단사 사상

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일반적인 정의
- 2.2. 특수한 경우
3. 성질
4. 예시
5. 용어
6. 관련 개념
7. 범주론적 반순서 (추가)
참조

1. 개요

단사 사상은 범주 $\mathcal C$ 의 사상 $f\colon X\to Y$ 로, 임의의 대상 $Z$ 와 사상 $g_1,g_2\colon Z\to X$ 에 대해 $f\circ g_1=f\circ g_2$ 이면 $g_1=g_2$ 를 만족하는 사상이다. 이는 왼쪽 소거 가능성을 가지며, 정규 단사 사상, 강한 단사 사상, 극단 단사 사상 등의 특수한 경우로 분류된다. 동형 사상, 분할 단사 사상, 유효 단사 사상, 정칙 단사 사상 등과 관계를 가지며, 함수의 합성, 함자, 요네다 매장 등을 통해 성질을 파악할 수 있다. 구체적 범주에서 단사 함수와 연관되며, 집합과 함수, 군, 환, 체, 벡터 공간, 위상 공간 등 다양한 범주에서 예시를 찾을 수 있다. 또한 범주 위에 반순서를 정의하는 데 사용될 수 있다.

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단사 사상
정의
설명	범주론에서 단사 사상은 일반화된 단사 함수이다. 즉, 사상 f: X → Y는 임의의 사상 g1, g2: Z → X에 대해 f ∘ g1 = f ∘ g2이면 g1 = g2일 때 단사 사상이라고 한다.
예시
집합론	집합론에서 단사 함수는 단사 사상이다.
군론	군론에서 군 준동형 사상이 단사 사상일 필요충분조건은 핵이 자명군인 것이다.
환론	환론에서 환 준동형 사상 f: R → S가 단사 사상일 필요충분조건은 핵이 {0}인 것이다.
모듈론	모듈론에서 선형 변환이 단사 사상일 필요충분조건은 핵이 {0}인 것이다.
성질
합성	단사 사상의 합성은 단사 사상이다. 즉, f와 g가 단사 사상이면 f ∘ g도 단사 사상이다.
범주론적 성질	사상 f: X → Y에 대해, 임의의 사상 g, h: Z → X에 대해 f ∘ g = f ∘ h이면 g = h인 사상 f를 단사 사상이라고 한다. 사상 f: X → Y에 대해, 임의의 대상 Z와 사상 g: Z → X에 대해 f ∘ g = f ∘ h를 만족하는 사상 h: Z → X가 유일하면 f를 단사 사상이라고 한다.
위상 공간	위상 공간의 범주에서 단사 사상은 단사 함수이다.

2. 정의

범주에서 사상 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면 '''단사 사상'''이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g_1,g_2\colon Z\to X$ 에 대하여, 만약 $f\circ g_1=f\circ g_2$ 라면 $g_1=g_2$ 이다.

이 성질은 왼쪽 소거 가능성이라고 하며, 단사 사상은 왼쪽 소거 가능성을 갖는 사상이라고 할 수 있다.

왼쪽 가역 사상은 항상 단사 사상이지만, 단사 사상이 반드시 왼쪽 가역적일 필요는 없다. 예를 들어, 군과 군 준동형 사상으로 구성된 범주 '''Group'''에서, 부분군 포함 사상은 항상 단사 사상이지만, 정규 보수를 가질 때만 왼쪽 역을 가진다.

사상

f\colon X\to Y

는 모든 대상 ''Z''에 대해

f_* \colon Hom(Z,X) \to Hom(Z,Y)

(

f_* (h) = f \circ h

로 정의)가 단사일 때 그리고 그 때만 단사 사상이다.

2. 1. 일반적인 정의

범주

\mathcal C

의 사상

f\colon X\to Y

가 다음 조건을 만족시키면, '''단사 사상'''이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 사상 $g_1,g_2\colon Z\to X$ 에 대하여, 만약 $f\circ g_1=f\circ g_2$ 라면 $g_1=g_2$ 이다.
: $Z\overset{g_1}{\underset{g_2}}X\xrightarrow fY$

왼쪽 가역 사상은 반드시 단사 사상이다. 즉, ''l''이 ''f''의 왼쪽 역(즉, ''l''은 사상이고

l \circ f = \operatorname{id}_{X}

)이면, ''f''는 단사 사상인데, 이는 다음과 같이 증명할 수 있다.

