모듈러 곡선

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 해석적 정의
- 2.2. 타원점과 첨점
3. 타원곡선과의 관계
4. 성질
5. 예
6. 몬스터 군과의 관계
7. 한국 수학계의 기여
참조

1. 개요

모듈러 곡선은 모듈러 군의 합동 부분군에 의해 정의되는 리만 곡면으로, 타원곡선의 모듈라이 공간으로 이해된다. 모듈러 군의 합동 부분군은 모듈러 곡선의 콤팩트화를 결정하며, 콤팩트 모듈러 곡선은 확장 상반 평면의 몫공간으로 정의된다. 모듈러 곡선은 타원 곡선, 특히 레벨 구조가 있는 타원 곡선과의 관계를 통해 산술 기하학에서 중요한 역할을 하며, X(N), X₀(N), X₁(N) 등이 대표적이다. 모듈러 곡선의 종수는 부분군의 지표, 타원점 및 첨점의 수에 따라 결정되며, Γ(1)에 대응하는 모듈러 곡선은 리만 구와 동형이다. 모듈러 곡선은 몬스터 군과의 관계를 통해 몬스터 문샤인 추측과 관련하여 중요한 연구 대상이 되었으며, 한국 수학계의 기여에 대한 내용은 본문에서 찾아볼 수 없다.

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모듈러 곡선
개요
유형	대수 곡선
분야	수론, 대수기하학
차원	1
정의
정의	모듈러 군의 몫 공간으로 해석적 구조를 갖는 리만 곡면
다른 이름	모듈러스 곡선
영어 이름	Modular curve
일본어 이름	モジュラー曲線 (모쥬라아쿄쿠센)
로마자 표기	mojyuraakyokusen
성질
유리점	타원 곡선과 연관
연구	페르마의 마지막 정리 증명에 중요 역할

2. 정의

모듈러 군 $\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\cong\Gamma(1)$ 의 부분군 $G\subset\Gamma(1)$ 가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 $N$ 에 대하여 $\Gamma(N)\supset G$ 라면, $G$ 를 모듈러 군의 '''합동 부분군'''(合同部分群, congruence subgroup^영어)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 $N$ 을 합동 부분군 $G$ 의 '''준위'''(레벨/level^영어)라고 한다.

Γ(1)은 자연스럽게 상반평면 $\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}$ 에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 $G$ 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 $G\setminus\mathbb H$ 를 (비콤팩트) '''모듈러 곡선''' $Y(G)$ 라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.

콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 '''확장 상반평면'''(extended upper-half plane^영어)

: $\mathbb H^*=\mathbb H\cup\mathbb Q\cup\{i\infty\}$

을 정의한다. 그렇다면 '''콤팩트 모듈러 곡선'''을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.^[7]

$X(G)=G\setminus\mathbb H^*=Y(G)\cup G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})$

대표적인 합동 부분군 Γ₀(''N''), Γ₁(''N'') 및 Γ(''N'')에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 ''X''₀(''N''), ''X''₁(''N''), ''X''(''N'')이라고 적는다.

모듈러 군 SL(2, '''Z''')은 상반 평면에 분수 선형 변환을 통해 작용한다. 모듈러 곡선의 해석적 정의는 SL(2, '''Z''')의 합동 부분군 Γ, 즉 어떤 양의 정수 ''N''에 대해 레벨 ''N''의 주 합동 부분군을 포함하는 부분군의 선택을 포함하며, 이는 다음과 같이 정의된다.

: $\Gamma(N)=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\c & d\\\end{pmatrix} : \ a \equiv d \equiv 1 \mod N \text{ and } b, c \equiv0 \mod N \right\}.$

이러한 최소 ''N''을 '''Γ의 레벨'''이라고 한다. 복소 구조는 몫 Γ\'''H'''에 적용되어 '''모듈러 곡선'''이라고 불리는 비컴팩트 리만 표면을 얻을 수 있으며, 일반적으로 ''Y''(Γ)로 표기한다.

''Y''(Γ)의 일반적인 콤팩트화는 Γ의 첨점이라고 불리는 유한 개의 점을 추가하여 얻어진다. 구체적으로, 이것은 Γ가 '''확장된 복소수 상반 평면''' '''H'''* = }에 작용하는 것을 고려하여 수행된다. 다음과 같은 기저를 사용하여 '''H'''*에 위상을 도입한다.

'''H'''의 모든 열린 부분 집합
모든 ''r'' > 0에 대해, 집합 $\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}$
모든 상호 소수 ''a'', ''c''와 모든 ''r'' > 0에 대해,

::

\begin{pmatrix}a & -m\\c & n\end{pmatrix}

:의 작용 아래에서

\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}

의 이미지

:여기서 ''m'', ''n''은 ''an'' + ''cm'' = 1이 되도록 하는 정수이다.

이렇게 하면 '''H'''*는 리만 구 '''P'''¹('''C''')의 부분 집합인 위상 공간이 된다. 군 Γ는 }의 부분 집합에 작용하여, 이를 '''Γ의 첨점'''이라고 불리는 유한 개의 궤도로 나눈다. 만약 Γ가 }에 추이적으로 작용한다면, 공간 Γ\'''H'''*는 Γ\'''H'''의 알렉산드로프 콤팩트화가 된다. 다시 한 번, 복소 구조를 몫 Γ\'''H'''*에 적용하여, 이제 콤팩트인 리만 곡면 ''X''(Γ)로 바꿀 수 있다. 이 공간은 ''Y''(Γ)의 콤팩트화이다.^[1]

모듈러 군 SL(2, '''Z''')는 상반 평면 위에 일차분수변환으로 작용한다. SL(2, '''Z''')의 합동 부분군 Γ란 어떤 양의 정수 N에 대해, (principal congruence subgroup of level N)을 포함하는 부분군을 말한다. 여기서 주 합동 부분군 Γ(N)은

:

\Gamma(N)=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\c & d\\\end{pmatrix}  : \ a, d \equiv \pm 1 \mod N \text{ and } b, c \equiv0 \mod N \right\}

인 군을 나타낸다.

