준가법성

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 함수
- 2.2. 수열
3. 표현 예
4. 특수한 경우
5. 성질
- 5.1. 페케테의 보조정리
- 5.2. 오목 함수
6. 여러 분야에서의 예시
참조

1. 개요

준가법성은 함수 f가 f(x+y) ≤ f(x) + f(y)를 만족하는 수학적 성질을 의미하며, 수열에도 적용될 수 있다. 제곱근 함수가 대표적인 예시이며, 수열의 경우 a_n+m ≤ a_n + a_m을 만족하면 준가법적이다. 미하엘 페케테의 보조정리는 준가법적 수열의 극한에 대한 유용한 결과를 제공하며, 엔트로피, 경제학, 금융, 열역학, 조합론 등 다양한 분야에서 활용된다.

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준가법성
개요
분야	수학
하위 분야	실해석학
관련 항목	준가법성; 초가법성
정의
함수적 정의	함수 f : A → B 가 임의의 x, y ∈ A 에 대해 f(x + y) ≤ f(x) + f(y) 를 만족하면 준가법성을 가짐
집합 함수적 정의	집합 함수 f 가 임의의 분리된 집합 A와 B에 대해 f(A ∪ B) ≤ f(A) + f(B)를 만족하면 준가법성을 가짐
일반적 정의	'부분 가법성'이라고도 함. f(x + y)가 f(x) + f(y)보다 작거나 같은 성질
성질
밍코프스키 부등식	Lp 공간의 노름이 준가법성을 가짐
제곱근 함수	구간 [0, ∞)에서 제곱근 함수는 준가법성을 가짐
음의 준가법 함수	함수 f 가 음의 값을 가지고 f(0) = 0 이라면, f 는 준가법 함수임
응용
정보 이론	정보 이론에서, 상호 정보는 두 랜덤 변수의 결합 분포에 대한 준가법 함수임
확률론	확률론에서, 두 사건의 합집합의 확률은 각 사건의 확률의 합보다 작거나 같음 (준가법성)
열역학	열역학에서, 계의 크기에 따라 증가하는 어떤 양 (예: 엔트로피)은 준가법적임

2. 정의

함수 $f \colon A \to B$ 에서, 정의역 ''A''와 순서가 지정된 공역 ''B''가 모두 덧셈에 대해 닫혀 있고, 모든 $x, y \in A$ 에 대해 다음 부등식을 만족하면 준가법 함수라고 한다.

: $f(x+y)\leq f(x)+f(y).$

예를 들어 제곱근 함수는 음이 아닌 실수를 정의역과 공역으로 가지는데, 이는 $\forall x, y \geq 0$ 에 대해 $\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}$ 가 성립하기 때문이다.

수열 $\left \{ a_n \right \}_{n \geq 1}$ 이 모든 ''m''과 ''n''에 대해 부등식 $a_{n+m}\leq a_n+a_m$ 을 만족하면 '''준가법적'''이라고 한다. 이는 수열을 자연수의 집합에 대한 함수로 해석하는 경우, 준가법 함수의 특별한 경우이다.

2. 1. 함수

함수 f : A → B 에서, 정의역 A와 공역 B가 덧셈에 대해 닫혀 있고, 모든 x, y ∈ A에 대해 다음 부등식을 만족하면 준가법 함수라고 한다.^[9]

:

f(x+y)\leq f(x)+f(y).

예를 들어 제곱근 함수는 음이 아닌 실수를 정의역과 공역으로 가지는데, 이는

\forall x, y \geq 0

에 대해

\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y}.

가 성립하기 때문이다.

수열

\left \{ a_n \right \}_{n \geq 1}

이 모든 ''m''과 ''n''에 대해 부등식

a_{n+m}\leq a_n+a_m

을 만족하면 준가법적이라고 한다. 이는 수열을 자연수의 집합에 대한 함수로 해석하는 경우, 준가법 함수의 특별한 경우이다.

만약 ''f''가 준가법적 함수이고, 0이 그 정의역에 포함된다면, ''f''(0) ≥ 0이다.

f(x) \ge f(x+y) - f(y)

이므로,

f(0) \ge f(0+y) - f(y) = 0

이다.

f(0) \ge 0

인 오목 함수

f: [0,\infty) \to \mathbb{R}

도 준가법적이다.^[10]

준가법적 함수의 음수는 초가법적이다.

