폐포 (수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 닫힘
- 2.2. 폐포
3. 예
4. 폐포 연산자
- 4.1. 폐포 연산자와 닫힌 집합
참조

1. 개요

폐포(Closure)는 수학에서 집합의 원소를 생성하는 방법과 닫힌 집합, 닫힘, 폐포 연산자 등의 개념을 포괄하는 용어이다. 집합 S의 부분 집합 X가 '닫혀있다'는 것은 X의 원소에 특정 연산을 적용한 결과가 항상 X에 속한다는 것을 의미하며, 닫힌 집합들의 교집합은 닫힌 집합이라는 특징을 갖는다. 폐포는 주어진 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합으로 정의되며, 위상수학, 대수학, 집합론 등 다양한 분야에서 활용된다. 폐포 연산자는 증가, 멱등, 단조 증가의 속성을 만족하는 함수로, 닫힌 집합을 정의하는 데 사용된다.

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내부는 위상 공간의 부분 집합 S에 대해 S에 포함된 가장 큰 열린 집합으로 정의되며, 멱등성을 가지고 폐포와 쌍대적인 개념이다.

폐포 (수학)
개요
분야	수학
하위 분야	집합론, 관계론, 추상대수학, 위상수학
속성	집합의 부분집합에 대한 연산
기호	Cl(A), A⁻
관련 개념	대수 구조 생성 집합 부분 공간 위상수학에서의 폐포
정의
수학적 정의	어떤 집합의 부분집합에 대한 연산으로, 특정 속성을 만족하는 가장 작은 집합을 찾는 연산
설명	어떤 집합 A에 대해, A의 폐포는 A를 포함하는 가장 작은 집합 B이며, B는 특정 속성을 만족한다. 폐포 연산은 집합 A를 그 폐포 Cl(A)로 대응시키는 연산이다.
예시	대수 구조에서 부분집합 S의 폐포는 S를 포함하는 가장 작은 부분구조이다. 선형대수학에서 벡터 부분집합의 폐포는 해당 부분집합의 선형 결합 전체의 집합, 즉 선형 껍질이다. 위상수학에서 집합의 폐포는 그 집합과 그 집합의 모든 극한점들을 합한 것이다.
성질
멱등성	Cl(Cl(A)) = Cl(A)
단조성	A ⊆ B 이면 Cl(A) ⊆ Cl(B)
확장성	A ⊆ Cl(A)
예시 (추상대수학)
군론	군 G의 부분집합 S의 폐포는 S를 포함하는 가장 작은 부분군이다.
환론	환 R의 부분집합 S의 폐포는 S를 포함하는 가장 작은 부분환이다.
체론	체 F의 부분집합 S의 폐포는 S를 포함하는 가장 작은 부분체이다.
예시 (선형대수학)
벡터 공간	벡터 공간 V의 부분집합 S의 폐포는 S를 포함하는 가장 작은 부분공간, 즉 선형 껍질이다.
예시 (위상수학)
위상 공간	위상 공간 X의 부분집합 S의 폐포는 S와 그 집합의 모든 극한점들의 합집합이다.
관련 항목
관련 개념	갈루아 접속 닫힘 (수학) 생성 집합

2. 정의

수학에서 폐포(closure)는 어떤 집합의 부분 집합 $X$ 와 특정 성질 $P$ 가 주어졌을 때, $X$ 를 포함하면서 성질 $P$ 를 만족하는 '가장 작은' 집합을 의미한다. 이 성질 $P$ 는 흔히 특정 연산이나 관계에 대해 '닫혀있다'는 속성과 관련된다.^[1]

닫힌 성질을 가진 집합들의 교집합 역시 같은 성질을 가지는 경우가 많으며, 이 경우 $X$ 의 폐포는 $X$ 를 포함하는 모든 '닫힌' 집합들의 교집합으로 정의될 수 있다. 문맥에 따라 폐포는 $X$ 에 의해 생성되거나 span된 집합이라고도 불린다.

폐포 개념은 수학의 여러 분야에서 다양한 형태로 나타난다.

