환 달린 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

환 달린 공간은 위상 공간과 그 위의 가환환의 층으로 구성된 순서쌍이다. 환 달린 공간은 국소환 달린 공간, 스킴, 아핀 스킴을 포함하는 개념이며, 두 환 달린 공간 사이의 사상은 연속 함수와 환 준동형 사상으로 정의된다. 국소환 달린 공간은 구조층의 모든 줄기가 국소환인 환 달린 공간이며, 국소환 달린 공간 사이의 사상은 줄기 사이의 국소 준동형 사상이어야 한다. 환 달린 공간의 범주는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 국소환 달린 공간의 범주는 환 달린 공간의 범주의 쌍대 반사 부분 범주이다. 환 달린 공간은 접공간과 구조층 위의 가군을 정의하는 데 사용되며, 스킴, 연속 함수, 매끄러운 함수, 정칙 함수의 층, 대수적 다양체 등이 환 달린 공간의 예시로 제시된다.

더 읽어볼만한 페이지

위상 공간 - 위상 공간 (수학)
위상 공간은 집합과 그 위에 정의된 위상 구조로 이루어진 수학적 공간으로, 열린집합, 닫힌집합, 근방 등의 개념을 통해 점들의 상대적인 위치 관계를 형식화하며, 해석학, 기하학, 대수학 등 다양한 분야에서 사용된다.
위상 공간 - 비이산 공간
비이산 공간은 열린 집합이 공집합과 전체 공간뿐인 가장 조잡한 위상을 가진 위상 공간이며, 콜모고로프 공간이 아니고 두 개 이상의 점을 갖는 경우 거리화 가능 공간이나 하우스도르프 공간이 될 수 없지만 R0 공간, 경로 연결 공간, 콤팩트 공간 등의 위상적 성질을 만족한다.
층론 - 토포스
토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다.
층론 - 층 (수학)
층은 위상 공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시켜 국소적 데이터를 전역적으로 다루는 구조로, 준층, 분리 준층, 층의 세 단계로 정의되며, 대역적 데이터가 국소적 데이터로부터 결정되고 국소적 데이터를 이어붙이는 조건까지 갖춘 수학적 도구이다.
스킴 이론 - 정역
정역은 환론에서 영인자가 없는 가환환으로, 자명환이 아니면서 0이 아닌 두 원소의 곱이 항상 0이 아닌 환이며, 체의 부분환과 동형이고, 스킴 이론에서 정역 스킴으로 확장되며, 정수환, 체, 대수적 수체의 대수적 정수환 등이 그 예시이다.
스킴 이론 - 환의 스펙트럼
환의 스펙트럼은 가환환의 소 아이디얼들의 집합으로 정의되며, 자리스키 위상과 구조층을 통해 위상 공간이자 국소환 달린 공간을 이루어 아핀 스킴과 스킴을 정의하는 데 중요한 역할을 한다.

환 달린 공간
기본 정보
정의	위상 공간 X 위의 환 달린 공간은 다음을 만족하는 쌍 (X, OX)이다.
설명	X는 위상 공간이다. OX는 X 위의 가환환 층이다.
추가 정보
구조층	OX를 (X, OX)의 구조층이라고 한다.
스토크	모든 x ∈ X에 대해, OX,x는 스토크라고 불리는 가환환이다.
예시	매니폴드 대수적 다양체

2. 정의

'''환 달린 공간'''(ringed space)은 위상 공간 $X$ 와 그 위에 정의된 가환환의 층 $\mathcal O_X$ 의 순서쌍 $(X, \mathcal O_X)$ 이다. 이때 $\mathcal O_X$ 는 $X$ 의 '''구조층'''(structure sheaf^영어)이라고 한다.

'''국소환 달린 공간'''(locally ringed space)은 구조층의 모든 줄기가 국소환인 환 달린 공간이다. 즉, 각 줄기가 유일한 극대 아이디얼을 갖는 환 달린 공간을 말한다. 각 열린집합 $U$ 에 대해 $\mathcal O_X(U)$ 가 국소환일 필요는 없다.

환 달린 공간과 국소환 달린 공간 사이의 '''사상'''(morphism)은 연속 함수와 층의 사상으로 구성된 순서쌍으로 정의된다.

2. 1. 환 달린 공간

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

은 위상 공간

X

와 그 위의 가환환의 층

\mathcal O_X

의 순서쌍이다.

