오일러의 곱셈 공식

1. 개요

오일러의 곱셈 공식은 곱셈 함수에 대한 디리클레 급수를 소수 p에 대한 곱으로 나타내는 공식이다. 이 공식은 곱셈 함수 a(n)이 주어졌을 때, 디리클레 급수 Σ a(n)/n^s를 곱셈의 형태로 표현하며, 특히 완전 곱셈 함수인 경우 기하 급수로 표현된다. 오일러는 리만 제타 함수에 대한 오일러 곱 공식을 증명했으며, 이는 소수의 무한성을 증명하는 데 사용되었다. 이 공식은 리우빌 함수, 뫼비우스 함수 등 다양한 함수와 관련되어 있으며, 란다우-라마누잔 상수, 쌍둥이 소수 상수 등 다양한 수학 상수와도 연결된다. 오일러 곱의 수렴성은 복소수의 특정 반평면에서 절대 수렴하며, 모듈러 형식 이론과도 관련이 있다.

2. 정의

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오일러의 곱셈 공식은 수론적 함수의 디리클레 급수를 소수에 대한 무한 곱으로 표현하는 방법을 말한다. 이 공식은 레온하르트 오일러가 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 발표한 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉(Variae observationes circa series infinitas^라틴어)에 처음 등장했다.

오일러는 바젤 문제를 연구하는 과정에서 리만 제타 함수가 특정 형태의 무한 곱(오일러 곱)과 같다는 것을 증명했다. 이 리만 제타 함수에 대한 오일러 곱이 가장 널리 알려져 있기 때문에, 종종 '오일러 곱'이라고 하면 리만 제타 함수의 무한 곱 표현을 가리키기도 한다.

일반적으로 특정 조건을 만족하는 함수(곱셈 함수)의 디리클레 급수는 소수들에 대한 무한 곱으로 나타낼 수 있으며, 특히 함수가 완전 곱셈 함수일 경우 더 간단한 형태로 표현된다.

2.1. 일반적인 정의

일반적으로, 만약 a가 유계인 곱셈 함수라면, 디리클레 급수

:$\backslash sum\_\{n\}\; \backslash frac\{a(n)\}\{n^s\}\backslash ,$

는 다음과 같이 오일러 곱으로 표현될 수 있다.

:$\backslash prod\_\{p\}\; P(p,\; s)\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; \}\; \backslash operatorname\{Re\}(s)\; >1\; .$

여기서 곱은 소수 p에 대해 취해지며, P(p, s)는 합이다.

:$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{a(p^k)\}\{p^\{ks\}\}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{a(p)\}\{p^s\}\; +\; \backslash frac\{a(p^2)\}\{p^\{2s\}\}\; +\; \backslash frac\{a(p^3)\}\{p^\{3s\}\}\; +\; \backslash cdots$

사실, 이것들을 형식적인 생성 함수로 간주하면, 이러한 형식적인 오일러 곱 전개의 존재는 a(n)이 곱셈적이라는 필요 충분 조건이다. 이는 n이 서로 다른 소수 p의 거듭제곱 p^k의 곱으로 인수분해될 때, a(n)이 a(p^k)의 곱이라는 것을 정확히 의미한다.

중요한 특별한 경우 중 하나는 a(n)이 완전 곱셈 함수인 경우로, 이 경우 P(p, s)는 기하 급수이다. 그러면

:$P(p,\; s)=\backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac\{a(p)\}\{p^s\}\},$

리만 제타 함수의 경우와 같이 a(n) = 1이며, 더 일반적으로는 디리클레 지표의 경우이다.

2.2. 완전 곱셈 함수의 경우

오일러 곱셈 공식에서 중요한 특별한 경우는 함수 $a(n)$이 완전 곱셈 함수인 경우이다. 완전 곱셈 함수는 모든 자연수 $m,\; n$에 대해 $a(mn)\; =\; a(m)a(n)$을 만족하는 함수를 의미한다.

일반적인 곱셈 함수의 오일러 곱에서 각 소수 $p$에 대한 인수 $P(p,\; s)$는 다음과 같은 합으로 주어진다.

