렙디지트

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 수학적 성질
5. 특별한 렙디지트
6. 한국 문화와 렙디지트
7. 유사한 수
8. 수비학
참조

1. 개요

렙디지트는 b진법에서 c(b^n-1)/(b-1)으로 정의되는 수로, 1974년 이후 연구되었다. 렙디지트의 수학적 성질로는 2자리 이상의 자연수에서 같은 숫자가 반복되는 수가 거듭제곱수가 아니라는 점, 삼각수인 것은 55, 66, 666뿐이라는 점 등이 있다. 렙디지트 소수는 레퓨닛 형태이며 소수 개의 숫자를 가져야 하고, 브라질 소수의 역수의 합은 수렴 급수이다. 렙디지트는 1과 6, 소수, 소수 제곱을 제외한 모든 수를 나타낼 수 있으며, k-브라질 수 개념이 존재한다. 렙디지트는 특별한 의미를 갖기도 하며, 한국 문화에서는 행운의 숫자로 여겨지기도 한다. 미러 번호, 연속 번호 등과 유사하며, 수비학적 의미를 부여받기도 한다.

더 읽어볼만한 페이지

정수 - 1987
1987은 수학적으로 소수이자 순환소수, 약수 총합과 관련된 특징을 가지며, 천문학, 문화유산, 영화, 음악 등 다양한 분야에서 활용되는 숫자이다.
정수 - 383
383은 76번째 소수이자 안전 소수, 회문 소수, 왼쪽 잘라내기 가능 소수이며, 오일러의 소수 생성 공식에서 유도되는 소수이고, 역수가 순환마디 길이 382인 순환소수인 수학적으로 특징적인 수이다.

렙디지트
정의
설명	동일한 숫자가 반복되어 나타나는 자연수
명칭
영어	Repdigit
일본어	ゾロ目 (Zorome)
한국어	렙디지트
예시
숫자	11, 222, 7777, 99999
수학적 성질
표현	b는 기수 (진법), x는 숫자 (0 ≤ x < b), k는 자릿수일 때, 렙디지트는 x * ((b^k - 1) / (b - 1)) 로 표현 가능
소수	11은 유일한 렙디지트 소수 (십진법).
11의 배수 판별법	자릿수 숫자의 합이 11의 배수이면 원래 숫자도 11의 배수이다.

2. 정의

''b''진법의 렙디지트는 다음과 같이 정의된다.

: $c \frac{b^n - 1}{b - 1} \qquad \mbox{for } b \ge 2, n \ge 1, 0 < c < b$

3. 역사

렙디지트라는 개념은 1974년부터 그 이름으로 연구되었으며,^[5] 그 이전에는 "단일 숫자"라고 불렸다.^[1] 브라질 숫자는 1994년 브라질 포르탈레자에서 열린 제9회 이베로아메리카 수학 올림피아드에서 소개되었다. 멕시코가 제안한 이 대회의 첫 번째 문제는 다음과 같았다.^[6]

> ''n'' > 0인 숫자 ''n''은 정수 ''b''가 존재하여 1 < ''b'' < ''n'' – 1가 성립하고, ''n''을 밑 ''b''로 표현했을 때 모든 숫자가 같은 경우 "브라질 숫자"라고 한다. 1994가 브라질 숫자이고 1993이 브라질 숫자가 아님을 증명하라.

4. 수학적 성질

2자리 이상의 자연수에서 같은 숫자가 반복되는 수는 거듭제곱수가 아니다.^[17] 삼각수인 렙디지트는 55, 66, 666 뿐이다.^[18]^[19]

4. 1. 소수와 레퓨닛

레프디지트 소수는 반복되는 숫자가 1인 레퓨닛 형태이며, 소수 개의 숫자를 가져야 한다(단, 한 자리 숫자는 제외). 예를 들어 레프디지트 77777은 7로 나누어지기 때문이다.^[5] 브라질 레퓨닛은 숫자의 개수가 정확히 2개가 되는 것을 허용하지 않으므로, 브라질 소수는 홀수 소수 개수의 숫자를 가져야 한다. 홀수 소수 개수의 숫자를 갖는다고 해서 레퓨닛이 소수라는 것을 보장하는 것은 아니다. 예를 들어, 21 = 111₄ = 3 × 7이고 111 = 111₁₀ = 3 × 37은 소수가 아니다. 주어진 기수 ''b''에서 11_''b'' (소수라면)을 제외한 모든 해당 기수의 레퓨닛 소수는 브라질 소수이다. 가장 작은 브라질 소수는 다음과 같다.

:7 = 111₂, 13 = 111₃, 31 = 11111₂ = 111₅, 43 = 111₆, 73 = 111₈, 127 = 1111111₂, 157 = 111₁₂, ...

소수의 역수의 합의 발산은 발산하는 급수이지만, 브라질 소수의 역수의 합은 "브라질 소수 상수"라고 불리는, 0.33보다 약간 큰 수렴 급수이다. 이 수렴은 브라질 소수가 모든 소수의 무한히 작은 부분을 형성한다는 것을 의미한다. 예를 들어, 10¹²보다 작은 소수 37,000,000,000개 중에서 브라질 소수는 88,000개뿐이다.

