스틴로드 대수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 홀수 표수
- 2.2. 짝수 표수
3. 구성
4. 성질
5. 기하학적 해석
6. 계산
- 6.1. 복소 사영 공간
- 6.2. 무한 실수 사영 공간
7. 역사
8. 응용
9. 대수적 구성
참조

1. 개요

스틴로드 대수는 소수 p에 대해 정의되는, 안정 코호몰로지 연산으로 구성된 $\mathbb F_p$ 위의 등급 호프 대수이다. 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환인 코호몰로지 연산은 현수와 교환되지 않는 불안정성을 가지며, 스틴로드는 모든 i에 대해 안정 연산을 구성했다. 모드 2 스틴로드 대수는 $Sq^i$ 에 의해 생성되며, $p > 2$ 인 경우 모드 p 스틴로드 대수는 $P^i$ 와 Bockstein 연산 $\beta$ 에 의해 생성된다. 스틴로드 대수는 아뎀 관계를 만족하며, 애덤스 스펙트럼 열 계산, 호프 대수 구조, 형식 군과의 관계, 유한 부분 호프 대수, 기하학적 해석, 계산, 역사, 응용 등 다양한 측면에서 연구된다.

더 읽어볼만한 페이지

대수적 위상수학 - 매시 곱
매시 곱은 미분 등급 대수 원소에 대한 연산으로 코호몰로지 곱으로 파악하기 어려운 위상수학적 불변량을 측정하며, 2항 곱과 3항 곱을 일반화한 형태로 불확정성을 가지지만, 브루니안 링크, 보로메오 고리 연구 및 꼬인 K-이론 등 다양한 분야에 응용된다.
대수적 위상수학 - 톰 공간
톰 공간은 파라콤팩트 공간 위의 벡터 다발을 이용하여 구성되며, 르네 톰에 의해 도입되었고, 톰 동형을 통해 기저 공간의 코호몰로지와 관계를 가지며 특성류 이론 등에서 중요한 역할을 한다.

스틴로드 대수

2. 정의

소수 $p$ 에 대하여, '''스틴로드 대수'''는 안정 코호몰로지 연산으로 구성된, $\mathbb{F}_p$ 위의 등급 호프 대수이다.

코호몰로지 연산은 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환이다. 예를 들어, 환 $R$ 을 계수로 하여 코호몰로지를 취하면, 컵 곱 제곱 연산은 일련의 코호몰로지 연산을 생성한다.

: $H^n(X;R) \to H^{2n}(X;R)$

: $x \mapsto x \smile x.$

코호몰로지 연산은 등급 환의 준동형일 필요는 없다. (아래의 카르탄 공식을 참조)

이러한 연산은 현수와 교환되지 않아 불안정하다. 이는 $Y$ 가 공간 $X$ 의 현수이면, $Y$ 의 코호몰로지에서 컵 곱이 자명하기 때문이다.

스틴로드는 모든 $i$ 에 대해 안정 연산 $Sq^i \colon H^n(X;\Z /2) \to H^{n+i}(X;\Z /2)$ 를 구성했다. $Sq$ 표기와 스틴로드 제곱이라는 이름은, $n$ 차수의 클래스에 제한된 $Sq^n$ 이 컵 제곱이라는 사실에서 유래한다. 홀수 차수 계수에 대한 유사한 연산도 있으며, 일반적으로 $P^i$ 로 표시되고 축소된 $p$ 차 거듭제곱 연산이라고 불린다.

: $P^i \colon H^n(X;\Z /p) \to H^{n+2i(p-1)}(X;\Z /p)$

$Sq^i$ 는 $\mathbb{F}_2$ 위의 연결된 등급 대수를 생성하며, 곱셈은 연산의 합성에 의해 주어진다. 이것이 모드 2 스틴로드 대수이다.

스틴로드 대수는 스틴로드 제곱 $Sq^n\colon H^m \to H^{m+n}$ 이 다음 5가지 공리에 의해 특징지어진다는 것을 보였다.

