힘 (물리학)

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1. 개요

힘은 물리학에서 물체의 운동 상태를 변화시키거나 변형을 일으키는 원인으로 정의된다. 고대부터 단순 기계의 작동에 필수적인 요소로 인식되었으며, 아리스토텔레스와 뉴턴을 거쳐 현대 물리학에 이르기까지 개념이 발전해 왔다. 뉴턴의 운동 법칙은 힘, 질량, 가속도의 관계를 명확히 규정하며 고전 역학의 기초를 확립했다. 현대 물리학에서는 중력, 전자기력, 약력, 강력의 네 가지 기본 상호작용으로 모든 힘을 설명하며, 상대성 이론과 양자역학을 통해 힘의 개념을 확장하고 있다. 힘은 면적력과 체적력으로 분류되며, 중력, 전자기력, 약력, 강력, 마찰력, 수직항력, 장력, 탄성력 등 다양한 종류가 존재한다. 또한 일, 에너지, 충격량, 일률과 같은 개념과 밀접하게 관련되어 있다. 힘은 크기, 방향, 작용점의 세 가지 요소를 가지며, 이러한 요소들을 통해 힘의 효과를 정확하게 표현한다.

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힘 (물리학)
개요
정의	물체에 작용하여 물체의 운동 상태를 변화시키거나 변형시키는 원인
SI 단위	뉴턴(N)
유도 단위	kg⋅m/s²
CGS 단위	다인(dyn)
차원	LMT⁻²
물리적 특성
종류	중력 전자기력 강한 상호작용 약한 상호작용
특징	벡터량, 크기와 방향을 가짐
역학적 특징
힘의 평형	물체에 작용하는 모든 힘의 합이 0일 때, 물체는 정지 또는 등속 운동 상태를 유지
뉴턴의 운동 법칙	제1법칙: 관성의 법칙 제2법칙: F = ma (힘은 질량과 가속도의 곱) 제3법칙: 작용-반작용의 법칙
힘의 합력	여러 힘이 동시에 작용할 때, 이들 힘을 하나의 힘으로 나타낸 것
힘의 측정
도구	힘 센서, 저울
단위 환산	1 N = 1 kg⋅m/s² 1 dyn = 1 g⋅cm/s²
기타
기호	F
관련 개념	운동량, 충격량, 에너지, 일

2. 개념의 발전

고전 고대의 철학자들은 정역학적이고 동역학적인 물체에 관한 힘에 대해 연구했고 단순 기계를 발명했지만, 아르키메데스와 아리스토텔레스와 같은 사상가들은 힘을 이해하는 데 근본적인 오류를 범했다.^[100] 이는 마찰력과 같이 명확하지 않은 힘에 대한 불완전한 이해와 자연 운동의 본질에 대한 오해에서 비롯되었다.^[2] 특히, 아리스토텔레스는 일정한 속도로 운동하는 물체에도 힘이 필요하다고 믿었다.^[99]

아리스토텔레스는 힘을 물체가 "부자연스러운 운동"을 받게 되는 원인으로 설명한 것으로 유명했다.

아리스토텔레스는 힘에 대한 철학적 논의를 제공했고, 이는 아리스토텔레스의 우주론에서 중요한 부분이었다. 그는 4원소가 "자연스러운 상태"로 존재한다고 보았다. 아리스토텔레스는 흙과 물 등의 원소가 지구의 질량을 이루는 물체의 기본적인 성질이며, 지상 위에서 움직이지 않는 물체는 기본적인 원소 상태로 돌아가려는 경향을 보인다고 믿었다. 그는 무거운 물체가 떨어지는 현상 등을 "자연적인 장소"로 찾아가려는 본질적인 현상, 즉 "자연스러운 현상"이라고 생각했으며, 이는 인위적인 움직임과는 달리 지속적인 힘을 필요로 한다고 생각했다.^[101] 그러나 이 이론은 수레를 움직이는 힘이나 발사체의 움직임을 설명하는 데 어려움이 있었다. 아리스토텔레스는 발사체가 공기 중을 움직일 때 어떠한 힘도 작용하지 않는다는 점을 인지하고, 공기가 발사체를 계속 움직이게 하는 힘을 제공한다고 제안했다. 하지만 이 설명은 진공 상태에서의 움직임이나 항력 문제를 설명하지 못했다.^[102]

아리스토텔레스 물리학은 6세기 존 필로포누스(John Philoponus)에 의해 중세 과학의 비판을 받게 되었다.

17세기에 갈릴레오 갈릴레이는 임페투스 개념을 도입하여 아리스토텔레스 물리학의 문제점을 해결하고자 했다. 그는 실험을 통해 물체가 중력에 의해 질량과 관계없이 가속되며, 마찰력과 같은 외부 힘이 작용하지 않으면 속도를 유지한다는 것을 증명했다.^[103]

이후 아이작 뉴턴이 관성과 힘의 개념을 이용하여 모든 물체의 움직임을 설명하고, 뉴턴 운동 법칙을 통해 고전역학의 기초를 확립하면서 힘에 대한 개념은 더욱 발전하였다.^[99] 20세기 초, 알베르트 아인슈타인은 상대성 이론을 통해 빛의 속도에 가까운 물체의 운동과 중력, 관성에 대한 새로운 이해를 제공했다. 현대에는 양자역학과 입자물리학의 표준 모형을 통해 강한 상호작용, 전자기력, 약한 상호작용, 중력과 같은 기본적인 상호작용을 이해하고 있다.^[98] 1970년대와 80년대의 고에너지 물리학 관측 결과, 약한 상호작용과 전자기력은 근본적으로 전기·약 작용 상호작용으로 표현될 수 있다는 것이 밝혀졌다.^[122]

2. 1. 뉴턴 역학

아이작 뉴턴은 관성과 힘의 개념을 이용하여 모든 물체의 움직임을 설명하고자 했으며, 그 과정에서 보존 법칙을 발견했다. 1687년, 뉴턴은 자연철학의 수학적 원리를 출간하여 뉴턴 운동 법칙을 제시했다.^[99]^[104] 뉴턴의 운동 법칙은 고전역학에서 물체의 운동을 설명하는 데 기본적인 도구로 사용된다.

1689년의 아이작 뉴턴. 그의 저서 ''프린키피아''는 기하학적 언어로 운동의 세 가지 법칙을 제시했다.

뉴턴의 운동 법칙은 세 가지로 구성된다.

제1법칙 (관성의 법칙): 외부 힘이 작용하지 않으면 물체는 정지 상태 또는 등속 직선 운동 상태를 유지한다.
제2법칙 (가속도의 법칙): 힘은 물체의 운동량 변화율과 같으며, $\vec{F}=m\vec{a}$ 라는 식으로 표현된다.
제3법칙 (작용-반작용의 법칙): 두 물체가 서로에게 작용하는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다.