십진법 레퓨닛 소수는

R_n=\tfrac{10^n-1}9\ \mbox{with } n\ge3

의 형식을 가지며, 십진법 레퓨닛 소수가 무한히 많다는 추측이 있다. 이진수 레퓨닛은 메르센 수이며 이진법 레퓨닛 소수는 메르센 소수이다.

브라질 소수가 무한히 많은지는 알려져 있지 않다. 베이트먼-혼 추측이 참이라면, 각 소수 개수의 숫자마다 해당 숫자 개수의 레퓨닛 소수가 무한히 많이 존재할 것이고, 결과적으로 브라질 소수가 무한히 많을 것이다. 또는 십진법 레퓨닛 소수나 메르센 소수가 무한히 많다면 브라질 소수가 무한히 많다. 소수의 무한히 작은 부분이 브라질 소수이므로 무한히 많은 비(非) 브라질 소수가 있으며, 다음과 같다.

:2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53, ...

페르마 수

F_n = 2^{2^n} + 1

이 소수라면 브라질 소수가 아니지만, 합성수라면 브라질 소수이다.

소피 제르맹 소수가 브라질 소수인 예로, 28792661 = 11111₇₃가 있다.

4. 2. 비(非) 브라질 수와 레퓨닛 거듭제곱

비(非) 브라질 수로 가능한 유일한 양의 정수는 1, 6, 소수 그리고 소수의 제곱수이다. 다른 모든 수는 1 < ''x'' < ''y'' - 1을 만족하는 두 개의 인수 ''x''와 ''y''의 곱으로 나타낼 수 있으며, ''y'' - 1을 밑으로 하는 수에서 ''xx''로 쓸 수 있다.^[9] 소수 ''p''²의 제곱이 브라질 수인 경우, 소수 ''p''는 디오판토스 방정식 ''p''² = 1 + ''b'' + ''b''² + ... + ''b''^''q''-1 (''p'', ''q'' ≥ 3 소수, ''b'' >= 2)를 만족해야 한다.

노르웨이 수학자 트뤼그베 나겔은^[9] 이 방정식이 소수 ''p''에 대해 (''p'', ''b'', ''q'') = (11, 3, 5)에 해당하는 단 하나의 해만 있다는 것을 증명했다. 따라서 브라질 수인 유일한 소수의 제곱은 11² = 121 = 11111₃이다.

또한 다른 비자명한 레퓨닛 제곱이 있는데, 이는 (''p'', ''b'', ''q'') = (20, 7, 4)에 해당하는 20² = 400 = 1111₇이다. 하지만 20이 소수가 아니기 때문에 브라질 수의 분류와 관련하여 예외적인 경우는 아니다.

어떤 밑 ''b''에서 세 자리 이상인 완전제곱수는 나겔과 빌헬름 융그렌의 디오판토스 방정식^[10] ''n''^''t'' = 1 + ''b'' + ''b''² +...+ ''b''^''q''-1 (''b, n, t'' > 1, ''q'' > 2)로 설명된다.

얀 부조와 모리스 미뇨트는 세 개의 완전 제곱수만이 브라질 레퓨닛이라고 추측했다. 그들은 위에서 언급된 두 개의 제곱수 121, 343, 그리고 세제곱수 343 = 7³ = 111₁₈이다.^[11]

4. 3. ''k''-브라질 수

어떤 수 ''n''이 브라질 수가 되는 방법의 수는 A220136에 있다. ''k''-브라질 수는 ''k''개의 서로 다른 밑에서 렙디지트로 표현될 수 있는 수이다.^[12] 각 ''k''-브라질 수 수열마다 가장 작은 항이 존재한다. 예를 들어, 40은 40 = 1111₃ = 55₇ = 44₉ = 22₁₉와 같이 나타낼 수 있는 가장 작은 4-브라질 수이다.

다니엘 리뇽(Daniel Lignon)은 더 작은 양의 정수보다 더 많은 브라질 표현을 갖는 수를 고도로 브라질 수라고 제안했다.^[12] 이 정의는 스리니바사 라마누잔이 1915년에 만든 고도로 합성적인 수의 정의에서 파생되었다.