# 자연성: $Sq^n \colon H^m(X;\Z /2) \to H^{m+n}(X;\Z /2)$ 는 가법적 준동형 사상이며, 임의의 $f\colon X\to Y$ 에 대해 자연적이다. 즉, $f^*(Sq^n(x)) = Sq^n(f^*(x))$ 이다.

# $Sq^0$ 는 항등 준동형 사상이다.

# $x \in H^n(X;\Z /2)$ 에 대해 $Sq^n(x) = x \smile x$ 이다.

# $n> \deg(x)$ 이면 $Sq^n(x) = 0$ 이다.

# 카르탄 공식: $Sq^n(x \smile y) = \sum_{i+j=n} (Sq^i x) \smile (Sq^j y)$

또한 스틴로드 제곱은 다음과 같은 성질을 갖는다.

$Sq^1$ 는 $0 \to \Z/2 \to \Z/4 \to \Z/2 \to 0$ 의 완전열의 복시테인 준동형 $\beta$ 이다.
$Sq^i$ 는 코호몰로지의 긴 완전열의 연결 사상과 교환한다. 특히, 현수 $H^k(X;\Z /2) \cong H^{k+1}(\Sigma X;\Z /2)$ 에 대해 교환한다.
아뎀 관계를 만족한다.

p > 2

의 경우, 모드

p

스틴로드 대수는

P^i

와 복시테인 준동형

\beta

에 의해 생성되며, 이는 단사 사슬

:

0 \to \Z /p \to \Z /p^2 \to \Z /p \to 0

.

와 관련되어 있다.

p=2

의 경우, 복시테인 준동형은

Sq^1

이고 축소된

p

차 거듭제곱

P^i

는

Sq^{2 i}

이다.

다음 공리는

p > 2

에 대한 축소된

p

제곱을 특징짓는다.

# 자연성:

P^n\colon H^m(X,\Z /p\Z ) \to H^{m+2n(p-1)}(X,\Z /p\Z )

는 가법적 준동형 사상이며 자연적이다.

#

P^0

는 항등 준동형 사상이다.

#

P^n

는 차수

2n

인 클래스에 대한 컵

p

제곱이다.

#

2n > \deg(x)

이면

P^n(x) = 0

이다.

# 카르탄 공식:

P^n(x \smile y) = \sum_{i+j=n} (P^i x) \smile (P^j y)

마찬가지로, 축소된 ''p''제곱은 아뎀 관계를 만족하고 현수 및 경계 연산자와 교환한다.

2. 1. 홀수 표수

홀수 소수

p

에 대하여,

\mathbb F_p

위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.

$\operatorname P^i \colon\operatorname H^n(X;\mathbb F_p) \to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb F_p)$
$\beta\colon\operatorname H^n(X;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{H+1}(X;\mathbb F_p)$

\operatorname P^i

는

i

차 '''스틴로드 축소 거듭제곱'''(Steenrod reduced power^영어)이라고 한다.

\beta

는 아벨 군 짧은 완전열

0\to\mathbb Z/p\to\mathbb Z/p^2\to\mathbb Z_p\to0

에 대응하는 복시테인 준동형이다.

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.

$\operatorname P^i$ 는 자연 변환 $\operatorname H^n(-;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{n+2i(p-1)}(-;\mathbb F_p)$ 을 정의한다.
$\operatorname P^0$ 은 항상 항등 함수이다.
$\operatorname P^i|_{\operatorname H^{2i}(-;\mathbb F_p)}\colon\alpha\mapsto\alpha^{\smile p}$ 이다.
만약 $2i>n$ 이라면 $\operatorname P^i|_{\operatorname H^n(X;\mathbb F_p)}=0$ 이다.
(카르탕 공식 Cartan formula^영어) $\operatorname P^n(\alpha\smile\beta)=\sum_{i+j=n}\operatorname P^i\alpha\smile\operatorname P^j\beta$ 이다.

p > 2

인 경우, 모드

p

스틴로드 대수는

P^i

와 Bockstein 연산

\beta

에 의해 생성되며, 이는 단사 사슬

:

0 \to \Z /p \to \Z /p^2 \to \Z /p \to 0

.