이러한 N의 최소값을 '''Γ의 레벨'''이라고 한다. 이 군에 의한 몫 Γ\H에 복소다양체의 복소 구조를 정한 것을 비콤팩트한 모듈러 곡선

Y \left( \Gamma \right) := \Gamma \backslash \mathcal{H}

라고 한다. 이것은 리만 곡면이다.

Y(Γ)의 콤팩트화는 Γ의 첨점이라고 불리는 유한 개의 점을 추가하여 얻어진다. 특히 이 콤팩트화는 '''확장된 복소 상반 평면''' '''H'''* = } 상의 Γ의 작용을 고려하여 얻어진다. '''H'''*에 다음을 기저로 하는 위상을 정한다.

'''H''' 위의 모든 열린 집합
모든 r > 0에 대해, 집합 $\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}$
모든 서로소인 정수 a, c 와 m, n은 an + cm = 1이 되는 정수 m, n과, 모든 r > 0에 대해, 작용

::

\begin{pmatrix}a & -m\\c & n\end{pmatrix}

:아래에서,

\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}

의 상

이는 '''H'''*를 리만 구면 '''P'''¹('''C''')의 부분집합으로 변환한다. 군 Γ는 부분집합 } 상에 작용하고, '''Γ의 첨점'''이라고 불리는 유한 개의 궤도로 분해된다. 특히 Γ가 } 상에 추이적으로 작용하면, 공간 Γ\'''H'''*는 Γ\'''H'''의 일점 콤팩트화가 된다. 이 첨점(cusp)을 추가하여 콤팩트화한 리만 면을

X \left(\Gamma \right):= \Gamma  \backslash \mathcal{H}^{*}

라고 쓴다. X(Γ)는 Y(Γ) 공간의 콤팩트화이다^[5]。

를 합동 부분군으로 한다. 복소수체

의 부분환

에 대해,

상의 스키마

와 복소 해석적 동형

의 쌍

으로, 가 상의 1차원 파이버를 갖는 것을 모듈러 곡선

의

상의 모델이라고 한다. 이 정의에서

를

}}

로 대체한 것도 모델이라고 한다. 예를 들어, 정수환

상의 아핀 직선

과 함수의 쌍은

('''Z''')⧵'''H'''}}

의 정수환

상의 모델이다.

이하, 은 양의 정수로 한다.

2. 1. 해석적 정의

모듈러 군의 합동 부분군

G

는 충분히 큰

N

에 대하여

\Gamma(N)\supset G

인 부분군이며, 이 때 가장 작은 정수

N

을

G

의 준위(레벨)라고 한다. 모듈러 군은 상반평면

\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}

에 작용하며, 합동 부분군

G

또한 상반평면에 작용한다. 이렇게 정의한 몫공간

G\setminus\mathbb H

를 비콤팩트 모듈러 곡선

Y(G)

라고 하며, 이는 리만 곡면이다.^[1]^[5]

콤팩트 모듈러 곡선

X(G)

는 확장 상반평면

\mathbb H^*=\mathbb H\cup\mathbb Q\cup\{i\infty\}

을 사용하여 정의한다.^[7] 확장 상반평면은

\mathbb H

의 모든 열린 부분 집합, 모든 ''r'' > 0에 대해

\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}

형태의 집합, 그리고 모든 상호 소수 ''a'', ''c''와 모든 ''r'' > 0에 대해 특정 조건을 만족하는 행렬에 대한 이미지를 기저로 갖는 위상 공간이다. 콤팩트 모듈러 곡선은 확장 상반평면의 몫공간

X(G)=G\setminus\mathbb H^*=Y(G)\cup G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})

으로 정의된다.^[7]

군 Γ는 }에 작용하여 유한 개의 궤도로 나누며, 이를 Γ의 첨점이라고 부른다.^[1]^[5]

2. 2. 타원점과 첨점

합동 부분군

G

의 타원점

\tau\in\mathbb H

는 그 점에서의

\mathbb H

-작용에 대한 안정자군

G_\tau

가 자명하지 않은 (

\pm1\subset G

보다 더 큰) 점이다.^[7] 이 경우,

G_\tau/\{\pm1\}

의 크기를 타원점

\tau

의 계수(order^영어)라고 하며, 항상 2 또는 3이다. 타원점은

G

의 모듈러 곡선

Y(G)

위의 한 점으로 간주할 수 있다.

합동 부분군

G

의 첨점(尖點, '''Q''' ∪ {∞}/cusp}})은 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가하는 점들로,

G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})=X(G)-Y(G)

의 원소이다.^[1] ''Y''(Γ)의 일반적인 콤팩트화는 Γ의 첨점이라고 불리는 유한 개의 점을 추가하여 얻어진다. 이는 Γ가 확장된 복소수 상반 평면 '''H'''* = '''H''' ∪ '''Q''' ∪ {∞}에 작용하는 것을 고려하여 수행된다. '''H'''*에 다음과 같은 기저를 사용하여 위상을 도입한다.

