정의역

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 함수의 정의역
- 2.2. 부분 함수의 정의역
3. 예시
- 3.1. 일반적인 함수
- 3.2. 자연 정의역
4. 정의역의 제한과 확장
- 4.1. 정의역의 제한
- 4.2. 정의역의 확장
5. 기타 용도
6. 집합론적 개념
7. 주의
참조

1. 개요

정의역은 수학에서 함수가 정의되는 입력값의 집합을 의미한다. 함수 f: X → Y에서 X는 f의 정의역이며, 실수 함수의 경우 특정 값에서 정의되지 않을 수 있는데, 이 경우 해당 함수의 자연 정의역 또는 단순히 정의역이라고 한다. 대응 f: A → B에서 A는 시집합, 시역, 역(domain)으로 불리며, 정의역은 f의 시집합 A 그 자체이므로, 종종 시역과 정의역의 개념은 구분되지 않는다. 정의역은 함수의 제한 및 확장의 개념과 관련이 있으며, 수학적 분석 및 범주론에서 다른 의미로 사용될 수 있다.

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정의역
함수
수학	수학에서, 함수의 정의역 (定義域, domain of a function)은 함수가 정의되는 입력값들의 집합임
함수 f	함수 f의 정의역은 보통 X로 표기함
함수 f: X → Y	함수 f가 X에서 Y로의 함수일 때, X는 f의 정의역임
정의역의 원소	정의역의 원소를 '정의점'(定義點, point of definition)이라고도 함
예시
실수 함수 f(x) = √x	실수 함수 f(x) = √x의 경우, 음수의 제곱근은 실수가 아니기 때문에 정의역은 음이 아닌 실수들의 집합 {x ∈ ℝ \| x ≥ 0}임
같이 보기
함수 (수학)	함수
공역	공역
치역	치역

2. 정의

수학에서, 함수 $f\colon X\to Y$ 는 집합 $X$ 의 각 원소에 대하여 $Y$ 의 한 원소를 대응시키는 수학적 대상이다. 이 경우 $X$ 를 $f$ 의 '''정의역'''이라 하고, $Y$ 는 $f$ 의 공역이라고 한다.

대응 $f\colon A\to B$ (또는 이항 관계 $R_f \sub A \times B$ )가 주어졌을 때, $A$ 를 $f$ 의 '''시집합''' 또는 '''시역''', '''역'''(domain)이라고 부르고, $B$ 를 '''종집합''', '''종역''', '''공역'''(codomain) 등으로 부른다. $f$ 의 치역 또는 '''상'''은 정의역 $A$ 의 각 원소의 $f$ 에 의한 상이 될 수 있는 $B$ 의 원소 전체로 이루어진 집합 $f(A) = \{f(x) \in B | x \in A\}$ 와 일치한다.^[4]

2. 1. 함수의 정의역

수학에서, 함수

f\colon X\to Y

는 집합

X

의 각 원소에 대하여

Y

의 한 원소를 대응시키는 수학적 대상이다. 이 경우

X

를

f

의 '''정의역'''이라고 한다.^[4]

만약 실수 함수가 공식으로 주어질 경우, 변수의 일부 값에 대해 정의되지 않을 수 있다. 이 경우 이는 ''부분 함수''이며, 해당 공식이 실수로 계산될 수 있는 실수 집합을 ''자연 정의역'' 또는 ''정의역''이라고 한다. 많은 상황에서 부분 함수는 단순히 ''함수''라고 불리며, 그 자연 정의역은 단순히 그 ''정의역''이라고 불린다.

대응

f\colon A\to B

가 주어졌을 때,

A

를

f

의 '''시집합''' 또는 '''시역''', '''역'''(domain)이라고 부른다.^[4] 특히 부분 함수(또는 오른쪽 단일 값 이항 관계)

f\colon A\to B

에 대해,

(a, b) \in R_f

인

b \in B

가 존재하는

a \in A

전체로 이루어진 시역의 부분 집합

X \subset A

를

f

의 '''정의역'''이라고 한다.^[4]

함수

f\colon A\to B

에서 그 정의역은 시집합

A

그 자체이므로, 종종 시역과 정의역의 개념은 특별히 구분되지 않는다. 함수

f\colon A\to B

의 정의역

A

의 각 원소

x

에 대응하는 종역

B

의 원소를

f(x)

라는 식으로 나타낼 때,

x

를

f

의 인수라고 부르고,

f(x)

는

f

의

x

에서의 '''값''' 또는

x

의

f

에 의한 상이라고 부른다.