와 관련되어 있다.

2. 2. 짝수 표수

\mathbb F_2

위의 스틴로드 대수는 스틴로드 제곱

\operatorname{Sq}^i

로 생성된다. 짝수 표수의 경우,

\operatorname P^i=\operatorname{Sq}^{2i}

이며

\beta=\operatorname{Sq}^1

이다. 이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.

$\operatorname{Sq}^i$ 는 자연 변환 $\operatorname H^n(-;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{n+2i(p-1)}(-;\mathbb F_p)$ 을 정의한다.
$\operatorname{Sq}^0$ 은 항상 항등 함수이다.
$\operatorname{Sq}^i|_{\operatorname H^i(-;\mathbb F_p)}\colon\alpha\mapsto\alpha^{\smile2}$ 이다.
만약 $i>n$ 이라면 $\operatorname{Sq}^i|_{\operatorname H^n(X;\mathbb F_p)}=0$ 이다.
(카르탕 공식 Cartan formula^영어) $\operatorname{Sq}^n(\alpha\smile\beta)=\sum_{i+j=n}\operatorname{Sq}^i\alpha\smile\operatorname{Sq}^j\beta$ 이다.

3. 구성

자유롭게 작용하는 유한군 $G$ 와 위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, 크기가 $n$ 인 집합 위에 대하여 $n$ 제곱 함수

: $\operatorname H^i(X)\to\operatorname H^{ni}(X)$

: $\alpha\mapsto\alpha^{\smile n}$

를 구성할 수 있다.

이는 다음과 같이 분해될 수 있다.

: $\begin{matrix}\operatorname H^i(X)&\to&\operatorname H^{ni}(\operatorname EG\times_GX^n)&\to&\operatorname H^{ni}(X^n)\\&&\downarrow&&\downarrow\\&&\operatorname H^{ni}(\operatorname BG\times X)&\to&\operatorname H^{ni}(X)\end{matrix}$

여기서 $n=p$ 가 소수이며 $G=\operatorname{Cyc}(p)$ 가 순환군일 경우, 분류 공간과 퀴네트 정리를 통해 스틴로드 제곱

: $\operatorname{Sq}^k\colon\operatorname H^i(X;\mathbb F_p)\to\operatorname H^{i+k}(X;\mathbb F_p)$

과 스틴로드 축소 거듭제곱을 얻을 수 있다.

$p=2$ 인 경우 분류 공간은 무한 실수 사영 공간

: $\operatorname B\operatorname{Cyc}(2)=\mathbb S^\infty/\operatorname{Cyc}(2)=\mathbb{RP}^\infty$

이며, 그 $\mathbb F_2$ 계수 코호몰로지는

: $\operatorname H^\bullet(\mathbb{RP}^\infty;\mathbb F_2)=\mathbb F_2[w_1],\;\deg w_1=1$

이다. 여기서 $w_1$ 은 자명한 실수 선다발의 슈티펠-휘트니 특성류이다. 체 계수의 퀴네트 정리에 따라서

: $\operatorname H^\bullet(\operatorname BG\times X;\mathbb F_p)=\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_p)[w_1]\quad(\deg w_1=1)$

이다. 따라서, 합성

: $\operatorname{Sq}\colon\operatorname H^i(X;\mathbb F_2)\to\operatorname H^{2i}(\mathbb{RP}^\infty\times X;\mathbb F_2)$

을

: $\operatorname{Sq}=\sum_{k=0}^i\operatorname{Sq}^kw_1^{i-k}$

로 전개한다면 스틴로드 제곱을 얻는다.

$p$ 가 홀수 소수일 경우에는 스틴로드 축소 거듭제곱을 얻는다.

