부정 (논리학)

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1. 개요

부정(Negation)은 논리학에서 명제의 참/거짓 값을 반전시키는 단항 연산이다. 고전 논리에서 참인 명제는 거짓으로, 거짓인 명제는 참으로 바뀐다. 부정은 다양한 기호(¬, ~, -, ′ 등)로 표기되며, 다른 논리 연산을 사용하여 정의될 수 있다. 또한, 드 모르간의 법칙, 이중 부정, 선형성, 자기 쌍대성, 양화사 부정 등 다양한 성질을 가진다. 자연 언어에서 부정은 문장 부정과 구성소 부정으로 나뉘며, 언어에 따라 다양한 방식으로 표현된다. 컴퓨터 과학과 프로그래밍 언어에서도 논리적 부정은 중요한 개념으로 사용된다.

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부정 (논리학)
논리
유형	단항 연산
입력	명제 (x)
출력	참/거짓 (명제 x가 참이면 거짓, 거짓이면 참)
기호	¬x, ~x, !x, x', x̄
진리표	x가 참일 때 ¬x는 거짓, x가 거짓일 때 ¬x는 참
논리 회로	NOT 게이트
대수적 표현	1 + x (mod 2)
언어학
기능	문장의 의미를 반전시킴
예시	그는 학생이다의 부정은 그는 학생이 아니다이다.
철학
의미	존재론적 부정, 윤리적 부정 등 다양한 의미를 가짐
수학
집합론	여집합
명제 논리	논리 부정
컴퓨터 과학
프로그래밍	조건문의 반전, 비트 연산에서의 반전 등
기타
관련 개념	이중 부정, 드 모르간의 법칙

2. 정의

'''고전적 부정'''은 하나의 논리값, 일반적으로 명제의 값을 대상으로 하는 연산으로, 피연산자가 거짓일 때 '참' 값을, 피연산자가 참일 때 '거짓' 값을 생성한다. 따라서 명제 P가 참이라면 ¬P ( "not P"로 발음)는 거짓이 되며, 반대로 ¬P가 참이라면 P는 거짓이 된다.

예를 들어

"내 키는 160cm 이상이다"

라는 명제의 부정은

"내 키는 160cm 미만이다"

이다.

다른 논리 연산과 다르게, 대상이 되는 명제가 하나라서 단항 연산인 것을 알 수 있다.

부정은 다른 논리 연산을 사용하여 정의할 수 있다. 예를 들어, ¬P는 P → ⊥로 정의될 수 있다 (여기서 →는 논리적 귀결을 나타내고 ⊥는 절대적 허위를 나타낸다). 반대로, 임의의 명제 Q에 대해 ⊥를 Q ∧ ¬Q로 정의할 수 있다 (여기서 ∧는 논리곱을 나타낸다). 여기서 아이디어는 모든 모순이 거짓이며, 이러한 아이디어는 고전 논리와 직관주의 논리 모두에서 작동하지만, 모순이 반드시 거짓인 것은 아닌 비일관 논리에서는 작동하지 않는다. 또 다른 예로, 부정은 NAND를 사용하여 정의할 수 있으며 NOR를 사용하여 정의할 수도 있다.

대수적으로, 고전적 부정은 부울 대수에서의 여집합에 해당하며, 직관주의적 부정은 헤이팅 대수에서의 의사 여집합에 해당한다. 이러한 대수들은 고전 논리와 직관주의 논리에 대한 의미론을 제공한다.

2. 1. 진리표

P	¬P
참	거짓
거짓	참

3. 표기법

명제 *P*의 부정은 ¬*P*, ~*P*, *P*′, -*P* 등 다양한 기호로 표현된다.^[5] 부정은 단항 연산이다.

표기법	발음
¬p	not p
~p	not p
-p	not p
p′	p 프라임^영어, p 보수^영어
\overline{p}	p 바^영어, 바 p
!p	뱅 p^영어, not p

3. 1. 논리학

논리학에서 명제 ''p''의 부정은 다양한 방식으로 표기된다.

표기법	읽는 법
¬p	not p,^[5] p의 부정, p가 아님
−p	p 바
~p	not p, 틸다 p
p′	p 프라임
\overline{p}	p 바, 바 p
!p	not p, bang p

$Np$ 표기법은 폴란드 표기법이다.

집합론에서 $\setminus$ 기호는 '집합에 없음'을 나타내는 데 사용된다. $U \setminus A$ 는 집합 ''U''의 원소 중 집합 ''A''의 원소가 아닌 모든 원소의 집합을 의미한다.