'''H'''의 모든 열린 부분 집합
모든 ''r'' > 0에 대해, 집합 $\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}$
모든 상호 소수 ''a'', ''c''와 모든 ''r'' > 0에 대해,

::

\begin{pmatrix}a & -m\\c & n\end{pmatrix}

:의 작용 아래에서

\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}

의 이미지 (여기서 ''m'', ''n''은 ''an'' + ''cm'' = 1이 되도록 하는 정수)

이는 '''H'''*를 리만 구 '''P'''¹('''C''')의 부분 집합인 위상 공간으로 만든다. 군 Γ는 }에 추이적으로 작용한다면, 공간 Γ\'''H'''*는 Γ\'''H'''의 알렉산드로프 콤팩트화가 된다. 복소 구조를 몫 Γ\'''H'''*에 적용하여, 이제 콤팩트인 리만 곡면 ''X''(Γ)를 얻는다. 이 공간은 ''Y''(Γ)의 콤팩트화이다.^[5]

3. 타원곡선과의 관계

모듈러 곡선은 준위 구조(level structure^영어)를 가진 복소 타원곡선의 모듈라이 공간이다.

가장 흔한 예시는 부분군 Γ(''N''), Γ₀(''N''), Γ₁(''N'')과 관련된 곡선 ''X''(''N''), ''X''₀(''N''), ''X''₁(''N'')이다. 이 곡선들은 레벨 구조가 있는 타원 곡선에 대한 모듈 공간으로 직접 해석되며, 이러한 이유로 산술 기하학에서 중요한 역할을 한다.

'''X(N)'''

''X''(''N'')의 경우, 타원곡선

E

위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들

p,q\in E

이다.^[8]

$p$ 와 $q$ 의 차수는 $N$ 의 약수이다. 즉, $Np=Nq=0$ 이다.
$p$ 와 $q$ 의 베유 쌍(Weil pairing)은 $e_N(p,q)=\exp(2\pi i/N)$ 이다.

복소수체의 경우, 두

N

차 점

:

p=(a+b\tau)/N

:

q=(c+d\tau)/N

:

a,b,c,d\in\mathbb Z/N

의 베유 쌍은

:

e_N(p,q)=\exp(2\pi i(ad-bc)/N)

이다.

이에 따라서

\{p,q\}

는 ''N''차 꼬임 부분군

:

\{z\in\mathbb C\colon Nz\in\Lambda\}

의 기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의

\tau\in\Gamma(N)\backslash\mathbb H

에 대하여 이는

:

(p,q)=(1/N,\tau/N)\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)

로 주어진다.

레벨 ''N'' 모듈러 곡선 ''X''(''N'')은 ''N''-꼬임의 기저가 있는 타원 곡선에 대한 모듈 공간이다.

'''X₀(N)'''

''X''₀(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 ''N''차 순환 부분군이다.^[8] 구체적으로,

\tau\in\Gamma_0(N)\backslash\mathbb H

에 대하여 이는

:

\{0,1/N,2/N,\dots,(N-1)/N\}\subset\mathbb C/\Lambda(1,\tau)

이다.

고전 모듈러 곡선인 ''X''₀(''N'')에 대한 명시적인 고전적 모델이 있으며, 이는 때때로 "그" 모듈러 곡선이라고도 불린다. Γ₀(''N'')은 모듈로 ''N''으로 상삼각 행렬인 더 큰 부분군이다.

:

\left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}  : \ c\equiv 0 \mod N \right \},

j_N(\tau) = j(N\tau)

로 정의되는 상반 평면 위의 함수에 대하여,

\mathbb{Q}(j, j_N)

는 유리수체

\mathbb{Q}

상의 초월 차원이 1인 체이다. 따라서 함수체와 비특이 사영 대수 곡선의 대응에 의해

\mathbb{Q}

상의 어떤 비특이 사영 대수 곡선

X_0(N)

이 존재하며, 그 함수체가 이것이 된다. 이것은

\Gamma_0(N)\thinsp\backslash\mathbb{H}^*

의

\mathbb{Q}

상의 모델이 된다.

다음과 같은 성질을 갖는 정수 계수 2변수 다항식

\Phi_N(X,Y)

는 모듈러 방정식으로 불린다.

$\Phi_N(j,Y)$ 를 $\mathbb{C}(j)[Y]$ 의 원소로 볼 때, 이것은 $j_N$ 의 최소 다항식이다.
$\Phi_N(X,Y)$ 는 기약 다항식이다.

예를 들어

N=2

에 대해서는

:

\Phi_2(X, Y) = X^3 + Y^3 -X^2Y^2 + 1488XY(X+Y) - 162000(X^2+Y^2) + 40773375XY + 8748000000(X+Y) - 157464000000000

이다. 이 예에서도 알 수 있듯이

\Phi_N(X,Y)

는 대칭 다항식이다. 이 방정식으로 정의되는 유리수체 상의 대수 곡선의 특이점을 해소하고 완비화한 것이

X_0(N)

와 동형이다.

''X''₀(''N'')이 '''Q''' 위에서 정의될 수 있다는 것이 알려져 있다.^[8]

모듈러 곡선을 정의하는 방정식은 모듈러 방정식의 가장 잘 알려진 예시이다. 헤케 연산자는 모듈러 곡선의 쌍을 연결하는 대응으로 기하학적으로 연구될 수 있다.