5. 특별한 렙디지트

11, 111: 핀조로. 영어로는 snake eyes^영어(뱀 눈)라고 한다.
111…11: 수학에서는 레피유닛이라고 하며, 다양한 성질이 연구되고 있다. 2진수의 111…11은 메르센 수라고 불린다.
삼삼: 바둑에서의 판의 4귀의 위치(3행 3열). 삼삼.
333: 베트남의 맥주 상표. 일본에서는 "바바바"라고 부르지만, 베트남에서는 "바바"(3개의 3)라고 부른다.
55: 더블 니켈. 미국의 도로 속도 규제 (55mph(≒88.5km))에서 유래. 니켈은 5센트 니켈 동전.
오오: 고고. 25를 의미한다. 오오의 축하는 25세의 액년 축하를 가리킨다.
66: 6조로. 크랩스에서는 "Boxcars"나 "Midnight"이라는 애칭으로 불린다.
666: 짐승의 숫자. 신약성서의 "요한 계시록" 제13장에 유래. 사람들이 빈부의 차이 없이 어떤 표를 오른손이나 이마에 지니게 되며, 이것이 없으면 매매를 할 수 없게 된다고 한다. "그 징표는 짐승의 이름, 혹은 그 이름의 숫자이니, 지혜가 여기에 있으니, 마음이 있는 자는 짐승의 숫자를 헤아려라. 짐승의 숫자는 사람의 숫자이며, 그 숫자는 666이다." 또한, 오멘이라고도 칭해지며, 호러 영화 『오멘』에도 악마의 번호로 등장한다. 0부터 666까지 모든 수의 합이 222111이 되며, 짝수만의 합은 111222가 된다.
777: 스리 세븐. 행운의 숫자로 여겨지며, 슬롯 머신에서는 최고의 눈으로 설정된다.
구구: 한 자리 수끼리의 곱셈의 총칭.

6. 한국 문화와 렙디지트

지폐 번호가 렙디지트(특히 1, 3, 7, 8)인 경우, 수집가들에게 가치가 높게 평가되어 액면가 이상의 가격으로 거래된다.^[16] 전화번호나 자동차 번호판의 렙디지트도 중요하게 여겨져 경매 대상이 되기도 한다.

경마나 경륜에서는 같은 틀 번호끼리의 말이 1착과 2착을 차지했을 때, 렙디지트 틀연(틀 번호 연승)이라고 한다.

인터넷 상에서는 웹 페이지 방문자 수를 측정하는 카운터의 수가 렙디지트가 되는 것을 "키리반"(키리가 좋은 번호의 약자)이라고 하며, 행운의 숫자로 취급되기도 한다. 니프티 서브의 포럼 회의실(특히 벽 회의실)에서는 이러한 번호를 얻는 사람들을 "외도"라고 불렀으며, 그 정도를 측정하는 소프트웨어("외도 벤치")가 존재했다.

일본의 연호에 따르면, 다음과 같은 렙디지트가 겹치는 생일에 같은 숫자가 겹치는 나이가 된다.

다이쇼 7년(1918년) 7월 7일에 태어난 사람은, 헤이세이 7년(1995년) 7월 7일에 77세가 되었다.
쇼와 33년(1958년) 3월 3일에 태어난 사람은, 헤이세이 3년(1991년) 3월 3일에 33세가 되었다.
헤이세이 12년(2000년) 12월 12일에 태어난 사람은, 2012년 12월 12일에 12세가 되었다.

7. 유사한 수

미러 번호(회문수라고도 함): 12321, 1234321처럼 좌우 대칭을 이루는 것이다. 데물로 수라고도 한다.
연속 번호: 1234, 456789처럼 숫자가 연결된 것이다.

8. 수비학

일부 대중 매체는 렙디지트가 "천사의 숫자"라고 묘사하며 수비학적 의미를 갖는다는 기사를 게재했다.^[13]^[14]^[15]

참조

_[1] 서적 Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains https://archive.org/[...] Dover Publications 1966
_[2] 학술지 Les nombres brésiliens https://oeis.org/A12[...] 2010-03
_[3] 웹인용 FAQ on GETs https://www.4chan.or[...] 2007-03-14
_[4] 웹사이트 How an ancient Egyptian god spurred the rise of Trump http://theconversati[...] 2017-03-07
_[5] 학술지 Infinite sequences of palindromic triangular numbers https://www.mathstat[...]
_[6] 서적 Hypermath Vuibert
_[7] 웹사이트 The Prime Glossary: repunit http://primes.utm.ed[...] The Prime Pages
_[8] arXiv Brazilian primes which are also Sophie Germain primes
_[9] 학술지 Sur l'équation indéterminée (xⁿ-1)/(x-1) = y
_[10] 학술지 Noen setninger om ubestemte likninger av formen (xⁿ-1)/(x-1) = y^q
_[11] 학술지 L'équation de Nagell-Ljunggren (xⁿ-1)/(x-1) = y^q https://www.e-period[...]
_[12] 서적 Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers Ellipses
_[13] 잡지 The 333 angel number is very powerful in numerology – here's what it means https://www.glamourm[...] 2023-08-28
_[14] 잡지 Everything You Need to Know About Angel Numbers https://www.allure.c[...] 2023-08-28
_[15] 잡지 Everything You Need to Know About Angel Numbers https://www.cosmopol[...] 2023-08-28
_[16] 문서 2004年日本銀行券のデザインが変更された際、日本銀行の一部支店で職員による、ぞろ目番号の抜取りが行われていたことが発覚した。
_[17] 문서 "On the Diophantine equation a(x^n-1)/(x-1)=y^q" de Gruyter
_[18] OEIS A45914
_[19] 문서 "Repdigit triangular numbers"
_[20] 서적 Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains https://archive.org/[...] Dover Publications 2014-06-21

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com