2. 2. 부분 함수의 정의역

실수 함수 ''f''가 공식으로 주어질 경우, 변수의 일부 값에 대해 정의되지 않을 수 있다. 이 경우 이는 '부분 함수'이며, 해당 공식이 실수로 계산될 수 있는 실수 집합을 ''f''의 ''자연 정의역'' 또는 ''정의역''이라고 한다. 많은 상황에서 부분 함수는 단순히 ''함수''라고 불리며, 그 자연 정의역은 단순히 그 ''정의역''이라고 불린다.^[4]

3. 예시

함수 $y$ =1.5 $x$ 에서 변수 $x$ , $y$ 가 각각 $X$ ={1, 2, 3}, $Y$ ={1.5, 3, 4.5}의 원소일 때, 집합 $X$ 를 함수 $y$ =1.5 $x$ 의 정의역이라고 할 수 있다.

: $y=1.5x (1 \leqq x \leqq 3)$

제대로 정의된 함수는 정의역의 각 원소를 공역의 원소로 사상해야 한다. 예를 들어, 실수 함수 $f(x) = 1/x$ 는 $f(0)$ 을 정의할 수 없으므로, 실수 전체 집합 $\mathbb{R}$ 은 정의역이 될 수 없다. 이 경우, $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ 을 자연스러운 정의역으로 간주하거나, $f(0)$ 을 명시적으로 정의하여 "채워넣기"를 할 수 있다.

: $f(x)=\begin{cases} 1/x & (x\ne 0)\\ 0 & (x=0)\end{cases}$

위와 같이 $f$ 를 연장하면, 임의의 실수 $x$ 에 대해 정의할 수 있으므로, $\mathbb{R}$ 을 $f$ 의 정의역으로 채택할 수 있다.

함수의 정의역 "채워넣기"는 함수의 연속성, 미분 가능성 등 일관된 성질을 잃게 하고, 특이점을 만들 수 있다.

복소해석학에서, 겉보기에는 고립된 특이점인 것이, 매끄럽게 또는 해석적으로 연장하여 특이성을 해소할 수 있는 경우가 있는데, 이러한 특이점을 제거 가능한 특이점이라고 부른다.^[6]

함수 해석학에서는 부분 사상인 작용소가 다루어지며, 작용소 $f: X \rarr Y$ 의 정의역 $D(f)$ 가 시역 $X$ 에서 조밀인 경우가 종종 중요한 역할을 한다. 이처럼 정의역이 시역 안에서 조밀인 부분 사상은 조밀하게 정의되어 있다고 한다.

3. 1. 일반적인 함수

예를 들어, 함수

y

=1.5

x

에 대해 변수

x

가

X

={1, 2, 3}의 원소라고 할 때, 집합

X

를 함수

y

=1.5

x

의 정의역이라고 할 수 있다.

:

y=1.5x \ (1 \leqq x \leqq 3)

3. 2. 자연 정의역

만약 실수 함수가 공식으로 주어질 경우, 변수의 일부 값에 대해 정의되지 않을 수 있다. 이 경우 이는 ''부분 함수''이며, 해당 공식이 실수로 계산될 수 있는 실수 집합을 그 함수의 ''자연 정의역'' 또는 ''정의역''이라고 한다. 많은 상황에서 부분 함수는 단순히 ''함수''라고 불리며, 그 자연 정의역은 단순히 그 ''정의역''이라고 불린다.