2. 2. 수열

수열

\left \{ a_n \right \}_{n \geq 1}

은 모든 ''m''과 ''n''에 대해 다음의 부등식을 만족하면 '''준가법적'''이라고 한다.

::

a_{n+m}\leq a_n+a_m

이는 준가법 함수의 특별한 경우이며, 수열을 자연수의 집합에 대한 함수로 해석하는 경우이다.

볼록 감소 수열은 준가법적이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어,

a_1, a_2, ...

를

[0.5, 1]

범위의 값으로 무작위로 할당하면 수열은 준가법적이지만 볼록 감소 수열은 아니다.

미하엘 페케테(Michael Fekete)의 보조정리인 Fekete의 부분 가법적 보조정리는 부분 가법적 수열과 관련된 유용한 결과이다. 모든 부분 가법적 수열

{\left \{ a_n \right \}}_{n=1}^\infty

에 대해, 극한

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}

은 하한

\inf \frac{a_n}{n}

과 같다. (극한은

-\infty

일 수 있다.)

Fekete의 보조정리의 유사성은 초가법적 수열에도 적용된다. 즉,

::

a_{n+m}\geq a_n + a_m.

(그러면 극한은 양의 무한대가 될 수 있다. 수열

a_n = \log n!

을 생각해 보라.)

a_{n+m}\le a_n + a_m

부등식이 모든 ''m''과 ''n''에 대해 성립하는 것이 아니라,

\frac 1 2 \le \frac m n \le 2.

인 ''m''과 ''n''에 대해서만 성립해도 되는 Fekete의 보조정리의 확장도 있다.

또한, 조건

a_{n+m}\le a_n + a_m

은 다음과 같이 약화될 수 있다.

a_{n+m}\le a_n + a_m + \phi(n+m)

, 단

\phi

는 적분

\int \phi(t) t^{-2} \, dt

가 (무한대에 가까운) 수렴하는 증가 함수이다.

Fekete의 보조정리에서 명시된 극한의 존재에 대한 수렴 속도를 추론할 수 있는 결과도 있다. 어떤 종류의 초가법성과 부분 가법성이 모두 존재한다면 말이다.

Fekete의 보조정리의 유사성은 가산적인 그룹의 유한 부분 집합으로부터의 부분 가법적 실수 맵에 대해 증명되었으며, 더 나아가, 소멸 가능한 좌-가산적 반군에 대해서도 증명되었다.

3. 표현 예

제곱근 함수는 음이 아닌 실수를 정의역과 공역으로 가지며, 준가법 함수의 예시이다.

: $\sqrt{x+y}\leq \sqrt{x}+\sqrt{y} \quad(\forall x,y\in \mathbb{R}_+)$

절댓값이나 노름에 관한 부등식은 삼각 부등식이라고 불리며, 준가법성을 나타낸다.

: $|x+y|\le |x| + |y|,\quad \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|$

4. 특수한 경우

가산 법칙이 항등식으로 성립하는 가법성 함수는 준가법성의 특수한 경우이다.

: $\sqrt{(x+y)^2} = \sqrt{(x)^2}+\sqrt{(y)^2}$

또한

: $\sqrt{(x+y)^2} =\sqrt{x^2+2xy+y^2}= \sqrt{(x)^2}+\sqrt{(y)^2}$

이기도 하다.

5. 성질

미하엘 페케테(Michael Fekete)의 보조정리는 모든 부분 가법적 수열 ${\left \{ a_n \right \}}_{n=1}^\infty$에 대해, 극한 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}$ 은 하한 $\inf \frac{a_n}{n}$ 과 같다는 내용을 담고 있다. (극한은 $-\infty$ 일 수 있다.)^[1]^[14] 초가법적 수열, 즉 $a_{n+m}\geq a_n + a_m$ 인 경우에도 유사한 정리가 적용되며, 이 경우 극한은 양의 무한대가 될 수 있다. (예: $a_n = \log n!$ )^[14]

Fekete 보조정리는 부등식이 특정 조건을 만족하는 m과 n에 대해서만 성립하는 경우에도 적용될 수 있도록 확장될 수 있다.^[15]^[16] 예를 들어, $\frac 1 2 \le \frac m n \le 2.$ 인 ''m''과 ''n''에 대해서만 $a_{n+m}\le a_n + a_m$ 부등식이 성립해도 된다.^[1]

또한, $a_{n+m}\le a_n + a_m + \phi(n+m)$ 형태로 조건이 약화될 수도 있는데, 여기서 $\phi$ 는 적분 $\int \phi(t) t^{-2} \, dt$ 가 (무한대에 가까운) 수렴하는 증가 함수이다.^[2]