표기법이나 기호화에 관계없이 부정 $\neg p$ 는 "''p''가 아닌 경우", "''p''가 아님", 또는 일반적으로 간단하게 "not ''p''"로 읽을 수 있다.

3. 2. 전자공학

전자공학에서 A의 부정은

\overline{A}

와 같이 윗줄을 그어 표기한다.^[5]

3. 3. 프로그래밍 언어

C, C++, Java, JavaScript 등에서는 '!'를 사용하여 논리 부정을 나타낸다.^[5] 반면, ALGOL 60, BASIC, 파스칼 등에서는 'NOT'을 사용한다.^[5]

C 계열 언어에서 이중 부정 ( `!!x` )은 `x`를 정수 0 또는 1의 값을 갖는 표준 부울로 변환하는 관용구로 사용된다.^[7]

Perl에서는 `!`나 `not`으로 표시되며, 다음과 같이 사용된다.

: `if (!$f) {}`

: `if (not $f) {}`

Scheme에서는 `not`으로 표시되며, 다음과 같이 사용된다.

: `(not s)`

: `(map not (map odd? lst))`

4. 성질

부정은 다른 논리 연산과 결합하여 다양한 논리식을 구성하는 데 사용된다. 부정은 대상이 되는 명제가 하나뿐인 단항 연산이다. 예를 들어, NAND나 NOR를 사용하여 부정을 정의할 수 있다.

대수적으로 고전적 부정은 부울 대수에서 여집합에 해당하며, 직관주의적 부정은 헤이팅 대수에서의 의사 여집합에 해당한다.

드 모르간의 법칙은 분배 법칙을 사용하여 선언과 논리적 결합에 부정을 분배하는 방법을 제공한다.^[3]

$\neg(P \lor Q) \equiv (\neg P \land \neg Q)$
$\neg(P \land Q) \equiv (\neg P \lor \neg Q)$ ^[3]

부울 대수에서 부정은 선형 논리 연산자이며, 자기 자신의 쌍대 논리 연산이다.

4. 1. 이중 부정

고전 논리 체계에서 이중 부정, 즉 명제 ''P''의 부정의 부정은 ''P''와 논리적 동치이다. 기호로 표현하면 ¬¬''P'' ≡ ''P''이다. 직관 논리에서는 명제가 자신의 이중 부정을 함축하지만, 그 반대는 성립하지 않는다. 이것은 고전 논리와 직관 논리의 중요한 차이점 중 하나이다. 대수적으로, 고전 부정은 주기 2의 대합이라고 불린다.

하지만, 직관 논리에서는 더 약한 동치 ¬¬¬''P'' ≡ ¬''P''가 성립한다. 이는 직관 논리에서 ¬''P''가 단순히 ''P'' → ⊥의 축약형이며, ''P'' → ¬¬''P''가 성립하기 때문이다. 마지막 함축과 삼중 부정 ¬¬''P'' → ⊥을 결합하면 ''P'' → ⊥이 함축된다.

결과적으로 명제적인 경우, 어떤 문장의 이중 부정이 직관적으로 증명 가능하다면 그 문장은 고전적으로 증명 가능하다. 이 결과는 글리벤코 정리로 알려져 있다.

4. 2. 분배 법칙

드 모르간의 법칙은 분배 법칙을 사용하여 선언과 논리적 결합에 부정(否定)을 분배하는 방법을 제공한다.^[3]

$\neg(P \lor Q) \equiv (\neg P \land \neg Q)$
$\neg(P \land Q) \equiv (\neg P \lor \neg Q)$ ^[3]

4. 3. 선형성

부울 대수에서 선형 함수는 다음과 같다.

: 만약

a_0, a_1, \dots, a_n \in \{0,1\}

가 존재하고,

:

f(b_1, b_2, \dots, b_n) = a_0 \oplus (a_1 \land b_1) \oplus \dots \oplus (a_n \land b_n)

일 때,

: 모든

b_1, b_2, \dots, b_n \in \{0,1\}

에 대해 성립한다.

여기서

\oplus

는 배타적 논리합 연산을,

\land

는 논리적 연언을 나타낸다. 이를 다르게 표현하면 각 변수가 항상 연산의 진리값에 영향을 주거나 전혀 영향을 주지 않는다는 것이다. 부정은 선형 논리 연산자이다.