:

f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow l\circ f\circ g_1 = l\circ f\circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2.

왼쪽 가역 사상은 '''분할 단사''' 또는 '''단면'''이라고 불린다.

하지만, 단사 사상이 왼쪽 가역적일 필요는 없다. 예를 들어, 모든 군과 그 사이의 군 준동형 사상으로 구성된 범주 '''Group'''에서, ''H''가 ''G''의 부분군이면 포함 사상은 항상 단사 사상이다. 하지만, 이 포함 사상이 범주에서 왼쪽 역을 가지려면 ''H''가 ''G''의 정규 보수이어야 한다.

사상

f\colon X\to Y

는 모든 대상 ''Z''에 대해

f_* \colon Hom(Z,X) \to Hom(Z,Y)

(

f_* (h) = f \circ h

로 정의)가 단사일 때 그리고 그 때만 단사 사상이다.

범주론에서 사상

f\colon X\to Y

가 단사 사상이라는 것은, 모든 대상

Z

와 임의의 사상

g_1, g_2\colon Z\to X

에 대하여,

:

f \circ g_1 = f \circ g_2

이면

g_1 = g_2

가 성립하는 것을 말한다. 이 성질을 왼쪽 소거 가능성이라고 한다. 즉, 단사 사상은 왼쪽 소거 가능성을 갖는 사상이라고 할 수 있다.

2. 2. 특수한 경우

영 사상을 갖는 범주

\mathcal C

에서, 어떤 사상

f\colon X\to Y

의 핵

\ker f\colon K\to X

으로 나타내어질 수 있는 사상을 '''정규 단사 사상'''이라고 한다. 정규 단사 사상은 항상 단사 사상이다. 이 개념은 군론에서의 정규 부분군 개념의 일반화이다.

범주

\mathcal C

에서, '''강한 단사 사상'''(強-單射寫像, strong monomorphism^영어)은 모든 전사 사상에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 단사 사상이다. 즉, 단사 사상

i\colon A\to B

가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 단사 사상이라고 한다.

:임의의 가환 사각형

::

\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y\\\downarrow & &\downarrow\\A&\xrightarrow[i]{}&B\end{matrix}

:에서

\pi

가 전사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상

Y\to A

가 존재한다.

::

\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y\\\downarrow &{\scriptstyle\exists!}\swarrow &\downarrow\\A&\xrightarrow[i]{}&B\end{matrix}

범주

\mathcal C

의 단사 사상

f\colon X\to Y

가 다음 조건을 만족시키면, '''극단 단사 사상'''(極端單射寫像, extremal monomorphism^영어)이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 전사 사상 $g\colon X\to Z$ 및 사상 $h\colon Z\to Y$ 에 대하여, 만약 $f=h\circ g$ 라면 $g$ 는 동형 사상이다.
:

\begin{matrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow&\searrow\scriptstyle f\\Z&\xrightarrow[h]{}&Y\end{matrix}

왼쪽 가역 사상은 '''분할 단사''' 또는 '''단면'''이라고 불린다.

하지만, 단사 사상이 왼쪽 가역적일 필요는 없다. 예를 들어, 모든 군과 그 사이의 군 준동형 사상으로 구성된 범주 '''Group'''에서, ''H''가 ''G''의 부분군이면 포함 사상은 항상 단사 사상이다. 하지만, ''f''는 ''H''가 ''G''에서 정규 보수를 가질 때만 범주에서 왼쪽 역을 가진다.

사상은 모든 대상 ''Z''에 대해

f_*(h) = f \circ h

로 정의된 유도된 사상

f_* \colon Hom(Z, X) \to Hom(Z, Y)

가 단사일 때 그리고 그 때만 단사 사상이다.

3. 성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상

분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상

f\colon X\to Y

및 그 왼쪽 역사상

r\colon Y\to X

이 주어졌을 때

f=\operatorname{eq}\{f\circ r,\operatorname{id}_Y\}

이기 때문이다.

단사 사상의 합성은 단사 사상이다. 극단 단사 사상의 합성은 극단 단사 사상일 필요가 없다. 예를 들어, 다음과 같은 그림으로 나타낸 범주를 생각하자.

:

\begin{matrix}A & \xrightarrow f & B & \overset g\rightrightarrows & C & \rightrightarrows & D \\& \searrow & & \nearrow \\& & E\end{matrix}

이 범주에서

f

와

g

는 극단 단사 사상이지만,

g\circ f

는 극단 단사 사상이 아니다.

