정육백포체

2. 기하학적 성질

600-포체는 6개의 볼록 정규 4-다포체 시퀀스에서 다섯 번째이다. 4-단순체(5-포체)는 최소 제한 경우이고, 120-포체는 가장 크다. 복잡성은 꼭짓점 수를 통해 측정되며, 600-포체는 120개의 꼭짓점을 가지는 4차원 다포체이다.

600-포체는 24-포체의 겹치는 25개 인스턴스로 분해될 수 있다.^[5] 24-포체는 초입방체(8-포체)의 겹치는 세 인스턴스로, 8-포체는 16-포체의 두 인스턴스로 분해될 수 있다.^[6]

이전 항목의 인스턴스에서 각 항목을 구성하는 역절차는 이전 항목의 반경을 유지하지만 일반적으로 더 작은 모서리 길이를 가진다. 24-포체의 모서리 길이는 반경과 같지만 600-포체의 모서리 길이는 반경의 ~0.618배이다.^[4] 이는 황금비이다.

정육백포체의 꼭짓점 간 거리는 외접 초구의 호의 각도로 측정되며, 36°(), 60°(), 72°(), 90°(), 108°(), 120°(), 144°(), 그리고 180°(π)의 값만을 가진다.

임의의 꼭짓점 V에서 36°와 144°에는 정십이면체의 12개 꼭짓점, 60°와 120°에는 정십이면체의 20개 꼭짓점, 72°와 108°에는 더 큰 정이십면체의 12개 꼭짓점, 90°에는 이십이십면체의 30개 꼭짓점, 180°에는 V의 대척점이 있다.

120개의 꼭짓점은 8개의 현 길이로 분산되어 있다. 600-포체의 모서리와 현은 5개의 대원 다각형의 모서리와 현이다. 길이 순으로, , , , , , , , 이다.

600-포체의 꼭짓점 현은 5종류의 측지선 대원 다각형(십각형, 육각형, 오각형, 정사각형, 삼각형)으로 배열된다.

= 𝚽 모서리는 72개 평평한 정규 중심 십각형을 형성하며, 각 꼭짓점에서 6개가 교차한다. 이십이십면체가 6개 중심 십각형(모서리 60개)으로 분할될 수 있듯, 600-포체도 72개 십각형(모서리 720개)으로 분할될 수 있다. 모서리 720개는 표면을 삼각형 면 1200개와 사면체 세포 600개로 나눈다. 모서리 720개는 간격으로 평행 쌍 360개로 나타난다. 십각형과 이십이십면체처럼 모서리는 다포체 중심에서 만나는 황금 삼각형으로 나타난다. 대십각형 72개는 비교차 클리포드 평행 측지선 12개씩 6개 집합으로 나눌 수 있다. 각 집합에서 십각형 대원 하나만 각 꼭짓점을 통과하고, 십각형 12개가 꼭짓점 120개 모두에 도달한다.

현은 중심 육각형 200개를 형성하며(각 육각형이 두 집합에 있는 16개 집합 25개), 꼭짓점마다 10개가 교차한다(꼭짓점에 만나는 24-포체 5개 각각에서 4개, 각 육각형은 해당 24-포체 중 2개에 있다). 육각형 16개 각 집합은 겹치는 내접 24-포체 25개 중 하나의 모서리 96개와 꼭짓점 24개로 구성된다. 현은 모서리 2개 떨어진 꼭짓점을 연결한다. 각 현은 면 결합된 사면체 세포 쌍(삼각 쌍뿔)의 긴 지름이며 공유 면의 중심을 통과한다. 면이 1200개이므로 현 1200개가 있으며 간격으로 평행 쌍 600개로 나타난다. 육각형 평면은 비직교(60도 간격)이지만 "이중 쌍" 100개로 나타나며, 한 육각형의 축 3개 모두 이중의 축 3개 모두에 직교한다. 대육각형 200개는 비교차 클리포드 평행 측지선 20개씩 10개 집합으로 나눌 수 있으며, 각 집합에서 육각형 대원 하나만 각 꼭짓점을 통과하고 육각형 20개가 꼭짓점 120개 모두에 도달한다.