'''X₁(N)'''

''X''₁(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가

N

인 점이다.^[8] 구체적으로,

\tau\in\Gamma_1(N)\backslash\mathbb H

에 대하여 이는

:

1/N\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)

이다.

상반 평면

\mathbb{H}

위의 함수

f_1(\tau)

는 다음과 같이 정의된다.

:

f_1(\tau) = \frac{g_2(\tau)}{g_3(\tau)} \wp_\tau \left( \frac{1}{N} \right)

여기서

\wp_\tau(z) = \wp(z; \tau, 1)

는 바이어슈트라스 타원 함수이고,

g_2(\tau)

와

g_3(\tau)

는

(℘_τ'(z))^2 = 4℘_τ(z)^3 - g_2(τ)℘_τ(z) - g_3(τ)

가 성립하는 함수이다.

f_1

은

Γ_1(N)

에 대한 모듈러 함수이다. 체

\mathbb{Q}(j, f_1)

을 함수체로 갖는

\mathbb{Q}

위의 비특이 사영 대수 곡선을

X_1(N)

이라고 하면, 이것이

Γ_1(N)⧵\mathbb{H}^*

의 모델이 된다.

3. 1. X(N)

''X''(''N'')의 경우, 타원곡선

E

위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들

p,q\in E

이다.^[8]

$p$ 와 $q$ 의 차수는 $N$ 의 약수이다. 즉, $Np=Nq=0$ 이다.
$p$ 와 $q$ 의 베유 쌍(Weil pairing)은 $e_N(p,q)=\exp(2\pi i/N)$ 이다.

복소수체의 경우, 두

N

차 점

:

p=(a+b\tau)/N

:

q=(c+d\tau)/N

:

a,b,c,d\in\mathbb Z/N

의 베유 쌍은

:

e_N(p,q)=\exp(2\pi i(ad-bc)/N)

이다.

이에 따라서

\{p,q\}

는 ''N''차 꼬임 부분군

:

\{z\in\mathbb C\colon Nz\in\Lambda\}

의 기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의

\tau\in\Gamma(N)\backslash\mathbb H

에 대하여 이는

:

(p,q)=(1/N,\tau/N)\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)

로 주어진다.

레벨 ''N'' 모듈러 곡선 ''X''(''N'')은 ''N''-꼬임의 기저가 있는 타원 곡선에 대한 모듈 공간이다.

3. 2. X₀(N)

''X''₀(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 ''N''차 순환 부분군이다.^[8] 구체적으로,

\tau\in\Gamma_0(N)\backslash\mathbb H

에 대하여 이는

:

\{0,1/N,2/N,\dots,(N-1)/N\}\subset\mathbb C/\Lambda(1,\tau)

이다.

고전 모듈러 곡선인 ''X''₀(''N'')에 대한 명시적인 고전적 모델이 있으며, 이는 때때로 "그" 모듈러 곡선이라고도 불린다. Γ₀(''N'')은 모듈로 ''N''으로 상삼각 행렬인 더 큰 부분군이다.

:

\left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}  : \ c\equiv 0 \mod N \right \},

이 곡선들은 ''레벨 구조''가 있는 타원 곡선에 대한 모듈 공간으로 직접 해석되며, 이러한 이유로 산술 기하학에서 중요한 역할을 한다. ''X''₀(''N'')이 '''Q''' 위에서 정의될 수 있다는 것이 알려져 있다.^[8]

모듈러 곡선을 정의하는 방정식은 모듈러 방정식의 가장 잘 알려진 예시이다. 헤케 연산자는 모듈러 곡선의 쌍을 연결하는 대응으로 기하학적으로 연구될 수 있다.

j_N(\tau) = j(N\tau)

로 정의되는 상반 평면 위의 함수에 대하여,

\mathbb{Q}(j, j_N)

는 유리수체

\mathbb{Q}

상의 초월 차원이 1인 체이다. 따라서 함수체와 비특이 사영 대수 곡선의 대응에 의해

\mathbb{Q}

상의 어떤 비특이 사영 대수 곡선

X_0(N)

이 존재하며, 그 함수체가 이것이 된다. 이것은

\Gamma_0(N)\thinsp\backslash\mathbb{H}^*

의

\mathbb{Q}

상의 모델이 된다.

다음과 같은 성질을 갖는 정수 계수 2변수 다항식

\Phi_N(X,Y)

는 모듈러 방정식으로 불린다.

$\Phi_N(j,Y)$ 를 $\mathbb{C}(j)[Y]$ 의 원소로 볼 때, 이것은 $j_N$ 의 최소 다항식이다.
$\Phi_N(X,Y)$ 는 기약 다항식이다.

예를 들어

N=2

에 대해서는

:

\Phi_2(X, Y) = X^3 + Y^3 -X^2Y^2 + 1488XY(X+Y) - 162000(X^2+Y^2) + 40773375XY + 8748000000(X+Y) - 157464000000000

이다. 이 예에서도 알 수 있듯이

\Phi_N(X,Y)

는 대칭 다항식이다. 이 방정식으로 정의되는 유리수체 상의 대수 곡선의 특이점을 해소하고 완비화한 것이

X_0(N)

와 동형이다.

3. 3. X₁(N)

''X''₁(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가

N

인 점이다.^[8] 구체적으로,

\tau\in\Gamma_1(N)\backslash\mathbb H

에 대하여 이는

:

1/N\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)

이다.