대수 구조에서는 주어진 집합을 포함하는 가장 작은 부분 구조를 의미하며, 예를 들어 군의 부분군, 벡터 공간의 선형 덮개 등이 있다.
관계에서는 반사성, 대칭성, 추이성과 같은 성질을 만족하도록 관계를 확장한 반사 폐포, 대칭 폐포, 추이 폐포 등이 정의된다.
대수기하학에서는 다항식들의 공통 영점 집합과 관련된 자리스키 폐포가 있다.
기하학에서는 점들의 집합 $S$ 를 포함하는 가장 작은 볼록 집합인 볼록 껍질이 폐포의 한 예이다.^[4]
이 외에도 매트로이드 이론, 집합론(추이 폐포^[2]), 체론(대수적 폐포^[3]), 환론(아이디얼의 근, 정수적 폐포), 형식 언어 이론(클레이니 폐포), 군론(정규 폐포), 수학적 해석학 및 확률론(σ-대수) 등 다양한 분야에서 특정 맥락에 맞는 폐포 개념이 정의되어 사용된다.

2. 1. 닫힘

집합

S

와

S

위의 연산 또는 관계가 주어졌을 때,

S

의 부분 집합

T

가 특정 연산이나 관계에 대해 '''닫혀있다'''(closed^영어)고 하는 것은,

T

의 원소들에 해당 연산이나 관계를 적용했을 때 그 결과가 항상 다시

T

안에 속하는 것을 의미한다.^[1] 예를 들어, 자연수의 집합에서 덧셈 연산을 생각할 때, 짝수의 집합은 덧셈에 대해 닫혀있다. 왜냐하면 어떤 두 짝수를 더해도 그 결과는 항상 짝수이기 때문이다. 하지만 홀수의 집합은 덧셈에 대해 닫혀있지 않다. 두 홀수를 더하면 짝수가 되기 때문이다.

더 형식적으로 정의하면 다음과 같다.

집합

S

와

S\cup\{\bullet\}

위의 '

{\operatorname{Ord}}+1

항 관계'

R\subset(S\cup\{\bullet\})^{\times({\operatorname{Ord}}+1)}

가 주어졌다고 하자. (여기서

\bullet

은

S

에 속하지 않는 기호이며, 관계

R

의 마지막 항은 항상

S

의 원소라고 가정한다.)

S

의 부분 집합

T\subset S

가 다음 조건을 만족하면,

T

는 '''

R

에 대하여 닫혀있다'''(closed under

R

^영어)고 한다.

임의의 $(t_\alpha)_{\alpha<\operatorname{Ord}}\subset T\cup\{\bullet\}$ 및 $t_\operatorname{Ord}\in S$ 에 대하여, 만약 $(t_\alpha)_{\alpha\le\operatorname{Ord}}\in R$ 이면, 반드시 $t_\operatorname{Ord}\in T$ 여야 한다.

만약 여러 관계들의 집합

\mathcal R

가 주어졌다면,

T\subset S

가 '''

\mathcal R

에 대하여 닫혀있다'''(closed under

\mathcal R

^영어)고 하는 것은,

T

가

\mathcal R

에 속하는 모든 관계

R

각각에 대해 닫혀있다는 것을 의미한다.

닫힌 집합의 중요한 성질 중 하나는, 여러 닫힌 집합들의 교집합 역시 닫힌 집합이라는 점이다. 이 성질 덕분에, 집합

S

의 임의의 부분 집합

Y

에 대해,

Y

를 포함하는 가장 작은 닫힌 부분 집합이 항상 존재한다. 이 가장 작은 닫힌 집합은

Y

를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 교집합으로 정의되며, 이를

Y

의 '''폐포'''라고 부른다. 문맥에 따라 폐포는

Y

에 의해 생성되거나 span된 집합이라고도 한다.

닫힌 집합과 폐포의 개념은 다양한 수학 분야에서 중요하게 사용된다.

=== 대수 구조 ===

대수 구조는 특정 연산들과 그 연산들이 만족해야 하는 공리들로 정의된 집합이다. 예를 들어 군, 환, 벡터 공간 등이 있다. 대수 구조

S

의 부분 구조는

S

의 부분 집합이면서

S

의 모든 연산에 대해 닫혀있는 집합을 말한다. 부분 구조는 원래의 대수 구조와 동일한 종류의 구조가 된다. 따라서 특정 예에서 닫힘이 증명되면 부분 구조가 동일한 유형의 구조임을 증명하기 위해 공리를 다시 확인할 필요가 없다.