$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{a(p^k)\}\{p^\{ks\}\}\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{a(p)\}\{p^s\}\; +\; \backslash frac\{a(p^2)\}\{p^\{2s\}\}\; +\; \backslash frac\{a(p^3)\}\{p^\{3s\}\}\; +\; \backslash cdots$

만약 $a(n)$이 완전 곱셈 함수라면, $a(p^k)\; =\; (a(p))^k$가 성립한다. 따라서 위의 합은 다음과 같은 기하 급수가 된다.

$P(p,\; s)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(a(p))^k\}\{(p^s)^k\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash left(\backslash frac\{a(p)\}\{p^s\}\backslash right)^k$

이 기하 급수는 공비가 일 때 수렴하며, 그 합은 다음과 같다.

$P(p,\; s)=\backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac\{a(p)\}\{p^s\}\}$

그러므로 $a(n)$이 완전 곱셈 함수인 경우, 오일러 곱은 다음과 같이 더 간단한 형태로 표현된다.

$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{a(n)\}\{n^s\}\; =\; \backslash prod\_\{p\}\; \backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac\{a(p)\}\{p^s\}\}$

이러한 경우의 대표적인 예시는 모든 $n$에 대해 $a(n)\; =\; 1$인 경우로, 이때의 디리클레 급수는 리만 제타 함수 $\backslash zeta(s)$가 된다. 또한 디리클레 지표 $\backslash chi(n)$도 완전 곱셈 함수이므로, 디리클레 L-함수 역시 이러한 형태의 오일러 곱을 갖는다.

3. 오일러의 증명 (리만 제타 함수)

레온하르트 오일러는 바젤 문제를 해결하는 과정에서 리만 제타 함수가 오일러 곱과 동치임을 증명하였다. 이 증명은 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 출판된 그의 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉(Variae observationes circa series infinitas^라틴어)에 수록되었다. 리만 제타 함수에 대한 오일러의 무한곱 표현이 가장 널리 알려져 있어, 종종 이를 간단히 오일러 곱이라고 부르기도 한다.

오일러의 증명은 에라토스테네스의 체와 유사한 아이디어를 사용한다. 먼저 1보다 큰 임의의 복소수 $s$에 대해 정의된 리만 제타 함수 $\backslash zeta(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^s\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 1^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^s\}\; +\; \backslash cdots$ 에서 시작한다.

양변에 $\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{2^\{s\}\}\backslash right)$를 곱하면 우변에서 분모가 2의 배수인 항들이 사라진다. 이어서 $\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{3^\{s\}\}\backslash right)$를 곱하면 분모가 3의 배수인 항들이 사라진다. 이 과정을 모든 소수 $p$에 대해 반복하면, 마치 체로 걸러내듯이 우변의 항에서 모든 소수의 배수들이 제거되어 결국 1만 남게 된다.

이를 수식으로 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
:$\backslash left(\; \backslash prod\_\{p\; \backslash text\{\; prime\}\}\; (1-p^\{-s\})\; \backslash right)\; \backslash zeta(s)=1$

여기서 $\backslash zeta(s)$에 대해 식을 정리하면 최종적으로 리만 제타 함수에 대한 오일러 곱셈 공식을 유도할 수 있다.
:$\backslash zeta(s)=\backslash prod\_\{p\; \backslash text\{\; prime\}\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-s\}\}$

3.1. 증명 과정

오일러의 곱셈 공식에 대한 증명은 리만 제타 함수의 정의에서 시작한다. 1보다 큰 임의의 복소수 $s$에서, 리만 제타 함수는 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash zeta(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^s\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 1^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^s\}\; +\; \backslash cdots$

이 식의 양변에 $\backslash frac\{1\}\{2^\{s\}\}$를 곱하면 지수법칙에 의해 다음 식이 성립한다.
:$\backslash frac\{1\}\{2^\{s\}\}\backslash zeta(s)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2^\{s\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{6^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{8^s\}\; +\; \backslash cdots$