상반 평면

\mathbb{H}

위의 함수

f_1(\tau)

는 다음과 같이 정의된다.

:

f_1(\tau) = \frac{g_2(\tau)}{g_3(\tau)} \wp_\tau \left( \frac{1}{N} \right)

여기서

\wp_\tau(z) = \wp(z; \tau, 1)

는 바이어슈트라스 타원 함수이고,

g_2(\tau)

와

g_3(\tau)

는

(℘_τ'(z))^2 = 4℘_τ(z)^3 - g_2(τ)℘_τ(z) - g_3(τ)

가 성립하는 함수이다.

f_1

은

Γ_1(N)

에 대한 모듈러 함수이다. 체

\mathbb{Q}(j, f_1)

을 함수체로 갖는

\mathbb{Q}

위의 비특이 사영 대수 곡선을

X_1(N)

이라고 하면, 이것이

Γ_1(N)⧵\mathbb{H}^*

의 모델이 된다.

가장 흔한 예시는 부분군 Γ(''N''), Γ₀(''N''), Γ₁(''N'')과 관련된 곡선 ''X''(''N''), ''X''₀(''N''), ''X''₁(''N'')이다. 이 곡선들은 ''레벨 구조''가 있는 타원 곡선에 대한 모듈 공간으로 직접 해석되며, 이러한 이유로 산술 기하학에서 중요한 역할을 한다.

4. 성질

일반적으로, 합동 부분군 $G$ 의 콤팩트 모듈러 곡선 $X(G)$ 의 종수(genus)는 다음과 같다.^[7]

: $g(X(G))=1+|\Gamma(1):G|/12-r_2/4-r_3/3-r_\infty/2$

여기서

$|\Gamma(1):G|$ 는 부분군의 지표다.
$r_2$ 는 $G$ 의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
$r_3$ 는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
$r_\infty$ 는 $G$ 의 첨점들의 수이다.

== Γ(1) ==

모듈러 군 Γ(1)에 대응하는 모듈러 곡선 X(1)은 리만 구와 동형이며, 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.

이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.

계수가 2인 타원점 1개 ( $i\in\mathbb H$ )
계수가 3인 타원점 1개 ( $(1+i\sqrt 3)/2\in\mathbb H$ )
첨점 1개 ( $i\infty$ )

따라서

:

g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0

이다. 이는 리만 구에 해당한다.

일반적으로 '''모듈러 함수체'''는 모듈러 곡선(또는 때때로 기약 다양체로 판명되는 다른 모듈리 공간)의 함수체이다. 종수가 0이라는 것은 이러한 함수체가 단일 초월 함수를 생성자로 갖는다는 것을 의미한다. 예를 들어, j-함수는 ''X''(1) = PSL(2, '''Z''')\'''H'''*의 함수체를 생성한다. 이러한 생성자에 대한 전통적인 이름은 뫼비우스 변환까지 고유하며 적절하게 정규화될 수 있는데, '''Hauptmodul''' ('''주요''' 또는 '''주요 모듈러 함수''', 복수 '''Hauptmoduln''')이다.

== Γ(N) ==

Γ(''N'')의 경우, ''N''>1이면 타원점이 없다.^[7] ''N''이 소수 ''p''일 때, 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다.

:

g=(p+2)(p-3)(p-5)/24

이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.^[7]

:

|\Gamma(1):\Gamma(N)|=\begin{cases}\frac12N^3\prod_{p|N}(1-1/p^2)&N>2\\6&N=2\end{cases}

또한,

|\Gamma(1):\Gamma(N)|/N

개의 첨점이 있다.^[7] 따라서 이 경우 종수는

:

g=1+|\Gamma(1):\Gamma(N)|(1/12-1/2N)

이다. 예를 들어, N=2인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는 0이다.

덮개 ''X''(''N'') → ''X''(1)은 갈루아 군 SL(2, ''N'')/{1, −1}을 가지며, ''N''이 소수일 경우 PSL(2, ''N'')과 같다. 리만-휘르비츠 공식과 가우스-보네 정리를 적용하면 ''X''(''N'')의 속을 계산할 수 있다. 소수 레벨 ''p'' ≥ 5에 대해,

:

-\pi\chi(X(p)) = |G|\cdot D,

여기서 χ = 2 − 2''g''는 오일러 지표, |''G''| = (''p''+1)''p''(''p''−1)/2는 군 PSL(2, ''p'')의 차수, 그리고 ''D'' = π − π/2 − π/3 − π/''p''는 구면 (2,3,''p'') 삼각형의 각 결함이다.

X(5)는 종수 0, X(7)는 종수 3, X(11)은 종수 26이다. p = 2 또는 3에 대해서는 분기를 고려해야 한다.

== Γ₁(N) ==

Γ₁(''N'')의 경우, ''N''>3이면 타원점이 없다.^[7] Γ₁(''N'')의 지표는 다음과 같다.

:

|\Gamma(1):\Gamma_1(N)|=|\Gamma(1):\Gamma(N)|/N

첨점의 수는 다음과 같다.^[7]^[9]

:

r_\infty=\begin{cases}2&N=2,3\\3&N=4\\\frac12\sum_{d|N}\phi(d)\phi(N/d)&N>4\end{cases}

여기서

\phi

는 오일러 피 함수이다.