\mathcal O_X

를

X

의 '''구조층'''(structure sheaf^영어)이라고 한다.

두 환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

,

(Y,\mathcal O_Y)

사이의 '''사상'''(morphism of ringed spaces^영어)

(f,f^\#)

은 다음과 같은 순서쌍이다.

$f\colon X\to Y$ 는 연속 함수이다.
$f^\#\colon\mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X$ 는 가환환의 층의 사상이다. 구체적으로, $X$ 의 각 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, $f^\#_U\colon O_Y(U)\to O_X(f^{-1}(U))$ 는 환 준동형이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다.

2. 2. 국소환 달린 공간

구조층의 모든 줄기가 국소환인 환 달린 공간이다. (각 열린집합

U

에 대해

\mathcal O_X(U)

가 국소환일 필요는 없다.)

두 국소환 달린 공간 사이의 '''사상'''(寫像, morphism of locally ringed spaces^영어)

(f,f^\#)\colon(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)

은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $f^\#$ 로 인하여 유도되는 줄기 사이의 환 준동형 $\mathcal O_{Y,f(x)}\to\mathcal O_{X,x}$ 아래, $\mathcal O_{X,x}$ 의 유일한 극대 아이디얼의 원상은 $\mathcal O_{Y,f(x)}$ 의 유일한 극대 아이디얼과 같다.

\mathcal{O}_X

의 모든 줄기가 국소 환인 환 달린 공간

(X,\mathcal{O}_X)

이다 (즉, 고유한 극대 아이디얼을 가진다).

\mathcal{O}_X(U)

가 모든 열린 집합

U

에 대해 국소 환이 될 필요는 ''없다''는 것에 유의해야 하며, 사실상 이런 경우는 거의 없다.

2. 3. 환 달린 공간 사이의 사상

두 환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

,

(Y,\mathcal O_Y)

사이의 '''사상'''(寫像, morphism of ringed spaces^영어)

(f,f^\#)

은 다음과 같은 순서쌍이다.

$f\colon X\to Y$ 는 연속 함수이다.
$f^\#\colon\mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X$ 는 가환환의 층의 사상이다. 구체적으로, $X$ 의 각 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여, $f^\#_U\colon O_Y(U)\to O_X(f^{-1}(U))$ 는 환 준동형이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다.

(X,\mathcal{O}_X)

에서

(Y,\mathcal{O}_Y)

로의 사상은 쌍

(f,\varphi)

로 주어지는데, 여기서

f:X\to Y

는 기본 위상 공간 사이의 연속 함수이고,

\varphi:\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X

는

Y

의 구조층에서

X

의 직상 함자의 구조층으로의 사상이다. 이는 다음 데이터로 주어진다.

연속 함수 $f:X\to Y$
제한 사상과 교환하는 $Y$ 의 모든 열린 집합 $V$ 에 대한 환 준동형 사상의 모임 $\varphi_V : \mathcal{O}_Y(V)\to\mathcal{O}_X(f^{-1}(V))$ . 즉, $V_1\subseteq V_2$ 가 $Y$ 의 두 열린 부분 집합이면 다음 다이어그램이 교환적이어야 한다. (수직 사상은 제한 준동형 사상이다.)

2. 4. 국소환 달린 공간 사이의 사상

두 국소환 달린 공간 사이의 '''사상'''(寫像, morphism of locally ringed spaces^영어)

(f,f^\#)\colon(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)

은 다음과 같은 환 달린 공간의 사상이다.^[1]

임의의 $x\in X$ 에 대하여, $f^\#$ 로 인하여 유도되는 줄기 사이의 환 준동형 $\mathcal O_{Y,f(x)}\to\mathcal O_{X,x}$ 아래, $\mathcal O_{X,x}$ 의 유일한 극대 아이디얼의 원상은 $\mathcal O_{Y,f(x)}$ 의 유일한 극대 아이디얼과 같다.
$\varphi$ 에 의해 유도된 '' $Y$ ''의 줄기와 '' $X$ ''의 줄기 사이의 환 준동형 사상은 국소 준동형 사상이어야 한다. 즉, 모든 '' $x\in X$ ''에 대해 $f(x)\in Y$ 에서의 국소환(줄기)의 극대 아이디얼은 '' $x\in X$ ''에서의 국소환의 극대 아이디얼로 매핑된다.