원래의 제타 함수 식에서 위 식을 빼면, 좌변은 $\backslash zeta(s)-\backslash frac\{1\}\{2^\{s\}\}\; \backslash zeta(s)\; =\; \backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{2^\{s\}\}\backslash right)\; \backslash zeta(s)$로 정리되고, 우변에서는 분모가 짝수인 항들이 모두 사라져 홀수인 항들만 남게 된다.
:$\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{2^\{s\}\}\backslash right)\; \backslash zeta(s)\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^\{s\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{7^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{9^s\}\; +\; \backslash cdots$

이제 이 식의 양변에 다음 소수인 3에 대해 $\backslash frac\{1\}\{3^\{s\}\}$를 곱한다.
:$\backslash frac\{1\}\{3^\{s\}\}\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{2^\{s\}\}\backslash right)\; \backslash zeta(s)\; =\; \backslash frac\{1\}\{3^\{s\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{9^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{15^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{21^s\}\; +\; \backslash cdots$

다시 위 두 식을 서로 빼면, 우변에서 분모가 3의 배수인 항들이 사라진다.
:$\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{3^\{s\}\}\backslash right)\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{2^\{s\}\}\backslash right)\; \backslash zeta(s)\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^\{s\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{7^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{11^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{13^s\}\; +\; \backslash cdots$

이 과정을 모든 소수 $p$에 대해 반복한다. 즉, 각 소수 $p$에 대해 양변에 $\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p^\{s\}\}\backslash right)$를 곱해 나가는 것이다. 소인수분해의 유일성에 따라, 이 과정을 무한히 반복하면 우변의 $1$을 제외한 모든 항이 사라지게 된다.
:$\backslash cdots\; \backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{11^\{s\}\}\backslash right)\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{7^\{s\}\}\backslash right)\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{5^\{s\}\}\backslash right)\; \backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{3^\{s\}\}\backslash right)\backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{2^\{s\}\}\backslash right)\backslash zeta(s)\; =\; 1$

이 식은 모든 소수 $p$에 대한 곱으로 표현할 수 있다. 지수법칙에 의해 $\backslash frac\{1\}\{p^\{s\}\}=p^\{-s\}$이므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$\backslash left(\; \backslash prod\_\{p\; \backslash text\{\; prime\}\}\; (1-p^\{-s\})\; \backslash right)\; \backslash zeta(s)=1$

마지막으로, $\backslash zeta(s)$에 대해 정리하면 오일러의 곱셈 공식을 얻는다.
:$\backslash zeta(s)=\backslash prod\_\{p\; \backslash text\{\; prime\}\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-s\}\}$

이 증명 방법은 마치 에라토스테네스의 체를 이용하여 소수를 걸러내는 과정과 유사하다.

3.2. 소수의 무한성 증명

오일러는 1737년 오일러 곱셈 공식을 이용하여 소수가 무한히 많다는 사실, 즉 소수의 무한성을 증명했다. 리만 제타 함수 ζ(s)는 s의 실수부가 1보다 클 때 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash zeta\; (s)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n^s\}\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{1^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^s\}\; +\; \backslash cdots$

양변에 $\backslash frac\{1\}\{2^s\}$를 곱하면
:$\backslash frac\; \{1\}\{2^s\}\; \backslash zeta\; (s)\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{2^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{6^s\}\; +\; \backslash cdots$
이고, 위 식에서 아래 식을 빼면 우변에서 2의 배수인 항들이 소거된다.
:$\backslash left(1-\; \backslash frac\; \{1\}\{2^s\}\backslash right)\; \backslash zeta\; (s)\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{1^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^s\}\; +\; \backslash cdots$

같은 방식으로 양변에 $\backslash frac\{1\}\{3^s\}$를 곱하고 빼면, 3의 배수인 항들이 소거된다.
:$\backslash left(1-\; \backslash frac\; \{1\}\{3^s\}\backslash right)\; \backslash left(1-\; \backslash frac\; \{1\}\{2^s\}\backslash right)\; \backslash zeta\; (s)\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{1^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{7^s\}\; +\; \backslash cdots$

