선형 연속체

1. 개요

선형 연속체는 공집합이 아닌 유계 집합이 상한을 가지고 조밀 순서를 만족하는 전순서 집합이다. 선형 연속체는 순서 위상을 가했을 때 연결 공간과 동치 관계에 있으며, 실수선, 실수의 반직선, 구간 등이 대표적인 예시이다. 반면, 초실수선이나 유리수 집합은 선형 연속체가 아니다. 선형 연속체는 위상수학에서 중요한 개념으로, 순서 위상에서 정렬된 집합이 선형 연속체인 경우에만 연결 공간이 된다.

2. 정의

전순서 집합 $(L,\backslash le)$는 다음 성질을 만족시키는 선형 연속체이다.

* 공집합이 아닌 모든 유계 집합은 상한을 갖는다.
* 조밀 순서이다.

3. 성질

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* 선형 연속체이다.
* 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

임의의 $a,b\backslash in\; L$에 대하여, 만약
*
*
* $[a,\backslash infty)=\backslash \{x\backslash in\; L\backslash colon\; a\backslash le\; x\backslash \}$
* $(\backslash infty,a]=\backslash \{x\backslash in\; L\backslash colon\; x\backslash le\; a\backslash \}$
*
*
*
* $[a,b]=\backslash \{x\backslash in\; L\backslash colon\; a\backslash le\; x\backslash le\; b\backslash \}$

4. 예시

선형 연속체의 예
* 실수선
* 실수의 (열린/닫힌) 반직선
* 실수의 (열린/닫힌) 구간
* 긴 직선
** 연결 공간이지만 축약 가능 공간은 아니다.
* 사전식 순서를 부여한 $[0,1]\backslash times[0,1]$

선형 연속체가 아닌 예
* 초실수선
* 유리수의 전순서 집합
* 유리수의 집합: b)는 만족하지만, a)는 만족하지 않는다.
:::$$
\quad A = \{ x\in\mathbb{Q} \mid x<\sqrt{2} \}

: 3은 A 의 어떤 원소보다도 크므로, A 는 위로 유계이다. 하지만, 유리수의 상한을 갖지 않는다.
* 음이 아닌 정수의 순서 집합: a)는 만족하지만, b)는 만족하지 않는다. 5와 6사이에 음이 아닌 정수는 존재하지 않으므로 조밀하지 않다.
* 0이 아닌 실수 집합 $A\; =\; (-\backslash infty\; ,0\; )\backslash cup\; (0,\backslash infty)$: b)는 만족하지만, $B\; =\; (-\backslash infty\; ,0\; )$는 A의 부분집합이며 위로 유계이지만, B에는 상한이 존재하지 않는다.
* $Z\_-$를 음의 정수의 집합, $A\; =\; (0,5)\backslash cup\; (5,\backslash infty)$로 하고, $S\; =\; Z\_-\; \backslash cup\; A$라고 하면, S 는 a)와 b)를 모두 만족하지 않는다.

5. 위상적 성질

선형 연속체는 전순서 집합 연구뿐만 아니라 위상수학에서도 중요한 개념이다. 순서 위상에서 정렬된 집합은 선형 연속체인 경우에만 연결 공간이 된다.

5.1. 정리

X를 순서 위상에서의 정렬된 집합이라고 하자. 만약 X가 연결되어 있다면, X는 선형 연속체이다.

증명:

x와 y가 X의 원소이고 x < y라고 가정하자. 만약 x < z < y를 만족하는 X의 z가 존재하지 않는다면, 다음 집합들을 고려한다.

:A = (−∞, y)

:B = (x, +∞)

이 집합들은 상호소이고, 공집합이 아님( x는 A에 있고 y는 B에 있다)이며, 열린 집합이고, 그들의 합집합은 X이다. 이는 X의 연결성에 모순된다.

이제 최소 상계 성질을 증명한다. 만약 C가 위로 유계이고 최소 상계를 갖지 않는 X의 부분 집합이라면, D를 C의 상계인 b 형식의 모든 열린 반직선 (b, +∞)의 합집합으로 놓는다. 그러면 D는 (열린 집합들의 합집합이므로) 열려 있으며, 닫힌 집합이다. D는 공집합이 아니므로, D와 그 여집합은 함께 X에 대한 분리 집합을 형성한다. 이는 X의 연결성에 모순된다.

5.2. 정리의 증명

X를 순서 위상에서의 정렬된 집합이라고 하자. 만약 X가 연결 공간이라면, X는 선형 연속체이다.

증명:

x와 y가 X의 원소이고 x < y라고 가정하자. 만약 x < z < y를 만족하는 X의 z가 존재하지 않는다면, 다음 집합들을 고려한다.

:A = (−∞, y)

:B = (x, +∞)

이 집합들은 상호소이고, 공집합이 아님( x는 A에 있고 y는 B에 있다)이며, (순서 위상에서) 열린 집합이고, 그들의 합집합은 X이다. 이는 X의 연결성에 모순된다.

이제 최소 상계 성질을 증명한다. 만약 C가 위로 유계이고 최소 상계를 갖지 않는 X의 부분 집합이라면, D를 C의 상계인 b 형식의 모든 열린 반직선 (b, +∞)의 합집합으로 놓는다. 그러면 D는 (열린 집합들의 합집합이므로) 열려 있으며, 닫힌 집합이다. D는 공집합이 아니므로, D와 그 여집합은 함께 X에 대한 분리 집합을 형성한다. 이는 X의 연결성에 모순된다.

5.3. 정리의 적용

순서 집합 A = (−∞, 0) ∪ (0,+∞)는 선형 연속체가 아니므로 연결되어 있지 않다. 이 정리를 적용하면, R이 연결되어 있다는 사실을 알 수 있다. 실제로 R의 모든 구간(또는 반직선)도 연결되어 있다. 정수 집합은 선형 연속체가 아니므로 연결될 수 없다.

순서 위상에서 순서 집합이 선형 연속체이면 연결되어야 한다. 이 집합의 모든 구간도 선형 연속체이므로, 연결된 집합으로만 구성된 기저를 가지므로 이 공간은 국소 연결이다. 긴 직선은 선형 연속체인 위상 공간의 예시이다.