단사 사상은 당김의 특수한 경우이므로, 당김을 보존하는 함자에 대한 상에 의하여 보존된다. 단사 사상은 충실한 함자에 대한 원상에 의하여 보존된다.

요네다 매장을 통하여, 단사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주

\mathcal C

속의 사상

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$f$ 는 단사 사상이다.
임의의 대상 $Z$ 에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 $(f\circ)\colon\hom_{\mathcal C}(Z,X)\to\hom_{\mathcal C}(Z,Y)$ 는 단사 함수이다.
준층 토포스 $\operatorname{PSh}(\mathcal C)$ 로 가는 요네다 매장 함자 $\hom_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\operatorname{PSh}(\mathcal C)$ 아래서, $f$ 의 상 $(f\circ)\colon\hom_{\mathcal C}(-,X)\to \hom_{\mathcal C}(-,Y)$ 은 준층 토포스에서의 단사 사상이다.

범주

\mathcal C

의 단사 사상은 그 반대 범주

\mathcal C^{\operatorname{op}}

의 전사 사상이다.

토포스에서 모든 단사는 등자이며, 단사이면서 전사인 모든 사상은 동형 사상이다.
모든 동형 사상은 단사이다.

좌가역 사상(좌역 사상을 갖는 사상)은 항상 단사 사상이다. 즉, ''l''이 ''f''의 좌역 사상, 즉

l \circ f = \operatorname{id}_{X}

일 때, ''f''는 단사 사상이 된다. 왜냐하면,

:

f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow l\circ f\circ g_1 = l\circ f\circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2.

이기 때문이다. 좌가역 사상은 분열 단사 사상(split mono) 또는 섹션(section)이라고 불린다.

그러나 단사 사상은 좌가역 사상일 필요는 없다. 예를 들어, 모든 군과 군 준동형 사상으로 구성된 군의 범주에서, ''H''가 ''G''의 부분군일 때, 포함 사상 ''f'' : ''H'' → ''G''는 항상 단사 사상이지만, ''f''가 범주론적 좌가역이기 위한 필요충분 조건은 ''H''가 ''G''의 정규 보군인 것이다.

사상

f : X \rightarrow Y

가 단사 사상인 필요충분 조건은, 모든 사상

h : Z \rightarrow X

에 대한 사상

1=f_{*}(h) = f \circ h

로 정의되는 유도 사상(induced map)

f_{*} : \operatorname{Hom}(Z, X) \rightarrow \operatorname{Hom}(Z, Y)

가 모든 대상 ''Z''에 대해 단사 사상인 것이다.

4. 예시

구체적 범주에서 단사 함수인 사상은 단사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 자유 대상이 존재한다면, 즉 망각 함자 $\mathcal C\to\operatorname{Set}$ 의 왼쪽 수반 함자가 존재한다면, 그 역 또한 성립한다. 특히, 대수 구조 다양체의 범주의 경우, 항상 자유 대수 구조가 존재하므로 모든 단사 사상은 단사 함수이다.

여러 구체적 범주에서, 단사 사상들은 단사 함수인 준동형이다.

군의 범주에서, 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이다.
환의 범주 $\operatorname{Ring}$ 에서, 단사 사상은 단사 함수인 환 준동형이다.

그러나 이는 항상 성립하지 않는다.

나눗셈군과 군 준동형의 범주에서, 몫군 사상 $\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z$ 는 단사 함수가 아니지만 단사 사상이다.

체의 범주에서는 모든 사상(체의 확대)이 단사 사상이다.

예를 들어 가분 (아벨) 군과 그 사이의 군 준동형 사상의 범주인 '''Div'''에서는 단사 함수가 아닌 단사 사상이 있다. 몫 사상 를 고려해 보자. 여기서 '''Q'''는 덧셈 아래의 유리수, '''Z'''는 정수(덧셈 아래의 군으로 간주), '''Q'''/'''Z'''는 해당 몫군이다. 이 함수는 단사 함수가 아닌데, 예를 들어 모든 정수는 0으로 매핑된다. 그럼에도 불구하고, 이 함수는 이 범주에서 단사 사상이다.