뉴턴의 운동 법칙은 갈릴레이 상대성 원리와 등가원리와 같은 중요한 개념들을 포함하고 있으며, 일반 상대성 이론의 발전에 기초를 제공했다.^[105]

2. 1. 1. 뉴턴의 제 1 법칙

아이작 뉴턴은 관성 및 힘의 개념을 이용하여 모든 물체의 움직임을 설명하고자 했으며, 그 과정에서 보존 법칙을 발견했다. 뉴턴의 운동 제1법칙은 물체가 외부의 알짜힘 (합성힘)이 없을 경우 등속도로 계속 움직인다는 법칙이다.^[104] 이 법칙은 갈릴레이 상대성의 개념으로 관성을 연관시켰다. 특히, 물체가 서로 다른 속도로 이동하는 계에서 어떤 물체가 움직이고 있고 정지해 있는지 구별하는 것은 불가능하다. 다시 말해, 물리학의 법칙은 모든 갈릴레이 변환과 관련된 관성 좌표계에서 동일하다는 것이다.

예를 들어, 움직이는 차에서 등속도로 주행하는 동안 물리학의 법칙은 정지 상태와 같다. 탑승자는 차가 이동하는 방향으로 힘을 가할 필요 없이, 정지 상태에서처럼 수직으로 공을 똑바로 던져서 받을 수 있다. 이는 공에 작용하는 관성이 차량의 운동 방향과 같은 속도로 작용하여, 공을 던져도 앞으로 계속 운동할 수 있게 하기 때문이다. 차 안에 있는 사람의 관점에서는 차량 및 내부의 모든 것이 정지 상태로 관측된다. 바깥 세계는 모두 차와 반대 방향으로 일정한 속도로 운동하는 것처럼 보인다. 실험 결과로는 차량이 정지해 있는지, 바깥 세계가 정지해 있는지 구별할 수 없으므로, 이 두 가지 경우는 물리적으로 구별할 수 없다. 이 경우 정지 상태와 등속도 운동은 동등한 관성이 적용된다.

뉴턴의 운동 제1법칙에 따르면, 정지해 있는 물체는 계속 정지해 있으려 하고, 직선상에서 일정한 속도로 운동하는 물체는 그 일정한 속도로 계속 직선상에서 운동하려는 것이 자연스러운 상태이다.^[11]

2. 1. 2. 뉴턴의 제 2 법칙

아이작 뉴턴은 관성 및 힘의 개념을 이용하여 모든 물체의 움직임을 설명하고자 하였고, 그 과정에서 보존 법칙을 발견했다. 1687년, 뉴턴은 자연철학의 수학적 원리(프린키피아)를 출간하여 뉴턴 운동 법칙을 제시했다.^[99]^[104]

뉴턴의 제2 법칙의 현대 형태는 벡터 미분 방정식으로 표현된다.^[106]

:

\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t},

여기서

\scriptstyle \vec{p}

는 물체의 운동량이며,

\scriptstyle \vec{F}

는 알짜힘(벡터 합)이다. 운동량의 정의에 의해,

:

\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\left(m\vec{v}\right)}{\mathrm{d}t},

이 되며, 여기서 m은 질량이고

\scriptstyle \vec{v}

은 속도이다.

뉴턴의 제2 법칙은 오직 일정한 질량일 때만 적용되며,^[107] m을 미분 연산자 밖으로 꺼내면 다음과 같다.

:

\vec{F} = m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}.

가속도의 정의를 대입하면 뉴턴의 제2 법칙의 간단한 형태가 유도된다.

:

\vec{F} =m\vec{a}.

이 공식은 때로는 "물리학에서 두 번째로 유명한 공식"으로도 불린다.^[108] 뉴턴은 위 공식의 축소적인 형태를 명시적으로 언급하지는 않았다.

뉴턴의 제2 법칙은 힘은 가속도에 비례하고 가속도는 질량에 반비례한다는 성질을 알려준다. 가속도는 운동의 측정을 통해 정의할 수 있다. 그러나 운동은 관성계에서 고급 물리학 분석을 통해 잘 설명하는 반면, 여전히 질량의 정의는 무엇인지에 관한 깊은 문제가 남아 있다. 일반 상대성 이론에서는 시공간과 질량이 동등하다고 말하지만, 양자 중력에 관한 일관된 이론이 없고 미시 세계와 거시 세계에서 시공간을 연결하는 방법과의 관계가 불분명하다. 몇몇 타당한 이유로, 뉴턴의 제2 법칙은 등가 법칙을 이용하여 "질량의 정량적 정의"로 어느 정도 설명할 수 있다. 그리고 질량과 힘의 상대적인 단위는 고정되어 있다.

뉴턴의 제2 법칙을 이용한 힘의 정의는 보다 엄격한 논문에서는 수학적으로 자명한 것이기 때문에 일부 받아들이지 않고 있다.^[98]^[109] 에른스트 마흐, 크리퍼드 트루스델, 발터 놀 등의 유명한 물리학자, 철학자, 수학자들은 힘에 대한 명시적인 정의를 모색하고 있다.^[110]

뉴턴의 제2 법칙은 힘의 크기를 측정하는 데 이용할 수 있다. 예를 들어, 행성의 궤도 가속도에 대한 대략적인 지식으로 과학자들은 행성의 중력을 계산할 수 있다.

2. 1. 3. 뉴턴의 제 3 법칙

뉴턴의 제3법칙은 힘이 다른 물체에 영향을 줄 때 나타나는 대칭적인 현상을 설명한다. 이 법칙에 따르면, 모든 힘은 물체 사이의 "상호작용"이며, 한 방향으로만 작용하거나 하나의 물체에만 작용하는 힘은 존재하지 않는다.^[111]^[112] 예를 들어, 홍길동이 옆 사람을 밀면, 홍길동은 힘을 가하는 주체가 되고 옆 사람은 힘을 받는 대상이 된다. 이때, 홍길동이 옆 사람을 미는 힘만큼 옆 사람도 홍길동에게 반작용을 가한다.^[113]

한 물체가 다른 물체에게 '''F'''의 힘을 가하면, 힘을 가한 물체는 '''-F'''의 힘을 받는다. '''F'''와 '''-F'''는 크기는 같고 방향만 반대이다. 이 법칙은 '''F''' 힘에 대한 반작용으로 '''-F'''가 작용한다는 것으로 설명되기도 한다. 작용과 반작용은 항상 동시에 존재한다.

:

\vec{F}_{1,2}=-\vec{F}_{2,1}.

물체 1과 물체 2가 같은 계에 존재한다고 가정하면, 이들 사이의 상호작용에 의한 계의 알짜힘은 0이 된다.

:

\vec{F}_{1,2}+\vec{F}_{\mathrm{2,1}}=0

:

\vec{F}_{net}=0.

이는 닫힌 계에서 힘의 불균형에 의한 내력은 존재하지 않는다는 것을 의미한다. 즉, 닫힌 계에서 두 물체 사이에 작용-반작용 힘이 작용해도 계의 질량중심은 이동하지 않는다. 계 내부의 물체들은 서로에게 가속되지만, 계 전체의 합력은 0이 된다. 그러나 외력이 작용하면 질량중심은 계의 질량을 외력으로 나눈 크기만큼 가속된다.^[98]

뉴턴의 제2법칙과 제3법칙을 결합하면, 계의 선운동량 보존을 설명할 수 있다.