Γ₁(''N'')의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.^[7]^[9]

N	지표	첨점의 수	계수 2 타원점의 수	계수 3 타원점의 수	종수
1	1	1	1	1	0
2	3	2	1	0	0
3	4	2	0	1	0
4	6	3	0	0	0
5	12	4	0	0	0
6	12	4	0	0	0
7	24	6	0	0	0
8	24	6	0	0	0
9	36	8	0	0	0
10	36	8	0	0	0
11	60	10	0	0	1
12	48	10	0	0	0

== Γ₀(N) ==

Γ₀(''N'')의 경우, 타원점과 첨점의 수는 다음과 같이 오일러 피 함수와 르장드르 기호를 이용하여 나타낼 수 있다.

: $r_2=\begin{cases}0&4 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-1}p))&4 \not| N\end{cases}$

: $r_3=\begin{cases}0&9 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-3}p))&4 \not| N\end{cases}$

: $r_\infty=\sum_{0$

여기서 $\phi$ 는 오일러 피 함수이고, $(\tfrac ab)$ 는 르장드르 기호이다. $a|b$ 는 $a$ 가 $b$ 의 인수라는 뜻이다. $p|b$ 는 $p$ 가 $b$ 의 소인수라는 뜻이다.

이 경우 부분군의 지표는 , 계수 2의 타원점의 수는 , 계수 3의 타원점의 수는 , 첨점의 수는 , 모듈러 곡선의 종수는 이다.

N	지표	첨점의 수	계수 2 타원점의 수	계수 3 타원점의 수	종수
1	1	1	1	1	0
2	3	2	1	0	0
3	4	2	0	1	0
4	6	3	0	0	0
5	6	2	2	0	0
6	12	4	0	0	0
7	8	2	0	2	0
8	12	4	0	0	0
9	12	4	0	0	0
10	18	4	2	0	0
11	12	2	0	0	1

리만-휘르비츠 공식과 가우스-보네 정리를 이용하면, 부분군의 지표를 통해 종수 공식을 유도할 수 있다. $X_0(N)$ 의 종수가 1이 되는 경우는 N이 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 24, 27, 32, 36, 49 일때 이다.^[2]

4. 1. Γ(1)

모듈러 군 Γ(1)에 대응하는 모듈러 곡선 X(1)은 리만 구와 동형이며, 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.

이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.

계수가 2인 타원점 1개 ( $i\in\mathbb H$ )
계수가 3인 타원점 1개 ( $(1+i\sqrt 3)/2\in\mathbb H$ )
첨점 1개 ( $i\infty$ )

따라서

:

g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0

이다. 이는 리만 구에 해당한다.

일반적으로 '''모듈러 함수체'''는 모듈러 곡선(또는 때때로 기약 다양체로 판명되는 다른 모듈리 공간)의 함수체이다. 종수가 0이라는 것은 이러한 함수체가 단일 초월 함수를 생성자로 갖는다는 것을 의미한다. 예를 들어, j-함수는 ''X''(1) = PSL(2, '''Z''')\'''H'''*의 함수체를 생성한다. 이러한 생성자에 대한 전통적인 이름은 뫼비우스 변환까지 고유하며 적절하게 정규화될 수 있는데, '''Hauptmodul''' ('''주요''' 또는 '''주요 모듈러 함수''', 복수 '''Hauptmoduln''')이다.

4. 2. Γ(N)

Γ(N)의 경우, N>1이면 타원점이 없다.^[7] N이 소수 p일 때, 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다.

:

g=(p+2)(p-3)(p-5)/24

이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.^[7]

:

|\Gamma(1):\Gamma(N)|=\begin{cases}\frac12N^3\prod_{p|N}(1-1/p^2)&N>2\\6&N=2\end{cases}

또한,

|\Gamma(1):\Gamma(N)|/N

개의 첨점이 있다.^[7] 따라서 이 경우 종수는

:

g=1+|\Gamma(1):\Gamma(N)|(1/12-1/2N)

이다. 예를 들어, N=2인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는 0이다.

피복 X(N) → X(1)은 갈루아 군 SL(2, N)/{1, −1}을 갖는 갈루아 피복이며, N이 소수이면 이 갈루아 군은 PSL(2, N)과 같아진다. 리만-후르비츠 공식과 가우스-보네 정리를 적용하면, X(N)의 종수를 계산할 수 있다. 레벨이 소수 p ≥ 5이면,

:

-\pi\chi(X(p)) = |G|\cdot D

이다. 여기서 χ = 2 − 2g는 오일러 지표, |G| = (p + 1)p(p − 1)/2는 군 PSL(2, ''p'')의 위수, D = π − π/2 − π/3 − π/p는 구형 (2,3,p) 삼각형의 각도 결함이다.

X(5)는 종수 0이고, X(7)는 종수 3이며, X(11)은 종수 26이다. p = 2 또는 3에 대해서는 분기를 고려해야 한다.

4. 3. Γ₁(N)

Γ₁(N)의 경우, N>3이면 타원점이 없다.^[7] Γ₁(N)의 지표는 다음과 같다.

:

|\Gamma(1):\Gamma_1(N)|=|\Gamma(1):\Gamma(N)|/N

첨점의 수는 다음과 같다.^[7]^[9]

:

r_\infty=\begin{cases}2&N=2,3\\3&N=4\\\frac12\sum_{d|N}\phi(d)\phi(N/d)&N>4\end{cases}

여기서

\phi

는 오일러 피 함수이다.

