겔판드 표현

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

겔판드 표현은 바나흐 대수 연구의 중요한 동기 중 하나로, 군 대수에서 위너의 보조정리를 증명하는 데 사용되었다. 가환 바나흐 대수 A에 대해, 0이 아닌 대수 준동형사상 Φ: A → ℂ를 A의 특성이라고 정의하며, A의 모든 특성들의 집합 ΦA는 약한-* 상대 위상을 부여했을 때 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 된다. 겔판드 표현은 A에서 C0(ΦA)로 가는 노름 감소 단위 보존 대수 동형 사상으로, 이 표현의 핵은 A의 제이콥슨 라디칼과 동일시될 수 있다. 가환 C*-대수의 경우, 겔판드 표현은 겔판드-나이마크 정리에 따라 그 스펙트럼 위의 연속 함수 공간과 동형이며, 이는 C*-대수의 정규 원소에 대한 연속 함수 미적분을 정의하는 데 응용된다.

겔판드 표현

📚 더 읽어볼만한 페이지

연산자 이론 - 힐베르트 공간
힐베르트 공간은 내적 공간이면서 내적으로부터 유도된 거리 함수에 대해 완비 거리 공간을 이루는 공간으로, 다양한 함수 공간의 예시를 가지며 푸리에 해석, 양자역학 등 여러 분야에 응용된다.
연산자 이론 - C* 대수
C* 대수는 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 결합한 복소수 벡터 공간으로, 겔판트-나이마르크 정리에 따라 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 선형 연산자 대수로 표현될 수 있으며, 함수해석학, 수리물리학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다.
함수해석학 - 섭동 이론
섭동 이론은 정확히 풀리는 문제에 작은 변화가 있을 때 급수로 표현하여 근사해를 구하는 방법으로, 초기 해에 보정항을 더하는 방식으로 고전역학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용되며 섭동 형태와 적용 차수에 따라 구분된다.
함수해석학 - 분포 (해석학)
해석학에서 분포는 시험 함수 공간의 연속 쌍대 공간의 원소로 정의되며, 로랑 슈바르츠에 의해 정립되어 편미분 방정식의 해를 다루는 데 유용하고 미분 불가능하거나 특이점을 갖는 함수를 포함한 다양한 함수를 다루는 데 효과적인 일반적인 함수의 개념을 확장한 것이다.

1. 개요
2. 역사적 언급
3. 모델 대수학
4. 가환 바나흐 대수학의 겔판트 표현
- 4.1. 예
5. C*-대수의 경우
- 5.1. 가환 C*-대수학의 스펙트럼
- 5.2. 가환 겔판드-나이마크 정리
6. 응용

2. 역사적 언급

겔판트 표현의 원래 응용 중 하나(역사적으로 바나흐 대수 연구의 많은 동기를 부여한 응용)는 군 대수 $L^1({\mathbf R})$ 와 $\ell^1({\mathbf Z})$ 각각의 대수에서 변환이 조밀 부분 공간을 생성하는 원소들을 특성화함으로써 유명한 노베르트 위너의 보조정리를 더욱 짧고 개념적으로 증명하는 데 있다.

3. 모델 대수학

국소 콤팩트 하우스도르프 위상 공간 $X$ 에 대해, $X$ 에서 정의되어 무한대에서 0으로 수렴하는 연속 복소 함수들의 공간 $C_0(X)$ 는 가환 $C^*$ -대수를 이룬다.

* 복소수들에 대한 대수 구조는 덧셈과 곱셈의 점별 연산을 통해 얻는다.
* 인볼루션은 점별 복소 켤레이다.
* 노름은 함수에 대한 고른 노름이다.

$X$ 가 국소 콤팩트 하우스도르프인 것은 $X$ 를 완비 정규 공간으로 만들기 때문에 중요하다. 그러한 공간에서 $X$ 의 모든 닫힌 부분 집합은 $X$ 에서 정의된 연속 복소 함수 족의 공통 영 집합이므로, $C_0(X)$ 에서 $X$ 의 위상을 복원할 수 있다.

$C_0(X)$ 는 $X$ 가 콤팩트인 경우에만 단위를 가지는 대수이며, 이 경우 $C_0(X)$ 는 $X$ 에서 정의된 모든 연속 복소 함수들의 대수인 $C(X)$ 와 같다.

4. 가환 바나흐 대수학의 겔판트 표현

복소수 체 $\mathbb{C}$ 에 대해 정의된 가환 바나흐 대수 $A$ 에서, 0이 아닌 대수 준동형사상(곱셈적 선형 범함수) $\Phi \colon A \to \mathbb{C}$ 를 $A$ 의 특성이라 하고, $A$ 의 모든 특성들의 집합을 $\Phi_A$ 로 표시한다.

