모르-마스케로니 정리

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 모르와 마스케로니의 발견
- 2.2. 현대적 증명
3. 증명
4. 다른 제한된 작도
- 4.1. 컴퍼스 관련 제한
- 4.2. 자 관련 제한 (퐁슬레-슈타이너 정리)
참조

1. 개요

모르-마스케로니 정리는 자 없이 컴퍼스만으로 유클리드 기하학적 작도가 가능하다는 정리이다. 1672년 게오르그 모어에 의해 처음 발표되었으나, 1797년 로렌초 마스케로니에 의해 독립적으로 재발견되어 '마스케로니 정리'로 알려지기도 했다. 이 정리는 자와 컴퍼스로 가능한 모든 작도가 컴퍼스만으로 가능하다는 것을 증명하며, 컴퍼스 동치 정리와 퐁슬레-슈타이너 정리 등 제한된 작도에 대한 연구로 이어졌다.

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모르-마스케로니 정리

2. 역사

모르-마스케로니 정리는 1672년 게오르그 모어가 처음으로 증명했으나,^[2] 그의 업적은 오랫동안 주목받지 못하다가 1928년에 이르러서야 알려지게 되었다.^[3]^[4]^[5] 그 사이 1797년 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니가 이 정리를 독자적으로 발견하여 자신의 저서 Geometria del Compasso|컴퍼스에 의한 기하학^ita을 통해 발표했다. 이로 인해 모어의 연구가 재발견되기 전까지는 '마스케로니 정리'라는 이름으로 알려졌다.^[6] 이후 모어의 선구적인 연구가 확인되면서 현재의 이름으로 불리게 되었다. 이후 아우구스트 아들러^[7] 등이 다양한 증명 방법을 제시하며 연구가 이어졌다.^[8]

2. 1. 모르와 마스케로니의 발견

모르-마스케로니 정리는 1672년 게오르그 모어가 처음 발표했지만,^[2] 그의 증명은 1928년에 이르러서야 알려졌다.^[3]^[4]^[5] 이 정리는 1797년 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니가 독립적으로 다시 발견하여 그의 저서 『컴퍼스에 의한 기하학』(Geometria del Compasso^ita)에서 발표했다. 이 때문에 모어의 연구가 재발견되기 전까지 이 정리는 '마스케로니 정리'로 알려졌다.^[6]

마스케로니는 주어진 조건과 구하는 결과가 점으로 표현되는 한, 유클리드 기하학의 모든 작도는 컴퍼스만으로 가능하다는 것을 보였다. 직선 자체는 컴퍼스로 그릴 수 없지만, 유클리드 기하학에서 작도 가능한 직선은, 그 직선 위의 두 점을 컴퍼스만으로 찾아 결정할 수 있다.

이 결과에는 여러 증명 방법이 있다. 1797년 마스케로니의 증명은 선에 대한 반사를 주요 도구로 사용했다. 모어의 해법은 이와는 다른 접근 방식을 사용했다.^[3] 1890년에는 기하학자 아우구스트 아들러가 반전 변환을 이용한 새로운 증명을 발표했다.^[7]

1928년, 덴마크의 수학자 요하네스 예름스레우는 코펜하겐의 한 서점에서 모어가 1672년에 저술한 『다키아인 유클리데스』(Euclides Danicus^lat)를 우연히 발견했다. 예름스레우는 이 책을 통해 모어가 이미 마스케로니보다 훨씬 전에 다른 방법으로 이 정리를 증명했음을 확인했다. 모어와 마스케로니의 증명은 다소 복잡했으나, 20세기 후반에 더 간결한 증명들이 제시되었다.

자와 컴퍼스를 이용한 작도에서는 새로운 점을 다음 세 가지 방법 중 하나로 얻는다.

# 두 원의 교점

# 원과 직선의 교점

# 두 직선의 교점

작도는 이 과정을 유한 번 반복하여 완성된다. 두 원의 교점은 컴퍼스만으로도 명백히 찾을 수 있다. 모르-마스케로니 정리는 나머지 두 경우, 즉 원과 직선의 교점, 그리고 두 직선의 교점 역시 컴퍼스만으로 찾을 수 있음을 증명한다. 이를 통해 자와 컴퍼스로 가능한 모든 작도가 컴퍼스만으로도 가능하다는 사실을 보인다.