:

\vec{F}_{1,2} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}_{1,2}}{\mathrm{d}t} = -\vec{F}_{2,1} = -\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{2,1}}{\mathrm{d}t}

이 식을 시간에 대해 적분하면 다음과 같다.

:

\Delta{\vec{p}_{1,2}} = - \Delta{\vec{p}_{2,1}}

물체 1과 물체 2를 포함하는 계에서,

:

\sum{\Delta{\vec{p}}}=\Delta{\vec{p}_{1,2}} + \Delta{\vec{p}_{2,1}} = 0

이로부터 선운동량이 보존됨을 알 수 있다.^[114] 이 논리는 임의의 수의 입자가 있는 계로 일반화할 수 있다. 즉, 물체 사이의 운동량 교환은 계의 알짜 운동량에 영향을 주지 않는다. 모든 힘이 질량을 가진 물체의 상호작용으로 발생하기 때문에, 알짜 운동량이 손실되거나 얻어지지 않는 계를 정의할 수 있다.^[98]

2. 2. 평형

물체에 작용하는 모든 힘의 합력, 즉 알짜힘이 0일 때 물체는 평형 상태에 있다고 한다. 평형에는 정적 평형과 동적 평형 두 가지가 있다. 정적 평형은 물체가 정지해 있는 상태를 의미하며, 고전 역학이 발명되기 이전에 이미 이해되었다. 동적 평형은 갈릴레오 갈릴레이가 처음으로 설명했으며, 물체가 등속 직선 운동을 하는 상태를 의미한다.^[103]

2. 2. 1. 정적 평형

정적 평형은 고전 역학이 발명되기 이전에 이미 이해되었다. 정지해 있는 물체의 알짜힘은 0이라는 것이 정적 평형의 핵심 개념이다.^[118]

정적 평형의 간단한 예는 두 힘의 크기가 같고 방향이 반대인 경우이다. 예를 들어, 지면 위에 있는 물체는 중력에 의해 지구 중심으로 당겨진다. 동시에 지면은 수직항력이라는 힘으로 물체를 위로 밀어낸다. 이 두 힘이 균형을 이루어 알짜힘이 0이 되고, 물체는 가속도 없이 정지 상태를 유지한다.^[99]

물체를 밀 때도 정적 평형이 나타날 수 있다. 물체와 바닥 사이의 정지 마찰은 가해진 힘과 반대 방향으로 작용하여 물체가 움직이지 않도록 한다. 정지 마찰력은 가해진 힘과 정확히 균형을 이루며 가속도가 없는 상태를 만든다. 정지 마찰력은 물체와 바닥 사이의 접촉 특성에 따라 결정되는 마찰 한계점까지 증가하거나 감소할 수 있다.^[99]

정적 평형은 저울이나 용수철 저울과 같은 힘 측정 장치에 이용된다. 용수철 저울에 매달린 물체는 중력과 용수철이 당기는 힘이 평형을 이루어 움직이지 않는다. 이러한 원리를 이용하여 중력, 밀도, 부력, 지레, 기체의 압력 (보일의 법칙), 용수철의 탄성 (훅 법칙) 등 여러 물리 법칙들이 발견되었다. 이러한 발견들은 아이작 뉴턴이 운동 제3법칙을 발표하기 전에 이미 실험적으로 검증되고 공식화되었다.^[98]^[99]

2. 2. 2. 동적 평형

동적 평형은 아리스토텔레스 물리학과 관측 결과 사이의 논리적 모순으로 인해 특정한 가정을 한 갈릴레오 갈릴레이가 처음으로 설명했다.^[103]

3. 현대 물리학에서의 힘

현대 물리학에서 힘은 기본 상호작용으로 설명된다. 자연에는 중력, 전자기력, 약력, 강력(핵력)의 네 가지 기본 상호작용이 존재한다.^[98]

입자물리학의 표준 모형은 힘을 게이지 보손이라는 입자를 교환하여 방출 및 흡수하는 것으로 설명한다. 1970년대와 80년대의 고에너지 물리학 관측 결과, 약력과 전자기력은 전약 상호작용으로 통합될 수 있음이 밝혀졌다.^[122] 양자역학과 일반 상대성 이론의 발달로, 힘은 운동량 보존에서 파생된 개념으로 여겨지게 되었다. 운동량 보존은 공간의 균질성 또는 대칭성에서 유도되므로 힘보다 더 근본적인 개념으로 간주된다.^[122]

중성자가 양성자로 붕괴되는 과정을 나타내는 파인만 다이어그램. 두 꼭짓점 사이에 있는 W 보손은 반발력을 나타낸다.

파인만 도형은 입자 상호작용을 시각적으로 표현하는 방법으로, 게이지 보손의 교환을 통해 힘이 전달되는 과정을 나타낸다. 예를 들어, 파인만 도형을 통해 중성자가 양성자, 전자, 반중성미자로 붕괴하는 약한 상호작용 과정을 자세히 설명할 수 있다.^[123]

자연의 네 가지 기본 상호작용^[71]
상호작용	작용 대상	매개 입자	상대적 세기 (쿼크 척도)
중력	질량-에너지	중력자 (아직 발견되지 않음)	10^-41
약력	플레이버	W⁺, W^-, Z⁰	10^-4
전자기력	전하	광자	1
강력	색전하	글루온	10²

3. 1. 상대성 이론

특수 상대성 이론에서 질량과 에너지는 물체를 가속시키는 데 필요한 양을 계산하여 알아볼 수 있듯이 동등하다. 물체의 속도가 증가하면 에너지도 증가하고, 이에 따라 질량(관성)도 증가한다. 따라서 높은 속도에서 가속할 때는 낮은 속도에서 가속할 때보다 더 많은 에너지가 필요하다.^[119] 상대론적 운동량은 다음과 같이 표현된다.

:

\vec{p} = \frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

여기서,

$v$ 는 속도
$c$ 는 광속
$m_0$ 는 정지 질량

입자의 상대론적 표현과 관련된 힘과 가속도는 0이 아닌 불변 질량 상수

m

을

x

방향으로 이동시킬 때 다음과 같다.

:

F_x = \gamma^3 m a_x \,

:

F_y = \gamma m a_y \,

:

F_z = \gamma m a_z \,

여기서 로런츠 인자

\gamma

는 다음과 같다.

:

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.

^[120]

상대성 이론 초기에는

\gamma^3 m

과

\gamma m

을 각각 횡방향 질량과 종방향 질량으로 불렀다. 상대론적 힘은 일정한 가속도를 만들지 않지만, 물체의 감속 가속도는 빛의 속도에 근접한다. 불변 질량이 0이 아닌 물체가 광속으로 운동할 경우

\gamma

는 0으로 나누기가 되어, 이론상 속도를 예측할 수 없게 된다.

하지만 다음 형태는 유지된다.