4. 4. 자기 쌍대성

부울 대수에서 자기 쌍대 함수는 모든

a_1, \dots, a_n \in \{0,1\}

에 대해

f(a_1, \dots, a_n) = \neg f(\neg a_1, \dots, \neg a_n)

를 만족하는 함수이다. 부정은 자기 자신의 쌍대 논리 연산이다.

4. 5. 양화사 부정

일차 논리에는 두 가지 양화사가 있는데, 하나는 전칭 양화사

\forall

("모든 것에 대해"를 의미)이고 다른 하나는 존재 양화사

\exists

("존재한다"를 의미)이다. 한 양화사의 부정은 다른 양화사이다(

\neg \forall xP(x)\equiv\exists x\neg P(x)

및

\neg \exists xP(x)\equiv\forall x\neg P(x)

). 예를 들어, 술어 ''P''를 "''x''는 죽는다"로 하고, x의 영역을 모든 인간의 집합으로 하면,

\forall xP(x)

는 "모든 인간 x는 죽는다" 또는 "모든 인간은 죽는다"를 의미한다. 이것의 부정은

\neg \forall xP(x)\equiv\exists x\neg P(x)

이며, "모든 인간 중 죽지 않는 사람 ''x''가 존재한다" 또는 "영원히 사는 사람이 존재한다"를 의미한다.

5. 추론 규칙

자연 연역 설정에서 고전적인 부정을 공식화하는 일반적인 방법은 ''부정 도입''( $P$ 에서 $Q$ 와 $\neg Q$ 모두를 유도하여 $\neg P$ 를 추론, 이 규칙은 ''귀류법''이라고도 함), ''부정 제거''( $P$ 와 $\neg P$ 에서 $Q$ 를 추론, 이 규칙은 ''무에서 유추론''이라고도 함) 및 ''이중 부정 제거''( $\neg \neg P$ 에서 $P$ 를 추론)를 기본 추론 규칙으로 삼는 것이다. 이중 부정 제거를 제외하면 직관적인 부정에 대한 규칙을 동일한 방식으로 얻을 수 있다.

부정 도입은 $P$ 로부터 부조리가 결론으로 도출될 수 있다면 $P$ 가 사실일 수 없음을 (즉, $P$ 는 고전적으로는 거짓이고, 직관적으로는 반증 가능하며, 등) 말한다. 부정 제거는 부조리에서 무엇이든 따라온다고 말한다. 때로는 부정 제거가 기본 부조리 기호 $\bot$ 을 사용하여 공식화된다. 이 경우 규칙은 $P$ 와 $\neg P$ 로부터 부조리가 따른다고 말한다. 이중 부정 제거와 함께, 원래 공식화된 규칙, 즉 부조리에서 무엇이든 따라온다는 것을 추론할 수 있다.

일반적으로 $P$ 의 직관적 부정 $\neg P$ 는 $P \rightarrow \bot$ 로 정의된다. 그러면 부정 도입 및 제거는 함축 도입 (조건적 증명) 및 제거 (''전건 긍정의 규칙'')의 특수한 경우일 뿐이다. 이 경우 ''무에서 유추론''을 기본 규칙으로 추가해야 한다.

6. 전칭 부정과 부분 부정

어떤 대상에 관한 명제에서, 대상 전체에 관한 부정을 '''전칭 부정''', 일부에 관한 부정을 '''부분 부정'''이라고 한다. 이는 술어 논리에서 다음과 같이 표현된다.

'''전칭 부정'''
모든 ''x''에 대해, 「''A''(''x'')가 아니다」 또는 「절대로 ''A''(''x'')가 아니다」
모든 ''x''에 대해, 명제 ''A''(''x'')의 부정을 주장하는 명제.

'''부분 부정'''
「「모든 ''x''에 대해 ''A''(''x'')이다」라는 것은 아니다」 또는 「반드시 ''A''(''x'')인 것은 아니다」
「모든 ''x''에 대해 명제 ''A''(''x'')가 참이다」라는 명제를 부정하는 명제.