한편, 대수적 접근 방식은 유클리드 평면과 실수 좌표 공간

\mathbb{R}^2

사이의 동형사상을 활용한다. 이를 통해 1990년에는 더 강력한 형태의 정리가 증명되었고,^[8] 이 정리가 아르키메데스 성질에 의존한다는 점도 밝혀졌다. 아르키메데스 성질은 일계 언어로는 형식화할 수 없는 특징이다.

2. 2. 현대적 증명

이 결과에 대한 몇 가지 증명이 알려져 있다. 1797년 로렌초 마스케로니의 증명은 선에 대한 반사를 주요 도구로 사용하는 아이디어를 기반으로 했다. 게오르그 모어의 해법은 달랐다.^[3]

1890년에는 기하학자 아우구스트 아들러가 반전 변환을 사용하여 새로운 증명을 발표했다.^[7]

대수적 접근 방식은 유클리드 평면과 실수 좌표 공간

\mathbb{R}^2

사이의 동형사상을 사용한다. 이러한 방식으로, 이 정리의 더 강력한 버전이 1990년에 증명되었다.^[8] 또한 이 증명은 정리가 아르키메데스 성질 (일계 언어로는 공식화할 수 없음)에 의존한다는 것을 보여준다.

모르와 마스케로니의 증명은 복잡했지만, 20세기 후반에는 더 간명한 증명이 몇 가지 발견되었다.

자와 컴퍼스로 가능한 작도에서 모든 새로운 점은 다음 중 하나를 통해 얻어진다.

# 두 원의 교점

# 원과 직선의 교점

# 두 직선의 교점

작도는 이러한 과정들을 유한 번 반복하여 이루어진다. 두 원의 교점은 컴퍼스만으로도 명확히 작도할 수 있다. 모르-마스케로니 정리는 두 번째와 세 번째 경우, 즉 원과 직선의 교점 및 두 직선의 교점 역시 컴퍼스만으로 작도할 수 있음을 증명함으로써, 자와 컴퍼스로 가능한 모든 작도가 컴퍼스만으로도 가능하다는 것을 보인다.

3. 증명

모르-마스케로니 정리는 자(도구)와 컴퍼스 작도로 가능한 모든 기하학적 작도는 컴퍼스 하나만으로도 가능하다는 정리이다. 이 정리를 증명하기 위해서는 다섯 가지 기본 작도가 컴퍼스만으로 수행 가능함을 보여야 한다.^[12]

다섯 가지 기본 작도는 다음과 같다.

# 두 점을 지나는 직선 만들기

# 한 점을 중심으로 하고 다른 한 점을 지나는 원 만들기

# 평행하지 않은 두 직선의 교점 만들기

# 원과 직선의 교점 만들기 (교점이 존재할 경우)

# 두 원의 교점 만들기 (교점이 존재할 경우)

이 중에서 원 그리기(#2)와 두 원의 교점 찾기(#5)는 컴퍼스만으로 직접 수행할 수 있다. 직선 만들기(#1)의 경우, 자 없이 직선을 그릴 수는 없지만, 직선은 서로 다른 두 점에 의해 유일하게 결정되므로 컴퍼스 작도를 통해 직선 위의 두 점을 특정하는 것으로 충분하다. 따라서 정리의 증명은 남은 두 기본 작도, 즉 평행하지 않은 두 직선의 교점 찾기(#3)와 원과 직선의 교점 찾기(#4)가 컴퍼스만으로 가능하다는 것을 보이는 데 초점을 맞춘다. 이 두 작도가 가능하다면, 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 새로운 점(두 원의 교점, 원과 직선의 교점, 두 직선의 교점)을 컴퍼스만으로도 찾을 수 있게 되므로 정리가 증명된다.