대수 구조

S

의 부분 집합

X

가 주어지면

X

의 폐포는

X

를 포함하면서

S

의 모든 연산에 대해 닫혀있는 가장 작은 부분 구조이다. 이를

X

에 의해 '''생성'''된 부분 구조라고 하며,

X

를 이 부분 구조의 생성 집합이라고 한다.

'''군''': 군은 결합적인 이항 연산(보통 곱셈이라 부름), 항등원, 그리고 각 원소의 역원을 갖는 집합이다. 군의 부분 집합이 곱셈과 역원 연산에 대해 닫혀있고 공집합이 아니라면, 그 부분 집합은 항등원을 포함하며 원래 군과 같은 구조인 부분군이 된다. 하나의 원소로 생성된 부분군, 즉 그 원소의 폐포는 순환군이라고 한다.
'''벡터 공간''': 선형대수학에서 벡터 공간의 공집합이 아닌 부분 집합 $X$ 의 폐포는 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산에 대해 닫혀 있으며, 이를 $X$ 의 선형 덮개라고 한다. 선형 덮개는 $X$ 의 원소들의 모든 가능한 선형 결합으로 이루어진 집합이며, 그 자체로 벡터 공간이 된다.
'''환''': 가환환에서 아이디얼은 덧셈에 대해 닫혀 있고 환의 원소와의 곱셈에 대해서도 닫혀 있는 부분 집합이다. 하나의 원소 $a$ 로 생성된 아이디얼, 즉 $a$ 의 폐포는 $a$ 의 모든 배수들의 집합이며 주 아이디얼이라고 한다.

=== 관계 ===

집합

A

위의 이항 관계

R

은 순서쌍들의 집합

A\times A

의 부분 집합이다. 관계에 대해서도 특정 성질에 대한 폐포를 정의할 수 있다.

'''반사성''': 관계 $R$ 이 모든 $x\in A$ 에 대해 $(x,x)\in R$ 을 만족하면 반사적이라고 한다. 관계 $R$ 의 반사 폐포는 $R$ 을 포함하는 가장 작은 반사 관계로, $R\cup \{(x,x)\mid x\in A\}$ 이다.
'''대칭성''': 관계 $R$ 이 $(x,y)\in R$ 일 때마다 항상 $(y,x)\in R$ 을 만족하면 대칭적이라고 한다. 관계 $R$ 의 대칭 폐포는 $R$ 을 포함하는 가장 작은 대칭 관계이다.
'''추이성''': 관계 $R$ 이 $(x,y)\in R$ 이고 $(y,z)\in R$ 일 때마다 항상 $(x,z)\in R$ 을 만족하면 추이적이라고 한다. 관계 $R$ 의 추이 폐포는 $R$ 을 포함하는 가장 작은 추이 관계이다.

이러한 폐포들을 조합할 수도 있다. 예를 들어, 관계

R

의 '''반사적 추이 폐포'''는

R

을 포함하는 가장 작은 전순서 (만약 정의 가능하다면) 또는 부분 순서 관계이다. 또한, '''반사적 추이적 대칭 폐포'''는

R

을 포함하는 가장 작은 동치 관계이며, 이를

R

의 '''동치 폐포'''라고도 한다.

2. 2. 폐포

집합

S

와

S

의 부분 집합들에 대한 성질

P\subset\mathcal P(S)

가 주어졌다고 하자.

S

의 부분 집합

T\subset S

의

P

에 대한 폐포(closure)

\operatorname{cl}_PT

는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.

$T\subset\operatorname{cl}_PT$ 이고 $\operatorname{cl}_PT$ 는 성질 $P$ 를 만족한다 ( $\operatorname{cl}_PT\in P$ ).
성질 $P$ 를 만족하는 임의의 집합 $U$ 가 $T$ 를 포함하면 ( $T\subset U\in P$ ), 항상 $\operatorname{cl}_PT\subset U$ 이다.

