오일러의 곱셈 공식
"오늘의AI위키" 는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다."오늘의AI위키" 의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차 보기/숨기기
1. 개요
오일러의 곱셈 공식은 곱셈 함수에 대한 디리클레 급수를 소수 p에 대한 곱으로 나타내는 공식이다. 이 공식은 곱셈 함수 a(n)이 주어졌을 때, 디리클레 급수 Σ a(n)/n^s를 곱셈의 형태로 표현하며, 특히 완전 곱셈 함수인 경우 기하 급수로 표현된다. 오일러는 리만 제타 함수에 대한 오일러 곱 공식을 증명했으며, 이는 소수의 무한성을 증명하는 데 사용되었다. 이 공식은 리우빌 함수, 뫼비우스 함수 등 다양한 함수와 관련되어 있으며, 란다우-라마누잔 상수, 쌍둥이 소수 상수 등 다양한 수학 상수와도 연결된다. 오일러 곱의 수렴성은 복소수의 특정 반평면에서 절대 수렴하며, 모듈러 형식 이론과도 관련이 있다.
2. 정의
오일러의 곱셈 공식은 수론 적 함수의 디리클레 급수 를 소수 에 대한 무한 곱으로 표현하는 방법을 말한다.레온하르트 오일러 가 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 발표한 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉(''Variae observationes circa series infinitas''la )에 처음 등장했다.바젤 문제 를 연구하는 과정에서 리만 제타 함수 가 특정 형태의 무한 곱(오일러 곱)과 같다는 것을 증명했다.
2. 1. 일반적인 정의
일반적으로, 만약 ''a''가 유계인 곱셈 함수라면, 디리클레 급수 \sum_{n} \frac{a(n)}{n^s}\, \prod_{p} P(p, s) \quad \text{for } \operatorname{Re}(s) >1 . 소수 ''p''에 대해 취해지며, ''P''(''p'', ''s'')는 합이다.\sum_{k=0}^\infty \frac{a(p^k)}{p^{ks}} = 1 + \frac{a(p)}{p^s} + \frac{a(p^2)}{p^{2s}} + \frac{a(p^3)}{p^{3s}} + \cdots k ''의 곱으로 인수분해될 때, ''a''(''n'')이 ''a''(''pk '')의 곱이라는 것을 정확히 의미한다.P(p, s)=\frac{1}{1-\frac{a(p)}{p^s}}, 리만 제타 함수 의 경우와 같이 ''a''(''n'') = 1이며, 더 일반적으로는 디리클레 지표 의 경우이다.2. 2. 완전 곱셈 함수의 경우
오일러 곱셈 공식에서 중요한 특별한 경우는 함수 a(n) 이 완전 곱셈 함수인 경우이다. 완전 곱셈 함수는 모든 자연수 m, n 에 대해 a(mn) = a(m)a(n) 을 만족하는 함수를 의미한다.소수 p 에 대한 인수 P(p, s) 는 다음과 같은 합으로 주어진다.\sum_{k=0}^\infty \frac{a(p^k)}{p^{ks}} = 1 + \frac{a(p)}{p^s} + \frac{a(p^2)}{p^{2s}} + \frac{a(p^3)}{p^{3s}} + \cdots a(n) 이 완전 곱셈 함수라면, a(p^k) = (a(p))^k 가 성립한다. 따라서 위의 합은 다음과 같은 기하 급수가 된다.P(p, s) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(a(p))^k}{(p^s)^k} = \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{a(p)}{p^s}\right)^k \left|\frac{a(p)}{p^s}\right| < 1 일 때 수렴하며, 그 합은 다음과 같다.P(p, s)=\frac{1}{1-\frac{a(p)}{p^s}} a(n) 이 완전 곱셈 함수인 경우, 오일러 곱은 다음과 같이 더 간단한 형태로 표현된다.\sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-\frac{a(p)}{p^s}} n 에 대해 a(n) = 1 인 경우로, 이때의 디리클레 급수 는 리만 제타 함수 \zeta(s) 가 된다. 또한 디리클레 지표 \chi(n) 도 완전 곱셈 함수이므로, 디리클레 L-함수 역시 이러한 형태의 오일러 곱을 갖는다.