이 정리는 1797년 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니가 그의 저서 《컴퍼스에 의한 기하학》(Geometria del Compasso|^it)에서 발표하며 널리 알려졌다. 그러나 1928년 덴마크의 수학자 요하네스 예름스레우가 코펜하겐의 한 서점에서 1672년에 게오르그 몰이 저술한 《다키아인 유클리데스》(Euclides Danicus|^la)를 발견했는데, 이 책에 이미 다른 방식으로 같은 내용의 증명이 포함되어 있었다는 사실이 밝혀졌다. 이 때문에 오늘날 이 정리는 '모르-마스케로니 정리'로 불린다. 또한, 1890년에는 오스트리아의 기하학자 아우구스트 아들러(August Adler)가 새로운 증명을 발표하기도 했다. 몰과 마스케로니의 초기 증명은 다소 복잡했지만, 20세기 후반에는 더 간결한 증명들이 제시되었다.

3. 1. #1. 두 점을 지나는 직선

자 없이 직선을 그릴 수는 없다. 따라서 모르-마스케로니 정리의 증명에서는 직선은 임의의 두 점에 의해 주어진 것으로 간주하며, 이 두 점은 유일한 직선 하나를 결정한다. 정리의 증명 과정에서 실제로 직선을 그릴 필요는 없지만, 이해를 돕거나 시각적인 표현을 위해 그릴 수도 있다.

3. 2. #3. 평행하지 않은 두 직선의 교점

모르-마스케로니 정리를 증명하기 위해서는 자(도구)와 컴퍼스 작도의 기본 작도 5가지가 컴퍼스만으로 가능한지 보여야 한다. 이 5가지 기본 작도는 다음과 같다.

# 두 개의 기존 점을 지나는 선 만들기

# 한 점을 지나고 다른 점을 중심으로 하는 원 만들기

# 두 개의 기존의 평행하지 않은 선의 교차점인 점 만들기# 선과 원의 교차점에서의 한 개 또는 두 개의 점 만들기 (만약 교차한다면)

# 두 원의 교차점에서의 한 개 또는 두 개의 점 만들기 (만약 교차한다면)

직선(#1)은 두 점으로 정의되고, 원(#2)과 두 원의 교점(#5)은 컴퍼스만으로 직접 작도 가능하다. 따라서 모르-마스케로니 정리를 증명하기 위해서는 평행하지 않은 두 직선의 교점 작도(#3)와 원과 직선의 교점 작도(#4)가 컴퍼스만으로 가능하다는 것을 보이는 것이 핵심 과제이다.^[12] 구체적인 작도 방법은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

3. 2. 1. 선분의 중점

선분 AB가 주어졌을 때, 컴퍼스만을 사용하여 선분 AB의 중점을 찾는 과정은 다음과 같다.

# 점 A를 중심으로 하고 점 B를 지나는 원 c와, 점 B를 중심으로 하고 점 A를 지나는 원 d를 그린다.

# 원 c와 원 d의 두 교점을 각각 점 C, D라고 한다.

# 점 C를 중심으로 하고 점 D를 지나는 원호를 그려 원 d와의 교점을 점 E라고 한다.

# 점 E를 중심으로 하고 점 A를 지나는 원호를 그려 원 c와의 교점을 점 F, G라고 한다.

# 점 F와 점 G를 각각 중심으로 하고 점 A를 지나는 두 원을 그린다. 이 두 원의 교점 중 점 A가 아닌 다른 교점을 점 H라고 하면, 이 점 H가 바로 선분 AB의 중점이다.

참고로, 위의 3번 과정에서 만들어지는 점 E에 대해, 선분 AE의 길이는 선분 AB 길이의 두 배가 된다.

3. 2. 2. 평행하지 않은 두 직선의 교점

컴퍼스만으로 평행하지 않은 두 직선의 교점을 구하는 것은 가능하다. 이를 위해서는 선분의 중점을 작도하고, 주어진 길이

a, b

에 대해

a^2 = bc

를 만족하는 길이

c

를 구할 수 있어야 한다.

한 가지 방법은 대칭과 수선의 발을 이용하는 것이다. 평행하지 않은 두 직선 AB와 CD가 주어졌다고 하자.

