사각뿔수

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1. 개요
2. 역사
3. 공식
- 3.1. 증명
4. 성질
- 4.1. 수론적 성질
5. 기하학적 응용
6. 다른 도형수와의 관계
7. 기타 성질
8. 타르탈리아의 삼각형
참조

1. 개요

사각뿔수는 1부터 n번째 제곱수의 합으로 정의되며, n(n+1)(2n+1)/6으로 계산된다. 이는 고대 그리스 수학자들에 의해 연구되었으며, 대포알을 쌓는 문제와 관련하여 16세기 수학자들에 의해 다시 주목받았다. 사각뿔수는 두 사면체수의 합으로 표현될 수 있으며, 삼각수, 제곱수, 세제곱수 등 다른 도형수와 다양한 관계를 가진다. 또한, n x n 격자 내 정사각형의 개수, 정다각형의 예각 삼각형 개수 등 기하학적 문제와 관련이 있으며, 단위 분수의 교대 급수와 원주율, 체비쇼프 근사 등과도 연관된다.

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사각뿔수
일반 정보
이름	사각뿔수
다른 이름	제곱 피라미드 수 사각 피라미드 수
영어 이름	square pyramidal number
수열
수열	1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, ...
공식	Σk² = n(n+1)(2n+1) / 6
성질	두 개의 사면체수의 합이다.
OEIS 색인	A000330

2. 역사

사각뿔수는 니코마코스, 스미르나의 테온, 이암블리코스의 저작에서 연구된 몇 안 되는 3차원 도형수 중 하나였다. 아르키메데스는 원뿔 부피 연구의 일부로 보조 정리를 사용하여 연속된 제곱수를 더하여 사각뿔수의 값을 제공하는 3차 다항식을 얻는 공식을 제공했으며, 피보나치는 제곱수 등차수열의 합에 대한 공식을 찾는 문제의 보다 일반적인 해결책의 일부로 제공했다. 사각뿔수는 또한 와산 시대의 일본 수학자들이 연구한 도형수의 한 종류였으며, 그들은 이를 "kirei saijō suida"(현대 한자로 奇零再乗蓑深)라고 명명했다.

1500년대 후반 월터 롤리는 항해 중에 수학자 토머스 해리엇에게 대포알을 사각뿔 모양으로 쌓았을 때의 개수를 세는 문제를 제기했다. 이 과정에서 1과 4900 외에 사각뿔수이면서 제곱수인 수가 있는지를 묻는 대포알 문제가 발생했다고 한다. 에두아르 뤼카는 제곱수 개수의 공을 가진 4900-알 피라미드를 찾았고, 대포알 문제를 더 널리 알리면서 유일한 비자명 해법이라고 제안했다. 뤼카와 클로드-세라팽 모레-블랑의 불완전한 증명 이후, 그러한 다른 숫자가 존재하지 않는다는 최초의 완전한 증명은 1918년 G. N. 왓슨에 의해 제시되었다.

3. 공식

n번째 사각뿔수 $\operatorname{Pyr}(3,4;n)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Pyr}(3,4;n)=\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6=\frac 13n^3+\frac 12n^2+\frac 16n$

처음 몇 사각뿔수는 다음과 같다.(0번째 항부터 시작)

:0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ...

이는 구체를 층의 개수가 1, 2, 3 등인 사각뿔에 쌓을 때 각 뿔의 구체 개수를 나타낸다.^[1]

n개의 층을 가진 사각뿔 6개를 크기 $n(n+1)(2n+1)$ 의 직육면체에 채울 수 있다.

이 숫자는 대수적으로 다음과 같이 표현되는 3차 다항식으로 계산할 수 있다.

:

P_n= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}.

이 식은 파울하버 공식의 특수한 경우이며, 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

''n''번째 사각뿔수는 1부터 ''n''번째 제곱수 ''n''²까지의 합과 같다.

:

\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

또한 조합 기호를 사용하면

S_n = {}_{n+1}{\rm C}_{3} + {}_{n+2}{\rm C}_{3} \,

이 된다. 이는 사각뿔수가 연속하는 삼각뿔수의 합으로 나타낼 수 있음을 보여준다.

사각뿔수는 1부터 차례대로 홀수 - 홀수 - 짝수 - 짝수 순으로 반복해서 나타난다.

사각뿔수 중 삼각수이기도 한 수는 1, 55, 91, 208335의 4개뿐이다.

사각뿔수 중 제곱수이기도 한 수는 1과 4900 (24번째 사각뿔수)의 2개뿐이다. 또한 사각뿔수이면서 삼각뿔수이기도 한 수는 1뿐이다.

''n'' × ''n''칸의 모눈 안에 포함된 정사각형의 수는 ''n''번째 사각뿔수와 같다.