4. 성질

스틴로드 대수는 스틴로드 제곱 $Sq^n\colon H^m \to H^{m+n}$ 이 다음 5가지 공리에 의해 특징지어진다고 설명한다.^[2]

# '''자연성''': $Sq^n \colon H^m(X;\mathbb{Z} /2) \to H^{m+n}(X;\mathbb{Z} /2)$ 는 가법적 준동형 사상이며, 임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대해 자연적이다. 즉, $f^*(Sq^n(x)) = Sq^n(f^*(x))$ 이다.

# $Sq^0$ 는 항등 준동형 사상이다.

# $x \in H^n(X;\mathbb{Z} /2)$ 에 대해 $Sq^n(x) = x \smile x$ 이다.

# $n> \deg(x)$ 이면 $Sq^n(x) = 0$ 이다.

# '''카르탄 공식''': $Sq^n(x \smile y) = \sum_{i+j=n} (Sq^i x) \smile (Sq^j y)$

또한 스틴로드 제곱은 다음과 같은 성질을 갖는다.

$Sq^1$ 는 $0 \to \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/4 \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ 의 완전열의 복슈타인 준동형 사상 $\beta$ 이다.
$Sq^i$ 는 코호몰로지의 긴 완전열의 연결 사상과 교환한다. 특히, 현수 $H^k(X;\mathbb{Z} /2) \cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathbb{Z} /2)$ 에 대해 교환한다.
아뎀 관계를 만족한다.

p > 2

인 경우, 축소된

p

제곱은 다음과 같은 공리로 특징지어진다.

# '''자연성''':

P^n\colon H^m(X,\mathbb{Z} /p\mathbb{Z} ) \to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb{Z} /p\mathbb{Z} )

는 가법적 준동형 사상이며 자연적이다.

#

P^0

는 항등 준동형 사상이다.

#

P^n

는 차수

2n

인 클래스에 대한 컵

p

제곱이다.

#

2n > \deg(x)

이면

P^n(x) = 0

이다.

# '''카르탄 공식''':

P^n(x \smile y) = \sum_{i+j=n} (P^i x) \smile (P^j y)

축소된 ''p''제곱은 아뎀 관계를 만족하고 현수 및 경계 연산자와 교환한다.

스틴로드 대수는 호프 대수 구조를 가지며, 형식 군과 관련되어 있다. 또한, 유한 부분 호프 대수에 의한 여과를 허용한다.

4. 1. 아뎀 관계

아뎀 관계는 스틴로드 제곱 또는 축소 거듭제곱의 합성을 세르-카르탕 기저 원소의 합으로 나타내는 관계식이다.^[2]

p=2

일 경우, 생성 함수를 이용하여 아뎀 관계를 표현할 수 있다.^[3]

:

\operatorname{Sq}(t)=\sum_{i=0}^\infty t^i\operatorname{Sq}^i

:

\operatorname{Sq}(s^2+st)\operatorname{Sq}(t^2)=\cdots[s\leftrightarrow t]

여기서 우변은 좌변과 같지만,

s

와

t

를 서로 바꾼 것이다.

p>2

일 경우, 생성 함수를 다음과 같이 정의한다.

:

\operatorname P(t)=\sum_{i=0}^\infty t^i\operatorname P^i

이때 아뎀 관계는 다음과 같다.

:

(1+s\operatorname{Ad}\beta)\operatorname P(t^p+t^{p-1}s+\cdots+ts^{p-1})\operatorname P(s^p)=\cdots[s\leftrightarrow t]

여기서

(\operatorname{Ad}\beta)\operatorname P=\beta\operatorname P-\operatorname P\beta

이며, 우변은 좌변과 같지만,

s

와

t

를 서로 바꾼 것이다.

p=2

에 대한 아뎀 관계는 우웬-쥔에 의해 추측되었고, 아뎀에 의해 증명되었다. 구체적인 식은 다음과 같다.