이 과정을 모든 소수 p에 대해 반복하면, 소인수분해의 유일성에 의해 우변의 $\backslash frac\{1\}\{1^s\}$을 제외한 모든 항이 사라진다.
:$\backslash cdots\; \backslash left(1-\; \backslash frac\; \{1\}\{p\_k^s\}\backslash right)\; \backslash cdots\; \backslash left(1-\; \backslash frac\; \{1\}\{5^s\}\backslash right)\; \backslash left(1-\; \backslash frac\; \{1\}\{3^s\}\backslash right)\; \backslash left(1-\; \backslash frac\; \{1\}\{2^s\}\backslash right)\; \backslash zeta\; (s)\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{1^s\}\; =\; 1$
따라서 제타 함수는 모든 소수 p에 대한 곱으로 다음과 같이 표현된다. 이것이 오일러 곱셈 공식이다.
:$\backslash zeta\; (s)\; =\; \backslash prod\_\{p\; \backslash text\{\; prime\}\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-s\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-1\}\}$이 된다.
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; =\; \backslash frac\{1\}\; \{\{(1-\; \backslash frac\{1\}\{2\})\}\; \{(1-\; \backslash frac\{1\}\{3\})\}\; \{(1-\; \backslash frac\{1\}\{5\})\}\; \{(1-\; \backslash frac\{1\}\{7\})\}\; \backslash cdots\; \}$
좌변의 조화 급수는 무한대로 발산하는 것으로 알려져 있으므로, 우변의 무한 곱 또한 발산해야 한다.

만약 소수의 개수가 유한하다면, 우변은 유한 개의 항의 곱이므로 어떤 유한한 값으로 수렴해야 한다. 그러나 좌변이 무한대로 발산하므로 이는 모순이다. 따라서 소수는 무한히 많아야 한다.

4. 다양한 함수에 대한 오일러 곱

아래 예시들에서는 모든 소수의 집합을 $\backslash mathbb\{P\}$로 표기한다. 즉, $\backslash mathbb\{P\}=\backslash \{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\backslash ,|\backslash ,p\backslash text\{\; 는\; 소수\}\backslash \}$이다.

리만 제타 함수 $\backslash zeta(s)$에 대한 오일러 곱은 등비 급수의 합을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$\backslash prod\_\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac\{1\}\{p^s\}\}\backslash right)\; =\; \backslash prod\_\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash left(\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{p^\{ks\}\}\backslash right)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^s\}\; =\; \backslash zeta(s)$

리만 제타 함수 외에도 리우빌 함수 $\backslash lambda(n)$나 뫼비우스 함수 $\backslash mu(n)$와 같은 다양한 수론적 함수에 대해서도 오일러 곱 표현이 존재한다. 예를 들어, 뫼비우스 함수와 관련된 오일러 곱은 $\backslash frac\{1\}\{\backslash zeta(s)\}$ 또는 $\backslash frac\{\backslash zeta(s)\}\{\backslash zeta(2s)\}$와 같이 제타 함수와 연관된다.

또한, $n$의 서로 다른 소인수의 개수를 $\backslash omega(n)$이라 할 때, 제곱 인수가 없는 정수(Square-free integer) 약수의 개수인 $2^\{\backslash omega(n)\}$에 대한 디리클레 급수는 다음과 같은 오일러 곱으로 표현된다.
$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{2^\{\backslash omega(n)\}\}\{n^s\}\; =\; \backslash prod\_\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash left(\backslash frac\{1+\backslash frac\{1\}\{p^s\}\}\{1-\backslash frac\{1\}\{p^s\}\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash zeta(s)^2\}\{\backslash zeta(2s)\}$

