주기함수

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1. 개요

주기함수는 특정 상수(주기)만큼 변수가 변해도 함수값이 변하지 않는 함수이다. 주기 함수의 그래프는 평행 이동 대칭을 가지며, 최소의 양의 주기를 기본 주기라고 한다. 주기 함수는 실수, 복소수, 블로흐 주기 함수 등 다양한 형태로 나타나며, 삼각 함수, 푸리에 급수, 상수 함수 등이 그 예시이다. 주기 함수는 신호 처리, 물리학, 사회 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 정의

함수 $f$ 가 '''주기적'''(periodic)이라는 것은, 어떤 '''0이 아닌''' 상수 $P$ 에 대해 다음 식이 정의역 내의 모든 $x$ 값에 대해 성립하는 것을 의미한다.

: $f(x+P) = f(x)$

이때, 0이 아닌 상수 $P$ 를 함수 $f$ 의 '''주기'''라고 한다. 기하학적으로 주기 함수는 그래프가 평행이동 대칭을 나타내는 함수로 정의할 수 있다. 즉, 함수 $f$ 의 그래프가 $x$ 방향으로 $P$ 만큼의 거리에 대해 불변이면, 함수 $f$ 는 주기 $P$ 를 갖는 주기 함수이다.

이러한 주기성의 정의는 수열과 같이 다른 기하학적 모양과 패턴으로 확장될 수 있다. 주기 수열의 경우에도 이러한 개념이 적용된다.

2. 1. 실수 함수

0이 아닌 실수

t\in\mathbb R\setminus\{0\}

및 실수 부분 집합

D\subset\mathbb R

및 실수 함수

f\colon D\to\mathbb R

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수

f

를 '''주기 함수'''라고 하고, 실수

t

를

f

의 '''주기'''(週期, period^영어)라고 한다.

임의의 $x\in D$ 에 대하여, $f(x+t)=f(x)=f(x-t)$ 이다.
$\textstyle f=\bigsqcup_{n\in\mathbb Z}T_{nt}(f|_{D\cap I})$ 인 유한 실수 구간 $I\subset\mathbb R$ 이 존재한다. 즉, $f$ 의 그래프는 그 "유한한" 제한의 그래프에 대한 거듭된 수평 평행 이동으로 생성된다.
* 여기서 $T_t(g)\colon\operatorname{dom}g+t\to\mathbb R$ 이며, $T_t(g)(x+t)=g(x)\ (\forall x\in\operatorname{dom}g)$ 이다. 즉, $T_t$ 는 함수의 그래프를 수평 방향으로 $t$ 만큼 평행 이동하는 변환이다.

이에 따라, 다음이 성립한다.

임의의 $x\in D$ 에 대하여, $x+t,x-t\in D$ 이다.
$\textstyle D=\bigsqcup_{n\in\mathbb Z}(D\cap I+nt)$ 인 유한 실수 구간 $I\subset\mathbb R$ 이 존재한다.

함수

f

가 어떤 '''0이 아닌''' 상수

P

에 대해 다음이 성립하면 '''주기적'''이라고 한다.

:

f(x+P) = f(x)

이는 정의역 내의 모든

x

값에 대해 성립한다. 이 경우, 0이 아닌 상수

P

를 함수의 '''주기'''라고 한다. 이러한 성질을 갖는 최소의 양수^[2] 상수

P

가 존재하면, 이를 '''기본 주기''' (또는 '''원시 주기''', '''기본 주기''', 또는 '''소수 주기''')라고 한다. 종종 함수의 "그" 주기는 기본 주기를 의미하는 데 사용된다. 주기

P

를 갖는 함수는 길이

P

의 구간에서 반복되며, 이 구간들을 함수의 '''주기'''라고도 한다.

기하학적으로, 주기 함수는 그래프가 병진 대칭을 나타내는 함수로 정의될 수 있다. 즉, 함수

f

의 그래프가

x

방향으로

P

만큼의 거리에 대해 불변이면, 함수

f

는 주기

P

를 갖는 주기 함수이다.

함수

f

가 '''주기적'''이거나 (0이 아닌 상수

P

에 대해) 주기

P

를 가진다는 것은,

x

의 임의의 값에 대해

:

f(x+P) = f(x)

가 성립할 때를 말한다. 이러한 성질을 가진 상수

P

중에서 최소의 양수가 존재할 때^[5], 그러한 양수

P

를 '''기본 주기'''라고 부른다. 주기

P

를 갖는 함수는 길이

P

의 구간마다 값이 반복되는데, 이러한 구간을 '''한 주기'''라고 부른다.