:

Sq^i Sq^j = \sum_{k=0}^{\lfloor i/2 \rfloor} {j-k-1 \choose i-2k} Sq^{i+j-k} Sq^k

여기서

i,j>0

이고

i< 2j

를 만족한다. 이항 계수는 mod 2로 해석된다.

홀수 소수

p

에 대한 아뎀 관계는 다음과 같다.

:

P^{a}P^{b} = \sum_i (-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi} P^{a+b-i}P^i

(''a''<''pb''인 경우)

:

P^{a}\beta P^{b} = \sum_i (-1)^{a+i}{(p-1)(b-i) \choose a-pi} \beta P^{a+b-i}P^i+\sum_i (-1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi-1} P^{a+b-i}\beta P^i

(

a\le pb

인 경우)

아뎀 관계는 스틴로드 제곱의 임의의 합성을 세르-카르탕 기저 원소의 합으로 쓸 수 있게 해준다.

4. 2. 애덤스 스펙트럼 열

유한 차원 CW 복합체

X

,

Y

가 주어졌을 때,

\mathbb F_p

계수의 코호몰로지 군은 스틴로드 대수

A_p

위의 가군을 이룬다. 이 경우, '''애덤스 스펙트럼 열'''은 다음과 같은 스펙트럼 열이다.^[4]

:

E_2^{p,q}=\operatorname{Ext}^{p,q}_{A_p}\left(\operatorname H^\bullet(Y;\mathbb F_p),\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_p)\right)

이는 호모토피 군

[X,Y]

의

p

차 꼬임 부분군으로 수렴한다.

특히,

X

와

Y

가 초구일 때, 애덤스 스펙트럼 열은 초구의 호모토피 군을 계산한다.

스틴로드 대수의 코호몰로지는 (''p''-국소) 애덤스 스펙트럼 열의

E_2

항이며, 이 스펙트럼 열의 극한은 구의 안정 호모토피 군의 ''p''-성분이다. 더 구체적으로, 이 스펙트럼 열의

E_2

항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mathrm{Ext}^{s,t}_{A}(\mathbb{F}_p, \mathbb{F}_p).

이것이 바로 "스틴로드 대수의 코호몰로지는 구의 안정 호모토피 군의 근사이다"라는 격언이 의미하는 바이다.

4. 3. 호프 대수 구조와 밀너 기저

스틴로드 대수는 쌍대곱 사상을 가지는 호프 대수이다.^[1] 쌍대곱 사상은 다음과 같이 주어진다.

:

\psi(Sq^k) = \sum_{i+j=k} Sq^i \otimes Sq^j

:

\psi(P^k) = \sum_{i+j=k} P^i \otimes P^j

:

\psi(\beta) = \beta\otimes1+1\otimes\beta

.

이 공식들은 스틴로드 대수가 공가환임을 보여준다.

선형 쌍대 공간인 쌍대 스틴로드 대수

A_*

는 밀너에 의해 연구되었다.^[1]

p = 2

인 경우,

A_*

는 모든 ''k''에 대해 차수

2^k-1

인 생성자

\xi_k

를 갖는 다항식 대수이다.

p > 2

인 경우, 쌍대 스틴로드 대수

A_*

는 차수

2p^k-2

(k\ge 1)

인 생성자

\xi_k

를 갖는 다항식 대수와 차수

2p^k-1

(k\ge 0)

의 생성자 τ_k를 갖는 외대수의 텐서곱이다.

A_*

에 대한 단항 기저는 ''A''에 대한 또 다른 기저를 제공하며, 이를 '''밀너 기저'''라고 한다.

A_*

에 대한 쌍대곱은 ''A''의 곱의 쌍대이며 다음과 같이 주어진다.

:

\psi(\xi_n) = \sum_{i=0}^n \xi_{n-i}^{p^i} \otimes \xi_i.