$f(x)=\frac{1}{x}$ 로 정의된 함수 $f$ 는 0에서 계산할 수 없다. 따라서 $f$ 의 자연 정의역은 0을 제외한 실수 집합이며, 이는 $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$ 또는 $\{x\in\mathbb R:x\ne 0\}$ 으로 표기할 수 있다.^[5]
$f(x) = \begin{cases} 1/x&x\not=0\\ 0&x=0 \end{cases}$ 로 정의된 구간 함수 $f$ 는 실수 집합 $\mathbb{R}$ 을 자연 정의역으로 갖는다.^[6]
제곱근 함수 $f(x)=\sqrt x$ 는 음이 아닌 실수 집합을 자연 정의역으로 가지며, 이는 $\mathbb R_{\geq 0}$ , 구간 $[0,\infty)$ , 또는 $\{x\in\mathbb R:x\geq 0\}$ 로 표기할 수 있다.^[5]
탄젠트 함수는 $\tan$ 으로 표기하며, 어떤 정수 $k$ 에 대해 $\tfrac{\pi}{2} + k \pi$ 의 형태가 아닌 모든 실수 집합을 자연 정의역으로 가지며, 이는 $\mathbb R \setminus \{\tfrac{\pi}{2}+k\pi: k\in\mathbb Z\}$ 로 쓸 수 있다.^[5]

제대로 정의된 함수는 정의역의 각 원소를 공역의 원소로 사상해야 한다. 예를 들어, 실수 함수

f(x) = 1/x

는

f(0)

을 정의할 수 없으므로, 실수 전체의 집합

\mathbb{R}

은 그 정의역이 될 수 없다. 이 경우,

\mathbb{R} \setminus \{0\}

을 자연스러운 정의역으로 간주하거나,

f(0)

을 명시적으로 주어 "채워넣기"를 생각할 수도 있다. 예를 들어

:

f(x)=\begin{cases} 1/x & (x\ne 0)\\ 0 & (x=0)\end{cases}

와 같이

f

를 연장하면, 이는 임의의 실수

x

에 대해 정의할 수 있으므로,

\mathbb{R}

을

f

의 정의역으로 채택할 수 있다.^[6]

이러한 함수의 정의역 "채워넣기"는 종종 함수가 가진 일관된 성질(연속성, 미분 가능성 등)이 상실되고, 특이점이 생길 수 있다. 그와 대조적으로, 복소해석학에서, 겉보기에는 고립된 특이점인 것이, 매끄럽게 또는 해석적으로 연장하여 특이성을 해소할 수 있는 경우가 있다. 이러한 특이점을 제거 가능한 특이점이라고 부른다.^[6]

4. 정의역의 제한과 확장

함수의 정의역을 제한하거나 확장할 수 있다. 사상 ''g'': ''A'' → ''B''^영어의 ''S'' ⊆ ''A''^영어인 집합에 대한 '''제한'''은 ''g''|_''S'': ''S'' → ''B''^영어로 쓴다. 반대로, 사상 ''f'': ''S'' → ''B''^영어가 ''f'' = ''g''|_''S''^영어를 만족할 때, ''g''는 의 ''A''로의 '''확장''' 또는 '''연장'''이라고 한다.^[6]

4. 1. 정의역의 제한

임의의 사상은 정의역을 임의의 부분 집합으로 제한할 수 있다. 사상 ''g'': ''A'' → ''B''^영어의 ''S'' ⊆ ''A''^영어인 집합에 대한 '''제한'''(restriction)은 ''g''_''S'': ''S'' → ''B''^영어로 쓴다. 반대로, 사상 ''f'': ''S'' → ''B''^영어가 ''f'' = ''g''_''S''^영어를 만족할 때, ''g''는 ''f''^영어의 ''A''로의 '''확장''' 또는 '''연장'''(extension)이라고 한다.

4. 2. 정의역의 확장

임의의 사상은 정의역을 임의의 부분 집합으로 제한할 수 있다. 사상 의 인 집합에 대한 '''제한'''(restriction)은 로 쓴다. 반대로, 사상 가 를 만족할 때, ''g''는 의 ''A''로의 '''확장''' 또는 '''연장'''(extension)이라고 한다.^[6]

제대로 정의된 함수는 정의역의 각 원소를 공역의 원소로 사상해야 한다. 예를 들어, 실수 함수 는 값 을 가지지 않으므로, 실수 전체의 집합 는 그 정의역이 될 수 없다. 이 경우, }을 자연스러운 정의역으로 간주하거나, 을 명시적으로 주어 "채워넣기"를 생각할 수도 있다. 예를 들어

:

f(x)=\begin{cases} 1/x & (x\ne 0)\\ 0 & (x=0)\end{cases}

로 를 연장하면, 이는 임의의 실수 ''x''에 대해 정의할 수 있으므로, 을 의 정의역으로 채택할 수 있다.