기하학적으로 말하면, 주기 함수는 그 그래프가 평행이동 대칭이 되는 함수로 정의할 수 있다. 구체적으로 함수

f

가 주기

P

에 대해 주기적이라면,

f

의 그래프는

x

축 방향으로의 이동 거리

P

의 평행이동 아래에서 불변하다.

주기적이지 않은 함수는 비주기적이라고 한다.

2. 2. 기본 주기

실수 주기 함수

f\colon D\to\mathbb R

및 실수

T\in\mathbb R

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 실수

T

를

f

의 '''기본 주기'''(基本週期, fundamental period, primitive period^영어)라고 한다. 기본 주기는 존재하지 않을 수 있다.

$T$ 는 양의 최소 주기이다.
$\operatorname{prd}f=T\mathbb Z$ . 즉, $f$ 의 주기는 $\ldots,-2T,-T,0,T,2T,\ldots$ 이다.

어떤 '''0이 아닌''' 상수

P

에 대해 다음이 성립하면 함수

f

는 '''주기적'''이라고 한다.

:

f(x+P) = f(x)

이는 정의역 내의 모든

x

값에 대해 성립한다. 이 경우, 0이 아닌 상수

P

를 함수의 '''주기'''라고 한다. 이러한 성질을 갖는 최소의 양수^[2] 상수

P

가 존재하면, 이를 '''기본 주기''' (또는 '''원시 주기''', '''기본 주기''', 또는 '''소수 주기''')라고 한다.^[5] 종종 함수의 "그" 주기는 기본 주기를 의미하는 데 사용된다. 주기

P

를 갖는 함수는 길이

P

의 구간에서 반복되며, 이 구간들을 함수의 '''주기'''라고도 한다.

3. 성질

0이 아닌 실수 $t\in\mathbb R\setminus\{0\}$ 및 실수 부분 집합 $D\subset\mathbb R$ 및 실수 함수 $f\colon D\to\mathbb R$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 $f$ 를 '''주기 함수'''라고 하고, 실수 $t$ 를 $f$ 의 '''주기'''(period^영어)라고 한다.

임의의 $x\in D$ 에 대하여, $f(x+t)=f(x)=f(x-t)$ 이다.
$\textstyle f=\bigsqcup_{n\in\mathbb Z}T_{nt}(f|_{D\cap I})$ 인 유한 실수 구간 $I\subset\mathbb R$ 이 존재한다. 즉, $f$ 의 그래프는 그 "유한한" 제한의 그래프에 대한 거듭된 수평 평행 이동으로 생성된다.
여기서 $T_t(g)\colon\operatorname{dom}g+t\to\mathbb R$ 이며, $T_t(g)(x+t)=g(x)\ (\forall x\in\operatorname{dom}g)$ 이다. 즉, $T_t$ 는 함수의 그래프를 수평 방향으로 $t$ 만큼 평행 이동하는 변환이다.

이에 따라, 다음이 성립한다.

임의의 $x\in D$ 에 대하여, $x+t,x-t\in D$ 이다.
$\textstyle D=\bigsqcup_{n\in\mathbb Z}(D\cap I+nt)$ 인 유한 실수 구간 $I\subset\mathbb R$ 이 존재한다.

주기 함수는 여러 번 값을 가질 수 있다. 더 구체적으로, 함수

f

가 주기

P

를 갖는 주기 함수라면,

f

의 정의 구역 내의 모든

x

와 모든 양의 정수

n

에 대해,

f(x + nP) = f(x)

가 성립한다.

만약

f(x)

가 주기

P

를 갖는 함수라면,

f(ax)

는

a

가 0이 아닌 실수이고

ax

가

f

의 정의 구역 내에 있다면, 주기

\frac{P}{a}

를 갖는 주기 함수이다. 예를 들어,

f(x) = \sin(x)

는 주기

2 \pi

를 가지며, 따라서

\sin(5x)

는 주기

\frac{2\pi}{5}

를 갖는다.

일부 주기 함수는 푸리에 급수로 표현될 수 있다. 예를 들어, ''L''² 함수의 경우, 칼레송 정리는 이들이 점별 (르베그) 거의 어디서나 수렴하는 푸리에 급수를 갖는다고 말한다. 푸리에 급수는 주기 함수 또는 유계(컴팩트) 구간의 함수에 대해서만 사용할 수 있다. 만약

f

가 푸리에 급수로 표현될 수 있는 주기

P

를 갖는 주기 함수라면, 급수의 계수는 길이

P

인 구간에 대한 적분으로 표현될 수 있다.