현은 중심 오각형 144개를 형성하며, 꼭짓점마다 6개가 교차한다. 현은 십각형 72개와 동일 평면에서 꼭짓점-두 번째-꼭짓점으로 연결된다. 즉, 십각형마다 오각형 2개가 내접한다. 현은 측지선 대원에서 모서리 2개 떨어진 꼭짓점을 연결한다. 현 720개는 = φ 간격으로 평행 쌍 360개로 나타난다.

현은 중심 정사각형 450개를 형성하며, 꼭짓점마다 15개가 교차한다(꼭짓점에 만나는 24-포체 5개 각각에서 3개). 현은 모서리 3개(및 현 2개) 떨어진 꼭짓점을 연결한다. 간격으로 현 600개가 평행 쌍 300개로 나타난다. 대정사각형 450개(완전 직교 쌍 225개)는 비교차 클리포드 평행 측지선 30개씩 15개 집합으로 나눌 수 있으며, 각 집합에서 정사각형 대원 하나만 각 꼭짓점을 통과하고 정사각형 30개(완전 직교 쌍 15개)가 꼭짓점 120개 모두에 도달한다.

= φ 현은 중심 이등변 삼각형의 다리를 형성하며(십각형에 내접한 10개 집합 72개), 꼭짓점마다 6개가 교차한다. 각 이등변 삼각형의 세 번째 모서리(밑변) 길이는 이다. 현은 십각형 72개와 동일 평면에서 꼭짓점-세 번째-꼭짓점으로 연결되며, 측지선 대원에서 모서리 3개 떨어진 꼭짓점을 연결한다. 서로 다른 현 720개가 있으며, 간격으로 평행 쌍 360개로 나타난다.

현은 정삼각형 중심 400개를 형성하며(각 삼각형이 두 집합에 있는 32개 집합 25개), 꼭짓점마다 10개가 교차한다(5개의 24-세포 각각에서 4개, 각 삼각형은 24-세포 중 2개에 있다). 삼각형 32개 각 집합은 겹치는 내접 24-세포 25개 중 하나의 현 96개와 꼭짓점 24개로 구성된다. 현은 육각형 200개와 동일 평면에서 꼭짓점-두 번째-꼭짓점으로 연결된다. 즉, 육각형마다 삼각형 2개가 내접한다. 현은 모서리 4개(및 측지선 대원에서 현 2개) 떨어진 꼭짓점을 연결한다. 각 현은 면 결합된 사면체 세포 쌍(삼각 쌍뿔)의 긴 지름이며 공유 면의 중심을 통과한다. 면 1200개가 있으므로 현 1200개가 있으며 간격으로 평행 쌍 600개로 나타난다.

현(오각형의 대각선)은 중심 이등변 삼각형의 다리를 형성하며(오각형에 내접한 5개 집합 144개), 꼭짓점마다 6개가 교차한다. 각 이등변 삼각형의 세 번째 모서리(밑변)는 길이의 오각형 모서리이므로, 이들은 황금 삼각형이다. 현은 십각형 72개와 동일 평면에서 꼭짓점-네 번째-꼭짓점으로 연결되며, 측지선 대원에서 모서리 4개 떨어진 꼭짓점을 연결한다. 서로 다른 현 720개가 있으며, 간격으로 평행 쌍 360개로 나타난다.

현은 긴 지름 60개(16-세포로 구성된 직교 축 4개 집합 75개), 즉 600-세포의 긴 반지름 120개로 나타난다. 현은 측지선 대원에서 모서리 5개 떨어진 반대 꼭짓점을 연결한다. 서로 다른 겹치는 12개 지름 집합 25개가 있으며, 각각은 내접 24-세포 25개 중 하나로 구성된다. 서로 다른 겹치는 직교 지름 4개 집합 75개가 있으며, 각각은 내접 16-세포 75개 중 하나로 구성된다.

600-세포의 이 모든 서로 다른 현의 제곱 길이 합은 14,400 = 120²이다.

2. 1. 구성

2. 2. 좌표

}는 황금비이다.