이러한 함수의 정의역의 "채워넣기"는 종종 함수가 가진 일관된 성질(연속성, 미분 가능성 등)이 상실되고, 특이점이 생길 수 있다. 그와 대조적으로, 복소해석학에서, 겉보기에는 고립된 특이점인 것이, 매끄럽게 또는 해석적으로 연장하여 특이성을 해소할 수 있는 경우가 있다. 이러한 특이점을 제거 가능한 특이점이라고 부른다. 또한, 국소적으로 주어진 해석 함수는 해석적 연장의 원칙에 따라 대역적으로 정의역의 연장을 받는다. 그러한 가능한 모든 연장을 수행하여 얻어지는 (일가(一價)의) 해석 함수의 정의역을 자연스러운 정의역^[6]이라고 부르기도 한다.

5. 기타 용도

수학적 분석에서 "정의역"은 다른 의미로 사용되기도 한다. 영역은 위상 공간에서 비어 있지 않은 연결 집합인 열린 집합을 의미한다. 특히, 실해석학 및 복소해석학에서 영역은 실 좌표 공간 $\R^n$ 또는 복소 좌표 공간 $\C^n$ 의 비어 있지 않은 연결된 열린 부분 집합이다.

때때로 이러한 영역은 함수의 정의역으로 사용되지만, 함수는 더 일반적인 집합에서도 정의될 수 있다. 두 개념은 때때로 혼동되는데, 예를 들어 편미분 방정식 연구에서 영역은 문제가 제기되는 $\R^{n}$ 의 열린 연결 부분 집합을 의미하며, 이는 해석 스타일의 영역이자 탐구되는 알려지지 않은 함수의 정의역이 된다.

6. 집합론적 개념

집합론에서는 함수의 정의역이 진클래스 ''X''가 되도록 허용하는 것이 때때로 편리하다. 이 경우 형식적으로 3중항 (''X'', ''Y'', ''G'')가 존재하지 않는다. 이러한 정의에 따르면, 함수는 정의역을 갖지 않지만, 일부 저자는 ''f'': ''X'' → ''Y'' 형식으로 함수를 소개한 후에도 이를 비공식적으로 사용한다.^[2]

7. 주의

사상 의 경우, 시역 의 모든 원소 에 대해 값 가 정의되므로, 정의역과 시역을 구별할 필요는 없다. 그러나 값 가 정의되지 않음을 허용하는 부분 사상에 대해서는 차이가 발생한다.

현대 수학적 용법에서 부분 사상 의 domain은 정의역을 의미하는 경우가 대부분이며, 따라서 의 domain은 제한 가 사상이 되도록 하는 의 최대 부분 집합 이다.

한편, 범주론에서는 사상 대신 사상(대상에서 대상으로의 화살표)을 다루지만, 사상의 '''역'''은 화살표가 시작되는 대상이며 (화살표가 가리키는 대상은 사상의 '''공역'''이라고 부름), 부분 사상 등의 경우 domain이 정의역을 지칭하는 것과는 용법이 다르다. 이 문맥에서는 domain에 관한 집합론적인 생각의 많은 부분이 사용될 수 없거나 더 추상적인 형태로 재정의되어야 한다. 예를 들어, 사상의 역을 부분 대상으로 제한한다는 개념은, 사상의 경우에서 수정해야 한다. 그런 의미에서 이 문맥에서는, 범주의 사상이 부분 사상으로 주어지는 범주의 경우에도, 위와는 달리 사상으로서의 부분 사상 의 domain은 (각 점 에서 가 정의되는지에 관계없이) 를 의미한다.

참조

_[1] 웹사이트 Domain, Range, Inverse of Functions https://www.easyseve[...] 2023-04-10
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적 Calculus: basic concepts and applications Cambridge University Pressd
_[6] 웹사이트 Natural Domain https://mathworld.wo[...]

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