즉, 폐포는 주어진 집합

T

를 포함하면서 성질

P

를 만족하는 가장 작은 집합이다. 폐포는 존재하지 않을 수도 있으며, 존재한다면 유일하다. 만약

P

가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대해 닫혀있는지를 나타내는 성질이라면, 폐포는 반드시 존재한다. 이 경우 폐포는

T

에

T

의 원소와 관계있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계있는 원소들을 추가하는 과정을 반복하여 얻을 수 있다.

집합

S

가

S

의 다른 원소들로부터

S

의 원소들을 생성하기 위한 하나 이상의 방법을 갖추고 있다고 하자.^[1]

S

의 부분 집합

X

는, 만약 모든 입력 원소가

X

안에 있을 때 모든 가능한 결과 또한

X

안에 있다면, 이러한 생성 방법에 대해 닫혀있다(closed)고 한다. 때로는

X

가 폐포 성질(closure property)을 가진다고 말하기도 한다.

닫힌 집합의 중요한 속성 중 하나는 닫힌 집합들의 교집합 역시 닫힌 집합이라는 점이다. 이로부터

S

의 임의의 부분 집합

Y

에 대해,

Y

를 포함하는 가장 작은 닫힌 부분 집합

X

가 존재함을 알 수 있다. 이

X

는

Y

를 포함하는 모든 닫힌 부분 집합들의 교집합과 같다. 문맥에 따라

X

는

Y

의 폐포 또는

Y

에 의해 생성된 집합 또는 span된 집합이라고 불린다.

닫힌 집합과 폐포의 개념은 교집합 연산에 대해 안정적인(즉, 교집합을 해도 그 속성이 유지되는) 부분 집합의 속성으로 확장될 수 있다. 예를 들어, 복소수 공간

\mathbb{C}^n

에서 자리스키 닫힌 집합(Zariski closed set)은 대수적 집합(algebraic set)이라고도 불리며, 여러 다항식들의 공통 영점들의 집합이다. 점들의 집합

V

의 자리스키 폐포(Zariski closure)는

V

를 포함하는 가장 작은 대수적 집합이다.

대수 구조는 몇 가지 연산과 그 연산들이 만족해야 하는 공리들로 정의된 집합이다. 예를 들어, 군은 결합적인 이항 연산(보통 곱셈이라 부름)을 가지고, 항등원이 존재하며, 모든 원소가 역원을 갖는 대수 구조이다. 군의 공리를 엄밀하게 정의하기 위해서는 항등원을 만들어내는 영항 연산과 각 원소의 역원을 구하는 단항 연산을 보조 연산으로 생각할 수 있다.

이러한 대수 구조

S

가 주어졌을 때,

S

의 부분 구조는

S

의 부분 집합이면서

S

의 모든 연산(보조 연산 포함)에 대해 닫혀 있는 집합이다. 부분 구조는 그 자체로 원래 구조

S

와 동일한 유형의 대수 구조가 된다. 따라서 어떤 부분 집합이 특정 연산에 대해 닫혀 있음을 보이면, 그것이 해당 유형의 부분 구조임을 알 수 있고, 모든 공리를 다시 확인할 필요는 없다.

대수 구조

S

의 부분 집합

X

가 주어지면,

X

의 폐포는

X

를 포함하면서

S

의 모든 연산에 대해 닫힌 가장 작은

S

의 부분 구조이다. 대수 구조의 맥락에서 이 폐포는 보통

X

에 의해 생성된 부분 구조라고 하며,

X

를 그 부분 구조의 생성 집합이라고 부른다.

예시 1 (군): 곱셈과 역원 연산에 대해 닫힌 군의 부분 집합은 (공집합이 아니라면) 항등원도 포함하므로 부분군이 된다. 하나의 원소 $g$ 로 생성된 부분군, 즉 $\{g\}$ 의 폐포는 순환군이라고 한다.
예시 2 (벡터 공간): 선형대수학에서 벡터 공간의 공집합이 아닌 부분 집합 $X$ 의 폐포(벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산에 대한)는 $X$ 의 선형 덮개(linear span)이다. 이는 $X$ 를 포함하는 가장 작은 부분 벡터 공간이며, $X$ 의 원소들의 선형 결합으로 이루어진 집합과 같다.
예시 3 (환): 가환환에서 하나의 원소 $a$ 로 생성된 아이디얼, 즉 $\{a\}$ 의 아이디얼 연산에 대한 폐포는 주 아이디얼(principal ideal)이라고 한다.