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• 처음 8개는 16-포체의 꼭짓점이다.
• 다음 16개는 초정육면체의 꼭짓점이다.
• 위의 24개 꼭짓점을 합하면 24-포체의 꼭짓점이 된다.
• 나머지 96개는 스너브 24-포체의 꼭짓점이다.

3. 대칭성

600-포체는 24-포체의 기존 24개 꼭짓점 사이에 96개의 꼭짓점을 더하여 24-포체를 '완성'시키며, 600-포체에 내접하는 24개의 중첩되는 24-포체를 더한다.^[3] 따라서 새로 형성된 표면은 더 작고 더 많은 세포^[4]와 면의 테셀레이션이다. 변의 길이가 ≈ 0.618인 정사면체는 변의 길이가 1인 정팔면체가 아니다. 24-포체의 변을 둘러싸는데, 이 변은 600-포체 내부의 보이지 않는 현이 되며, 및 현과 같다.

정사면체는 팔면체보다 짧은 삼각형 변(의 요인, 즉 역수 황금비)으로 만들어지기 때문에, 600-포체는 24-포체와 테서랙트처럼 단위 반경 좌표계에서 단위 변 길이를 갖지 않는다. 이 두 가지와 달리 600-포체는 반지름 방향 등변이 아니다. 이들처럼 특별한 방식으로 반지름 방향으로 삼각 관계를 갖지만,^[5] 황금 삼각형이 정삼각형 대신 중심에서 만나는 것이다.^[6]

600개의 작은 정사면체 세포의 경계 덮개는 25개의 24개의 팔면체 세포 덮개를 감싸고 있다(이 곡선 3차원 덮개 사이의 몇몇 장소에 4차원 공간을 추가). 이러한 간극의 모양은 어떤 종류의 팔면체 피라미드여야 하지만, 600-포체에서는 정규가 아니다.^[7]

600-세포는 특성 5-세포가 자신의 면(정사면체 거울 벽)에 반사되어 구성될 수 있다. 반사와 회전은 관련이 있다. "짝수"개의 "교차하는" 거울에 대한 반사는 회전이다. 예를 들어, 600-세포의 십각형 불변 평면에서 완전한 등각 회전은 120개의 꼭짓점 각각을 15개의 꼭짓점을 거쳐 다시 자신으로 되돌리며, 각 큰 십각형이 (바퀴처럼) 회전하고 완전히 직교하는 평면으로 옆으로 기울어지면서 3-구 주위를 감싸는 5𝝅의 둘레를 가진 꼬인 십오각형₂ 측지선 등경사을 따른다. 그러한 궤도를 수행하는 대립점 꼭짓점의 네 개의 직교 쌍 (75개의 내접 16-세포 중 하나의 8개 꼭짓점)은 15 * 8 = 120개의 서로 다른 꼭짓점을 방문하고 하나의 완전한 등각 회전에서 순차적으로 600-세포를 생성하며, 단일 특성 5-세포가 자신의 거울 벽에 반사되는 것과 마찬가지로 반사에 의해 120개의 꼭짓점을 동시에 생성한다.

이코시안은 600-포체의 대칭과 동일한 대칭을 가진 특정한 사원수 집합이다. 이코시안은 ''황금 체''에 있으며, (''a'' + ''b'') + (''c'' + ''d'')'''i''' + (''e'' + ''f'')'''j''' + (''g'' + ''h'')'''k'''로 표현되며, 여기서 여덟 개의 변수는 유리수이다. 120개의 단위 이코시안의 유한 합은 이코시안 링이라고 한다.

4차원 유클리드 기하학에서, 사원수는 단순히 (w, x, y, z) 데카르트 좌표계 좌표이다. 사원수로 해석될 때, 600-포체의 120개 꼭지점은 사원수 곱셈에 따라 군을 형성한다. 이 군은 종종 이진 이십면체 군이라고 불리며, 보통의 이십면체 군 ''I''의 이중 덮개이므로 ''2I''로 표기한다. 이는 600-포체의 회전 대칭군 ''RSG''에 두 번 나타나는데, 사원수 좌-곱셈의 부분군 ''2I_L''과 사원수 우-곱셈의 부분군 ''2I_R''으로 나타난다. 600-포체의 각 회전 대칭은 ''2I_L''과 ''2I_R''의 특정 원소에 의해 생성된다. 반대 원소 쌍은 ''RSG''의 동일한 원소를 생성한다. ''RSG''의 중심은 비회전 ''Id''와 중심 반전 ''−Id''로 구성된다. ''RSG ≅ (2I_L × 2I_R) / {Id, -Id}''가 성립한다. ''RSG''의 차수는 = 7200이다.