이들은 술어 논리에 관한 드 모르간의 법칙에 의해 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

'''전칭 부정'''
모든 ''x''에 대해 ¬ ''A''(''x'') = ¬ ∃ ''x'' ''A''(''x'')

'''부분 부정'''
¬ 모든 ''x''에 대해 ''A''(''x'') = ∃ ''x'' ¬ ''A''(''x'')

즉, 전칭 부정 「모든 ''x''에 대해, 「''P''(''x'')가 아니다」」는 「「어떤 ''x''에 대해 ''P''(''x'')이다」라는 것은 아니다」라고 바꿔 말할 수 있으며, 부분 부정 「「모든 ''x''에 대해 ''P''(''x'')이다」라는 것은 아니다」는 「어떤 ''x''에 대해서는 「''P''(''x'')가 아니다」」라고 바꿔 말할 수 있다.

전칭 부정 명제의 부정은 부분 긍정, 부분 부정 명제의 부정은 전칭 긍정이다.

7. 자연 언어에서의 부정

자연 언어에서 부정은 극성 표현의 일종이다. 부정을 나타내는 언어 표현은 문장 부정과 구성소 부정으로 나뉜다.^[1]

문장 부정은 술어에 부정 표지를 붙여 부정 명제를 표현하는 방식이고, 구성소 부정은 술어 이외의 구성 요소에 부정 표지를 붙여 부정 명제를 표현하는 방식이다. 문장 부정과 구성소 부정은 거의 같은 의미를 나타낼 수 있지만, 문장 부정이 더 일반적이다.^[1]

7. 1. 문장 부정

자연 언어에서 부정은 극성 표현의 일종이다. 문장 부정은 영어의 "do not have a pen."이나 한국어의 "나는 펜을 가지고 있지 않다."와 같이, 술어에 부정 표지를 부여함으로써 부정 명제를 표현하는 방법이다.^[1]

7. 2. 구성소 부정

구성소 부정은 술어 이외의 구성소에 부정 표지를 부여함으로써 부정 명제를 표현하는 방법으로, 영어의 'I have no pens.'와 같은 예가 있다. 한국어에서는 "'''없는''' 손목을 잡는다"와 같이 수식어를 부정해도 ("손목을 잡지 않는다"는 의미가 되지 않으므로) 부정문이 되지 않는다.^[1]

7. 3. 어형 변화에 의한 부정 표현

술어의 형태를 변화시켜 부정을 나타낸다. 예를 들어 일본어 동사의 부정에서는 부정 접미사가 사용되며, 페르시아어에서는 접두사가 사용된다.

{| class="wikitable"

|+ 어형 변화에 의한 부정의 예

|-

! 접두사 (페르시아어)

! 접미사 (일본어)

|-

|

نخرم
na-	xar	-am
NEG-	사다	-1SG
「나는 사지 않는다」

|

買わない
kaw	-ana	-i
사다	-NEG	-NPST

|}

다른 굴절 요소와 융합되어 있는 경우도 있다. 예를 들어 나나이어에서는 부정절에서 특별한 시제 표지를 사용한다.

{| class="wikitable"

|+ 어형 변화에 의한 부정의 예 (나나이어)

|-

! 긍정·현재

! 긍정·과거

! 부정·현재

! 부정·과거

|-

|

xola	-j	-si
읽다	-PRS	-2SG
「당신은 읽고 있다」

|

xola	-xa	-si
읽다	-PST	-2SG
「당신은 읽고 있었다」

|

xolā	-si	-si
읽다	-NEG.PRS	-2SG
「당신은 읽고 있지 않다」

|

xolā	-ci	-si
읽다	-NEG.PST	-2SG
「당신은 읽고 있지 않았다」

|}

일반적으로는 문법적인 법의 일종으로서 '부정법'으로 여겨진다.

또한 부정형이 긍정형과 전혀 다른 형태를 하고 있는 경우도 있다. 예를 들어 일본어 '있다'-'없다' 등이 있다 (문어체나 간사이벤은 '아라즈', '아라헨'이라는 부정형을 사용한다).

일본어에서는 동사에 대해서는 미연형에 조동사 '않다'・'지 않다'가 접속된 형태로 부정한다. '않다'・'지 않다'는 독립성이 없는 접미사로 생각하는 것이 적절하다 (조사 '는'이 개입한 경우 '*쓰-는-않다'가 아닌 '쓰-는-하지 않다'라고 한다). 한편 형용사·형용동사의 부정에는 '않다'를 사용하지만, 이것은 학교 문법에서는 조동사가 아닌 보조형용사라고 부르며, '붉게-는-않다'와 같이 독립성이 있으며, 또한 이 '않다'에는 본래의 의미가 남아 있다('않다'를 긍정형인 '있다'로 바꿔 '붉게는 있다'라고 할 수도 있다).