$f(0) \ge 0$ 인 오목 함수 $f: [0,\infty) \to \mathbb{R}$ 는 준가법적이다.^[10] 이를 증명하기 위해, $f(x) \ge \textstyle{\frac{y}{x+y}} f(0) + \textstyle{\frac{x}{x+y}} f(x+y)$ 임을 보이고, $f(x)$ 와 $f(y)$ 에 대한 이 경계의 합을 통해 ''f''가 준가법적임을 확인한다.^[10]

5. 1. 페케테의 보조정리

미하엘 페케테(Michael Fekete)의 보조정리는 모든 부분 가법적 수열 ${\left \{ a_n \right \}}_{n=1}^\infty$에 대해, 극한

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}

은 하한

\inf \frac{a_n}{n}

과 같다는 내용을 담고 있다. (극한은

-\infty

일 수 있다.)^[1]^[14] 초가법적 수열, 즉

a_{n+m}\geq a_n + a_m

인 경우에도 유사한 정리가 적용되며, 이 경우 극한은 양의 무한대가 될 수 있다. (예:

a_n = \log n!

)^[14]

Fekete 보조정리는 부등식이 특정 조건을 만족하는 m과 n에 대해서만 성립하는 경우에도 적용될 수 있도록 확장될 수 있다.^[15]^[16] 예를 들어,

\frac 1 2 \le \frac m n \le 2.

인 ''m''과 ''n''에 대해서만

a_{n+m}\le a_n + a_m

부등식이 성립해도 된다.^[1]

또한,

a_{n+m}\le a_n + a_m + \phi(n+m)

형태로 조건이 약화될 수도 있는데, 여기서

\phi

는 적분

\int \phi(t) t^{-2} \, dt

가 (무한대에 가까운) 수렴하는 증가 함수이다.^[2]

5. 2. 오목 함수

f(0) \ge 0

인 오목 함수

f: [0,\infty) \to \mathbb{R}

는 준가법적이다.^[10] 이를 증명하기 위해,

f(x) \ge \textstyle{\frac{y}{x+y}} f(0) + \textstyle{\frac{x}{x+y}} f(x+y)

임을 보이고,

f(x)

와

f(y)

에 대한 이 경계의 합을 통해 ''f''가 준가법적임을 확인한다.^[10]

6. 여러 분야에서의 예시

6. 1. 엔트로피

엔트로피는 정보 이론과 통계 역학뿐만 아니라 폰 노이만에 의해 일반화된 공식에서 양자 역학에서도 기본적인 역할을 한다.

엔트로피는 모든 공식에서 항상 가산성을 따르는 양으로 나타나는데, 이는 상위 시스템 또는 임의 변수의 집합 합집합의 엔트로피가 개별 구성 요소의 엔트로피 합보다 항상 작거나 같다는 것을 의미한다.

또한, 물리학에서의 엔트로피는 고전 통계 역학의 엔트로피의 강한 가산성 및 이의 양자 유사성과 같은 몇 가지 더 엄격한 부등식을 만족한다.

6. 2. 경제학

준가법성은 특정 비용 곡선의 필수적인 속성으로, 일반적으로 자연 독점의 검증을 위한 필요 충분 조건이다. 이는 한 기업의 생산이 동일한 수의 기업이 원래 수량의 일부를 생산하는 것보다 사회적으로 덜 비싸다는 것을 의미한다(평균 비용 측면에서).

규모의 경제는 준가법적 평균 비용 함수로 표현된다.

보완재의 경우를 제외하고, 재화의 가격(수량에 대한 함수)은 준가법적이어야 한다. 그렇지 않으면, 두 품목의 비용 합계가 두 품목을 함께 묶어서 사는 것보다 저렴하다면, 아무도 묶음 상품을 구매하지 않을 것이고, 묶음 상품의 가격이 두 품목의 가격 합계가 "될" 것이다. 따라서 이는 자연 독점에 대한 충분 조건이 아님을 증명한다. 교환 단위가 품목의 실제 비용이 아닐 수 있기 때문이다.