같은 주기를 갖는 주기 함수로만 구성된 모든 함수는 다음과 같이 주기 함수(주기는 같거나 작음)이기도 하다.

주기 함수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈
주기 함수의 거듭제곱 또는 근 (모든 $x$ 에 대해 정의된 경우)

3. 1. 주기와 덧셈

실수 주기 함수

f\colon D\to\mathbb R

의 주기와 0의 집합을

\operatorname{prd}f

로 적는다. 즉, 다음과 같다.

:

\operatorname{prd}f=\{t\in\mathbb R\colon f(x+t)=f(x)\}

이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해,

임의의 $t,u\in\operatorname{prd}f$ 에 대하여, $t+u,t-u\in\operatorname{prd}f$ 이다.
특히, 임의의 $t\in\operatorname{prd}f$ 및 $n\in\mathbb Z$ 에 대하여, $nt\in\operatorname{prd}f$ 이다.

따라서

\operatorname{prd}f

는 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.

3. 2. 기본 주기와 조밀 집합

실수 주기 함수

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$f$ 가 기본 주기를 갖지 않는다.
$\operatorname{prd}f$ 가 $\mathbb R$ 에서 조밀 집합이다.

만약 주기 함수

f\colon\mathbb R\to\mathbb R

가 기본 주기를 갖지 않는다면, 상수 함수이거나, 아니면 모든 곳에서 불연속이다.

4. 예시

실수를 그 소수 부분으로 대응시키는 함수는 주기 함수이며, 기본 주기는 1이다.
삼각 함수는 모두 주기 함수이다. 사인 함수 · 코사인 함수는 $2\pi$ , 탄젠트 함수는 $\pi$ 를 기본 주기로 한다.
상수 함수는 주기 함수이며, 모든 실수를 주기로 갖는다. 따라서 기본 주기가 없다.
디리클레 함수는 주기 함수이며, 모든 유리수를 주기로 갖는다. 따라서 기본 주기가 없다.
변수가 '시간'인 경우, 시계의 시곗바늘이나 달의 위상은 주기적인 행동을 보인다. 주기 운동은 시스템의 위치가 모두 같은 주기를 갖는 주기 함수로 표현될 수 있는 운동이다.
실수 또는 정수에 대한 함수의 경우, 전체 그래프가 정기적인 간격으로 반복되는 특정 부분의 복사본으로 구성될 수 있음을 의미한다.
사인 함수의 그래프, 두 개의 완전한 주기를 보여줌

사인 함수는 모든 x 값에 대해

\sin(x + 2\pi) = \sin x

이므로, 주기

2\pi

를 갖는 주기함수이다.

4. 1. 실수 함수 예시

실수를 그 소수 부분으로 대응시키는 함수

f

는 주기 함수이며, 기본 주기는 1이다. 예를 들어 다음과 같다.

:

\cdots = f(-2.9) = f(-1.9) = f(-0.9) = 0.1 = f(0.1) = f(1.1) = f(2.1) = \cdots

이 함수

f

의 그래프는 톱니파 모양이다.

삼각 함수는 모두 주기 함수이다. 사인 함수와 코사인 함수는

2\pi

를 기본 주기로 가지며, 탄젠트 함수는

\pi

를 기본 주기로 갖는다. 예를 들어, 사인 함수의 경우 모든

x

값에 대해

:

\sin(x + 2\pi) = \sin x

가 성립한다. 즉, 길이

2\pi

의 구간마다 같은 값을 반복한다.

푸리에 급수는 임의의 주기 함수를 주기가 같은 삼각 함수들의 합으로 나타낼 수 있다는 아이디어를 바탕으로 한다.

상수 함수는 모든 실수를 주기로 갖는 주기 함수이며, 기본 주기는 없다. 디리클레 함수

:

f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}

역시 주기 함수이며, 모든 유리수를 주기로 갖지만, 기본 주기는 없다.

변수가 '시간'인 경우, 일상에서 주기 함수의 예시를 찾아볼 수 있다. 예를 들어, 시계의 시곗바늘이나 달의 위상 변화는 주기적인 현상이다. 대한민국에서는 4년마다 치러지는 국회의원 선거나 매년 돌아오는 추석, 설날과 같은 명절도 주기적인 현상의 예시로 볼 수 있다.

4. 2. 복소수 함수 예시

복소 변수를 사용하면 다음과 같은 일반적인 주기 함수를 얻을 수 있다.

:

e^{ikx} = \cos kx + i\,\sin kx.