3. 오일러의 증명 (리만 제타 함수)
레온하르트 오일러 는 바젤 문제 를 해결하는 과정에서 리만 제타 함수 가 오일러 곱과 동치임을 증명하였다. 이 증명은 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 출판된 그의 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉(''Variae observationes circa series infinitas''lat )에 수록되었다.에라토스테네스의 체 와 유사한 아이디어를 사용한다.s 에 대해 정의된 리만 제타 함수 \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = {1 \over 1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots 에서 시작한다.\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right) 를 곱하면 우변에서 분모가 2의 배수인 항들이 사라진다. 이어서 \left(1-\frac{1}{3^{s}}\right) 를 곱하면 분모가 3의 배수인 항들이 사라진다. 이 과정을 모든 소수 p 에 대해 반복하면, 마치 체로 걸러내듯이 우변의 항에서 모든 소수의 배수들이 제거되어 결국 1만 남게 된다.\left( \prod_{p \text{ prime}} (1-p^{-s}) \right) \zeta(s)=1 \zeta(s) 에 대해 식을 정리하면 최종적으로 리만 제타 함수에 대한 오일러 곱셈 공식을 유도할 수 있다.\zeta(s)=\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}
3. 1. 증명 과정
오일러의 곱셈 공식에 대한 증명은 리만 제타 함수 의 정의에서 시작한다.s 에서, 리만 제타 함수는 다음과 같이 정의된다.\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = {1 \over 1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots \frac{1}{2^{s}} 를 곱하면 지수법칙에 의해 다음 식이 성립한다.\frac{1}{2^{s}}\zeta(s) = \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots \zeta(s)-\frac{1}{2^{s}} \zeta(s) = \left(1-\frac{1}{2^{s}}\right) \zeta(s) 로 정리되고, 우변에서는 분모가 짝수인 항들이 모두 사라져 홀수인 항들만 남게 된다.\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right) \zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \frac{1}{3^{s}} 를 곱한다.\frac{1}{3^{s}}\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right) \zeta(s) = \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \frac{1}{21^s} + \cdots \left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right) \zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s} + \cdots 소수 p 에 대해 반복한다. 즉, 각 소수 p 에 대해 양변에 \left(1-\frac{1}{p^{s}}\right) 를 곱해 나가는 것이다. 소인수분해의 유일성에 따라, 이 과정을 무한히 반복하면 우변의 1 을 제외한 모든 항이 사라지게 된다.\cdots \left(1-\frac{1}{11^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{7^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{5^{s}}\right) \left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta(s) = 1 p 에 대한 곱으로 표현할 수 있다. 지수법칙에 의해 \frac{1}{p^{s}}=p^{-s} 이므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.\left( \prod_{p \text{ prime}} (1-p^{-s}) \right) \zeta(s)=1 \zeta(s) 에 대해 정리하면 오일러의 곱셈 공식을 얻는다.\zeta(s)=\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} 에라토스테네스의 체 를 이용하여 소수를 걸러내는 과정과 유사하다.3. 2. 소수의 무한성 증명
오일러 는 1737년 오일러 곱셈 공식을 이용하여 소수 가 무한히 많다는 사실, 즉 소수의 무한성을 증명했다. 리만 제타 함수 ζ(''s'')는 ''s''의 실수부가 1보다 클 때 다음과 같이 정의된다. \zeta (s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac {1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \frac{1}{2^s} 를 곱하면\frac {1}{2^s} \zeta (s) = \frac {1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \zeta (s) = \frac {1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots \frac{1}{3^s} 를 곱하고 빼면, 3의 배수인 항들이 소거된다. \left(1- \frac {1}{3^s}\right) \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \zeta (s) = \frac {1}{1^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots 소수 ''p''에 대해 반복하면, 소인수분해의 유일성 에 의해 우변의 \frac{1}{1^s} 을 제외한 모든 항이 사라진다. \cdots \left(1- \frac {1}{p_k^s}\right) \cdots \left(1- \frac {1}{5^s}\right) \left(1- \frac {1}{3^s}\right) \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \zeta (s) = \frac {1}{1^s} = 1 \zeta (s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{1} \frac{1}{1-p^{-1}} 이 된다.\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \frac{1} {{(1- \frac{1}{2})} {(1- \frac{1}{3})} {(1- \frac{1}{5})} {(1- \frac{1}{7})} \cdots } 발산 하는 것으로 알려져 있으므로, 우변의 무한 곱 또한 발산해야 한다.소수 의 개수가 유한하다면, 우변은 유한 개의 항의 곱이므로 어떤 유한한 값으로 수렴해야 한다. 그러나 좌변이 무한대로 발산하므로 이는 모순이다. 따라서 소수 는 무한히 많아야 한다.