여기서

\xi_0=1

, 그리고

:

\psi(\tau_n) = \tau_n\otimes 1 + \sum_{i=0}^n \xi_{n-i}^{p^i} \otimes \tau_i

if

p>2

.

p=2

에 대한

A_*

의 유일한 원시 원소는

\xi_1^{2^i}

형태의 원소이며, 이는

Sq^{2^i}

의 쌍대이다.

4. 4. 형식 군과의 관계

쌍대 스틴로드 대수는 초가환 호프 대수이므로, 그 스펙트럼은 대수 초군 스킴이다. 이 군 스킴들은 1차원 덧셈 형식 군의 자기 동형 사상과 밀접하게 관련되어 있다. 예를 들어,

p=2

일 때 쌍대 스틴로드 대수는 1차원 덧셈 형식 군 스킴

x+y

의 자기 동형 사상 중에서 1차에서 항등원인 것들의 군 스킴이다. 이러한 자기 동형 사상은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

x\rightarrow x + \xi_1x^2+\xi_2x^4+\xi_3x^8+\cdots

4. 5. 유한 부분 호프 대수

p = 2

스틴로드 대수는 유한 부분 호프 대수에 의한 여과를 허용한다.

\mathcal{A}_2

는 다음 원소에 의해 생성된다.

:

Sq^{2^i}

따라서 다음과 같은 부분 대수

\mathcal{A}_2(n)

을 형성할 수 있다. 이는 다음 스틴로드 제곱에 의해 생성된다.

:

Sq^1, Sq^2, \ldots, Sq^{2^n}

이는 다음과 같은 여과를 제공한다.

:

\mathcal{A}_2(1) \subset \mathcal{A}_2(2) \subset \cdots \subset \mathcal{A}_2.

이 대수들은

\pi_*(ko)

및

\pi_*(tmf)

와 같은 많은 아담스 스펙트럼 열 계산을 단순화하는 데 사용할 수 있기 때문에 중요하다.

5. 기하학적 해석

스틴로드 제곱은 코호몰로지 클래스를 나타내는 다양체의 법선 다발의 슈티펠-휘트니 클래스의 푸시포워드로 해석할 수 있다.

매끄러운 다양체 $X$ 의 코호몰로지 클래스 $\alpha \in H^*(X)$ 가 매끄러운 부분 다양체 $f\colon Y \hookrightarrow X$ 로 표현된다고 가정하자. 코호몰로지적으로, $1 = [Y] \in H^0(Y)$ 를 $Y$ 의 기본 클래스로 나타낸다면, 푸시포워드 사상

: $f_*(1) = \alpha$

는 $\alpha$ 의 표현을 제공한다. 이 매립과 관련된 실수 벡터 다발인 법선 다발 $\nu_{Y/X} \to Y$ 를 통해 $\alpha$ 의 스틴로드 제곱을 이해할 수 있다. 이는 법선 다발의 슈티펠-휘트니 클래스의 푸시포워드이다.

: $Sq^i(\alpha) = f_*(w_i(\nu_{Y/X})),$

이는 스틴로드 곱이 결국 사라지는 기하학적 이유를 제공한다. 스틴로드 사상은 군 준동형이므로, 만약 합으로 나타낼 수 있는 클래스 $\beta$ 가 있다면

: $\beta = \alpha_1+ \cdots + \alpha_n,$

여기서 $\alpha_k$ 는 다양체로 표현되고, 우리는 클래스의 제곱을 기본 매끄러운 다양체의 법선 다발의 푸시포워드의 합으로 해석할 수 있다. 즉,

: $Sq^i(\beta) = \sum_{k=1}^n f_*(w_i(\nu_{Y_k/X})).$

이 등가성은 우 공식과 강하게 관련되어 있다.

6. 계산

스틴로드 연산은 스틴로드 제곱의 형식적 성질과 카르탄 관계를 이용하여 계산할 수 있다. 무한 실수 사영 공간의 경우 다음이 성립한다.

: $H^*(\mathbb{RP}^\infty;\Z /2) \cong \Z /2[x],$

여기서 $\deg(x) = 1.$ 이다. $H^1$ 에 대한 연산은 다음과 같다.