사원수 대수는 3차원 및 4차원 회전을 처리하기 위한 도구이며, 4차원 유클리드 공간에서의 회전 이론을 완전히 이해하기 위한 방법으로 설명된다.

이진 이십면체 군은 동형이며 SL(2,5)이다.

600-포체의 전체 대칭군은 콕서 군 H₄이다. 이것은 14400의 차수를 가진 군이다. 7200개의 회전과 7200개의 회전-반사로 구성된다. 회전은 전체 대칭군의 불변 부분군을 형성한다.

3. 1. 회전 대칭

4차원 유클리드 공간에서 정규 볼록 4-다포체는 고정된 점을 중심으로 회전하는 SO(4)라는 직교군으로 표현되는 기본적인 대칭성을 가진다.^[1] 4차원 공간에서의 회전은 불변 평면, 회전 각도, 방향(좌 또는 우)을 통해 다른 각도와 방향으로 회전하는 또 다른 완전 직교 불변 평면을 선택함으로써 완전히 특징지을 수 있다.

두 회전 변위는 회전하는 동일한 쌍의 불변 평면, 동일한 각도, 동일한 방향(따라서 방향의 동일한 키랄 쌍)을 가지면 동일하다.

따라서 4차원 공간의 일반적인 회전은 '''두''' 각도로 특징지어지는 '''이중 회전'''이다. '''단순 회전'''은 하나의 회전 각도가 0인 특수한 경우이다. 단순 회전은 가환적이지 않다. 왼쪽 및 오른쪽 회전은 일반적으로 다른 목적지에 도달한다. 이중 회전과 두 개의 구성하는 단순 회전의 차이점은 이중 회전이 4차원적으로 대각선이라는 것이다. 즉, 각 이동 꼭짓점은 ''a'' 다음 ''b''가 터치하는 중간 지점 또는 ''b'' 다음 ''a''가 터치하는 다른 중간 지점을 통과하지 않고 단일 나선형 측지선에서 회전하여 목적지에 ''직접'' 도달한다(따라서 가장 짧은 경로이다).

반대로, 모든 단순 회전은 케일리가 발견한 바와 같이 두 개의 ''동일한 각도'' 이중 회전(왼쪽 등각 회전과 오른쪽 등각 회전)의 합성으로 볼 수 있으며, 놀랍게도 이 합성은 ''가환적''이며 모든 이중 회전에서도 가능하다.^[2] '''등각 회전'''은 다른 특수한 경우로, ''동일한'' 각도로 두 개의 단순 회전과 비슷하지만 동일하지는 않다.

600-세포는 24-세포의 등각 회전에 의해 36° = (하나의 600-세포 모서리 길이의 호)로 생성된다. 정규 볼록 4-다포체는 각각 고유한 종류의 오른쪽(및 왼쪽) 등경사 회전을 가지며, 이는 고유한 종류의 이산 호프 올림의 대원에 해당한다. 예를 들어, 600-셀은 대십각형 집합으로 여섯 가지 다른 방식으로 섬유화될 수 있으므로, 600-셀은 해당 대십각형 평면이 회전의 불변 평면인 여섯 개의 서로 다른 오른쪽(및 왼쪽) 등경사 회전을 갖는다. 이러한 등경사 회전은 600-셀의 모서리가 불변 평면에 놓여 있기 때문에 600-셀의 ''특성''이라고 말한다. 이러한 회전은 600-셀에서만 나타나지만, 600-셀의 내접 인스턴스를 포함하는 더 큰 정다포체(120-세포)에서도 발견된다.