(X,\mathcal{O}_X)

에서

(Y,\mathcal{O}_Y)

로의 사상은 쌍

(f,\varphi)

로 주어진다. 여기서

f:X\to Y

는 기본 위상 공간 사이의 연속 함수이고,

\varphi:\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X

는

Y

의 구조 다발에서

X

의 직상 함자의 구조 다발로의 사상이다.^[1]

연속 함수 $f:X\to Y$
제한 사상과 교환하는 $Y$ 의 모든 열린 집합 $V$ 에 대한 환 준동형 사상의 모임 $\varphi_V : \mathcal{O}_Y(V)\to\mathcal{O}_X(f^{-1}(V))$ . 즉, $V_1\subseteq V_2$ 가 $Y$ 의 두 열린 부분 집합이면 다음 다이어그램이 교환적이어야 한다. (수직 사상은 제한 준동형 사상이다).

두 개의 사상은 합성되어 새로운 사상을 형성할 수 있으며, 환 달린 공간의 범주와 국소 환 달린 공간의 범주를 얻는다. 이 범주에서의 동형 사상은 일반적인 방법으로 정의된다.^[1]

2. 5. 열린 몰입과 닫힌 몰입

환 달린 공간 사상

(f,f^\#)\colon(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)

이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 '''열린 몰입'''(open immersion^영어)이라고 한다.

$f$ 의 치역 $f(X)$ 은 열린집합이며, $f$ 는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
$f^\#\colon\mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X$ 이 층의 동형 사상 $\mathcal O_Y|_{f(X)}\to f_*\mathcal O_X$ 을 유도한다.

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

및

X

의 열린집합

U\subseteq X

가 주어졌을 때,

(U,\mathcal O_X|_U)

는 환 달린 공간을 이루며, 자연스러운 포함 사상

(U,\mathcal O_X|_U)\to(X,\mathcal O_X)

은 열린 몰입을 이룬다. 만약

(X,\mathcal O_X)

가 국소환 달린 공간이라면

(U,\mathcal O_X|_U)

역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 치역에 따라 결정된다.

환 달린 공간 사상

(f,f^\#)\colon(X,\mathcal O_X)\to(Y,\mathcal O_Y)

이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 이를 '''닫힌 몰입'''(closed immersion^영어)이라고 한다.

$f$ 의 치역은 닫힌집합이며, $f$ 는 치역으로의 위상 동형을 정의한다.
$f^\#\colon\mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X$ 는 가환환 값의 층의 전사 사상이다. 즉, 모든 줄기 사상 $\mathcal O_{Y,f(x)}\to\mathcal O_{X,x}$ 은 전사 함수이다.

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의 아이디얼 층

\mathcal I\subseteq\mathcal O_X

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 지지 집합

\operatorname{supp}\mathcal I\subseteq X

은 닫힌집합이다.

\operatorname{supp}\mathcal I\subseteq X

위의 몫층

\mathcal O_X/\mathcal I

을 정의할 수 있으며,

(\operatorname{supp}\mathcal I,\mathcal O_X/\mathcal I)\to(X,\mathcal O_X)

는 닫힌 몰입을 이룬다. 만약

(X,\mathcal O_X)

가 국소환 달린 공간이라면

(\operatorname{supp}\mathcal I,\mathcal O_X/\mathcal I)

역시 국소환 달린 공간이며, 포함 사상은 국소환 달린 사상을 이룬다.

모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 아이디얼 층에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 지지 집합인 닫힌집합에 의하여 결정되지 않는다.

3. 성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: 환 달린 공간 ⊋ 국소환 달린 공간 ⊋ 스킴 ⊋ 아핀 스킴^[2]

3. 1. 범주론적 성질

환 달린 공간의 범주

\operatorname{RingSp}

와 국소환 달린 공간의 범주

\operatorname{LocRingSp}

는 둘 다 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.^[2]

\operatorname{LocRingSp}

는

\operatorname{RingSp}

의 충만한 부분 범주가 아니지만, 쌍대 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자

:

\operatorname{LocRingSp}\hookrightarrow\operatorname{RingSp}

는 오른쪽 수반 함자를 가진다.^[2]