집합

A

위의 이항 관계는

A

의 원소들의 순서쌍들의 집합인

A\times A

의 부분 집합

R

로 정의될 수 있다. 보통

(x,y)\in R

대신

xRy

라고 쓴다. 관계에 대한 여러 속성이나 연산을 이용하여 폐포를 정의할 수 있다.

; 반사성 (Reflexivity)

: 관계

R

이 모든

x\in A

에 대해

xRx

를 만족하면 반사적이라고 한다. 반사적인 관계들의 교집합은 여전히 반사적이므로, 이는 폐포를 정의한다. 관계

R

의 반사 폐포(reflexive closure)는

R

을 포함하는 가장 작은 반사 관계로,

R \cup \{(x,x) \mid x \in A\}

와 같다.

; 대칭성 (Symmetry)

: 관계

R

이

xRy

이면 항상

yRx

를 만족하면 대칭적이라고 한다. 이는

(x,y)

를

(y,x)

로 보내는 연산에 대해 닫혀있는 것과 같다. 관계

R

의 대칭 폐포(symmetric closure)는

R

을 포함하는 가장 작은 대칭 관계로,

R \cup \{(y,x) \mid (x,y) \in R\}

와 같다.

; 추이성 (Transitivity)

: 관계

R

이

xRy

이고

yRz

이면 항상

xRz

를 만족하면 추이적이라고 한다. 이는

(x,y)

와

(y,z)

로부터

(x,z)

를 생성하는 연산에 대해 닫혀있는 것과 같다. 관계

R

의 추이 폐포(transitive closure)는

R

을 포함하는 가장 작은 추이 관계로,

R

에 의해 연결될 수 있는 모든 쌍

(x,z)

를 포함하도록 확장한 관계이다.

전순서(preorder)는 반사적이고 추이적인 관계이다. 따라서 관계

R

의 반사적 추이 폐포(reflexive transitive closure)는

R

을 포함하는 가장 작은 전순서이다. 마찬가지로, 관계

R

의 반사적 추이적 대칭 폐포(reflexive transitive symmetric closure) 또는 동치 폐포(equivalence closure)는

R

을 포함하는 가장 작은 동치 관계이다.

3. 예

폐포(closure)의 개념은 위상수학, 대수학, 집합론 등 수학의 여러 분야에서 중요한 도구로 사용된다. 각 분야마다 정의는 조금씩 다르지만, 근본적으로는 어떤 대상과 특정 성질(또는 연산)이 주어졌을 때, 그 대상을 포함하면서 해당 성질을 만족하거나 연산에 대해 닫혀 있는 '가장 작은' 확장된 대상을 찾는다는 공통된 아이디어를 가진다. 집합 위에 반드시 닫혀 있지 않은 연산 혹은 관계 및 성질이 주어졌을 때, 원래 집합을 확대하여 얻어지는 적당한 집합 위에서 연산이 닫히도록 할 수 있다. 아래 하위 섹션들에서는 다양한 수학 분야에서의 구체적인 폐포 예시들을 살펴본다.

3. 1. 위상수학

위상 공간

X

의 부분 집합

Y\subset X

가 자신의 모든 극한점을 포함할 때, 즉 극한점들의 집합

\operatorname{acc\,pt}(Y)

에 대해

\operatorname{acc\,pt}(Y) \subseteq Y

가 성립할 때,

Y

를

X

의 닫힌집합이라고 한다. 이는 닫힌집합이 극한점을 취하는 연산에 대해 닫혀있음을 의미한다.

X

의 부분 집합

Y\subset X

에 대하여,

Y

를 포함하는 가장 작은 닫힌집합

\operatorname{cl}Y

(즉,

Y\subset\operatorname{cl}Y\subset X

이고

\operatorname{cl}Y

는 닫힌집합이며,

Y

를 포함하는 다른 어떤 닫힌집합

F

에 대해서도

\operatorname{cl}Y \subseteq F

가 성립)를

Y

의 폐포라고 한다.