3. 1. 증명

항등식

(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1

에

k=1,2,3,\cdots,n

을 대입하면 다음을 얻는다.

:

2^3-1^3=3\times1^2+3\times 1+1

:

3^3-2^3=3\times2^2+3\times 2+1

:

4^3-3^3=3\times3^2+3\times 3+1

:

\vdots

:

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

이들을 합하면 다음을 얻는다.

:

\begin{align}(n+1)^3-1&=3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+3(1+2+3+\cdots+n)+n\\&=3\sum_{k=1}^nk^2+\frac{3n(n+1)}2+n\end{align}

이를 정리하면 사각뿔수의 일반항을 얻는다.

4. 성질

사각뿔수는 다음과 같은 성질을 갖는다.^[1]

두 이웃하는 사면체수의 합과 같다. 이는 사각수가 두 이웃하는 삼각수의 합인 것과 유사하다.
짝수 번째 사면체수와 상수배 차이가 난다.
한 항을 사이에 둔 두 오포체수의 차와 같다.
생성 함수는 다음과 같다.

:

\sum_{n=0}^\infty\operatorname{Pyr}(3,4;n)x^n=\frac{x(x+1)}{(x-1)^4}

''n'' × ''n''칸의 모눈 안에 포함된 정사각형의 수는 ''n''번째 사각뿔수와 같다.

다음과 같이 무한히 이어지는 덧셈 등식은 '''타르탈리아의 삼각형'''이라고 불린다.

::

1 + 2 = 3

::

4 + 5 + 6 = 7 + 8

::

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

:…

위에서부터 ''n''번째 줄의 등식 값은 ''n''번째 사각뿔수의 3배이다.

다음과 같이 무한히 이어지는 제곱합의 등식도 같은 이름으로 불린다.

::

3^2 + 4^2 = 5^2

::

10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2

::

21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2

:…

등식의 값은 ''n''번째 사각뿔수의 ''12n(n + 1) + 1''배이다. 이 값은 1부터 ''n''까지의 세제곱합의 ''16(n + 1/2)''배와 ''n''번째 사각뿔수의 합과 같으며, 1부터 ''n''까지의 네제곱합(''n''번째 사각뿔수의 ''{3n(n + 1) - 1}/5'' 배)의 20배와 ''n''번째 사각뿔수의 5배의 합과도 같다. 1번째 줄부터 ''n''번째 줄까지의 총합은 덧셈 삼각형의 그것의 1/3(즉, 1번째부터 ''n''번째까지의 사각뿔수의 총합)의 ''8n(n + 2) + 1''배이다.

4. 1. 수론적 성질

삼각수인 사각뿔수는 1, 55, 91, 208335뿐이다.^[1] 제곱수인 사각뿔수는 1과 4900뿐이다.^[1] 사각뿔수가 세제곱수, 네제곱수, 다섯제곱수인 경우는 0, 1뿐이다.^[1]

''n''번째 사각뿔수는 1부터 ''n''번째 제곱수 ''n''²까지의 합과 같으므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 먼저 ''n''번째 삼각수를 ''T_n'', ''n''번째 사각뿔수를 ''S_n''이라고 하면,

:

\frac{S_1}{T_1} = \frac{1}{1} = \frac{3}{3} \ ,\quad \frac{S_2}{T_2} = \frac{5}{3} \ ,\quad \frac{S_3}{T_3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \ ,\quad \frac{S_4}{T_4} = \frac{30}{10} = \frac{9}{3}\ , \ ... \quad , \frac{S_n}{T_n} = \frac{2n+1}{3}

이 되므로,

:

S_n = \frac{2n+1}{3} \ T_n = \frac{2n+1}{3} \ \frac{n(n+1)}{2}

를 얻을 수 있다.

또한 조합 기호를 사용하면

S_n = {}_{n+1}{\rm C}_{3} + {}_{n+2}{\rm C}_{3} \,

이 된다. 이는 사각뿔수가 연속하는 삼각뿔수의 합으로 나타낼 수 있음을 보여주며, 사각수가 연속하는 삼각수의 합으로 나타낼 수 있는 것과 유사한 정리이다.

사각뿔수는 1부터 차례대로 홀수 - 홀수 - 짝수 - 짝수 순으로 반복해서 나타난다.^[1]

사각뿔수 중 삼각수이기도 한 수는 1, 55, 91, 208335의 4개뿐이다.^[1]

사각뿔수 중 제곱수이기도 한 수는 1과 4900 (24번째 사각뿔수)의 2개뿐이다.^[1] 또한 사각뿔수이면서 삼각뿔수이기도 한 수는 1뿐이다.^[1]

5. 기하학적 응용

사각뿔수는 큰 정사각형 격자 안의 정사각형 개수를 세는 문제에 사용될 수 있다. 이 문제는 다음과 같이 해결할 수 있다.