Γ₁(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.^[7]^[9]

N	지표	첨점의 수	계수 2 타원점의 수	계수 3 타원점의 수	종수
1	1	1	1	1	0
2	3	2	1	0	0
3	4	2	0	1	0
4	6	3	0	0	0
5	12	4	0	0	0
6	12	4	0	0	0
7	24	6	0	0	0
8	24	6	0	0	0
9	36	8	0	0	0
10	36	8	0	0	0
11	60	10	0	0	1
12	48	10	0	0	0

4. 4. Γ₀(N)

Γ₀(''N'')의 경우, 타원점과 첨점의 수는 다음과 같이 오일러 피 함수와 르장드르 기호를 이용하여 나타낼 수 있다.

:

r_2=\begin{cases}0&4 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-1}p))&4 \not| N\end{cases}

:

r_3=\begin{cases}0&9 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-3}p))&4 \not| N\end{cases}

:

r_\infty=\sum_{0

여기서

\phi

는 오일러 피 함수이고,

(\tfrac ab)

는 르장드르 기호이다.

a|b

는

a

가

b

의 인수라는 뜻이다.

p|b

는

p

가

b

의 소인수라는 뜻이다.

이 경우 부분군의 지표는 , 계수 2의 타원점의 수는 , 계수 3의 타원점의 수는 , 첨점의 수는 , 모듈러 곡선의 종수는 이다.

N	지표	첨점의 수	계수 2 타원점의 수	계수 3 타원점의 수	종수
1	1	1	1	1	0
2	3	2	1	0	0
3	4	2	0	1	0
4	6	3	0	0	0
5	6	2	2	0	0
6	12	4	0	0	0
7	8	2	0	2	0
8	12	4	0	0	0
9	12	4	0	0	0
10	18	4	2	0	0
11	12	2	0	0	1

리만-휘르비츠 공식과 가우스-보네 정리를 이용하면, 부분군의 지표를 통해 종수 공식을 유도할 수 있다. $X_0(N)$ 의 종수가 1이 되는 경우는 N이 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 24, 27, 32, 36, 49 일때 이다.^[2]

5. 예

가장 흔한 예시는 합동 부분군 Γ(''N''), Γ₀(''N''), Γ₁(''N'')과 관련된 곡선 ''X''(''N''), ''X''₀(''N''), ''X''₁(''N'')이다.

모듈러 곡선 ''X''(5)는 종수 0을 가지며, 정이십면체의 꼭짓점에 12개의 첨점을 갖는 리만 구면이다. 덮개 ''X''(5) → ''X''(1)은 리만 구면 위의 정이십면체 군의 작용에 의한 몫이다. 이 군은 위수 60의 단순군이며, 대칭군 ''A''₅ 및 PSL(2, 5)와 동형이다.

모듈러 곡선 ''X''(7)은 첨점을 24개 갖는 종수 3의 클라인 4차 곡선이다. 이것은 3개의 손잡이가 달린 곡면을 24개의 칠각형으로 타일링하고, 각 면의 중심에 첨점을 갖는 것으로 해석할 수 있다. 이러한 타일링은 데생 드 앙팡이나 벨리 함수를 통해 이해할 수 있다. 첨점은 무한대 점 ∞ 위에 있고(빨간 점), 꼭짓점과 변의 중심에 있는(검은 점과 흰 점) 첨점은 0과 1에 있다. 덮개 ''X''(7) → ''X''(1)의 갈루아 군은 PSL(2, 7)와 동형인 위수 168의 단순군이다.

고전 모듈러 곡선인 ''X''₀(''N'')에 대한 명시적인 고전적 모델이 있으며, 이는 때때로 "그" 모듈러 곡선이라고도 불린다. Γ(''N'')은 법 N 환원 SL₂(Z) → SL₂(Z/NZ)의 핵이며, Γ₀(''N'')은 법 N으로 상삼각 행렬이 되는 부분군이다.

: $\Gamma_0(N)=\left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} : \ c\equiv 0 \mod N \right \}$

Γ₁(''N'')은 a≡d≡1 (mod N) 와 c≡0 (mod N)으로 정의되는 중간 군이다.

: $\Gamma_1(N)=\left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} : \ a\equiv 1\mod N, c\equiv 0 \mod N \right \}$

이 곡선들은 ''레벨 구조''가 있는 타원 곡선에 대한 모듈 공간으로 해석되며, 이러한 이유로 산술 기하학에서 중요한 역할을 한다. 레벨 ''N'' 모듈러 곡선 ''X''(''N'')은 ''N''-꼬임의 기저가 있는 타원 곡선에 대한 모듈 공간이다. ''X''₀(''N'') 및 ''X''₁(''N'')의 경우, 레벨 구조는 각각 위수 ''N''의 순환 부분군과 위수 ''N''의 점이다. 이 곡선들은 매우 상세하게 연구되었으며, 특히 ''X''₀(''N'')이 '''Q''' 위에서 정의될 수 있다는 것이 알려져 있다.

모듈러 곡선을 정의하는 방정식은 모듈러 방정식의 가장 잘 알려진 예시이다. "최상의 모델"은 타원 함수 이론에서 직접 가져온 모델과 매우 다를 수 있다. 헤케 연산자는 모듈러 곡선의 쌍을 연결하는 대응으로 기하학적으로 연구될 수 있다.

모듈러 군의 부분군이 아닌 푸크스 군 Γ에 대해 컴팩트한 '''H'''의 몫이 발생한다. 사원수 대수에서 구성된 이들의 클래스는 정수론에서도 관심사이다.