비슷하게, 점렬 닫힌집합과 점렬 폐포는 점렬 극한 개념을 사용하여 정의할 수 있다. 점렬 닫힌집합은 그 집합 안의 점들로 이루어진 모든 수렴하는 점렬

(x_n)_{n=0}^\infty

에 대해, 그 극한

x_\omega

(즉,

x_n \to x_\omega

) 역시 원래 집합에 속하는 성질을 만족하는 집합이다.

3. 2. 대수학

대수 구조

S

가 주어졌을 때,

S

의 부분 구조는

S

의 모든 연산에 대해 닫힌 부분 집합이다. 대수 구조

S

의 부분 집합

X

가 주어지면,

X

의 폐포는

X

를 포함하면서

S

의 모든 연산에 대해 닫힌

S

의 가장 작은 부분 구조이다. 대수 구조의 맥락에서 이 폐포는 일반적으로

X

에 의해 생성된 부분 구조라고 하며,

X

는 부분 구조의 생성 집합이라고 한다.

예를 들어, 군

G

의 부분 집합

H\subset G

가 군의 연산(곱셈, 항등원, 역원)에 대해 닫혀 있다면,

H

는

G

의 부분군이다. 부분 집합

S\subset G

에 대하여,

S

를 포함하는 가장 작은 부분군

\langle S\rangle

를

S

로 생성되는 군이라고 하며, 이는

S

의 폐포에 해당한다. 특히 단일 원소로 생성된 부분군, 즉 이 원소의 폐포를 순환군이라고 한다.

체의 경우, 부분체

L

의 대수적 폐포

\bar L

는

L

을 포함하는 가장 작은 대수적으로 닫힌 체이다.

선형대수학에서는 벡터 공간의 비어 있지 않은 부분 집합의 폐포(벡터 덧셈 및 스칼라 곱셈 연산에 대한)는 이 부분 집합의 선형 덮개이다. 이 선형 덮개는 그 자체로 벡터 공간이며, 주어진 부분 집합 원소들의 선형 결합으로 이루어진 집합이다.

환론에서는 가환환에서 단일 원소의 아이디얼 연산에 대한 폐포를 주 아이디얼이라고 한다.

3. 3. 집합론

집합

X

가 원소 관계

\in

에 대하여 닫혀있다면, 즉

X

의 원소의 원소가 항상 다시

X

의 원소가 된다면, 이를 추이적 집합이라고 한다. 어떤 집합

X

에 대하여,

X

를 포함하는 가장 작은 추이적 집합

\operatorname{cl_{trn}}X

(즉,

X\subset\operatorname{cl_{trn}}X

이면서

\operatorname{cl_{trn}}X

가 추이적 집합인 것 중 가장 작은 집합)를

X

의 추이적 폐포라고 부른다.

집합

S

위의 이항 관계

R

은

S \times S

의 부분 집합으로 생각할 수 있다. 이때

(x, y) \in R

을 간단히

xRy

로 표기하기도 한다. 이항 관계에 대해서도 여러 종류의 폐포를 정의할 수 있다.

반사성: 집합 $S$ 위의 관계 $R$ 이 모든 $s \in S$ 에 대해 $(s, s) \in R$ 을 만족하면 반사 관계라고 한다. 관계 $R$ 에 대하여, $R$ 을 포함하는 가장 작은 반사 관계를 $R$ 의 반사 폐포라고 하며, 이는 $R \cup \{(s, s) \mid s \in S\}$ 와 같다. 반사 관계들의 교집합은 항상 반사 관계이므로, 이러한 최소의 관계(폐포)가 잘 정의된다.
대칭성: 관계 $R$ 이 모든 $(x, y) \in R$ 에 대해 $(y, x) \in R$ 도 만족하면 대칭 관계라고 한다. 이는 $(x, y)$ 를 $(y, x)$ 로 바꾸는 연산에 대해 닫혀있다고 볼 수 있다. 관계 $R$ 의 대칭 폐포는 $R$ 을 포함하면서 대칭성을 만족하는 가장 작은 관계이다.
추이성: 관계 $R$ 이 모든 $(x, y) \in R$ 이고 $(y, z) \in R$ 일 때 $(x, z) \in R$ 도 만족하면 추이적 관계라고 한다. 이는 $(x, y)$ 와 $(y, z)$ 로부터 $(x, z)$ 를 만드는 연산에 대해 닫혀있다고 볼 수 있다. 관계 $R$ 의 추이적 폐포는 $R$ 을 포함하면서 추이성을 만족하는 가장 작은 관계이다.