# 점의 직선에 대한 대칭점 작도와 선분의 중점 작도를 이용하여 점 C에서 직선 AB에 내린 수선의 발 E를 작도한다.

# 마찬가지로 점 E에서 직선 CD에 내린 수선의 발 F를 작도한다.

# 두 직선 AB와 CD의 교점을 G라고 하고, 선분 CE의 길이를

a

, 선분 CF의 길이를

b

라 하면, 선분 CG의 길이

c

는

a^2 = bc

라는 관계를 만족한다.

#

a^2 = bc

를 만족하는 길이

c

를 구하는 작도를 이용하여 선분 CG의 길이를 구한다.

# 중심이 C이고 반지름이

c

인 원을 그린다.

# 앞서 설명된 원과 직선의 교점 작도 방법을 이용하여, 이 원과 직선 AB의 교점 G를 작도할 수 있다. 이 점 G가 두 직선 AB와 CD의 교점이다.

다른 방법으로는 반전 기하학을 이용할 수 있다.^[12]

두 개의 평행하지 않은 직선

\overline{AB}

와

\overline{CD}

가 주어졌을 때, 이들의 교점

X

를 찾는 과정은 다음과 같다.

# 임의의 반지름

r

을 갖는 원(중심

O

)을 선택한다. 단, 중심

O

는 두 직선 위에 있지 않아야 한다.

# 이 원(중심

O

, 반지름

r

)에 대해 점

A

와

B

를 각각 점

A'

와

B'

로 반전시킨다.

# 직선

\overline{AB}

는 점

O, A', B'

를 지나는 원으로 반전된다. 이 원의 중심

E

를 찾는다.

# 같은 원(중심

O

, 반지름

r

)에 대해 점

C

와

D

를 각각 점

C'

와

D'

로 반전시킨다.

# 직선

\overline{CD}

는 점

O, C', D'

를 지나는 원으로 반전된다. 이 원의 중심

F

를 찾는다.

# 점

Y

(

O

가 아닌 점)를 중심이

E

이고 점

O

를 지나는 원과 중심이

F

이고 점

O

를 지나는 원의 교점으로 정한다.

# 점

X

는 처음 사용한 원(중심

O

, 반지름

r

)에 대한 점

Y

의 역이다. 이 점

X

가 바로 두 직선

\overline{AB}

와

\overline{CD}

의 교점이다.

3. 3. #4. 원과 직선의 교점

모르-마스케로니 정리는 자(도구)와 컴퍼스 작도로 가능한 모든 작도는 컴퍼스만으로도 가능하다는 것을 증명하는 정리이다. 이 정리를 증명하기 위해서는 자와 컴퍼스의 다섯 가지 기본 작도, 즉

# 두 점을 지나는 직선 만들기

# 한 점을 중심으로 하고 다른 한 점을 지나는 원 만들기

# 평행하지 않은 두 직선의 교점 만들기

# 원과 직선의 교점 만들기 (교점이 존재할 경우)

# 두 원의 교점 만들기 (교점이 존재할 경우)

가 컴퍼스만으로 가능하다는 것을 보여야 한다.

이 중 #2(원 그리기)와 #5(두 원의 교점 찾기)는 컴퍼스만으로 직접 수행할 수 있다. #1(직선 만들기)의 경우, 직선 자체를 그릴 수는 없지만, 직선을 정의하는 두 점을 컴퍼스로 결정할 수 있다면 충분하다. 따라서 증명의 핵심은 #3(두 직선의 교점 찾기)과 #4(원과 직선의 교점 찾기)가 컴퍼스만으로 가능하다는 것을 보이는 것이다.

여기서 다루는 원과 직선의 교점 찾기(#4)는 컴퍼스만으로 작도 가능하다. 이 작도는 원의 중심이 주어진 직선 위에 있는지 여부에 따라 다른 접근 방식이 필요할 수 있으며, 경우에 따라 원의 중심을 찾는 작도가 선행되어야 할 수도 있다. 컴퍼스만으로 원과 직선의 교점을 찾는 구체적인 방법은 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

이처럼 원과 직선의 교점을 찾는 기본 작도가 컴퍼스만으로 가능하다는 사실은, 자와 컴퍼스를 이용한 기하학 작도의 기본적인 단계를 컴퍼스만으로 대체할 수 있음을 보여주며, 이는 모든 유클리드 기하학 작도가 컴퍼스만으로 가능하다는 모르-마스케로니 정리의 증명에서 중요한 부분을 차지한다.