4. 다양한 함수에 대한 오일러 곱
아래 예시들에서는 모든 소수 의 집합을 \mathbb{P} 로 표기한다. 즉, \mathbb{P}=\{p \in \mathbb{N}\,|\,p\text{ 는 소수}\} 이다.리만 제타 함수 \zeta(s) 에 대한 오일러 곱은 등비 급수의 합을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.\prod_{p \in \mathbb{P}} \left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\right) = \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{ks}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \zeta(s) \lambda(n) 나 뫼비우스 함수 \mu(n) 와 같은 다양한 수론적 함수에 대해서도 오일러 곱 표현이 존재한다. 예를 들어, 뫼비우스 함수와 관련된 오일러 곱은 \frac{1}{\zeta(s)} 또는 \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} 와 같이 제타 함수와 연관된다.n 의 서로 다른 소인수의 개수를 \omega(n) 이라 할 때, 제곱 인수가 없는 정수(Square-free integer) 약수의 개수인 2^{\omega(n)} 에 대한 디리클레 급수는 다음과 같은 오일러 곱으로 표현된다.\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{\omega(n)}}{n^s} = \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(\frac{1+\frac{1}{p^s}}{1-\frac{1}{p^s}}\right) = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)} s 가 짝수일 때, 리만 제타 함수 \zeta(s) 는 \pi^s 의 유리수 배수로 표현되므로, 위와 같은 특정 오일러 곱들은 유리수로 계산될 수 있다. 예를 들어 다음이 성립한다.\prod_{p \in \mathbb{P}} \left(\frac{p^2+1}{p^2-1}\right) = \frac{5}{3} \cdot \frac{10}{8} \cdot \frac{26}{24} \cdot \frac{50}{48} \cdot \frac{122}{120} \cdots = \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} = \frac{5}{2} \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(\frac{p^4+1}{p^4-1}\right) = \frac{17}{15} \cdot \frac{82}{80} \cdot \frac{626}{624} \cdot \frac{2402}{2400} \cdots = \frac{\zeta(4)^2}{\zeta(8)} = \frac{7}{6} \chi(n) 이 주기 N 을 갖는 디리클레 지표 라면, 즉 \chi 가 완전 곱셈적 함수이고 \chi(n) 이 n \pmod N 에만 의존하며, n 과 N 이 서로소 가 아닐 때 \chi(n)=0 이라면, 다음과 같은 오일러 곱이 성립한다.\prod_{p \in \mathbb{P}, p \nmid N} \frac{1}{1- \frac{\chi(p)}{p^s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s} N 을 나누는 소수 p 를 제외하고 계산한다.s > 1 에 대해,\prod_{p \in \mathbb{P}} \left(x-\frac{1}{p^s}\right)\approx \frac{1}{\operatorname{Li}_s (x)} \operatorname{Li}_s(x) 는 폴리로그 함수이다. x=1 일 때 이 곱은 \frac{1}{\zeta(s)} 가 된다.
4. 1. 리우빌 함수
리우빌 함수 \lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)} (여기서 \Omega(n) 은 n 의 소인수 분해에서 소인수의 총 개수)에 대한 오일러 곱은 다음과 같다. \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{p^s}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda(n)}{n^{s}} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} \mathbb{P} 는 모든 소수 의 집합을 나타내고, \zeta(s) 는 리만 제타 함수 이다. \sum_{n=1}^\infty \frac {\lambda (n)}{n^s} = \frac{1} {{(1+ \frac{1}{2^s})} {(1+ \frac{1}{3^s})} {(1+ \frac{1}{5^s})} {(1+ \frac{1}{7^s})} \cdots } = \frac {\zeta (2s)} {\zeta (s)} 4. 2. 뫼비우스 함수
뫼비우스 함수 \mu(n) 에 대한 오일러 곱셈 공식은 다음과 같이 두 가지 형태로 나타낼 수 있다.리만 제타 함수 \zeta(s) 의 역수와 관련된 공식이다. \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu (n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)} \mathbb{P} 는 모든 소수 의 집합을 나타낸다.절댓값 |\mu(n)| 과 관련된 공식이다. \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(1+\frac{1}{p^s}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(\frac{1+\frac{1}{p^s}}{1-\frac{1}{p^s}}\right) = \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(\frac{p^s+1}{p^s-1}\right) = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}
5. 오일러 곱과 관련된 상수들
오일러 곱셈 공식은 리만 제타 함수 뿐만 아니라 다양한 상수 들을 소수 들의 곱으로 표현하는 데 사용될 수 있다. 잘 알려진 많은 상수가 오일러 곱 형태의 표현을 가지며, 이는 정수론 연구에서 중요한 도구로 활용된다. 구체적인 상수 목록과 그 표현은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.