:

F^\mu = mA^\mu \,

상대성 이론은 여러 상수에서 사차원 벡터를 사용하여 관계를 설명한다. 이 관계는

F^\mu

가 사차원 힘,

m

이 불변 질량,

A^\mu

가 사차원 가속도일 때 성립한다.^[121]

3. 2. 양자역학

양자역학은 원래 분자, 원자 또는 소립자 수준의 미시적 현상을 이해하기 위해 개발된 물리학 이론이다. 현대 입자물리학에서는 힘과 입자의 가속도를 운동량을 전달하는 게이지 보손 교환의 수학적 부산물로 설명한다. 양자장론과 일반 상대성 이론의 발전으로, 힘의 개념은 운동량 보존에서 파생된 중복 개념이라는 것이 밝혀졌다. 운동량 보존은 공간의 균질성 또는 대칭성에서 직접 유도되므로, 일반적으로 힘의 개념보다 더 근본적인 것으로 간주된다. 따라서 현재 알려진 기본 상호작용은 더 정확하게는 "기본 상호작용"으로 간주된다.^[67]

양자역학에서 상호작용은 일반적으로 힘이 아닌 에너지 측면에서 설명된다. 에렌페스트 정리는 양자 기댓값과 고전적인 힘의 개념 사이의 연결을 제공하는데, 양자 물리학은 근본적으로 고전 물리학과 다르기 때문에 이 연결은 반드시 정확하지 않다. 양자 물리학에서 보른 규칙은 위치 측정 또는 운동량 측정의 기댓값을 계산하는 데 사용된다. 이러한 기댓값은 일반적으로 시간에 따라 변한다. 에렌페스트 정리는 대략적으로 이러한 기댓값이 시간에 따라 변하는 방식을 설명하는 방정식이 퍼텐셜 에너지의 음의 도함수로 정의된 힘을 가진 뉴턴의 제2법칙을 연상시키는 형태를 갖는다고 말한다. 그러나 주어진 상황에서 양자 효과가 더 두드러질수록 이 유사성으로부터 의미 있는 결론을 도출하기가 더 어려워진다.^[62]^[63]

양자역학은 또한 미시적 규모에서 힘과 상호 작용하는 불확정성 원리와 파울리 배타 원리라는 두 가지 새로운 제약 조건을 도입하는데, 이는 원자에 특히 중요하다. 핵의 강한 인력에도 불구하고, 불확정성 원리는 전자 확률 분포의 최소 범위를 제한하고,^[64] 파울리 배타 원리는 전자가 동일한 확률 분포를 공유하는 것을 방지한다.^[65] 이것은 축퇴압으로 알려진 출현 압력을 발생시킨다. 축퇴압과 인력 전자기력 사이의 동적 평형은 원자, 분자, 액체 및 고체에 안정성을 부여한다.^[66]

양자역학에서는 장의 양자론에 의해 우주에서 힘의 근원은 기본 상호작용인 전자기 상호작용, 약한 상호작용, 강한 상호작용, 중력 상호작용의 네 가지로 정리되었다. 다만, 중력은 고전 물리학에 속하는 일반 상대성 이론도 관련이 있으며, 또한 중력의 양자화(양자 중력 이론)는 연구 단계이다. 한편, 전자기 상호작용과 약한 상호작용을 통합적으로 기술하는 전약 통일 이론은 와인버그-살람 이론에 의해 완성되었다. 그 다음이라고 할 수 있는 강한 상호작용의 통일은 대통일 이론으로서 연구 중이다.

3. 2. 1. 파인만 도형

현대 입자물리학에서, 힘과 입자의 가속도는 게이지 보손의 운동량 운반 교환 작용을 통해 수학적으로 설명하고 있다.^[122] 양자장론과 일반 상대성 이론의 발달로 인해 힘에서 운동량 보존이 발생하는 현상을 두 이론을 통해 중복해서 설명하는 데 성공했다(상대성 이론의 사차원 운동량과 양자 전기역학에서 가상 입자의 운동량).^[122] 운동량 보존은 공간에서 직접적으로 균질하게 나타나는 현상이며(이를 대칭성이라고 함), 이로 인해 힘보다 더욱 근본적인 개념에 속한 것으로 간주한다. 따라서, 현재까지 알려진 기본 힘은 정확하게 기본 상호작용이라고 말한다.^[122] 입자 A가 가상의 입자 B를 방출(생성)하거나 흡수(소멸)할 때 운동량 보존은 B를 통해 A와 A' 사이 인력이나 척력을 주고받는 매개체로 활동한다.

이러한 상호작용의 정확한 결과를 예측하는 것은 정교한 수학적 설명을 상세히 해야 하지만, 파인만 도형을 통해 개념적으로 상호작용을 간단히 설명할 수 있다. 파인만 도형에서 각각의 입자는 직선(세계선)으로 표현하며 일반적으로 이 도형에서 위로 가는 선(y축)이 시간의 흐름을 의미한다. 물질과 반물질 입자는 파인만 도형에서 진행하는 방향만 제외하고 같은 입자이다. 입자의 세계선은 상호작용 정점에서 교차하며, 파인만 도형에서 상호작용으로 인해 나타나는 힘은 입자의 세계선 방향에서 정점이 발생하는 순간과 연결되어 있다. 게이지 보손은 정점에서 물결 모양의 선으로 방출하는 모양을 그리며, 가상 입자의 교환일 경우 인접한 정점으로 흡수하는 모향으로 그려진다.^[123]

파인만 도형의 유용성은 기본 상호작용의 일반적인 부분이지만 개념적으로 힘이 분리될 때와 같은 물리학의 다른 유형의 현상들도 동일한 규칙을 이용하여 설명할 수 있다는 것이다. 예를 들어, 파인만 도형은 중성자의 베타 붕괴로 양성자, 전자, 반중성미자가 되는 과정인 게이지 보존을 통한 약한 상호작용을 간결하게 자세히 설명할 수 있다.^[123]

3. 3. 기본 상호작용

우주의 모든 힘은 네 가지 기본 상호작용으로 표현된다. 힘의 기본적 이론 개발은 서로 다른 힘을 하나로 뭉친다는 통일장 이론으로 진행되었다.^[98]

현대에는 양자역학의 기술을 이용해 빛의 속도에 가깝게 입자를 가속시킬 수 있고 입자물리학은 원자보다 작은 입자 간의 힘을 설명하는 표준 모형을 만들어냈다. 표준 모형은 게이지 보손이라는 입자를 교환하여 힘을 방출 및 흡수한다는 것을 예측했다. 오직 4개의 상호작용만이 현재 알려져 있다. 힘의 크기에 따라 나누면 강한 상호작용, 전자기력, 약한 상호작용, 중력이다.^[98] 고에너지 물리학은 1970년대와 80년대 입자들의 관측 결과 약한 상호작용과 전자기력이 근본적으로는 전기·약 작용 상호작용으로 표현할 수 있다는 것을 알아냈다.^[122]

양자역학에서는 장의 양자론에 의해 우주에서 힘의 근원은 기본 상호작용인 전자기 상호작용, 약한 상호작용, 강한 상호작용, 중력 상호작용의 네 가지로 정리되었다. 다만, 중력은 고전 물리학에 속하는 일반 상대성 이론도 관련이 있으며, 또한 중력의 양자화(양자 중력 이론)는 연구 단계이다. 한편, 전자기 상호작용과 약한 상호작용을 통합적으로 기술하는 전약 통일 이론은 와인버그-살람 이론에 의해 완성되었다. 그 다음이라고 할 수 있는 강한 상호작용의 통일은 대통일 이론으로서 연구 중이다.