단순 회전은 직접적이고 국소적이며, 일부 꼭짓점을 대원을 따라 인접한 꼭짓점으로 이동시키고, 일부 중심 평면을 동일한 초평면 내의 다른 중심 평면으로 이동시킨다. (600-셀에는 4개의 직교 중심 초평면이 있으며, 각 초평면은 이십십이면체이다.) 단순 회전에서는 완전히 직교하는 회전 불변 중심 평면 쌍이 하나만 있으며, 올림을 구성하지 않는다.

등경사 회전은 대각선이고 전역적이며, ''모든'' 꼭짓점을 ''인접하지 않은'' 꼭짓점(두 개 이상의 모서리 길이 떨어진 곳) 대각선 등경선을 따라 이동시키고, ''모든'' 중심 평면 다각형을 클리포드 평행 다각형(동일한 종류)으로 이동시킨다. 좌우 등경사 회전 쌍은 이산 올림을 구성한다. 올림의 모든 클리포드 평행 중심 평면은 회전의 불변 평면이며, ''두'' 개의 동일한 각도로 분리되고 다른 초평면에 놓여 있다. 대각선 등경선은 모서리를 따라 사용 가능한 여러 단순 경로보다 인접하지 않은 꼭짓점 사이의 더 짧은 경로이다. 이는 3-구의 ''가장 짧은 경로''인 측지선이다.

3. 2. 반사 대칭

600-포체는 24-포체의 기존 24개 꼭짓점 사이에 96개의 꼭짓점을 더하여 24-포체를 '완성'시키며, 실제로 600-포체에 내접하는 24개의 중첩되는 24-포체를 더한다. 따라서 새로 형성된 표면은 더 작고 더 많은 세포와 면의 테셀레이션이다. 변의 길이가 ≈ 0.618인 정사면체는 변의 길이가 1인 팔면체가 아니다. 24-포체의 변을 둘러싸는데, 이 변은 600-포체 내부의 보이지 않는 현이 되며, 및 현과 같다.

정사면체는 팔면체보다 짧은 삼각형 변으로 만들어지기 때문에(의 요인, 즉 역수 황금비), 600-포체는 24-포체와 테서랙트처럼 단위 반경 좌표계에서 단위 변 길이를 갖지 않는다. 이 두 가지와 달리 600-포체는 반지름 방향 등변이 아니다. 이들처럼 특별한 방식으로 반지름 방향으로 삼각 관계를 갖지만, 황금 삼각형이 정삼각형 대신 중심에서 만나는 것이다.

600개의 작은 정사면체 세포의 경계 덮개는 25개의 24개의 팔면체 세포 덮개를 감싸고 있다(이 곡선 3차원 덮개 사이의 몇몇 장소에 4차원 공간을 추가). 이러한 간극의 모양은 어떤 종류의 팔면체 피라미드여야 하지만, 600-포체에서는 정규가 아니다.

600-세포는 특성 5-세포가 자신의 면(사면체 거울 벽)에 반사되어 구성될 수 있다. 반사와 회전은 관련이 있다. "짝수"개의 "교차하는" 거울에 대한 반사는 회전이다. 예를 들어, 600-세포의 십각형 불변 평면에서 완전한 등경사 회전은 120개의 꼭짓점 각각을 15개의 꼭짓점을 거쳐 다시 자신으로 되돌리며, 각 큰 십각형이 (바퀴처럼) 회전하고 완전히 직교하는 평면으로 옆으로 기울어지면서 3-구 주위를 감싸는 5𝝅의 둘레를 가진 꼬인 십오각형₂ 측지선 등경사을 따른다. 그러한 궤도를 수행하는 대립점 꼭짓점의 네 개의 직교 쌍 (75개의 내접 16-세포 중 하나의 8개 꼭짓점)은 15 * 8 = 120개의 서로 다른 꼭짓점을 방문하고 하나의 완전한 등경사 회전에서 순차적으로 600-세포를 생성하며, 단일 특성 5-세포가 자신의 거울 벽에 반사되는 것과 마찬가지로 반사에 의해 120개의 꼭짓점을 동시에 생성한다.