$A$ 위의 모든 특성은 자동적으로 연속이므로, $\Phi_A$ 는 $A$ 에서 정의된 연속 선형 범함수 공간 $A^*$ 의 부분 집합이다. 약한-* 상대 위상을 부여했을 때, $\Phi_A$ 는 바나흐–엘러오글루 정리에 따라 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. $\Phi_A$ 가 (정의된 위상에서) 콤팩트 공간인 것은 대수 $A$ 가 항등원을 가짐과 동치이다.

주어진 $a \in A$ 에 대해, 함수 $\widehat{a}(\phi)=\phi(a)$ 를 $\widehat{a}:\Phi_A\to{\mathbb C}$ 로 정의한다. $\Phi_A$ 의 정의와 이 위의 위상은 $\widehat{a}$ 가 연속이며 무한대에서 0임을 보장한다. 사상 $a\mapsto \widehat{a}$ 는 $A$ 에서 $C_0(\Phi_A)$ 로 가는 노름 감소 단위 보존 대수 동형 사상이며, 이를 $A$ 의 겔판드 표현이라 하고, $\widehat{a}$ 는 원소 $a$ 의 겔판드 변환이다.

$A$ 에 항등원이 있는 경우, $\Phi_A$ 와 $A$ 안의 극대 아이디얼 집합 사이에는 겔판드-마주르 정리에 따른 전단사가 있다. 겔판드 표현 $A \to C_0 (\Phi_A)$ 의 핵은 $A$ 의 제이콥슨 라디칼과 동일시될 수 있다. 따라서 겔판드 표현은 $A$ 가 (제이콥슨) 반단순인 경우에만 단사이다.

4.1. 예

$A=L^1(\mathbb{R})$ 인 경우, 즉 $\mathbb{R}$ 의 군 대수에서 $\Phi_A$ 는 $\mathbb{R}$ 과 위상동형이고 $f \in L^1(\mathbb{R})$ 의 겔판드 변환은 푸리에 변환이다.

$A=L^1(\mathbb{R}_+)$ , 즉 $L^1$ -실 반직선의 컨볼루션 대수인 경우, $\Phi_A$ 는 $\{ z \in \mathbb{C} ~\colon~ \operatorname{Re}(z) \geq 0\}$ 와 위상동형이고 $f \in L^1(\mathbb{R}_+)$ 의 원소의 겔판드 변환은 라플라스 변환이다.

5. C*-대수의 경우

$A=C_0(X)$ 인 특별한 경우를 생각해보자. 여기서 $X$ 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이고, $C_0(X)$ 는 $X$ 에서 정의되어 무한대에서 0으로 수렴하는 연속 복소수 값 함수들의 집합이다.

주어진 $x\in X$ 에 대해, $\varphi_x \in A^*$ 를 $x$ 에서의 점별 계산이라고 하자. 즉, $\varphi_x(f) = f(x)$ 이다. 그러면 $\varphi_x$ 는 $A$ 의 특성이 되며, $A$ 의 모든 특성이 이러한 형태로 나타낼 수 있다.

더 자세히 분석하면, $\Phi_A$ ( $A$ 의 특성들의 집합)는 집합으로서 뿐만 아니라 위상 공간으로서도 $X$ 와 동일시할 수 있다. 이때 겔판드 표현은 다음과 같은 동형사상이 된다:

: $C_0(X)\to C_0(\Phi_A)$

5.1. 가환 C*-대수학의 스펙트럼

$A$ 가 복소수 체 $\mathbb{C}$ 에 대해 정의된 가환 C*-대수라고 하자. $A$ 에서 $\mathbb{C}$ 로 가는 $0$ 이 아닌 *- 동형사상 (특성)들의 집합을 $A$ 의 스펙트럼 또는 겔판드 공간이라 하고, $\hat{A}$ 로 표시한다.

가환 C*-대수의 스펙트럼은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. C*-대수가 곱셈 단위 원소 $1$ 을 갖는 유니탈(unital) 경우, 모든 특성 $f$ 는 유니탈이어야 한다. 즉, $f(1)$ 은 복소수 $1$ 이다. 이것은 영(zero) 동형사상을 제외하므로, $\hat{A}$ 는 약한-* 수렴에서 닫히고, 스펙트럼은 콤팩트하다. 단위가 아닌 경우, $\hat{A}$ 의 약한-* 닫힘은 $\hat{A}\cup\{0\}$ 이며, 여기서 $0$ 은 영 준동형사상이고, 콤팩트 하우스도르프 공간에서 한 점을 제거하면 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 된다.

$A$ 가 분리 가능한 C*-대수인 경우 약한-* 위상은 제한된 부분 집합에서 가측이다. 따라서 분리 가능한 가환 C*-대수 $A$ 의 스펙트럼은 거리 공간으로 볼 수 있다.