'''자연의 네 가지 기본 힘'''^[71]
속성/상호작용	중력	약력	전자기력	강력
속성/상호작용	중력	(전약력)		기본적인	잔류적인
작용 대상:	질량 - 에너지	플레이버	전하	색전하	원자핵
작용을 받는 입자:	모든 입자	쿼크, 렙톤	전하를 띤 입자	쿼크, 글루온	하드론
매개 입자:	그라비톤 (아직 관측되지 않음)	W⁺ W⁻ Z⁰	γ	글루온	메손
쿼크 척도에서의 세기:	align="center"\|	align="center"\|	1	60	쿼크에 적용되지 않음
양성자/중성자 척도에서의 세기:	align="center"\|	align="center"\|	1	하드론에 적용되지 않음	20

4. 힘의 종류

힘은 작용 방식과 원인에 따라 다양하게 분류할 수 있다.

연속체역학에서는 힘을 다음과 같이 분류한다.

표면력(면적력): 면을 통해 작용하며, 그 크기가 면적에 비례하는 힘이다.^[1] 물체의 면을 통해 작용하므로 근접작용력이다.^[2] 압력, 응력, 표면장력 등이 이에 해당한다.
체적력(체력): 물체의 체적에 비례하는 힘이다.^[3] 물체에 직접 닿지 않고 작용하는 힘이므로 원격작용력이다.^[2] 중력, 원심력, 코리올리 힘, 전기력 등이 이에 해당한다.

현대 입자 물리학에서는 힘과 입자의 가속도를 운동량을 전달하는 게이지 보손 교환으로 설명한다. 양자장론과 일반 상대성 이론의 발전에 따라 힘은 운동량 보존 법칙에서 비롯된 개념으로, 기본 상호작용으로 불린다.^[4] 이러한 상호작용은 파인만 다이어그램을 사용하여 개념적으로 설명할 수 있다. 파인만 다이어그램에서 각 물질 입자는 시간을 따라 이동하는 직선(세계선)으로 표현되며, 입자의 세계선은 상호 작용 꼭짓점에서 교차한다. 게이지 보손은 꼭짓점에서 물결 모양의 선으로 방출되며, 가상 입자 교환의 경우 인접한 꼭짓점에서 흡수된다.^[5]

양자역학은 미시적 규모에서 힘과 상호 작용하는 두 가지 제약 조건을 도입한다. 불확정성 원리는 전자 확률 분포의 최소 범위를 제한하고,^[6] 파울리 배타 원리는 전자가 동일한 확률 분포를 공유하는 것을 방지한다.^[7] 이는 축퇴압을 발생시키며, 축퇴압과 인력 전자기력 사이의 동적 평형은 원자, 분자, 액체 및 고체에 안정성을 부여한다.^[8]

4. 1. 중력

초당 20회의 플래시를 사용하는 스트로보스코프로 촬영한 자유낙하하는 농구공. 오른쪽의 거리 단위는 약 12밀리미터의 배수이다. 농구공은 정지 상태에서 시작하며, 첫 번째 플래시(거리 0) 시점에 낙하가 시작되며, 그 후 낙하한 단위 수는 플래시 수의 제곱과 같다.

아이작 뉴턴의 연구 이전에는 물체가 지구로 떨어지는 현상과 천체의 운동이 서로 관련되어 있다는 사실이 알려지지 않았다. 갈릴레오 갈릴레이는 모든 물체가 자유 낙하할 때 가속도가 일정하며, 물체의 질량과 무관하다는 것을 밝혔다. 오늘날 지구 표면을 향하는 중력에 의한 가속도는 보통

\mathbf{g}

로 표시하며, 그 크기는 약 9.81 m/s²이다(해수면 기준이며 위치에 따라 달라질 수 있음). 이 가속도는 지구 중심을 향한다.^[29] 이 관측은 지구 표면의 물체에 작용하는 중력이 물체의 질량에 정비례한다는 것을 의미한다. 따라서 질량이

m

인 물체는 다음과 같은 힘을 받는다.

:

\mathbf{F} = m\mathbf{g}.

자유 낙하하는 물체의 경우, 이 힘은 방해받지 않으며 물체에 작용하는 알짜힘은 무게가 된다. 자유 낙하하지 않는 물체의 경우, 중력은 지지대가 가하는 수직항력에 의해 상쇄된다. 예를 들어, 땅에 서 있는 사람은 땅이 위쪽으로 작용하는 수직항력(반작용)이 아래쪽으로 향하는 무게를 상쇄하기 때문에 알짜힘이 0이다.^[3]^[43]

뉴턴은 아리스토텔레스가 자연스러운 운동 상태라고 가정했던 천체의 운동과 지구에서 관찰되는 낙하 운동을 통합하여 중력 이론을 제시했다. 그는 케플러의 행성 운동 법칙을 사용하여 천체 운동을 설명할 수 있는 중력 법칙을 제안했다.^[83]

뉴턴은 중력의 효과가 멀리 떨어진 곳에서는 다르게 나타날 수 있다는 것을 알았다. 특히, 중력에 의한 가속도가 역제곱 법칙에 따라 감소한다면 달이 지구 주위를 공전하는 가속도를 같은 중력으로 설명할 수 있다는 것을 알아냈다. 또한, 물체의 중력 가속도는 다른 물체의 질량에 비례한다는 것도 발견했다.^[83] 이러한 아이디어를 종합하여 지구의 질량(

m_\oplus

)과 반지름(

R_\oplus

)을 중력 가속도와 관련짓는 다음 공식을 얻었다.

:

\mathbf{g} = -\frac{Gm_\oplus}

여기서 벡터 방향은

\hat{\mathbf{r}}

로 주어지며, 지구 중심에서 바깥쪽으로 향하는 단위 벡터이다.^[11]

이 식에서 차원 상수

G

는 중력의 상대적인 세기를 나타낸다. 이 상수는 뉴턴의 중력 상수로 알려졌지만, 뉴턴 생전에는 그 값이 알려지지 않았다. 1798년 헨리 캐번디시가 비틀림 저울을 사용하여

G

를 처음으로 측정했고, 이를 통해 지구의 질량을 계산할 수 있게 되어 언론에 널리 보도되었다. 뉴턴은 모든 천체가 운동 법칙을 따르므로 자신의 중력 법칙이 보편적이어야 함을 알았다. 뉴턴의 만유인력 법칙에 따르면, 질량이

m_1

인 구형 물체에 질량이

m_2

인 물체가 중력으로 끌어당기는 힘은 다음과 같다.