3. 3. 1. 원의 중심

컴퍼스만으로 원과 직선의 교점을 구하기 위해서는, 주어진 원의 중심을 컴퍼스만으로 찾을 수 있어야 한다.^[9]

중심이 아직 구해지지 않은 원 C가 있고, 점 A는 원 C 위의 임의의 점이라고 가정하자. 컴퍼스만을 이용하여 원 C의 중심 O를 찾는 과정은 다음과 같다.

# 점 A를 중심으로 하고 원 C와 점 B, B'에서 만나는 원 C₁을 그린다.

# 점 B와 B'를 각각 중심으로 하고 반지름이 AB와 같은 원 C₂를 두 개 그린다. 이 두 원은 점 A와 새로운 점 C에서 만난다.

# 점 C를 중심으로 하고 반지름이 AC와 같은 원 C₃를 그린다. 이 원은 원 C₁과 두 점 D, D'에서 만난다.

# 점 D와 D'를 각각 중심으로 하고 반지름이 AD와 같은 원 C₄를 두 개 그린다. 이 두 원은 점 A와 새로운 점 O에서 만난다.

이렇게 찾은 점 O가 바로 원 C의 중심이다.

3. 3. 2. 원과 직선의 교점

컴퍼스만을 이용하여 원과 직선의 교점을 구하는 과정. 원 ''C''(''r'')과 직선 ''AB''가 주어졌을 때, 중심 ''C''를 직선 ''AB''에 대해 대칭시킨 점 ''D''를 찾고, ''D''를 중심으로 반지름 ''r''인 원 ''D''(''r'')을 그린다. 두 원의 교점 ''P'', ''Q''가 원과 직선의 교점이다.

모르-마스케로니 정리에 따르면 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 점은 컴퍼스만으로도 작도할 수 있다. 자와 컴퍼스를 이용한 작도에서 새로운 점은 다음 세 가지 방법 중 하나로 찾아진다.

# 두 원의 교점

# 원과 직선의 교점

# 두 직선의 교점

이 정리의 증명 과정에서 '원과 직선의 교점' 역시 컴퍼스만으로 찾는 것이 가능함을 보인다. 컴퍼스만을 사용하여 원과 직선의 교점을 구하는 방법은 원의 중심이 주어진 직선 위에 있는지 여부에 따라 나뉘는데, 여기서는 원의 중심이 직선 위에 있지 않은 경우를 설명한다.^[13]^[3]
작도 과정 (원의 중심이 직선 위에 있지 않은 경우)

주어진 것: 원 ''C''(''r'') (중심 ''C'', 반지름 ''r'')과 두 점 ''A'', ''B''로 정의되는 직선 ''AB''.
목표: 원 ''C''(''r'')과 직선 ''AB''의 교점 ''P''와 ''Q''를 컴퍼스만으로 작도한다 (교점이 존재할 경우).

1. 점 ''D''를 작도한다. 점 ''D''는 원의 중심 ''C''를 직선 ''AB''에 대해 대칭시킨 점이다. (컴퍼스만으로 점의 대칭점을 찾는 것은 가능하다.)

2. 점 ''D''를 중심으로 하고 반지름이 ''r''인 원 ''D''(''r'')을 작도한다.

3. 원 ''C''(''r'')과 새로 그린 원 ''D''(''r'')의 교점을 찾는다. 이 교점들이 원 ''C''(''r'')과 직선 ''AB''의 교점인 ''P''와 ''Q''이다.

만약 두 원 ''C''(''r'')과 ''D''(''r'')이 한 점에서 접하면(외부 접선), 교점은 하나이며(P=Q) 직선 ''AB''는 원 ''C''(''r'')에 접한다.
만약 두 원이 만나지 않으면, 원 ''C''(''r'')과 직선 ''AB''도 만나지 않는다.