이 외에도, 동사나 형용사를 단독으로 부정할 수 없고 '…라는 것은 없다'와 같이 문(절)을 부정하는 언어도 있다.

7. 4. 다양한 부정

시제・상・무드 등에 따라 다른 부정의 불변화사나 접사를 사용하는 언어도 있다. 예를 들어, 부정의 명령문(금지)에 부정 평서문과 다른 수단을 사용하는 언어나, 존재의 부정에 특별한 방법을 가지고 있는 언어가 많이 있다.

베이징 관화의 무표적 부정・존재 부정・금지의 예
무표적 부정	존재 부정	금지
他不喝酒\|tā bu hē jiǔ\|타 부 허 주^중국어 그는 술을 마시지 않는다.	他没有哥哥\|tā méi yǒu gēge\|타 메이 여우 거거^중국어 그는 형이 없다.	別走\|bié zǒu\|비에 저우^중국어 가지 마!

7. 5. 부정 표현의 역사적 변화

몇몇 언어에서 부정 표현이 역사적으로 다음과 같은 일정한 경향으로 변화하는 것이 알려져 있으며, 발견자인 예스페르센을 기려 예스페르센 주기라고 불린다.

# 부정은 부정 표지로 표현된다.

# 부정 표지가 약화되고, 강조 부사가 덧붙여진다.

# 강조 부사가 의무화(강조의 의미는 희석화)되어 부정 부사로 변화하고, 부정은 두 단어로 표현되게 된다.

# 부정 표지와 부사가 떨어져 있는 경우에는, 부정은 부정 부사로 표현되고, 원래의 부정 표지는 임의가 된다. 부정 표지와 부사가 인접하는 경우에는, 부정 표지와 부사가 융합된다.

# 부정은 부정 부사(또는 융합형)만으로 표현된다.

# 부정 부사(또는 융합형)가 부정 표지로 사용된다.

# 1로 돌아간다.

이것이 전형적으로 보이는 것은 프랑스어이다. 현대 문어에서는 원래의 부정사 ne와, 원래는 강조를 위해 추가된 부사 pas로 동사구를 감싼다. 그러나 구어에서는 ne를 생략하고 pas만으로 부정을 나타내는 것이 보통이다. 즉, 현대 프랑스어는 3에서 5단계에 있다. (프랑스어 부정문 참조). 영어의 부정사 not, 독일어의 nicht 등은 원래는 부정 표지와 강조 부사의 융합형이며, 즉 5단계에 있다.

또한 이 외에도, 부정의 강조 표현이 통상적인 부정 표현으로 사용되게 된 예는 많은 언어에서 찾아볼 수 있다. 예를 들어 영어의 "do not 동사" 구문(과거에는 동사 뒤에 not을 붙이기만 하면 되었다), 긴키 방언의 조동사 "헨"("･･･하지 않다"에서 유래) 등.

8. 도덕에서의 부정

일상생활에서 사용되는 부정은 논리적인 부정과는 다르며, 결론만 가지고 다투는 비방이나 중상으로 이어질 수 있다. 논증이 존재하지 않기 때문에, 상대를 꺾을 목적으로 중상하며 궤변으로 변질된다. 결론만을 말할 뿐, 왜 그런 결론에 도달했는지에 대한 답변은 폭력적이거나 상대에게 해를 가하는 내용이 많다. 논리 형성 없이 상대의 험담을 하기 때문에, 철학에서의 "부정"은 정당한 논증이 반드시 필요하며, 이것은 산술과는 다른 부정이다.^[1]

참조

_[1] 문서 Virtually all Turkish high school math textbooks use p' for negation due to the books handed out by the Ministry of National Education representing it as p'.
_[2] 웹사이트 Negation https://mathworld.wo[...] 2020-09-02
_[3] 웹사이트 Logic and Mathematical Statements - Worked Examples https://www.math.tor[...] 2020-09-02
_[4] 서적 Logic: the basics Routledge 2010
_[5] 학술지 The circuit value problem is log space complete for P 1975-01
_[6] 서적 Discrete Mathematics Using a Computer https://books.google[...] Springer
_[7] 웹사이트 Double Negation Operator Convert to Boolean in C https://dev-notes.eu[...]
_[8] 서적 The New Hacker's Dictionary https://books.google[...] MIT Press
_[9] 서적 Lexical Creativity, Texts and Context https://books.google[...] John Benjamins Publishing
_[10] 서적 論理学概論岩波書店

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