4. 다른 다포체와의 관계

600-포체는 6개의 볼록 정규 4-다포체 시퀀스에서 다섯 번째이다. 이 시퀀스에서 각 다포체는 이전 다포체보다 더 "둥글"하며, 동일한 반경 내에 더 많은 내용을 포함한다. 600-포체는 120개의 점을 가지는 4-다포체로, 정규 다포체에 대한 대체 숫자 명명 체계에서 5점 4-다포체(5-포체)에서 600점 4-다포체(120-포체)까지 오름차순으로 나열했을 때 다섯 번째에 해당한다.

600-포체는 24-포체의 겹치는 25개의 인스턴스로 분해될 수 있다.^[1] 24-포체는 초입방체(8-포체)의 겹치는 세 인스턴스로 분해될 수 있으며, 8-포체는 16-포체의 두 인스턴스로 분해될 수 있다.

24-포체의 모서리 길이는 반경과 같지만, 600-포체의 모서리 길이는 반경의 약 0.618배이다.^[2] 이는 황금비이다.

개수	좌표
8	(0, 0, 0, ±1) 의 모든 순열
16	(±, ±, ±, ±)
96	(±, ±, ±, 0)의 모든 짝순열. {{lang|en|φ|}

정규 볼록 4-다포체

대칭군	A4	B4		F4	H4
이름	5-포체 (초-사면체)	16-포체 (초-팔면체)	8-포체 (초-정육면체)	24-포체	600-포체 (초-정이십면체)	120-포체 (초-정십이면체)
슐레플리 기호	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
꼭짓점	5	8	16	24	120	600
모서리	10	24	32	96	720	1200
면	10개의 삼각형	32개의 삼각형	24개의 정사각형	96개의 삼각형	1200개의 삼각형	720개의 오각형
셀	5개의 정사면체	16개의 정사면체	8개의 정육면체	24개의 정팔면체	600개의 정사면체	120개의 정십이면체

600-cell에는 25개의 내접하는 24-cell이 있다.^[3] 24-cell에 내접하는 16-cell 및 8-cell과 마찬가지로, 600-cell에 내접하는 25개의 24-cell은 서로 등각 다포체이다. 내접하는 24-cell 간의 회전 거리는 각 불변 회전 평면에서 항상 같다.

5개의 24-cell은 서로 클리포드 평행하기 때문에 분리되어 있다.

모든 클리포드 평행 다포체는 등각이지만, 모든 등각 다포체가 클리포드 평행은 아니다.

엇각 24-포체는 내접하는 24-포체의 꼭짓점을 제거하고 남은 꼭짓점들의 볼록 껍질을 취함으로써 600-포체로부터 얻을 수 있다. 이 과정은 600-포체의 ''축소''이다.

그랜드 반각기둥은 600-포체의 또 다른 축소를 통해 얻을 수 있다.

인접하지 않은 꼭짓점에 의한 600-포체의 총 314,248,344개의 축소가 있다. 이 모든 것은 정사면체와 이십면체 세포로 구성된다.^[6]

600-포체는 동일한 H₄ 대칭 [3,3,5]을 가진 15개의 정다포체 및 균일 다포체 중 하나이다.

이것은 세 개의 정사각 다포체와 유사하다: 오포체 {3,3,3}, 십육포체 {3,3,4} (유클리드 4차원 공간), 그리고 육각 정사면체 벌집 {3,3,6} (쌍곡 공간). 이들 모두는 정사면체 세포를 가지고 있다.

이 4-다포체는 정이십면체 꼭짓점 도형을 가진 일련의 4-다포체 및 벌집의 일부이다.

5. 한국 사회와의 연관성

(내용 없음)

참조

_[1] 서적 Geometries and Transformations 2018
_[2] 서적 The Geometry of Art and Life 1977
_[3] 웹사이트 Pi and the Golden Ratio https://johncarlosba[...] 2017-03-07
_[4] 간행물 The complete set of Jitterbug transformers and the analysis of their motion
_[5] 서적 Man Ray Human Equations: A journey from mathematics to Shakespeare Hatje Cantz
_[6] 간행물 The special cuts of 600-cell 2007
_[7] 서적 4次元図形百科 丸善出版