5. 용어

니콜라 부르바키는 단사 함수(주입 함수)를 나타내는 약어로 '단사 사상'이라는 용어를 처음 도입하였다. 초기 범주론 학자들은 범주론에서 주입의 올바른 일반화가 소거 성질이라고 믿었다. 이는 단사 사상에 정확히 해당하지는 않지만 매우 근접하여 큰 문제를 일으키지 않았다. 손더스 맥 레인은 구체적 범주에서 집합의 기저 사상이 주입인 사상인 '단사 사상'과 범주론적 의미의 단사 사상인 '모닉 사상'을 구분하려고 시도했으나, 이 구분은 일반적으로 사용되지 않았다.^[1]

단사 사상의 또 다른 이름은 '확장'이지만, 다른 용도로도 사용된다.^[1]

범주론에서 사상 f^영어: X^영어 → Y^영어가 단사 사상(monic)이라는 것은, 모든 대상 Z^영어와 임의의 사상 g₁^영어, g₂^영어: Z^영어 → X^영어에 대하여,

: $f \circ g_1 = f \circ g_2$ 이면 $g_1 = g_2$

가 성립하는 것을 말한다. 이 성질을 왼쪽 소거 가능(left cancelable)성이라고 한다. 즉, 단사 사상은 왼쪽 소거 가능성을 갖는 사상이라고 할 수 있다.^[1]

6. 관련 개념

전사 사상에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 단사 사상을 강한 단사 사상이라고 한다. 즉, 단사 사상 $i\colon A\to B$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 단사 사상이라고 한다.

:임의의 가환 사각형

:: $\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y\\\downarrow & &\downarrow\\A&\xrightarrow[i]{}&B\end{matrix}$

:에서 $\pi$ 가 전사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 $Y\to A$ 가 존재한다.

:: $\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y\\\downarrow &{\scriptstyle\exists!}\swarrow &\downarrow\\A&\xrightarrow[i]{}&B\end{matrix}$

범주 $\mathcal C$ 의 단사 사상 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면, '''극단 단사 사상'''이라고 한다.

임의의 대상 $Z$ 및 전사 사상 $g\colon X\to Z$ 및 사상 $h\colon Z\to Y$ 에 대하여, 만약 $f=h\circ g$ 라면 $g$ 는 동형 사상이다.
:

\begin{matrix}X\\{\scriptstyle g}\downarrow&\searrow\scriptstyle f\\Z&\xrightarrow[h]{}&Y\end{matrix}

영 사상을 갖는 범주에서, 어떤 사상

f\colon X\to Y

의 핵

\ker f\colon K\to X

으로 나타내어질 수 있는 사상을 '''정규 단사 사상'''이라고 한다. 정규 단사 사상은 항상 단사 사상이다. 이 개념은 군론에서의 정규 부분군 개념의 일반화이다.

왼쪽 가역 사상은 '''분할 단사''' 또는 '''단면'''이라고 불린다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:동형 사상 ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

:동형 사상 ⊆ 분할 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상

:동형 사상 = 단사 사상 ∩ 극단 전사 사상 = 전사 사상 ∩ 극단 단사 사상

7. 범주론적 반순서 (추가)

범주론에서 단사 사상(모닉 사상)의 왼쪽 약분 가능성을 사용하여 범주 위에 반순서를 정의할 수 있다.^[2]

α₁ : A₁ → A, α₂ : A₂ → A를 각각 단사 사상이라고 할 때, 단사 사상 간의 반순서 관계 α₁ ≦ α₂가 성립한다는 것은 단사 사상 γ : A₁ → A₂가 존재하여 α₂・γ = α₁을 만족하는 것을 의미한다.

반순서 관계는 반사적(reflexive)이고 추이적(transitive)이며 반대칭적(anti-symmetric)인 관계인데, 단사 사상 간의 관계 ≦는 실제로 이러한 조건을 만족한다.^[3]

'''(반사율)''' α₁ : A₁ → A가 단사 사상이면, α₁ ≦ α₁이다.
'''(추이율)''' α₁ : A₁ → A, α₂ : A₂ → A, α₃ : A₃ → A를 단사 사상이라고 하고, α₁ ≦ α₂이고 α₂ ≦ α₃이면, α₁ ≦ α₃이다.
'''(반대칭율)''' α₁ : A₁ → A, α₂ : A₂ → A를 단사 사상이라고 하고, α₁ ≦ α₂이고 α₂ ≦ α₁이면, α₁ ≅ α₂이다.

참조

_[1] 서적 河田
_[2] 서적 Mitchell(1965)
_[3] 문서

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