4. 예시

임의의 위상 공간 '' $X$ ''에서, '' $\mathcal{O}_X$ ''를 '' $X$ ''의 열린 부분 집합에 대한 실수 값(또는 복소수 값) 연속 함수의 다발로 정의하면 국소 링 공간으로 간주할 수 있다. 점 $x$ 에서의 줄기는 '' $x$ ''에서 연속 함수의 모든 germ의 집합이며, 이는 '' $x$ ''에서 값이 $0$ 인 germ들로 구성된 고유한 최대 아이디얼을 가진 국소 링이다.^[1]

'' $X$ ''가 추가적인 구조를 가진 다양체인 경우, 미분 가능 또는 정칙 함수의 다발을 사용할 수도 있으며, 이들 역시 국소 링 공간을 생성한다.^[1]

4. 1. 스킴

모든 스킴은 국소환 달린 공간이다.^[1]

4. 2. 연속 함수, 매끄러운 함수, 정칙 함수의 층

국소 유클리드 공간

M

위에 실수 값의 연속 함수의 층

\mathcal C^0(M;\mathbb R)

을 부여하면,

(M,\mathcal C^0(M;\mathbb R))

은 국소환 달린 공간을 이룬다.^[1]

마찬가지로, 매끄러운 다양체

M

위에 실수 값의 매끄러운 함수의 층

\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)

을 부여하면,

(M,\mathcal C^\infty(M;\mathbb R))

은 국소환 달린 공간을 이룬다.^[1]

복소다양체

M

위에 복소수 값의 정칙 함수의 층

\mathcal O_M

을 부여해도,

(M,\mathcal O_M)

은 국소환 달린 공간을 이룬다.^[1]

4. 3. 대수적 다양체

''

X

''가 자리스키 위상을 갖는 대수적 다양체인 경우,

\mathcal{O}_X(U)

를 자리스키 열린 집합 ''

U

''에서 정의된 유리 사상의 링으로 정의하여 국소 링 공간을 정의할 수 있다. 이때 유리 사상은 ''

U

'' 내에서 폭발(무한대가 됨)하지 않아야 한다. 이 예의 중요한 일반화는 임의의 가환 링의 스펙트럼이다. 이러한 스펙트럼도 국소 링 공간이다. Scheme은 가환 링의 스펙트럼을 "접착"하여 얻은 국소 링 공간이다.

5. 접공간

자리스키 접공간

국소 환 달린 공간은 접공간을 정의할 수 있을 만큼 충분한 구조를 가지고 있다. 구조 층 $\mathcal{O}_X$ 를 갖는 국소 환 달린 공간 ''X''가 주어졌을 때, 점 $x \in X$ 에서의 접공간 $T_x(X)$ 는 다음과 같이 정의된다.

먼저 점 $x$ 에서의 국소 환(줄기) $R_x$ 를 생각한다. $R_x$ 는 최대 아이디얼 $\mathfrak{m}_x$ 를 갖는다. $k_x := R_x / \mathfrak{m}_x$ 는 체가 되고, $\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2$ 는 이 체 위의 벡터 공간이 된다. 이 벡터 공간을 코탄젠트 공간이라 부른다. $T_x(X)$ 는 이 코탄젠트 공간의 쌍대로 정의된다.

5. 1. 코탄젠트 공간

국소 환 달린 공간은 접공간의 의미 있는 정의를 허용할 만큼 충분한 구조를 가지고 있다.

X

를 구조 층

\mathcal{O}_X

를 가진 국소 환 달린 공간이라고 하자. 우리는 점

x\in X

에서의 접공간

T_x(X)

를 정의하고자 한다. 점

x

에서의 국소 환(줄기)

R_x

를 최대 아이디얼

\mathfrak{m}_x

와 함께 취한다. 그러면

k_x := R_x/\mathfrak{m}_x

는 체이고,

\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2

는 해당 체 위의 벡터 공간 (코탄젠트 공간)이다. 접공간

T_x(X)

는 이 벡터 공간의 쌍대로 정의된다.

여기서 코탄젠트 공간은 점

x

에서의 국소환

R_x

의 극대 아이디얼

\mathfrak{m}_x

를 이용하여 정의된다. 구체적으로,

x

에서 값이 0인 함수를 미분하는 방법을 알면 충분하며, 이를 위해

\mathfrak{m}_x

를 고려한다. 두 함수가

x

에서 값 0을 가지면 곱은 곱 규칙에 의해

x

에서 도함수 0을 가지므로,

\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2

의 원소에 "숫자"를 할당하는 방법을 알면 된다.