$\sigma(x)$ 는 겔판드 표현 $\gamma(x)$ 의 치역이다.

5.2. 가환 겔판드-나이마크 정리

$A=C_0(X)$ 인 특별한 경우를 생각해보자. $x\in X$ 일 때, $\varphi_x \in A^*$ 를 $x$ 에서의 점별 계산이라고 하면, $\varphi_x(f) = f(x)$ 이다. $\varphi_x$ 는 $A$ 의 특성이 되며, $A$ 의 모든 특성이 이 형식이 됨을 보일 수 있다. 더 자세히 분석하면 $\Phi_A$ 를 집합 뿐만 아니라 위상 공간으로서도 $X$ 와 동일시할 수 있다. 겔판드 표현은 다음과 같은 동형사상이다:

: $C_0(X)\to C_0(\Phi_A).\$

$\hat{A}$ 로 표시되는 가환 $C^*$ -대수 $A$ 의 스펙트럼 또는 겔판드 공간은 $A$ 에서 복소수 공간으로 가는 $0$ 이 아닌 *- 동형사상들의 집합이다. 스펙트럼의 원소를 $A$ 의 특성이라고 한다. ( $A$ 에서 복소수 공간으로 가는 모든 대수 준동형사상은 자동적으로 *-동형이 되므로, '특성'이라는 용어의 정의는 위와 같다.)

특히, 가환 $C^*$ -대수의 스펙트럼은 국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간이다. $C^*$ -대수가 곱셈 단위 원소 $1$ 을 갖는 유니탈인 경우, 모든 문자 $f$ 는 $f(1)$ 이 복소수 $1$ 인 유니탈이어야 한다. 이것은 제로 동형을 제외한다. 따라서 $\hat{A}$ 는 약한-* 수렴에서 닫히고 스펙트럼은 실제로 콤팩트하다. 단위가 아닌 경우, $\hat{A}$ 의 약한 -*닫음은 $\hat{A}\cup\{0\}$ 이며, 여기서 $0$ 은 제로 준동형이고 콤팩트 하우스도르프 공간에서 한 점을 제거하면 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 된다.

$A$ 스펙트럼 원소의 그물 $\{f_k\}_k$ 는 $A$ 의 각 $x$ 에 대해 복소수 그물 $\{f_k(x)\}_k$ 가 $f(x)$ 로 수렴하는 경우에만 $f$ 로 수렴한다.

$A$ 가 분리 가능한 $C^*$ -대수인 경우 약한-* 위상은 제한된 부분 집합에서 가측이다. 따라서 분리 가능한 가환 $C^*$ -대수 $A$ 의 스펙트럼은 거리 공간으로 볼 수 있으므로, 위상은 수열의 수렴을 통해 특성화할 수 있다.

$\sigma(x)$ 는 $\gamma(x)$ 의 치역이며, 여기서 $\gamma$ 는 겔판드 표현이다.

$A$ 를 가환 $C^*$ -대수, $X$ 를 $A$ 의 스펙트럼이라고 하고,

: $\gamma:A \to C_0(X)$

를 위에서 정의된 겔판드 표현이라 하자.

정리. 겔판드 사상 $\gamma$ 는 $A$ 에서 $C_0(X)$ 로의 등장 *-동형사상이다.

가환 $C^*$ -대수의 스펙트럼은 헐-커널 위상을 사용하여 $A$ 의 모든 극대 이데알 $m$ 의 집합으로 볼 수도 있다. 이러한 $m$ 에 대해 몫 대수 $A/m$ 은 $1$ 차원(겔판드-마주르 정리에 의해)이므로, $A$ 의 모든 $a$ 는 $Y$ 에 대한 복소 함수를 발생시킨다.

단위원이 있는 $C^*$ -대수의 경우, 스펙트럼 사상은 단위 및 단위 보존 연속 *-동형사상을 갖는 가환 $C^*$ -대수 범주에서 콤팩트 하우스도르프 공간 및 연속 사상 범주로 반변 함자를 발생시킨다. 이 함자는 이 두 범주 사이의 반변 동치의 절반이다(각 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 에 $C^*$ -대수 $C_0(X)$ 를 할당하는 함자가 인접함). 특히, 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 와 $Y$ 가 주어지면, $X$ 가 $Y$ 와 동형인 경우에만 $C(X)$ 는 $C(Y)$ 와 동형( $C^*$ -대수)이다.

6. 응용

C*^영어-대수의 정규 원소에 대한 연속 함수 미적분을 정의할 수 있다. 이를 통해 힐베르트 공간의 유계 정규 연산자에 연속 함수를 적용할 수 있다.