:

\mathbf{F} = -\frac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

여기서

r

은 두 물체의 질량 중심 사이의 거리이고,

\hat{\mathbf{r}}

은 첫 번째 물체의 중심에서 두 번째 물체의 중심을 향하는 방향을 나타내는 단위 벡터이다.^[11]

이 공식은 20세기까지 태양계 내의 모든 운동을 설명하는 데 충분했다. 그동안 여러 천체의 영향으로 인한 궤도의 변화를 행성, 위성, 혜성, 소행성에 대해 계산하기 위해 정교한 섭동 해석 방법^[30]이 발명되었다. 이 형식은 수학자들이 해왕성이 관측되기 전에 그 존재를 예측할 수 있을 만큼 정확했다.^[31]

뉴턴의 만유인력 법칙은 '원격 작용'의 한 예이다. 태양과 같은 한 천체는 지구와 같이 다른 어떤 천체에도 아무리 멀리 떨어져 있어도 영향을 미친다. 게다가 이 원격 작용은 '순간적'이다. 뉴턴 이론에 따르면 한 천체의 위치 변화는 다른 모든 천체가 느끼는 중력을 동시에 바꾼다. 알베르트 아인슈타인은 이것이 특수 상대성 이론에서 빛의 속도보다 빠르게 영향을 줄 수 없다는 예측과 일치하지 않는다는 것을 알았다.^[73]^[74] 수성의 궤도는 뉴턴의 만유인력 법칙으로 예측한 것과 일치하지 않았다. 일부 천체 물리학자들은 이러한 불일치를 설명하기 위해 미지의 행성(볼칸)이 존재한다고 예측했다. 아인슈타인이 일반 상대성 이론을 발표했을 때, 수성의 궤도 문제에 초점을 맞추었고, 그의 이론이 불일치를 설명할 수 있는 수정을 추가한다는 것을 발견했다. 이는 뉴턴의 중력 이론이 부정확하다는 것이 처음으로 밝혀진 때였다.^[75]

이후 일반 상대성 이론은 중력을 가장 잘 설명하는 이론으로 인정받았다. 일반 상대성 이론에서 중력은 힘으로 간주되지 않고, 중력장에서 자유롭게 움직이는 물체는 직선을 따라 휘어진 시공간을 통과하여 고유 관성에 따라 이동한다. 즉, 두 시공간 사건 사이의 가장 짧은 시공간 경로이다. 물체의 관점에서는 모든 운동이 중력이 전혀 없는 것처럼 발생한다. 시공간의 곡률을 관찰하고 물체의 곡선 경로에서 힘을 추론할 때만 시공간의 곡률을 관찰할 수 있다. 따라서 시공간의 직선 경로는 공간에서 곡선으로 보이며, 이를 물체의 ''탄도 궤적''이라고 한다. 예를 들어, 지상에서 던진 농구공은 균일한 중력장에 있으므로 포물선으로 움직인다. 그 시공간 궤적은 거의 직선이며 약간 휘어져 있다(곡률 반지름은 수 광년 정도). 물체의 변화하는 운동량의 시간 미분을 "중력"이라고 한다.^[43]

4. 2. 전자기력

1864년 맥스웰은 여러 초기 이론들을 통합하여 전기장과 자기장의 기원을 설명하는 20개의 스칼라 방정식을 제시했다. 이후 올리버 헤비사이드와 조시아 윌러드 깁스는 이 방정식들을 4개의 벡터 방정식으로 다시 공식화했다.^[35] 이 "맥스웰 방정식"은 정지 및 이동하는 전하가 장의 원천이며, 장 자체의 상호 작용을 완전히 설명한다. 맥스웰은 전기장과 자기장이 빛의 속도로 이동하는 파동을 통해 "자체 생성"될 수 있다는 것을 발견했다. 이는 전자기 이론을 광학과 통합하여 전자기 스펙트럼에 대한 완전한 설명을 가능하게 했다.^[36]

맥스웰 방정식과 그 주변에 구축된 기술들은 전기와 자기에 관여하는 광범위한 물리 현상을 충분히 설명하며, 이 고전 이론에는 이미 상대성 효과가 포함되어 있다.^[76] 기본 입자 간의 양자화된 전자기적 상호 작용을 이해하려면 양자전기역학(QED)이 필요하다. QED에서 광자는 기본적인 매개 입자이며, 전자기력을 포함한 전자기와 관련된 모든 상호 작용을 설명한다.^[77]

4. 3. 약력

입자 물리학에서 힘과 입자의 가속도는 운동량을 전달하는 게이지 보손 교환의 수학적 부산물로 설명된다. 양자장론과 일반 상대성 이론의 발전으로 힘은 운동량 보존 법칙에서 비롯된 중복 개념임이 밝혀졌다. 따라서 현재 알려진 기본 상호작용은 더 정확하게는 "기본 상호작용"으로 간주된다.^[67]

파인만 다이어그램은 이러한 상호작용을 개념적으로 설명하는 데 사용된다. 파인만 다이어그램에서 물질 입자는 직선으로, 게이지 보손은 물결 모양의 선으로 표현되며, 상호작용은 입자 세계선의 방향이 변하는 꼭짓점에서 발생한다.

기본 상호작용 중 약한 핵력은 결합 상태를 만들지 않는다는 특징이 있다.^[81] 약한 힘은 무거운 W 및 Z 보손 교환으로 발생하며, 베타 붕괴와 같은 방사능 현상에서 중요한 역할을 한다.^[37] "약한"이라는 이름은 그 세기가 강한 힘보다 약 10¹³배 작기 때문에 붙여졌다.

전약 이론은 전자기력과 약한 힘이 이상의 온도에서 구분할 수 없음을 보여준다.^[82]

4. 4. 강력 (핵력)

오늘날 두 가지의 "핵력"이 존재하는데, 이는 일반적으로 입자 물리학의 양자 이론에서 일어나는 상호작용으로 설명된다. 강한 핵력은 원자핵의 구조적 완전성을 담당하는 힘이며, 양성자 사이의 전자기적 반발력을 압도하는 능력 때문에 그 이름을 얻었다.^[37]^[78]

강력은 오늘날 양자색역학(QCD) 이론에 따라 상세히 설명된 바와 같이 쿼크와 글루온 사이의 기본 상호작용을 나타내는 것으로 이해된다.^[79] 강력은 글루온에 의해 매개되는 기본 힘으로, 쿼크, 반입자 및 글루온 자체에 작용한다. 강력은 오직 기본 입자에만 ''직접'' 작용한다. 강입자 (특히 원자핵의 핵자) 사이에는 잔여 힘이 관찰되는데, 이를 핵력이라고 한다. 여기서 강력은 간접적으로 작용하며, 핵력의 고전적인 전달자인 가상 파이온과 로 중간자를 구성하는 글루온을 통해 전달된다. 자유 쿼크를 찾기 위한 많은 시도가 실패한 것은 영향을 받는 기본 입자가 직접 관찰할 수 없음을 보여준다. 이 현상을 색 가둠이라고 한다.^[80]

4. 5. 마찰력

마찰력은 두 물체가 서로 접촉하여 움직일 때 발생하는 저항력이다. 거시적 규모에서 마찰력은 접촉점의 수직항력과 직접적으로 관련이 있다. 마찰력에는 크게 정지 마찰력과 동마찰력 두 가지 종류가 있다.^[27]

정지 마찰력(

\mathbf F_{\mathrm{sf}}

)은 정지 마찰 계수(

\mu_{\mathrm{sf}}

)에 수직항력(

\mathbf F_\text{N}

)을 곱한 값으로 정해지는 한계까지 물체에 작용하는 힘과 정확히 반대 방향으로 작용한다. 다시 말해, 정지 마찰력의 크기는 다음 부등식을 만족한다.