원에서의 반전을 이용한 대체 작도 과정^[12]

주어진 것: 원 ''C''(''r'')과 직선 ''AB''.
목표: 교점 ''P''와 ''Q''를 작도한다.

1. 직선 위의 두 점 ''A''와 ''B''를 원 ''C''(''r'')에 대해 원에서의 반전시켜 각각 점 ''A''′와 ''B''′를 얻는다.

2. 점 ''C'', ''A''′, ''B''′ 세 점을 지나는 원의 중심 ''E''를 찾는다. (세 점을 지나는 원의 중심은 컴퍼스만으로 작도 가능하다.)

3. 점 ''E''를 중심으로 하고 점 ''C''를 지나는 원 ''E''(''C'')를 작도한다. 이 원은 직선 ''AB''를 원 ''C''(''r'')에 대해 반전시킨 결과이다.

4. 원 ''C''(''r'')과 원 ''E''(''C'')의 교점을 찾는다. 이 교점들이 바로 ''P''와 ''Q''이다.^[14]

만약 두 원 ''C''(''r'')과 ''E''(''C'')이 한 점에서 접하면(내부 접선), 교점은 하나이며(P=Q) 직선 ''AB''는 원 ''C''(''r'')에 접한다.

이처럼 원과 직선의 교점을 컴퍼스만으로 찾는 것이 가능하다는 사실은, 자와 컴퍼스로 수행되는 기본적인 작도 단계 중 하나를 컴퍼스만으로 대체할 수 있음을 보여준다. 이는 모든 유클리드 기하학 작도가 컴퍼스만으로 가능하다는 모르-마스케로니 정리를 뒷받침하는 핵심적인 부분이다.

4. 다른 제한된 작도

모르-마스케로니 정리를 증명하기 위해서는 자와 컴퍼스 작도의 기본적인 다섯 가지 작도가 컴퍼스만으로도 가능하다는 것을 보여야 한다. 이 기본 작도들은 다음과 같다.

# 두 점을 지나는 직선의 결정

# 한 점을 중심으로 하고 다른 한 점을 지나는 원의 작도

# 평행하지 않은 두 직선의 교점 찾기

# 원과 직선의 교점 찾기 (교점이 존재하는 경우)

# 두 원의 교점 찾기 (교점이 존재하는 경우)

이 중 직선을 그리는 작도(#1)는 자가 없이는 불가능하므로, 모르-마스케로니 정리에서는 직선을 물리적으로 그리는 대신, 직선을 결정하는 두 개의 점을 찾는 것으로 간주한다. 원을 그리는 작도(#2)와 두 원의 교점을 찾는 작도(#5)는 컴퍼스만으로 직접 수행할 수 있다. 따라서 증명의 핵심은 두 직선의 교점을 찾는 작도(#3)와 원과 직선의 교점을 찾는 작도(#4)가 컴퍼스만으로 가능하다는 것을 보이는 데 있다.

4. 1. 컴퍼스 관련 제한

원을 다른 중심으로 옮겨 복사하는 능력은 컴퍼스 작도 증명에서 매우 중요하며, 정리의 핵심 기반이 된다. 같은 반지름을 유지하며 다른 중심에 원을 그리는 것은 접히는 컴퍼스와 현대적인 뻣뻣한 컴퍼스를 구별하는 핵심 특징이다. 뻣뻣한 컴퍼스로는 간단하지만, 접히는 컴퍼스로는 작도 가능성의 문제가 된다. 유클리드는 《원론》 제1권 명제 2에서 자와 접히는 컴퍼스를 사용하여 다른 중심을 가진 원의 복사본을 구성함으로써, 접히는 컴퍼스와 뻣뻣한 컴퍼스가 등가임을 증명했다. 이 등가성은 컴퍼스만으로도 증명될 수 있으며, 이는 컴퍼스 동치 정리에서 다룬다. 르네상스 시대의 수학자 로도비코 페라리, 제롤라모 카르다노, 니콜로 폰타나 타르탈리아 등은 16세기에 눈금 없는 자와 폭이 고정된 컴퍼스(녹슨 컴퍼스)만으로도 모든 자와 컴퍼스 작도가 가능함을 증명했다.^[16]