모듈러 곡선 $\textstyle X_0(N)$ 은 $\textstyle N$ 이 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 24, 27, 32, 36, 49중 하나와 같을때, 종수(genus)가 1이 된다.^[2] $\mathbb{Q}$ 위의 타원 곡선으로서, 최소의 정수 바이어슈트라스 모형 $y^2 + a_1 x y + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$ 을 가진다. 즉, $\textstyle a_j\in\mathbb{Z}$ 이고 판별식 $\Delta$ 의 절댓값은 동일한 곡선에 대한 모든 정수 바이어슈트라스 모형 중에서 최소이다. $\textstyle a_1, a_3\in\{0,1\}$ 이고 $\textstyle a_2\in\{-1,0,1\}$ 을 의미하는 "축소된", 최소, 정수 바이어슈트라스 모형을 사용하며, 아래 표의 마지막 열은 각각의 타원 모듈러 곡선 $\textstyle X_0(N)$ 의 홈 페이지인 ''L-함수 및 모듈러 형식 데이터베이스(LMFDB)''를 참조한다.^[3]

종수 1의 $X_0(N)$
$y^2 + a_1 x y + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$
$N$	$[a_1,a_2,a_3,a_4,a_6]$	$\Delta$	LMFDB
11	[0, -1, 1, -10, -20]	$\textstyle -11^5$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/11a1/ link]
14	[1, 0, 1, 4, -6]	$\textstyle -2^6\cdot 7^3$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/14a1/ link]
15	[1, 1, 1, -10, -10]	$\textstyle 3^4\cdot 5^4$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/15a1/ link]
17	[1, -1, 1, -1, -14]	$\textstyle -17^4$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/17a1/ link]
19	[0, 1, 1, -9, -15]	$\textstyle -19^3$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/19a1/ link]
20	[0, 1, 0, 4, 4]	$\textstyle -2^8\cdot 5^2$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/20a1/ link]
21	[1, 0, 0, -4, -1]	$\textstyle 3^4\cdot 7^2$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/21a1/ link]
24	[0, -1, 0, -4, 4]	$\textstyle 2^8\cdot 3^2$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/24a1/ link]
27	[0, 0, 1, 0, -7]	$\textstyle -3^9$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/27a1/ link]
32	[0, 0, 0, 4, 0]	$\textstyle -2^{12}$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/32a1/ link]
36	[0, 0, 0, 0, 1]	$\textstyle -2^4\cdot 3^3$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/36a1/ link]
49	[1, -1, 0, -2, -1]	$\textstyle -7^3$	[https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/49a1/ link]

6. 몬스터 군과의 관계

몬스터 문샤인 추측과 관련하여 종수 0의 모듈러 곡선은 매우 중요한 것으로 밝혀졌다. 19세기에 이미 모듈러 곡선의 하우프트모듈의 ''q''-전개 계수 일부가 계산되었는데, 이 계수들이 가장 큰 산발적 단순군인 몬스터군의 표현 차원과 같다는 사실은 매우 충격적이었다.^[4]

SL(2, '''R''')에서 Γ₀(''p'')의 정규화 부분군 Γ₀(''p'')⁺에 해당하는 모듈러 곡선이 종수 0을 갖는다는 사실은 또 다른 연결고리이다. 이때 ''p''는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 또는 71인데, 이는 정확히 문샤인 이론의 초특이 소수이며, 몬스터군 차수의 소인수이다.^[4] 1970년대 장피에르 세르, 앤드루 오그, 존 G. 톰슨은 Γ₀(''p'')⁺에 대한 결과를 발표했다. 특히 몬스터 군과 관련된 관찰은 오그가 했는데, 그는 이 사실을 설명하는 사람에게 잭 다니엘스 위스키 한 병을 제공하겠다는 논문을 썼고, 이는 몬스터 문샤인 이론의 시작점이 되었다.^[4]

이 관계는 리처드 보처즈가 증명한 바와 같이 매우 깊으며, 일반화된 카츠-무디 대수도 포함한다.^[4] 이 분야의 연구는 첨점을 포함한 모든 곳에서 정칙인 모듈러 형식과 대조적으로, 극점을 가질 수 있는 유수 모듈러 함수의 중요성을 강조했으며, 20세기 대부분의 기간 동안 주요 연구 대상이었다.^[4]

7. 한국 수학계의 기여

참조

_[1] 서적 Cours d'arithmétique Presses Universitaires de France
_[2] 서적 Modular functions of one variable IV Springer-Verlag 1975
_[3] 학술지 Courbes modulaires de genre 1 http://www.numdam.or[...] 2022-11-06
_[4] harvtxt 1974
_[5] 서적 Cours d'arithmétique Presses Universitaires de France
_[6] 문서 dessins d'enfantsはフランス語で「子供のお絵かき」というような意味であろうが、現在は数学に固有な万国共通の単語といってもよいかも知れない。グラフの描き方のトポロジカルなパターンを意味し、リーマン面の研究や、絶対ガロア群の作用の組み合わせ的研究に使われる。
_[7] 서적 A first course in modular forms Springer 2005
_[8] 서적 The arithmetic of elliptic curves Springer 2009
_[9] 저널 On the genus of some modular curves of level ''N'' 1996-10

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N	지표	첨점의 수	계수 2 타원점의 수	계수 3 타원점의 수	종수
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8	12	4	0	0	0
9	12	4	0	0	0
10	18	4	2	0	0
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N	지표	첨점의 수	계수 2 타원점의 수	계수 3 타원점의 수	종수
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6	12	4	0	0	0
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9	36	8	0	0	0
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