격자 안에 있는 1 × 1 정사각형의 개수는 $n^2$ 이다.
격자 안에 있는 2 × 2 정사각형의 개수는 $(n - 1)^2$ 이다. 이것은 2 × 2 정사각형의 모든 가능한 왼쪽 위 모서리를 세는 것으로 계산할 수 있다.
격자 안에 있는 k × k 정사각형 (1 ≤ k ≤ n)의 개수는 $(n - k + 1)^2$ 이다. 이것은 k × k 정사각형의 모든 가능한 왼쪽 위 모서리를 세는 것으로 계산할 수 있다.

따라서, n × n 정사각형 격자 안의 정사각형의 개수는 다음과 같다.

:

n^2 + (n-1)^2 + (n-2)^2 + (n-3)^2 + \ldots = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

즉, 이 문제의 해는 n번째 사각뿔수로 주어진다.

사각뿔수

P_n

은

(2n+1)

각형의 꼭짓점에서 형성된 예각 삼각형의 개수를 세는 데도 사용된다. 예를 들어, 정삼각형은 하나의 예각 삼각형(자기 자신)만 포함하고, 정오각형은 5개의 예각 황금 삼각형을 포함하며, 정칠각형은 2개의 모양으로 14개의 예각 삼각형을 포함한다.

더 추상적으로, 행렬의 행 또는 열의 순열을 동등한 것으로 간주할 때, n을 더한 음이 아닌 정수 계수를 가진 2 × 2 행렬의 개수는 n이 홀수일 때 사각뿔수이다.

6. 다른 도형수와의 관계

사각뿔수는 두 개의 연속하는 사면체수의 합으로 나타낼 수 있다. 이는 사각뿔수를 두 개의 연속하는 삼각수로 분해하는 것과 유사하다.^[1]

사면체를 면에 대해 반사하면 두 개의 복사본이 삼각 쌍뿔을 형성한다. 따라서 사각뿔수는 삼각 쌍뿔의 도형수와 관련이 있으며, 이는 사각뿔수와 삼각 쌍뿔수의 등식으로 표현될 수 있다. 이와 비슷하게, 사각뿔을 밑면에 대해 반사하면 팔면체가 만들어지는데, 이를 통해 각 팔면체수가 두 개의 연속적인 사각뿔수의 합이라는 것을 알 수 있다.

사각뿔수는 다른 방식으로 사면체수와도 관련이 있다. 동일한 사각뿔수 4개의 점을 재배열하여 각 변을 따라 두 배의 점이 있는 단일 사면체를 만들 수 있다. 즉, 다음과 같다.

$4P_n=Te_{2n}=\binom{2n+2}{3}.$

7. 기타 성질

사각뿔수를 분모로 하는 단위 분수의 교대 급수는 π에 대한 라이프니츠 공식과 밀접한 관련이 있지만, 더 빠르게 수렴한다.

: $\begin{align}\sum_{i=1}^{\infty}& (-1)^{i-1}\frac{1}{P_i}\\&=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{14}-\frac{1}{30}+\frac{1}{55}-\frac{1}{91}+\frac{1}{140}-\frac{1}{204}+\cdots\\&=6(\pi-3)\\&\approx 0.849556.\\\end{align}$

근사 이론에서 홀수, 홀수의 합(제곱수), 제곱수의 합(사각뿔수) 등의 수열은 체비쇼프 근사를 다항식으로 변환하는 방법의 계수를 형성한다.

8. 타르탈리아의 삼각형

타르탈리아의 삼각형은 다음과 같이 무한히 이어지는 덧셈 등식이다.^[1]

: $1 + 2 = 3$

: $4 + 5 + 6 = 7 + 8$

: $9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15$

:…

위에서부터 ''n''번째 줄의 등식 값은 ''n''번째 사각뿔수의 3배이다.^[1]

제곱합의 등식으로 구성된 타르탈리아의 삼각형도 존재한다.^[1]

: $3^2 + 4^2 = 5^2$

: $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$

: $21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2$

:…

이 등식의 값은 ''n''번째 사각뿔수의 ''12n(n + 1) + 1''배이다. 이 값은 1부터 ''n''까지의 세제곱합의 ''16(n + 1/2)''배와 ''n''번째 사각뿔수의 합과 같으며, 1부터 ''n''까지의 네제곱합(''n''번째 사각뿔수의 ''{3n(n + 1) - 1}/5'' 배)의 20배와 ''n''번째 사각뿔수의 5배의 합과도 같다. 1번째 줄부터 ''n''번째 줄까지의 총합은 덧셈 삼각형의 그것의 1/3(즉, 1번째부터 ''n''번째까지의 사각뿔수의 총합)의 ''8n(n + 2) + 1''배이다.^[1]

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