컴퍼스 동치 정리에 따르면, 모든 자와 컴퍼스 작도는 현대적인 컴퍼스(뻣뻣한 컴퍼스) 대신, 일단 종이에서 들어 올리면 접혀서 반지름 정보를 잃는 "접이식 컴퍼스"만으로도 수행할 수 있다. 따라서 접이식 컴퍼스는 거리를 직접 옮기는 데 사용할 수 없다. 유클리드의 원래 작도에서도 접이식 컴퍼스가 가정되었다. 접이식 컴퍼스를 사용하여 원을 다른 위치로 옮기는 작도는 뻣뻣한 컴퍼스를 사용할 때보다 세 배 더 많은 단계를 필요로 한다.

실제 도구는 아니지만 추상적인 개념으로서 컴퍼스의 변형인 네우시스 도구도 연구되었다. 이 중 ''사이클로스''는 컴퍼스와 유사하게 원을 그리지만, 중심과 반지름 대신 지름을 정의하는 두 점 또는 호를 정의하는 세 개의 비공선 점을 사용하여 원을 그리는 가상의 도구이다. 어떤 경우든 사이클로스는 한 번의 사용으로 완전한 원을 그릴 수 있다. 사이클로스는 작도 능력 면에서 컴퍼스와 동등한 것으로 밝혀졌다.

4. 2. 자 관련 제한 (퐁슬레-슈타이너 정리)

모르-마스케로니의 결과에 영감을 받아, 1822년 장 빅토르 퐁슬레는 같은 주제에 대한 변형을 추측했다. 그의 연구는 사영 기하학 분야의 길을 열었으며, 그는 자와 컴퍼스 작도로 가능한 모든 작도는 자만으로도 할 수 있다고 제안했다. 단, 중심이 식별된 단일 원이 제공되어야 한다는 조건이 있었다. 이 명제는 현재 퐁슬레-슈타이너 정리로 알려져 있으며, 11년 후 야코프 슈타이너에 의해 증명되었다.

프란체스코 세베리가 1904년에 제시한 증명은 하나의 완전한 원이 제공되어야 하는 요구 사항을 완화하여, 중심이 여전히 제공되는 한 원의 작은 호라도 충분하다는 것을 보여준다.^[17]

또한, 호의 일부 대신 중심 자체를 생략할 수 있으며, 두 번째 동심원, 두 번째 교차 원, 또는 평면에 있는 세 번째 원과 같이 충분한 다른 것으로 대체할 수 있다. 또는, 교차하지도 동심원도 아닌 두 번째 원이 주어지고, 그들 사이의 중심선 또는 근축선 위의 점이 주어지거나 평면에 두 개의 평행선이 존재하는 경우에도 충분하다. 중심이 없는 단일 원도 적절한 상황에서는 충분할 수 있으며, 다른 고유한 조건이 존재할 수 있다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적 Euclides Danicus Jacob van Velsen
_[3] 서적
_[4] 간행물 Om et af den danske matematiker Georg Mohr udgivet skrift Euclides Danicus, udkommet i Amsterdam i 1672
_[5] 간행물 Om Georg Mohr's Euclides Danicus
_[6] 서적 La Geometria del Compasso https://books.google[...] Pietro Galeazzi
_[7] 서적
_[8] 논문 On strict strong constructibility with a compass alone https://link.springe[...]
_[9] 서적
_[10] 서적
_[11] 서적
_[12] 서적
_[13] 서적
_[14] 문서
_[15] 서적
_[16] 서적 Historical Topics for the Mathematics Classroom National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)
_[17] 서적
_[18] 서적 Euclides Danicus Jacob van Velsen
_[19] 간행물 Om et af den danske matematiker Georg Mohrudgivet skrift Euclides Danicus, udkommet i Amsterdam i 1672
_[20] 간행물 Om Georg Mohr's Euclides Danicus
_[21] 서적 La Geometria del Compasso Pietro Galeazzi

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