: $\begin{align}Sq^0(x) &= x \\Sq^1(x) &= x^2 \\Sq^k(x) &= 0 && \text{ 모든 } k>1에 대해\end{align}$

카르탄 관계에 의해 전체 제곱

: $Sq := Sq^0 + Sq^1 + Sq^2 + \cdots$

은 환 준동형사상이다.

: $Sq\colon H^*(X) \to H^*(X).$

따라서 다음이 성립한다.

: $Sq(x^n) = (Sq(x))^n = (x + x^2)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} x^{n+i}$

이전 합의 차수 $n+i$ 성분은 하나뿐이므로, 다음을 얻는다.

: $Sq^i(x^n) = {n \choose i}x^{n+i}.$

6. 1. 복소 사영 공간

복소 사영 평면 $\mathbf{CP}^2$에는 다음과 같은 비자명 코호몰로지 군만 존재한다.

:

H^0(\mathbf{CP}^2) \cong H^2(\mathbf{CP}^2) \cong H^4(\mathbf{CP}^2) \cong \Z

이는 세포 분해를 사용하여 계산할 수 있다. 이것은 유일한 가능한 비자명 스틴로드 곱이 $H^2(\mathbf{CP}^2;\Z/2)$에서 $Sq^2$임을 의미하는데, 이는 코호몰로지에 대한 컵 곱을 제공하기 때문이다. $H^\ast(\mathbf{CP}^2;\Z/2)$의 컵 곱 구조가 자명하지 않으므로, 이 제곱은 자명하지 않다. 복소 사영 공간 $\mathbf{CP}^6$에도 유사한 계산이 적용되며, 유일한 비자명 제곱은 컵 곱을 나타내는 코호몰로지 군 $H^{2i}$에 대한 $Sq^0$과 제곱 연산 $Sq^{2i}$이다. $\mathbf{CP}^8$에서 제곱

:

Sq^2\colon H^4(\mathbf{CP}^8;\Z/2) \to H^6(\mathbf{CP}^8;\Z/2)

은 위에 설명된 기하학적 기법과 천 특성과 슈티펠-휘트니 특성 사이의 관계를 사용하여 계산할 수 있다. $f\colon \mathbf{CP}^4 \hookrightarrow \mathbf{CP}^8$는 $H^4(\mathbf{CP}^8;\Z/2)$에서 0이 아닌 클래스를 나타낸다. 또한 카르탄 공식을 사용하여 직접 계산할 수 있는데, $x^2 \in H^4(\mathbf{CP}^8)$이고

:

\begin{align}Sq^2(x^2) &= Sq^0(x)\smile Sq^2(x) + Sq^1(x)\smile Sq^1(x) + Sq^2(x)\smile Sq^0(x) \\&= 0.\end{align}

6. 2. 무한 실수 사영 공간

스틴로드 연산은 스틴로드 제곱의 형식적 성질과 카르탄 관계를 이용하여 계산할 수 있다. 실수 사영 공간의 경우 다음이 성립한다.

:

H^*(\mathbb{RP}^\infty;\Z /2) \cong \Z /2[x],

여기서

\deg(x) = 1.

이다.

H^1

에 대한 연산은 다음과 같다.

:

\begin{align}Sq^0(x) &= x \\Sq^1(x) &= x^2 \\Sq^k(x) &= 0 && \text{ 모든 } k>1에 대해\end{align}

카르탄 관계는 전체 제곱

:

Sq := Sq^0 + Sq^1 + Sq^2 + \cdots

이 환 준동형사상임을 의미한다.

:

Sq\colon H^*(X) \to H^*(X).

따라서 다음이 성립한다.

:

Sq(x^n) = (Sq(x))^n = (x + x^2)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} x^{n+i}

이전 합의 차수

n+i

성분은 하나뿐이므로, 다음을 얻는다.

:

Sq^i(x^n) = {n \choose i}x^{n+i}.

7. 역사

노먼 스틴로드는 $p=2$ 인 경우를 1947년에,^[5] $p>2$ 인 경우를 1953년에 도입하였다.^[6]

아뎀 관계는 멕시코의 수학자 José Ádem Chaín|호세 아뎀 차인^es(1921~1991)이 1952년에 도입하였다.^[2] 존 프랭크 애덤스는 애덤스 스펙트럼 열을 1958년에 도입하였다.^[4]

8. 응용

장 피에르 세르는 세르 스펙트럼 열에서의 전이 미분과 스틴로드 연산의 호환성을 사용하여 구의 일부 호모토피 군을 계산하였다. 르네 톰은 보디즘 클래스의 등급환을 톰 복합체의 호모토피 군과 동일시함으로써 코보디즘까지의 매끄러운 다양체를 분류하였고, 이는 C. T. C. 월에 의해 방향성 다양체의 경우로 개선되었다.

J. 프랭크 아담스는 적절한 아뎀 관계와 관련된 2차 코호몰로지 연산을 통한 인수분해를 이용하여 호프 불변량 1 문제 해결에 스틴로드 연산을 응용하였다. 법 2 스틴로드 대수의 비교적 초보적인 응용 분야 중 하나는 다음 정리이다.

'''정리'''. $S^{2n-1}\to S^n$ 맵이 호프 불변량 1이면 ''n''은 2의 거듭제곱이다.

이 증명은 각 $Sq^k$ 가 2의 거듭제곱이 아닌 ''k''에 대해 분해 가능하다는 사실, 즉 그러한 요소는 엄격하게 더 작은 차수의 제곱의 곱이라는 사실을 사용한다.

마이클 A. 만델은 스틴로드 대수(계수는 $\mathbb{F}_p$ 의 대수적 폐포)를 연구하여 다음 정리를 증명했다.

'''정리'''. $\mathbb{F}_p$ 의 대수적 폐포를 계수로 하는 특이 코체인 함자는 유한 $p$ -형태의 연결된 $p$ -완전 멱영 공간의 호모토피 범주에서 $\mathbb{F}_p$ 의 대수적 폐포를 계수로 하는 $E_\infty$ -대수의 호모토피 범주의 전체 부분 범주로의 반변 동치성을 유도한다.

9. 대수적 구성

Larry Smith|래리 스미스^영어는 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위의 스틴로드 대수에 대한 대수적 구성을 제시했다. 만약 ''V''가 $\mathbb{F}_q$ 위의 벡터 공간이라면, ''SV''를 ''V''의 대칭 대수로 표기한다. 다음의 대수 준동형사상이 존재한다.

: $\begin{cases} P(x)\colon SVx\to SVx \\ P(x)(v) = v+F(v)x=v+v^qx & v \in V \end{cases}$

여기서 ''F''는 ''SV''의 프로베니우스 자기 준동형사상이다. 만약 다음과 같이 둔다면

: $P(x)(f)=\sum P^i(f)x^i \qquad p >2$

또는

: $P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^i \qquad p =2$

$f\in SV$ 에 대해, 만약 ''V''가 무한 차원이라면, 원소 $P^I$ 는 홀수 소수 ''p''에 대한 축소된 ''p''제곱근과 $p = 2$ 일 때 짝수 스틴로드 제곱 $Sq^{2i}$ 에 의해 생성되는 스틴로드 대수의 부분 대수에 대한 대수 동형사상을 생성한다.

참조

_[1] 웹사이트 at.algebraic topology – (Co)homology of the Eilenberg–MacLane spaces K(G,n) https://mathoverflow[...] 2021-01-15
_[2] 저널 The iteration of the Steenrod squares in algebraic topology 1952
_[3] 저널 On the Adem relations
_[4] 저널 On the structure and applications of the Steenrod algebra
_[5] 저널 Products of cocycles and extensions of mappings 1947
_[6] 저널 Homology groups of symmetric groups and reduced power operations 1953

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com