0 \le\mathbf F_{\mathrm{sf}} \le \mu_{\mathrm{sf}} \mathbf F_\mathrm{N}.

운동 마찰력(

F_{\mathrm{kf}}

)은 일반적으로 작용하는 힘과 물체의 운동 모두와 무관하다. 따라서 힘의 크기는 다음과 같다.

\mathbf F_{\mathrm{kf}} = \mu_{\mathrm{kf}} \mathbf F_\mathrm{N},

여기서

\mu_{\mathrm{kf}}

는 동마찰 계수이다. 운동 마찰 계수는 일반적으로 정지 마찰 계수보다 작다.^[27]

4. 6. 수직항력

물체가 표면에 접촉할 때, 물체들 사이에 직접 작용하는 힘을 수직항력이라고 하며, 이는 계에서 물체들 사이의 계면에 수직으로 작용하는 총 힘의 성분이다.^[37] 수직항력은 뉴턴의 제3법칙과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 수직항력은 탁자와 바닥의 구조적 무결성을 유지하는 데 중요한 역할을 하며, 또한 외부 힘이 고체 물체를 밀 때 반응하는 힘이기도 하다. 수직항력이 작용하는 예로는 고정된 표면에 충돌하는 물체의 충격력이 있다.^[3]^[43]

4. 7. 장력

장력은 질량이 없고, 마찰이 없으며, 끊어지지 않고, 늘어나지 않는 이상적인 줄을 사용하여 모델링할 수 있다. 이상적인 줄은 이상적인 도르래와 결합하여 물리적 방향을 전환할 수 있다. 이상적인 줄은 작용-반작용 쌍으로 순간적으로 장력을 전달하므로, 두 물체가 이상적인 줄로 연결되어 있다면, 첫 번째 물체가 줄을 따라 작용하는 임의의 힘에는 두 번째 물체가 반대 방향으로 줄을 따라 작용하는 힘이 수반된다.^[38] 가동식 도르래를 사용하는 구성을 통해 같은 줄을 여러 번 같은 물체에 연결함으로써 하중에 대한 장력을 증가시킬 수 있다. 하중에 작용하는 각 줄에 대해 줄의 장력이 또 다른 요인으로 하중에 작용한다. 이러한 기계는 하중을 이동하는 데 필요한 변위된 줄의 길이가 증가함에 따라 기계적 이득을 제공한다. 이러한 병렬 효과는 궁극적으로 역학적 에너지 보존으로 이어진다. 왜냐하면 하중에 가해지는 일은 기계가 아무리 복잡하더라도 동일하기 때문이다.^[3]^[43]^[39]

4. 8. 탄성력 (복원력)

단순한 탄성력은 용수철을 자연 길이로 되돌리는 작용을 한다. 이상적인 용수철은 질량이 없고, 마찰이 없고, 부러지지 않으며, 무한히 늘어날 수 있다고 간주된다. 이러한 용수철은 수축할 때는 미는 힘을, 신장할 때는 당기는 힘을 작용하는데, 이 힘은 평형 위치에서 용수철의 변위에 비례한다.^[40] 이 선형 관계는 1676년 로버트 훅에 의해 기술되었으며, 훅의 법칙은 그의 이름을 따서 명명되었다.

\Delta x

가 변위라면, 이상적인 용수철이 작용하는 힘은 다음과 같다.

\mathbf{F}=-k \Delta \mathbf{x},

여기서

k

는 용수철 상수(또는 힘 상수)이며, 용수철마다 고유하다. 마이너스 부호는 힘이 가해진 하중과 반대 방향으로 작용하는 경향을 나타낸다.^[3]^[43]

5. 힘의 측정

힘의 크기는 용수철 저울, 힘 센서 등을 이용하여 측정할 수 있다. 힘의 국제단위계 단위는 뉴턴(N)이며, 1 kg의 질량을 1초에 1미터씩 가속하는 데 필요한 힘이다(kg·m·s⁻²).^[56] CGS 단위계 단위는 다인으로, 1 g의 질량을 1초에 1센티미터씩 가속하는 데 필요한 힘이다(g·cm·s⁻²). 따라서 1뉴턴은 100,000다인과 같다.^[56]

킬로그램힘(kgf)(때때로 킬로폰드라고도 함)은 1킬로그램 질량에 표준 중력이 작용하는 힘이다. 킬로그램힘은 현대 SI 단위계의 일부가 아니며, 일반적으로 사용이 권장되지 않지만, 항공기 무게, 제트 추력, 자전거 스포크 장력, 토크 렌치 설정 및 엔진 출력 토크를 나타내는 데 사용되기도 한다.^[31]

6. 힘의 3요소

힘의 작용은 그 크기만으로는 결정되지 않는다. 예를 들면, 끈으로 매단 모래 주머니의 중심 가까이를 때리는 것과 상부 가까이를 때리는 것은 모래 주머니의 움직임이 각기 다르다. 즉, 힘의 크기 외에도 힘이 물체의 어느 점에, 어느 방향으로 작용하느냐에 따라서 그 효과가 다르다. 따라서 힘을 나타내려면 힘의 크기, 힘의 방향(힘의 작용선), 힘이 미치는 점(작용점)의 세 가지를 지정해야 한다. 이를 힘의 3요소라고 한다.

7. 힘과 관련된 개념

회전계에서 힘(''F''), 토크(''τ'') 및 운동량 벡터(''p'' 및 ''L'') 간의 관계

힘과 관련된 여러 개념들이 있다.

'''토크''': 물체를 회전시키는 힘과 관련된 물리량이다. 각도가 위치에 대한 회전 등가물이고, 각속도가 속도에 대한 회전 등가물이며, 각운동량이 운동량에 대한 회전 등가물인 것처럼, 토크는 힘에 대한 회전 등가물이다. 뉴턴의 운동 제1법칙에 따라, 모든 물체는 불균형 토크의 작용을 받지 않는 한 각운동량을 유지하는 회전 관성을 가진다. 뉴턴의 운동 제2법칙을 이용하면 강체의 순간 각가속도에 대한 유사한 방정식을 유도할 수 있다.^[27]

:

\boldsymbol\tau = I\boldsymbol\alpha,

::여기서

I

는 물체의 관성 모멘트,

\boldsymbol\alpha

는 물체의 각가속도이다. 이는 질량에 대한 회전 등가물인 관성 모멘트의 정의를 제공한다. 시간 간격에 대한 회전을 설명하는 고급 역학에서는 관성 모멘트를 텐서로 대체해야 하며, 이 텐서를 분석하면 세차 운동 및 장동을 포함한 회전의 특성을 결정할 수 있다.^[22] 뉴턴 제2법칙의 미분 형태는 다음과 같이 토크의 대체 정의를 제공한다.^[47]

:

\boldsymbol\tau = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{dt}},

::여기서

\mathbf{L}

은 입자의 각운동량이다. 뉴턴의 운동 제3법칙에 따르면, 토크를 가하는 모든 물체는 크기가 같고 방향이 반대인 토크를 경험하며,^[48] 이는 내부 토크를 통해 회전하는 폐쇄 시스템에서 각운동량 보존을 의미한다.