5. 1. 주요 상수 목록
아래는 오일러의 곱셈 공식과 관련된 주요 상수 목록이다. K = \frac{\pi}{4} \prod_{p \equiv 1 \pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \prod_{p \equiv 3 \pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^{-1/2} = 0.764223... C_2 = \prod_{\textstyle{p\;{\rm prime}\atop p \ge 3}} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 0.660161... C_{FT} = \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \prod_{p} \left(1 - \frac{2}{p^2}\right) \right) = 0.661317... B_2 = \left( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \ln \left( 1 - \frac{1}{p_n} \right) + \frac{1}{p_n - 1} \right) \right) + \gamma 오일러-마스케로니 상수 ) C_A = \prod_{p} \left( 1 - \frac{1}{p(p-1)} \right) = 0.373955... K_1 = \prod_p \left( 1 - \frac{2p-1}{p^3} \right) = 0.428249... C_B = \prod_{p} \left( 1 + \frac{3p^2-1}{p(p+1)(p^2-1)} \right) = 2.596536... \prod_{p} \left( 1 - \frac{1}{p^2(p+1)} \right) = 0.881513... \prod_{p} \left( 1 - \frac{p}{p^3-1} \right) = 0.575959... \prod_{p} \left( 1 - \frac{3}{p^3} + \frac{2}{p^4} + \frac{1}{p^5} - \frac{1}{p^6} \right) = 0.678234... \prod_{p} \left( 1 + \frac{1}{(p-1)^2} \right) = 2.826419... C_{\text{Niven}} = 1 + \sum_{s=2}^\infty \left( 1 - \frac{1}{\zeta(s)} \right) \zeta(s) 는 리만 제타 함수 ) D(n) = \prod_{k=1}^{\infty} \left\{ 1 - \left[ 1 - \prod_{j=1}^n \left( 1 - \frac{1}{p_k^j} \right) \right]^2 \right\} \prod_{p} \left( 1 + \frac{1}{p(p-1)} \right) = \frac{\zeta(2) \zeta(3)}{\zeta(6)} = \frac{315 \zeta(3)}{2\pi^4} = 1.943596... \zeta(3) 은 아페리 상수 ) \prod_{p>2} \left( 1 - \frac{p+2}{p^3} \right) = 0.723648... 강력한 무심 상수 × ζ(2)² (Strongly careless constant × ζ(2)²) (OEIS A065472 ) \prod_{p} \left( 1 - \frac{1}{(p+1)^2} \right) = 0.775883... \prod_{p} \left( 1 - \frac{1}{p(p+1)} \right) = 0.704442... OEIS A065489 ): \prod_{p} \left( 1 + \frac{1}{p^2+p-1} \right) = 1.419562... \prod_{p} \left( 1 + \frac{1}{p^2(p-1)} \right) = 1.339784... \prod_{p} \left( 1 - \frac{3p-2}{p^3} \right) = 0.286747... \prod_{p} \left( 1 - \frac{1}{p} \right)^7 \left( 1 + \frac{7p+1}{p^2} \right) = 0.0013176... \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots 디리클레 지표 를 사용하여 디리클레 급수 로 해석될 수 있으며, 오일러 곱으로 변환된다.\frac{\pi}{4} = \left(\prod_{p\equiv 1\pmod 4}\frac{p}{p-1}\right)\left( \prod_{p\equiv 3\pmod 4}\frac{p}{p+1}\right)=\frac34 \cdot \frac54 \cdot \frac78 \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdots, 소수 이고 각 분모는 4의 가장 가까운 배수이다.5. 2. 각 상수의 정의 및 오일러 곱 표현
아래는 오일러의 곱셈 공식과 관련된 여러 상수 들과 그 오일러 곱 표현이다. K = \frac{\pi}{4} \prod_{p \equiv 1 \pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \prod_{p \equiv 3 \pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^{-1/2} \approx 0.764223... C_2 = \prod_{p \ge 3} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx 0.660161... 