코사인 함수와 사인 함수는 모두 주기가

2\pi

인 주기 함수이므로, 복소 지수 함수는 코사인파와 사인파로 구성된다. 이는 오일러 공식이 함수의 주기가

L

일 때 다음을 만족하는 성질을 갖는다는 것을 의미한다.

:

L = \frac{2\pi}{k}.

복소수를 변수로 갖는 주기함수로서, 다음의 복소지수함수가 잘 알려져 있다.

:

e^{ikx} = \cos kx + i\,\sin kx.

실부의 코사인 함수와 허부의 사인 함수 둘 다 주기적이기 때문에, 이 함수는 주기적이다. 이러한 복소지수함수의 삼각함수에 의한 표시는 오일러 공식으로 알려져 있다. 이 복소지수함수를 사용함으로써 삼각함수는 지수함수에 의해 표기할 수 있다. 삼각함수와 마찬가지로 지수함수의 주기는

L = \frac{2\pi}{k}

로 주어진다.

4. 3. 이중 주기 함수

복소수를 정의역으로 하는 함수는 상수가 아니면서 두 개의 무공약 주기를 가질 수 있다. 타원 함수가 그러한 함수이다. (이 맥락에서 "무공약"은 서로의 실수 배수가 아님을 의미한다.)

복소 평면상에서 정의된 함수는 상수 함수가 아니더라도 서로 불균형한 2개의 주기를 가질 수 있다. (이 문맥에서의 "불균형"은 한쪽이 다른 쪽의 실수배가 아님을 말한다.) 그러한 함수의 예로 타원 함수가 있다.^[1]

4. 4. 디리클레 함수

디리클레 함수

:

f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}

는 주기 함수이며, 모든 유리수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.^[1] 디리클레 함수와 같은 특이한 exotic|익조틱^영어 함수도 주기적이라고 할 수 있다(디리클레 함수의 주기는 임의의 비영 유리수).^[1]

5. 일반화

주기 함수는 여러 가지로 일반화될 수 있다.

반주기 함수: 모든 $x$ 에 대해 $f(x+P) = -f(x)$ 를 만족하는 함수 $f$ 이다. 사인 함수와 코사인 함수는 $\pi$ 에 대한 반주기 함수이며, $2\pi$ 에 대한 주기 함수이다. $P$ 에 대한 반주기 함수는 $2P$ 에 대한 주기 함수이지만, 그 역은 항상 참이 아니다.^[3]

블로흐 주기 함수: 블로흐 정리와 플로케 이론에서 나타나는 $f(x+P) = e^{ikP} f(x)$ 형태의 함수이다. 여기서 $k$ 는 실수 또는 복소수이다. 주기 함수는 $k=0$ 인 경우, 반주기 함수는 $k=\pi/P$ 인 경우이며, $k P/ \pi$ 가 유리수이면 주기 함수가 된다.

몫공간에서의 주기 함수: 신호 처리에서 주기 함수는 푸리에 급수로 나타낼 수 있고 합성곱 정리를 만족하지만, 일반적인 정의로는 합성곱을 구할 수 없다. 이를 해결하기 위해 몫공간 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ (동일한 소수 부분을 갖는 실수의 동치류)를 이용하여, $f : \mathbb{R}/\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ 와 같은 1-주기 함수를 정의할 수 있다.

5. 1. 반주기 함수

'''반주기 함수'''는 모든

x

에 대해

f(x+P) = -f(x)

를 만족하는 함수

f

이다. 예를 들어, 사인 함수와 코사인 함수는

\pi

에 대한 반주기 함수이면서

2\pi

에 대한 주기 함수이다.

P

에 대한 반주기 함수는

2P

에 대한 주기 함수이지만, 역은 반드시 참이 아니다.^[3]

5. 2. 블로흐 주기 함수

블로흐 정리와 플로케 이론에서는 (1차원) 해가 일반적으로 다음 형태의 함수로 나타난다.

:

f(x+P) = e^{ikP} f(x) ~,

여기서

k

는 실수 또는 복소수(''블로흐 파수 벡터'' 또는 ''플로케 지수'')이다. 이러한 형태의 함수는 이 맥락에서 '''블로흐 주기적'''이라고 불린다. 주기 함수는

k=0

인 특수한 경우이며, 반주기 함수는

k=\pi/P

인 특수한 경우이다.

k P/ \pi

가 유리수이면, 함수는 주기적이다.