'''충격량''': 힘을 시간에 대해 적분하면 충격량이 된다.^[53]

:

\mathbf{J}=\int_{t_1}^{t_2}{\mathbf{F} \, \mathrm{d}t},

::이는 뉴턴의 운동 제2법칙에 따라 운동량의 변화와 같다. (충격량-운동량 정리)

7. 1. 일

일은 힘과 변위의 곱으로 정의되는 물리량으로, 에너지 전달의 한 형태이다. 힘

\mathbf{F}

가 한 일

W

는 위치에 대해 다음과 같이 적분으로 나타낼 수 있다.^[3]

:

W= \int_{\mathbf{x}_1}^{\mathbf{x}_2} {\mathbf{F} \cdot {\mathrm{d}\mathbf{x}}},

이는 일-에너지 정리에 따라 운동 에너지의 변화와 같다.^[3]

일률 ''P''는 시간 간격 d''t'' 동안 위치 변화

d\mathbf{x}

에 의해 궤적이 연장될 때 일 ''W''의 변화율, 즉 d''W''/d''t''이다.^[3]

:

\mathrm{d}W = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}\mathbf{x}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x} = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x},

따라서 일률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

P = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}\mathbf{x}} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v},

여기서

\mathbf{v} = \mathrm{d}\mathbf{x}/\mathrm{d}t

는 속도이다.

7. 2. 에너지

힘 대신 수학적으로 관련된 개념인 퍼텐셜 에너지 장이 종종 사용된다. 예를 들어, 물체에 작용하는 중력은 물체의 위치에 존재하는 중력장의 작용으로 볼 수 있다. 에너지의 정의(작업의 정의를 통해)를 수학적으로 다시 말하면, 일을 통해 퍼텐셜 스칼라장

U(\mathbf{r})

은 그 기울기가 모든 지점에서 생성되는 힘과 크기가 같고 방향이 반대인 장으로 정의된다.^[3]^[43]

\mathbf{F}=-\mathbf{\nabla} U.

힘은 보존력 또는 비보존력으로 분류할 수 있다. 보존력은 퍼텐셜의 기울기와 같지만 비보존력은 그렇지 않다.^[3]^[43]

닫힌계에 작용하는 보존력은 에너지가 운동 에너지 또는 위치 에너지 형태 사이에서만 변환될 수 있도록 하는 역학적 일과 관련이 있다. 즉, 닫힌계의 경우 보존력이 계에 작용할 때는 항상 총 역학적 에너지가 보존된다. 따라서 힘은 공간의 두 다른 위치 사이의 위치 에너지 차이와 직접적으로 관련이 있으며, 물의 흐름의 방향과 양을 특정 지역의 표고의 등고선 지도의 산물로 간주할 수 있는 것과 같은 방식으로 퍼텐셜 필드의 산물로 간주할 수 있다.^[54]^[43]

보존력에는 중력, 전자기력, 용수철 힘이 포함된다. 이러한 힘들은 각각 구형 대칭 퍼텐셜에서 나오는 방사 벡터

\mathbf{r}

로 종종 주어지는 위치에 따라 달라지는 모델을 가지고 있다.^[55] 다음은 그 예이다.

중력의 경우:

\mathbf{F}_\text{g} = - \frac{G m_1 m_2}{r^2} \hat\mathbf{r},

여기서

G

는 중력 상수이고,

m_n

은 물체 ''n''의 질량이다.

정전기력의 경우:

\mathbf{F}_\text{e} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2} \hat\mathbf{r},

여기서

\varepsilon_{0}

는 진공의 유전율이고,

q_n

은 물체 ''n''의 전하이다.

용수철 힘의 경우:

\mathbf{F}_\text{s} = -kr\hat\mathbf{r},

여기서

k

는 용수철 상수이다.^[3]^[43]

특정 물리적 시나리오에서는 퍼텐셜의 간단한 기울기로 인한 힘으로 모델링하는 것이 불가능하다. 이는 종종 미시 상태의 거시적인 통계적 평균 때문인데, 예를 들어 정지 마찰은 원자 사이의 수많은 정전기적 퍼텐셜의 기울기로 인해 발생하지만, 어떤 거시적 위치 벡터에도 독립적인 힘 모델로 나타난다. 마찰 이외의 비보존력에는 다른 접촉력, 장력, 압축 및 항력이 포함된다. 그러나 충분히 상세한 설명을 위해, 이러한 거시적 힘은 모두 미시적 퍼텐셜의 기울기의 순 결과이기 때문에 이러한 모든 힘은 보존력의 결과이다.^[3]^[43]

거시적 비보존력과 미시적 보존력 사이의 관계는 통계 역학을 사용한 상세한 처리에 의해 설명된다. 거시적 닫힌계에서 비보존력은 계의 내부 에너지를 변화시키는 역할을 하며, 종종 열 전달과 관련이 있다. 열역학 제2법칙에 따르면, 비보존력은 엔트로피가 증가함에 따라 닫힌계 내에서 질서 있는 상태에서 더 무작위적인 상태로의 에너지 변환을 필연적으로 초래한다.^[3]^[43]

양자역학에서 상호작용은 일반적으로 힘이 아닌 에너지 측면에서 설명된다. 에렌페스트 정리는 양자 기댓값과 고전적인 힘의 개념 사이의 연결을 제공하는데, 양자 물리학은 근본적으로 고전 물리학과 다르기 때문에 이 연결은 반드시 정확하지 않다. 양자 물리학에서 보른 규칙은 위치 측정 또는 운동량 측정의 기댓값을 계산하는 데 사용된다. 이러한 기댓값은 일반적으로 시간에 따라 변한다. 즉, (예를 들어) 위치 측정이 수행되는 시간에 따라 서로 다른 가능한 결과에 대한 확률이 달라진다. 에렌페스트 정리는 대략적으로 이러한 기댓값이 시간에 따라 변하는 방식을 설명하는 방정식이 퍼텐셜 에너지의 음의 도함수로 정의된 힘을 가진 뉴턴의 제2법칙을 연상시키는 형태를 갖는다고 말한다. 그러나 주어진 상황에서 양자 효과가 더 두드러질수록 이 유사성으로부터 의미 있는 결론을 도출하기가 더 어려워진다.^[62]^[63]

7. 3. 충격량

힘을 시간에 대해 적분하면 충격량이 된다.^[53]

\mathbf{J}=\int_{t_1}^{t_2}{\mathbf{F} \, \mathrm{d}t},

이는 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 운동량의 변화와 같다. (충격량-운동량 정리)

7. 4. 일률

일률 ''P''는 시간 간격 d''t'' 동안 위치 변화

d\mathbf{x}

에 의해 궤적이 연장될 때 일 ''W''의 변화율 d''W''/d''t''이다.^[3]

\mathrm{d}W = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}\mathbf{x}} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x} = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x},

따라서

P = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}\mathbf{x}} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v},

여기서

\mathbf{v} = \mathrm{d}\mathbf{x}/\mathrm{d}t

는 속도이다.

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