전순서는 반사적이고 추이적인 관계이다. 따라서 어떤 관계의 반사적 추이 폐포는 그 관계를 포함하는 가장 작은 전순서이다. 비슷하게, 관계의 반사적 추이적 대칭 폐포는 그 관계를 포함하는 가장 작은 동치 관계이며, 이를 동치 폐포라고도 부른다.

일반적으로, 어떤 집합 위에 주어진 연산이나 관계가 특정 성질(예: 반사성, 대칭성, 추이성)에 대해 닫혀 있지 않을 때, 원래 집합을 확장하여 그 성질을 만족하도록 만들 수 있다. 임의의 성질

P

와 이항 관계

R

이 주어졌을 때, 성질

P

를 만족하고

R

을 포함하는 가장 작은 관계를

R

의

P

-폐포라고 부른다.

3. 4. 기타 예

매트로이드 이론에서, ''X''의 폐포는 ''X''와 같은 랭크를 가지는 ''X''의 가장 큰 상위 집합이다.
추이 폐포는 집합이다.^[2]
대수적 폐포는 체이다.^[3]
적분 폐포는 이를 포함하는 체 내의 정역이다.
아이디얼의 근은 가환환이다.
기하학에서 점 집합 ''S''의 볼록 껍질은 ''S''가 부분 집합인 가장 작은 볼록 집합이다.^[4]
형식 언어에서 언어의 클레이니 폐포는 해당 언어에서 0개 이상의 문자열을 연결하여 만들 수 있는 문자열 집합으로 설명할 수 있다.
군론에서 공액 폐포 또는 집합의 정규 폐포는 해당 집합을 포함하는 가장 작은 정규 부분군이다.
수학적 해석학 및 확률론에서, ''X''의 부분 집합 모음이 가산 개수의 집합 연산에 대해 닫혀 있는 것을 해당 모음에 의해 생성된 σ-대수라고 한다.

4. 폐포 연산자

앞서 살펴본 폐포 개념은 특정 집합의 부분 집합들에 대해 정의되었다. 이러한 부분 집합들은 포함 관계를 기준으로 부분 순서 집합(poset)을 이룬다. '폐포 연산자'는 이 폐포의 개념을 임의의 부분 순서 집합으로 일반화하기 위해 도입된 수학적 도구이다.^[1]

부분 순서 '≤'를 갖는 부분 순서 집합 ''S''가 주어졌을 때, ''S'' 위의 폐포 연산자는 자기 자신으로 가는 함수 $C: S \to S$ 로, 다음과 같은 세 가지 중요한 성질을 만족한다.

증가성: 모든 ''x'' ∈ ''S''에 대해 $x \le C(x)$
멱등성: 모든 ''x'' ∈ ''S''에 대해 $C(C(x)) = C(x)$
단조 증가성: ''S'' 안의 두 원소 ''x'', ''y''에 대해 $x \le y$ 이면 $C(x) \le C(y)$ ^[5]

동등하게, 폐포 연산자는 모든

x, y \in S

에 대해

x \le C(y) \iff C(x) \le C(y)

조건을 만족하는 함수로도 정의될 수 있다. 어떤 원소 ''x''가

x = C(x)

를 만족할 때, 이 원소 ''x''를 닫혀 있다고 말한다. 멱등성 조건에 따라, 어떤 원소가 닫혀 있다는 것은 그 원소가 ''S'' 안의 어떤 원소의 폐포가 된다는 것과 같은 의미이다.

폐포 연산자의 대표적인 예시로는 위상수학에서의 위상적 폐포 연산자가 있으며, 이는 쿠라토프스키 폐포 공리와 관련이 깊다. 또한, 모든 실수를 그 수보다 작지 않은 가장 작은 정수로 대응시키는 천장 함수도 폐포 연산자의 한 예시이다.