5. 3. 몫공간에서의 주기 함수

신호 처리에서 푸리에 급수는 주기 함수를 나타내고 합성곱 정리를 만족한다(즉, 푸리에 급수의 합성곱은 표현된 주기 함수의 곱셈에 해당하며 그 반대도 성립한다). 하지만 주기 함수는 관련된 적분 값이 발산하기 때문에 일반적인 정의로는 합성곱을 구할 수 없다. 가능한 해결책은 유계지만 주기적인 도메인에서 주기 함수를 정의하는 것이다. 이를 위해 몫공간의 개념을 사용할 수 있다.

:

\mathbb{R}/\mathbb{Z} = \{x+\mathbb{Z} : x\in\mathbb{R}\} = \{\{y : y\in\mathbb{R}\land y-x\in\mathbb{Z}\} : x\in\mathbb{R}\}

.

즉,

\mathbb{R}/\mathbb{Z}

의 각 요소는 동일한 소수 부분을 공유하는 실수의 동치류이다. 따라서

f : \mathbb{R}/\mathbb{Z}\to\mathbb{R}

과 같은 함수는 1-주기 함수의 표현이다.

6. 주기 계산

실제 파형은 기본 주파수 f에 대한 비율로 표현된 중첩된 주파수들로 구성되며, 다음과 같은 집합으로 표현된다. F = [f₁ f₂ f₃ ... f_N] 여기서 모든 0이 아닌 요소는 1 이상이며, 집합의 요소 중 적어도 하나는 1이다. 주기를 구하려면, T, 먼저 집합의 모든 요소의 최소공배수(LCD)를 구한다. 주기는 T = ^LCD⁄_f로 구할 수 있다. 간단한 사인파의 경우 T = ¹⁄_f임을 고려하면, LCD는 주기성 배율로 볼 수 있다.^[4]

서양 장음계의 모든 음을 나타내는 집합의 경우: [1 ⁹⁄₈ ⁵⁄₄ ⁴⁄₃ ³⁄₂ ⁵⁄₃ ¹⁵⁄₈] LCD는 24이므로 T = ²⁴⁄_f이다.
장3화음의 모든 음을 나타내는 집합의 경우: [1 ⁵⁄₄ ³⁄₂] LCD는 4이므로 T = ⁴⁄_f이다.
단3화음의 모든 음을 나타내는 집합의 경우: [1 ⁶⁄₅ ³⁄₂] LCD는 10이므로 T = ¹⁰⁄_f이다.

최소공배수가 존재하지 않는 경우, 예를 들어 위의 요소 중 하나가 무리수이면 파형은 주기적이지 않다.^[4]

7. 응용

주기 함수는 여러 분야에서 응용된다. 신호 처리에서 푸리에 급수는 주기 함수를 나타내는 데 사용된다.

7. 1. 신호 처리

신호 처리에서 푸리에 급수는 주기 함수를 나타내며, 합성곱 정리를 만족한다(푸리에 급수의 합성곱은 표현된 주기 함수의 곱셈에 해당하며 그 반대도 성립한다). 하지만 주기 함수는 관련된 적분 값이 발산하기 때문에 일반적인 정의로는 합성곱을 구할 수 없다. 가능한 해결책은 유계지만 주기적인 도메인에서 주기 함수를 정의하는 것이다. 이를 위해 몫공간의 개념을 사용할 수 있다.

:

\mathbb{R}/\mathbb{Z} = \{x+\mathbb{Z} : x\in\mathbb{R}\} = \{\{y : y\in\mathbb{R}\land y-x\in\mathbb{Z}\} : x\in\mathbb{R}\}

.

즉,

\mathbb{R}/\mathbb{Z}

의 각 요소는 동일한 소수 부분을 공유하는 실수의 동치류이다. 따라서

f : \mathbb{R}/\mathbb{Z}\to\mathbb{R}

과 같은 함수는 1-주기 함수의 표현이다.

참조

_[1] 웹사이트 IEC 60050 — Details for IEV number 103-05-08: "cycle" https://www.electrop[...] 2023-11-20
_[2] 문서 For some functions, like a [[constant function]] or the [[Dirichlet function]] (the [[indicator function]] of the [[rational number]]s), a least positive period may not exist (the [[infimum]] of all positive periods {{math|P}} being zero).
_[3] 웹사이트 Antiperiodic Function https://mathworld.wo[...] 2024-06-06
_[4] 웹사이트 Periodicity, Real Fourier Series, and Fourier Transforms https://www.ece.rice[...] 2009-10-05
_[5] 문서 定数関数や有理数全体の成す集合の指示関数のような、ある種の関数には最小の正「周期」は存在しない（周期として取り得る正の {{math|''P''}} の下限は {{math|0}} になってしまう）。

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