된다. 이는 기저에 의한 선형 결합^[11]과 기저 벡터의 내적을 취함으로써 증명할 수 있다.^[12]

''x''의 노름은

: $\|x\|^2=\sum_{b\in B}|\langle x,b\rangle |^2$

로 쓸 수 있다. ''B''가 비가산인 경우에도, 이 합에 나타나는 항은 가산 개의 예외를 제외하고 모두 0이 되므로, 합은 의미를 가진다.^[12] ''x''를 이러한 합으로 나타낸 것을 ''x''의 '''푸리에 급수 전개'''라고도 하며, 위의 노름의 표기식은 일반적으로 파세발의 등식으로 알려져 있다.^[12]

6. 정규 직교계

힐베르트 공간에서 서로 직교하는 벡터들의 집합을 정규 직교계라고 한다.^[10] 정규 직교 기저는 이러한 정규 직교계 중에서 그 선형 덮개가 전체 공간에서 조밀한 집합을 말한다. 정규 직교계는 완전(complete)하거나 불완전(incomplete)할 수 있다. 즉, 정규 직교계 $S$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 선형 부분 공간 $V \subseteq H$ 를 생각할 때, $S$ 는 $V$ 의 정규 직교 기저가 된다. 이때 $V$ 는 $H$ 전체보다 작을 수도 있고(불완전), $H$ 와 같을 수도 있다(완전).

7. 정규 직교 기저의 존재성

초른 보조정리와 그람-슈미트 과정을 사용하면, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다는 것을 보일 수 있다.^[5] 동일한 공간의 임의의 두 정규 직교 기저는 동일한 기수를 갖는다. 힐베르트 공간은 정규 직교 기저가 가산일 경우에만 분리 가능 거리 공간이다.

8. 기저의 선택과 동형 사상

정규 직교 기저는 내적 공간과 $\mathbb{R}^n$ 공간 사이의 동형 사상으로 볼 수 있다. 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식 $\phi = \langle \cdot, \cdot \rangle$ 을 갖는 실수 $n$ 차원 벡터 공간 $V$ 의 정규 직교 기저 $\mathcal{B} = \{e_i\}$ 에 대해, $v = v^i e_i \ \ \forall \ v \in V$ 와 $v^i \in \mathbb{R}$ 또는 $(v^i) \in \mathbb{R}^n$ 으로 쓸 수 있다. 이 기저에서 $\phi$ 의 성분은 $\phi(e_i, e_j) = \delta_{ij}$ (여기서 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타)로 간단하게 표현된다.

이제 기저를 내적 공간의 동형 사상인 맵 $\psi_\mathcal{B} : V \rightarrow \mathbb{R}^n$ 으로 볼 수 있다. 이를 더 명확히 하면 다음과 같다.

: $\psi_\mathcal{B}:(V,\phi)\rightarrow (\mathbb{R}^n,\delta_{ij}).$

명시적으로 $(\psi_\mathcal{B}(v))^i = e^i(v) = \phi(e_i,v)$ 로 쓸 수 있으며, 여기서 $e^i$ 는 $e_i$ 의 쌍대 기저 원소이다.

역은 성분 맵이다.

: $C_\mathcal{B}:\mathbb{R}^n\rightarrow V, (v^i)\mapsto \sum_{i=1}^n v^ie_i.$

이러한 정의는 다음의 전단사 함수가 있음을 보여준다.

: $\{\text{직교 기저 공간 } \mathcal{B}\}\leftrightarrow \{\text{동형 사상 공간 }V\leftrightarrow \mathbb{R}^n\}.$

동형 사상 공간은 $V$ 측 또는 $\mathbb{R}^n$ 측에서 직교 군의 작용을 허용한다. 구체적으로, 동형 사상을 방향 $\mathbb{R}^n\rightarrow V$ 로 고정하고, 그러한 맵의 공간 $\text{Iso}(\mathbb{R}^n\rightarrow V)$ 를 고려한다.

이 공간은 $V$ 의 등거리 변환 군, 즉 $\phi(\cdot,\cdot) = \phi(R\cdot,R\cdot)$ 인 $R\in \text{GL}(V)$ 에 의한 왼쪽 작용을 허용하며, 작용은 합성으로 주어진다: $R*C=R\circ C.$

이 공간은 또한 $\mathbb{R}^n$ 의 등거리 변환 군, 즉 $R_{ij} \in \text{O}(n)\subset \text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$ 에 의한 오른쪽 작용을 허용하며, 작용은 다시 합성으로 주어진다: $C*R_{ij} = C\circ R_{ij}$ .

9. 주 균등 공간으로서의 정규 직교 기저

표준 내적을 갖는 $\mathbb{R}^n$ 의 정규 직교 기저 집합은 직교군 O(n)에 대한 주 균등 공간 또는 G-torsor이며, 슈티펠 다양체 $V_n(\mathbb{R}^n)$ 또는 정규 직교 $n$ -틀이라고 불린다.^[6]

정규 직교 기저의 공간은 직교군과 유사하지만 기준점의 선택이 없다는 차이점이 있다. 정규 직교 기저의 공간이 주어지면 정규 직교 기저를 자연스럽게 선택할 수 없지만, 일단 하나가 주어지면 기저와 직교군 사이에 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 선형 맵은 주어진 기저를 어디로 보내는지에 의해 결정된다. 가역 맵이 임의의 기저를 다른 임의의 기저로 가져갈 수 있는 것처럼, 직교 맵은 임의의 ''직교'' 기저를 다른 ''직교'' 기저로 가져갈 수 있다.

''불완전한'' 정규 직교 기저(정규 직교 $k$ -틀)의 다른 슈티펠 다양체 $V_k(\mathbb{R}^n)$ ( $k < n$ )는 여전히 직교군에 대한 균등 공간이지만 ''주'' 균등 공간은 아니다. 임의의 $k$ -틀은 직교 맵에 의해 다른 임의의 $k$ -틀로 가져갈 수 있지만, 이 맵은 고유하게 결정되지 않는다.

참조

_[1] 서적 Linear Algebra and Its Applications https://archive.org/[...] Addison–Wesley
_[2] 서적 Linear Algebra and Its Applications Brooks Cole
_[3] 서적 Linear Algebra Done Right Springer Science+Business Media|Springer
_[4] 서적 Real & Complex Analysis McGraw-Hill
_[5] 서적 Linear Functional Analysis https://books.google[...]
_[6] 웹사이트 CU Faculty https://engfac.coope[...] 2021-04-15
_[7] 서적 Linear Algebra and Its Applications Addison–Wesley
_[8] 서적 Linear Algebra and Its Applications Brooks Cole
_[9] 서적 Linear Algebra Done Right Springer Science+Business Media|Springer
_[10] 서적 Real & Complex Analysis McGraw-Hill
_[11] 문서
_[12] 문서

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com