5. 2. 접공간 정의

국소 환 달린 공간은 접공간의 의미 있는 정의를 허용할 만큼 충분한 구조를 가지고 있다. ''

X

''를 구조 층 ''

\mathcal{O}_X

''를 가진 국소 환 달린 공간이라고 하자. 우리는 점 ''

x\in X

''에서의 접공간

T_x(X)

를 정의하고자 한다. 점

x

에서의 국소 환(줄기)

R_x

를 최대 아이디얼

\mathfrak{m}_x

와 함께 취한다. 그러면

k_x := R_x/\mathfrak{m}_x

는 체이고,

\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2

는 해당 체 위의 벡터 공간(코탄젠트 공간)이다. 접공간

T_x(X)

는 이 벡터 공간의 쌍대로 정의된다.

이때, ''

x

''에서의 접벡터는 ''

x

''에서 "함수"를 "미분"하는 방법, 즉 ''

R_x

''의 원소를 알려주어야 한다. ''

x

''에서 값이 0인 함수를 미분하는 방법을 아는 것만으로 충분한데, 다른 모든 함수는 상수만큼만 다르기 때문이며, 상수를 미분하는 방법은 이미 알고 있기 때문이다. 따라서 ''

\mathfrak{m}_x

''만 고려하면 된다. 또한, 두 함수가 ''

x

''에서 값 0을 가지면, 곱은 곱 규칙에 의해 ''

x

''에서 도함수 0을 갖는다. 따라서

\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2

의 원소에 "숫자"를 할당하는 방법만 알면 되고, 이것이 쌍대 공간이 하는 일이다.

6. 구조층 위의 가군

국소환 달린 공간 $(X, \mathcal{O}_X)$ 위에는 여러 종류의 층들이 존재하는데, 그 중 중요한 것이 $\mathcal{O}_X$ -가군이다. $\mathcal{O}_X$ -가군은 $X$ 위의 아벨 군의 층 $\mathcal{F}$ 중에서, 모든 열린집합 $U$ 에 대해 $\mathcal{F}(U)$ 가 $\mathcal{O}_X(U)$ 위의 가군이면서 제한 사상이 가군 구조와 호환되는 경우를 말한다.

$\mathcal{O}_X$ -가군 범주에서 중요한 하위 범주로는 준연접층과 연접층이 있다.

6. 1. O_X-가군

국소환 달린 공간

(X, \mathcal{O}_X)

가 주어졌을 때,

\mathcal{O}_X

-가군은 다음과 같이 정의된다.

X

위의 아벨 군의 층

\mathcal{F}

에 대해, 모든 열린 집합

U

(

X

에 속하는)에서

\mathcal{F}(U)

가 환

\mathcal{O}_X(U)

위의 가군이고, 제한 사상이 가군 구조와 호환된다면,

\mathcal{F}

를

\mathcal{O}_X

-가군이라고 부른다.^[1] 이 경우,

\mathcal{F}

의

x

에서의 줄기는 모든

x \in X

에 대해 국소환(줄기)

R_x

위의 가군이 된다.^[1]

두

\mathcal{O}_X

-가군 사이의 사상은 주어진 가군 구조와 호환되는 층의 사상이다.^[1] 고정된 국소환 달린 공간

(X, \mathcal{O}_X)

위의

\mathcal{O}_X

-가군의 범주는 아벨 범주이다.^[1]

6. 2. 준연접층

층은 국소적으로 자유 가군 사이의 사상의 여핵과 동형이면 준연접층이라고 한다.

6. 3. 연접층

준연접층은 국소적으로 자유 ''

\mathcal{O}_X

''-가군 사이의 사상의 여핵과 동형인 ''

\mathcal{O}_X

''-가군이다. 연접층 ''

F

''는 국소적으로 유한 타입이고, ''

X

''의 모든 열린 부분 집합 ''

U

''에 대해 유한 계수의 자유 ''

\mathcal{O}_U

''-가군으로부터 ''

\mathcal{F}_U

''로의 모든 사상의 핵 역시 유한 타입인 준연접층이다.

참조

_[1] 서적 Éléments de géométrie algébrique
_[2] 논문 Localization of ringed spaces 2011

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com