6. 3. 금융

준가법성은 위험 관리에서 일관성 있는 위험 측정의 바람직한 속성 중 하나이다.^[11] 포트폴리오 위험 노출은 기껏해야 포트폴리오를 구성하는 개별 포지션의 위험 노출의 합과 같아야 한다는 것이 준가법성의 경제적 직관이다. 준가법성의 부족은 VaR 모델의 주요 비판 중 하나인데, 이는 위험 요인의 정규 분포를 가정하지 않는다. 가우시안 VaR은 준가법성을 보장한다.

가우시안 VaR의 경우 신뢰 수준

1-p

에서 두 개의 단일 장기 포지션 포트폴리오

V

는 평균 포트폴리오 가치 변동이 0이고 VaR이 음수 손실로 정의된다고 가정하면 다음과 같다.

:

\text{VaR}_p \equiv z_{p}\sigma_{\Delta V} =  z_{p}\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2+2\rho_{xy}\sigma_x \sigma_y}

여기서

z_p

는 확률 수준

p

에서 정규 누적 분포 함수의 역함수이고,

\sigma_x^2,\sigma_y^2

는 개별 포지션 수익률 분산이며

\rho_{xy}

는 두 개별 포지션 수익률 간의 선형 상관 관계 측정이다. 분산은 항상 양수이므로,

:

\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2+2\rho_{xy}\sigma_x \sigma_y} \leq \sigma_x + \sigma_y

따라서 가우시안 VaR은

\rho_{xy} \in [-1,1]

의 모든 값에 대해 준가법적이며, 특히

\rho_{xy}=1

일 때 개별 위험 노출의 합과 같으며, 이는 포트폴리오 위험에 대한 다변화 효과가 없는 경우이다.

6. 4. 열역학

비가산성은 비이상 용액 및 과잉 몰 부피와 혼합 엔탈피 또는 과잉 엔탈피와 같은 혼합물의 열역학적 특성에서 발생한다.

6. 5. 조합론

팩토리얼 형식 언어 ''L''은 어떤 단어가 ''L''에 속하면 그 단어의 모든 부분 문자열도 ''L''에 속하는 언어이다. 단어 조합론에서 흔한 문제는 팩토리얼 언어에서 길이 ''n''인 단어의 수 ''A(n)''을 결정하는 것이다. ''A(m+n) ≤ A(m)A(n)''이므로 log ''A(n)''은 부분 가법적이며, 따라서 Fekete의 보조 정리를 사용하여 ''A(n)''의 성장을 추정할 수 있다.^[12]

모든 ''k'' ≥ 1에 대해, 알파벳 1, 2, ..., ''k''에서 길이 ''n''인 두 개의 문자열을 균일하게 무작위로 추출한다. 최장 공통 부분 수열의 기대 길이는 ''n''에 대한 *초* 가법 함수이며, 따라서 기대 길이가 ∼ γ_''k''''n''으로 성장하는 숫자 γ_''k'' ≥ 0가 존재한다. ''n''=1인 경우를 확인하면 1/''k'' < γ_''k'' ≤ 1임을 쉽게 알 수 있다. 그러나 γ₂의 정확한 값은 0.788과 0.827 사이인 것으로 알려져 있다.^[13]

참조

_[1] 논문 Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten
_[2] 논문 Some linear and some quadratic recursion formulas. II
_[3] 서적 Probability theory and combinatorial optimization SIAM, Philadelphia
_[4] 영상 CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization http://sms.cam.ac.uk[...] University of Cambridge
_[5] 논문 Mean topological dimension
_[6] 논문 Entropy and isomorphism theorems for actions of amenable groups
_[7] 논문 Topological Invariants of Dynamical Systems and Spaces of Holomorphic Maps: I
_[8] 논문 An analogue of Fekete's lemma for subadditive functions on cancellative amenable semigroups
_[9] 문서 Hille 1948, Theorem 6.6.1. (Measurability is stipulated in Sect. 6.2 "Preliminaries".)
_[10] 서적 Handbook of Analysis and its Foundations Academic Press
_[11] 논문 Bigger Is Not Always Safer: A Critical Analysis of the Subadditivity Assumption for Coherent Risk Measures
_[12] 논문 Growth properties of power-free languages 2012
_[13] 논문 Improved bounds on the average length of longest common subsequences https://dl.acm.org/d[...] 2009-05
_[14] 논문 "Uber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit. ganzzahligen Koeffizienten."
_[15] 서적 Probability theory and combinatorial optimization SIAM, Philadelphia
_[16] 영상 CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization http://sms.cam.ac.uk[...] University of Cambridge
_[17] 서적 Handbook of Analysis and its Foundations Academic Press

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