4. 1. 폐포 연산자와 닫힌 집합

폐포는 폐포 연산자를 통해 정의하거나, 교집합 연산에 대해 닫혀 있는 '닫힌 집합'들의 모임을 통해 정의할 수 있으며, 이 두 방식은 서로 동일한 개념을 나타낸다.

부분 순서 관계 '≤'를 갖는 부분 순서 집합 ''S''가 주어졌을 때, ''S'' 위의 폐포 연산자는 다음 세 가지 조건을 만족하는 함수 ''C'': ''S'' → ''S''이다.

증가성: 모든 원소 ''x'' ∈ ''S''에 대해 $x \le C(x)$ 가 성립한다. (원소는 항상 자신의 폐포보다 작거나 같다)
멱등성: 모든 원소 ''x'' ∈ ''S''에 대해 $C(C(x)) = C(x)$ 가 성립한다. (폐포 연산을 두 번 적용해도 결과는 같다)
단조증가성: ''S'' 안의 두 원소 ''x'', ''y''에 대해 $x \le y$ 이면 $C(x) \le C(y)$ 가 성립한다. (더 큰 원소의 폐포가 더 작지 않다)^[5]

어떤 원소 ''x''가

x = C(x)

를 만족할 때, 이 원소 ''x''를 닫혀 있다고 말한다. 멱등성 조건에 따라, 어떤 원소가 닫혀 있다는 것은 그 원소가 ''S'' 안의 어떤 원소의 폐포가 된다는 것과 같은 의미이다. 위상수학에서의 위상적 폐포 연산이 대표적인 폐포 연산자의 예시이다.

폐포 연산자의 정의는 '닫힌 집합'들의 교집합 역시 닫힌 집합임을 보장한다. 만약 여러 닫힌 집합들의 교집합을 ''X''라고 할 때 (

X = \bigcap X_i

), 폐포 연산자의 증가성에 의해

C(X)

는 ''X''를 포함해야 하고 (

X \le C(X)

), 단조증가성에 의해 모든 닫힌 집합

X_i

는

C(X)

를 포함해야 한다 (

C(X) \le C(X_i) = X_i

). 이는 교집합의 정의상

C(X)

가 모든

X_i

에 포함되면서 ''X''를 포함하는 가장 작은 원소여야 함을 의미하며, 따라서

C(X) = X

가 성립한다. 즉, 닫힌 집합들의 교집합 ''X''도 닫혀 있다.

반대로, 어떤 집합 ''S''의 부분 집합들 중에서 '닫힌 집합'이라 불리는 것들의 모임이 있고, 이 모임이 임의의 개수의 닫힌 집합들의 교집합에 대해서도 닫혀 있다면 (즉, 닫힌 집합들의 교집합은 항상 닫힌 집합이라면), 이를 이용해 폐포 연산자 ''C''를 정의할 수 있다. 어떤 집합 ''X''의 폐포

C(X)

는 ''X''를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 교집합으로 정의된다. 이렇게 정의된 함수 ''C''는 폐포 연산자의 세 가지 조건(증가성, 멱등성, 단조증가성)을 모두 만족한다.

이처럼 폐포 연산자를 직접 정의하는 방식과, 교집합에 대해 닫혀 있는 닫힌 집합들의 모임을 통해 폐포를 정의하는 방식은 본질적으로 동일하다. 이러한 동등성은 '교집합'을 '최대 하계'로, '닫힌 집합'을 '닫힌 원소'로 바꾸면 최대 하계 성질을 가진 일반적인 부분 순서 집합에서도 성립한다.

참조

_[1] 문서 Operations and (partial) multivariate function are examples of such methods. If S is a topological space, the limit of a sequence of elements of S is an example, where there are an infinity of input elements and the result is not always defined. If S is a field (mathematics)|field the roots of a polynomial|roots in S of a polynomial with coefficients in S is another example where the result may be not unique.
_[2] 웹사이트 Transitive Closure https://mathworld.wo[...] 2020-07-25
_[3] 웹사이트 Algebraic Closure https://mathworld.wo[...] 2020-07-25
_[4] 서적 Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas with Application to Linear Systems Theory https://books.google[...] Princeton University Press 2005
_[5] 서적 Lattice Theory Am. Math. Soc. 1967

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