소수 이다. C_{FT} = \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2} \prod_{p} \left(1 - \frac{2}{p^2}\right)\right) \approx 0.661317... B_2 = \left(\sum_{n=1}^{\infty} \left(\ln \left( 1 - \frac{1}{p_n} \right) + \frac{1}{p_n - 1} \right) \right) + \gamma p_n 은 n번째 소수이고, \gamma 는 오일러-마스케로니 상수 이다. C_A = \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) \approx 0.373955... K_1 = \prod_p \left(1 - \frac{2p-1}{p^3}\right) \approx 0.428249... C_B = \prod_{p} \left(1 + \frac{3p^2-1}{p(p+1)(p^2-1)}\right) \approx 2.596536... \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^2(p+1)}\right) \approx 0.881513... \prod_{p} \left(1 - \frac{p}{p^3-1}\right) \approx 0.575959... \prod_{p} \left(1 - \frac{3}{p^3} + \frac{2}{p^4} + \frac{1}{p^5} - \frac{1}{p^6}\right) \approx 0.678234... \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx 2.826419... C_{\text{Niven}} = 1 + \sum_{s=2}^\infty \left(1 - \frac{1}{\zeta(s)}\right) \zeta(s) 는 리만 제타 함수 이다. D(n) = \prod_{k=1}^{\infty} \left\{1 - \left[1 - \prod_{j=1}^n \left( 1 - \frac{1}{p_k^j} \right) \right]^2 \right\} 란다우 토션트 상수 (OEIS A082695 , 란다우의 오일러 피 함수 상수라고도 함) \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p(p-1)}\right) = \frac{\zeta(2) \zeta(3)}{\zeta(6)} = \frac{315 \zeta(3)}{2\pi^4} \approx 1.943596... \zeta(3) 은 아페리 상수 이다. \prod_{p>2} \left(1 - \frac{p+2}{p^3}\right) \approx 0.723648... \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{(p+1)^2}\right) \approx 0.775883... \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p+1)}\right) \approx 0.704442... \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p^2+p-1}\right) \approx 1.419562... \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p^2(p-1)}\right) \approx 1.339784... \prod_{p} \left(1 - \frac{3p-2}{p^3}\right) \approx 0.286747... \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^7 \left(1 + \frac{7p+1}{p^2}\right) \approx 0.0013176... π 에 대한 라이프니츠 급수 는 다음과 같다. \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots 디리클레 지표 \chi(n) (n을 4로 나눈 나머지가 1이면 1, 3이면 -1, 짝수이면 0)를 이용한 디리클레 급수 로 해석될 수 있으며, 다음과 같은 오일러 곱으로 변환된다. \frac{\pi}{4} = \left(\prod_{p \equiv 1 \pmod 4} \frac{p}{p-1}\right) \left(\prod_{p \equiv 3 \pmod 4} \frac{p}{p+1}\right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdots 소수 이고, 각 분모는 해당 소수에서 가장 가까운 4의 배수이다.
6. 수렴성
실제로 중요한 대부분의 경우는 무한 급수와 무한 곱의 전개가 어떤 영역에서 절대 수렴 하는 경우이다. 이 영역은 복소수 ''s''의 실수부(Re(''s''))가 어떤 상수 ''C''보다 큰, 즉 복소 평면의 오른쪽 반평면으로 주어진다.\operatorname{Re}(s) > C 모듈러 형식 이론에서는 분모에 2차 다항식이 있는 오일러 곱이 전형적으로 나타난다. 일반적인 랭글랜즈 프로그램 은 차수 ''m''의 다항식과 GL''m'' 에 대한 표현론 의 연결에 대한 유사한 설명을 포함한다.
7. 모듈러 형식과의 관계
실제로 모든 중요한 경우는 무한 급수와 무한 곱의 전개가 어떤 영역에서 절대 수렴 하는 경우이다.\operatorname{Re}(s) > C, 복소수 의 어떤 오른쪽 반평면에서 수렴하는 경우를 말한다. 무한 곱이 수렴한다는 것은 그 값이 0이 아니라는 것을 의미하므로, 이는 중요한 정보를 제공한다. 따라서 무한 급수로 주어진 함수는 해당 반평면에서 0이 되지 않는다.모듈러 형식 이론에서는 분모에 2차 다항식이 있는 오일러 곱이 일반적으로 나타난다. 더 나아가 일반적인 랭글랜즈 프로그램 은 차수 ''m''의 다항식과 GL''m'' 에 대한 표현론 사이의 유사한 연관성을 다룬다.
CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.help@durumis.com