$s$가 짝수일 때, 리만 제타 함수 $\backslash zeta(s)$는 $\backslash pi^s$의 유리수 배수로 표현되므로, 위와 같은 특정 오일러 곱들은 유리수로 계산될 수 있다. 예를 들어 다음이 성립한다.
$\backslash prod\_\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash left(\backslash frac\{p^2+1\}\{p^2-1\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{5\}\{3\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{10\}\{8\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{26\}\{24\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{50\}\{48\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{122\}\{120\}\; \backslash cdots\; =\; \backslash frac\{\backslash zeta(2)^2\}\{\backslash zeta(4)\}\; =\; \backslash frac\{5\}\{2\}$
$\backslash prod\_\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash left(\backslash frac\{p^4+1\}\{p^4-1\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{17\}\{15\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{82\}\{80\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{626\}\{624\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2402\}\{2400\}\; \backslash cdots\; =\; \backslash frac\{\backslash zeta(4)^2\}\{\backslash zeta(8)\}\; =\; \backslash frac\{7\}\{6\}$
첫 번째 결과는 라마누잔에 의해 알려졌다.

만약 $\backslash chi(n)$이 주기 $N$을 갖는 디리클레 지표라면, 즉 $\backslash chi$가 완전 곱셈적 함수이고 $\backslash chi(n)$이 $n\; \backslash pmod\; N$에만 의존하며, $n$과 $N$이 서로소가 아닐 때 $\backslash chi(n)=0$이라면, 다음과 같은 오일러 곱이 성립한다.
$\backslash prod\_\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\},\; p\; \backslash nmid\; N\}\; \backslash frac\{1\}\{1-\; \backslash frac\{\backslash chi(p)\}\{p^s\}\}\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash chi(n)\}\{n^s\}$
여기서 곱은 주기 $N$을 나누는 소수 $p$를 제외하고 계산한다.

라마누잔은 제타 함수에 대한 오일러 곱을 다음과 같이 일반화했다. $s\; >\; 1$에 대해,
$\backslash prod\_\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash left(x-\backslash frac\{1\}\{p^s\}\backslash right)\backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{Li\}\_s\; (x)\}$
여기서 $\backslash operatorname\{Li\}\_s(x)$는 폴리로그 함수이다. $x=1$일 때 이 곱은 $\backslash frac\{1\}\{\backslash zeta(s)\}$가 된다.

4.1. 리우빌 함수

리우빌 함수 $\backslash lambda(n)\; =\; (-1)^\{\backslash Omega(n)\}$ (여기서 $\backslash Omega(n)$은 $n$의 소인수 분해에서 소인수의 총 개수)에 대한 오일러 곱은 다음과 같다.

$\backslash prod\_\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{1+\backslash frac\{1\}\{p^s\}\}\backslash right)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash lambda(n)\}\{n^\{s\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash zeta(2s)\}\{\backslash zeta(s)\}$

여기서 $\backslash mathbb\{P\}$는 모든 소수의 집합을 나타내고, $\backslash zeta(s)$는 리만 제타 함수이다.

이 곱셈은 구체적인 소수들로 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\; \{\backslash lambda\; (n)\}\{n^s\}\; =\; \backslash frac\{1\}\; \{\{(1+\; \backslash frac\{1\}\{2^s\})\}\; \{(1+\; \backslash frac\{1\}\{3^s\})\}\; \{(1+\; \backslash frac\{1\}\{5^s\})\}\; \{(1+\; \backslash frac\{1\}\{7^s\})\}\; \backslash cdots\; \}\; =\; \backslash frac\; \{\backslash zeta\; (2s)\}\; \{\backslash zeta\; (s)\}$

4.2. 뫼비우스 함수

뫼비우스 함수 $\backslash mu(n)$에 대한 오일러 곱셈 공식은 다음과 같이 두 가지 형태로 나타낼 수 있다.

첫 번째는 리만 제타 함수 $\backslash zeta(s)$의 역수와 관련된 공식이다.
$\backslash prod\_\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash left(1-\backslash frac\{1\}\{p^s\}\backslash right)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash mu\; (n)\}\{n^\{s\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash zeta(s)\}$
여기서 $\backslash mathbb\{P\}$는 모든 소수의 집합을 나타낸다.

두 번째는 뫼비우스 함수의 절댓값 $|\backslash mu(n)|$과 관련된 공식이다.
$\backslash prod\_\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{P\}\}\; \backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{p^s\}\backslash right)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac$