엡실론-델타 논법

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사적 배경
- 2.1. 한국 수학 교육 과정에서의 엡실론-델타 논법
3. 함수의 극한
- 3.1. 정의
- 3.2. 거리 공간으로의 확장
4. 함수의 연속성
- 4.1. 정의
5. 균등 연속
- 5.1. 정의
6. 수열의 극한 (ε-N 논법)
7. 함수열의 수렴
참조

1. 개요

엡실론-델타 논법은 19세기에 코시와 바이어슈트라스에 의해 완성된 미적분학의 엄밀한 정의로, 무한소나 무한대 개념 없이 함수의 극한과 연속성을 정의한다. 함수의 극한, 연속성, 균등 연속성 등을 정의하는 데 사용되며, 특히 함수의 극한에 관한 정리를 증명하는 데 기초가 된다. 대한민국 고등학교 수학 교육 과정에서는 직접 다루지 않지만, 대학교 이공계 학과에서는 해석학, 미적분학 등에서 배우며, 거리 공간으로의 확장 및 수열의 극한(ε-N 논법)에도 적용된다.

더 읽어볼만한 페이지

극한 - 수열의 극한
수열의 극한은 수열의 항들이 무한히 진행될 때 특정한 값에 한없이 가까워지는 개념으로, 해석학의 기초가 되며 실수 수열의 극한 외에도 발산이나 일반화된 형태를 포함한다.
극한 - 함수의 극한
함수의 극한은 변수가 특정 값에 가까워질 때 함수 값의 변화를 나타내는 미적분학의 기초 개념이며, 입실론-델타 논법으로 엄밀하게 정의되고 유한 값뿐만 아니라 무한대로의 접근도 포함한다.
술어 논리 - 양화
양화는 논리학과 수학에서 명제의 범위를 지정하는 개념으로, '모든', '어떤'과 같은 의미를 나타내며, 전칭 양화자 '∀'와 존재 양화자 '∃' 등의 기호로 표현된다.
술어 논리 - 존재 양화사
존재 양화사는 형식 논리에서 특정 조건을 만족하는 대상이 존재함을 나타내는 방법으로, 수리 논리학에서는 기호 " $\exists$ "를 사용하여 변수가 특정 집합에 속하면서 주어진 조건을 만족하는 원소가 적어도 하나 존재함을 나타내며, 존재 일반화, 존재 제거 등의 추론 규칙과 관련이 있고, 담화 영역에 따라 진술의 참과 거짓이 달라질 수 있으며, 존재 양화된 명제 함수의 부정은 해당 명제 함수의 부정의 전칭 양화와 논리적으로 동치이다.
해석학 (수학) - 수학적 최적화
수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수 또는 정수 변수를 갖는 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제로, 변수 종류, 제약 조건, 목적 함수 개수에 따라 다양한 분야로 나뉘며 여러 학문 분야에서 활용된다.
해석학 (수학) - 라플라스 변환
라플라스 변환은 함수 f(t)를 복소수 s를 사용하여 적분을 통해 다른 함수 F(s)로 변환하는 적분 변환이며, 선형성을 가지고 미분방정식 풀이 등 공학 분야에서 널리 사용된다.

엡실론-델타 논법
정의
주제	함수의 극한
설명	함수의 극한의 엄밀한 정의
분야	해석학
변수
ε (엡실론)	양의 실수, 극한의 허용 오차
δ (델타)	양의 실수, 입력값의 허용 오차
L	함수의 극한값
a	입력값, 극한을 취하는 점
f(x)	함수
x	함수의 입력
표현
수식	임의의 ε > 0에 대해, 0 < \|x - a\| < δ를 만족하는 모든 x에 대해 \|f(x) - L\| < ε을 만족하는 δ > 0이 존재한다.
의미	x가 a에 충분히 가까워질 때, f(x)는 L에 임의로 가까워진다.
필요 조건
전제 조건	거리 공간 또는 위상 공간에서 정의된 함수
관련 개념
관련 개념	극한 (수학) 연속 함수 미분 가능성

2. 역사적 배경

뉴턴과 라이프니츠가 창시한 미분적분학은 무한소(어떤 양의 실수보다 작은 양의 수)나 무한대(어떤 실수보다 큰 수)와 같이 실수의 범위에서는 정의할 수 없는 개념을 사용하고 있었다. 이러한 상황은 오일러에 의해 미분적분학이 크게 발전한 18세기까지 지속되었다. 당시의 수학자들은 급수의 발산과 수렴에 대한 정의에 무관심한 채 이론을 발전시켜나갔기 때문에, 종종 잘못된 결론이 도출되는 경우가 있었다.

19세기에 들어서 코시나 베르나르트 볼차노 등에 의해 엄밀한 정의에 기초하여 미분적분학을 재구축하려는 시도가 이루어지게 된다. 1817년 베른하르트 볼차노가 기본적인 개념을 세웠고, 이후 코시가 최초로 (''ε'', ''δ'') 표기를 사용해 극한과 연속성을 좀 더 엄밀하게 정의하였다. 코시는 자신의 저서 Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique|쿠르 다날리즈 드 레콜 루아얄 폴리테크니크^fra에서 ε-δ 논법을 사용하여 함수의 연속성을 정의했지만, 이 시점에서는 연속과 균등 연속의 구별이 명확하지 않았기 때문에 코시는 관련된 오류를 범하기도 했다.

이후 카를 바이어슈트라스가 이것을 논리적으로 더욱 엄밀하게 하여 정식화하였고, 1860년대 그의 강의를 통해 ε-δ 논법은 현재와 같은 형태로 완성되었다. 이것에 의해 무한소나 무한대라는 개념을 일절 사용하지 않고 수렴 및 연속이 정의되게 되었다^[1]^[2].

한편, ε-δ 논법의 등장으로 한때 수학에서 추방되었던 무한소와 무한대를 사용하는 해석도 현대에서는 '''초실수'''를 사용함으로써 정당화되어 비표준 해석(Non-standard analysis)이라는 분야에서 연구되고 있다.

2. 1. 한국 수학 교육 과정에서의 엡실론-델타 논법

미적분학의 정리, 특히 함수의 극한에 관한 정리는 이 ε-δ 논법에 의한 정의에 기초하여 증명된다. 다시 말해, ε-δ 논법을 사용하지 않는 미분 적분학은 엄밀한 정의에 기초하지 않으므로, 수학계에서는 고등학교 수학 단계에서부터 ε-δ 논법에 따른 정의를 가르쳐야 한다는 의견이 있다.

반면, 수학 외 자연과학을 포함한 여러 분야에서는 ε-δ 논법 수준의 엄밀함 없이도 결과적으로 올바른 결론에 도달하는 경우가 많기 때문에, 대학교 교육에서도 불필요하다는 시각도 있다. 이처럼 ε-δ 논법 교육의 필요성은 수학 교육에서 오랫동안 지속되어 온 논쟁거리이다.

3. 함수의 극한

$x$ 가 $c$ 로 갈 때 함수 $f(x)$ 의 극한이 $L$ 임을 나타내는 기호는 다음과 같다.

: $\lim_{x\to c}f(x)=L$

이는 직관적으로 $x$ 가 $c$ 에 '한없이 가까워질 때' $f(x)$ 도 $L$ 에 '한없이 가까워짐'을 의미한다. 그러나 '한없이 가까워진다'는 표현은 수학적으로 엄밀하지 않아 모호함을 야기할 수 있다.

그림 1. 직관적인 극한 정의의 문제점을 보여주는 디리클레 함수. $x$ 가 0으로 갈 때 극한값을 명확히 정의하기 어렵다.

예를 들어, 구간

[-1, 1]

위에서 정의된 디리클레 함수

\mathbf 1_\mathbb{Q}(x)

(유리수이면 1, 아니면 0)를 생각해보자 (그림 1).

x

가 0에 가까워질 때, 함숫값은 0과 1 사이를 끊임없이 오간다. 이 경우, 극한을 '한없이 가까워질 때의 값'으로 정의하면 극한값이 무엇인지, 혹은 존재하는지조차 불분명해진다. 이러한 모호성을 해결하고 극한을 엄밀하게 정의하기 위해 도입된 것이 '''엡실론-델타 논법'''이다.

그림 2. 엡실론-델타 논법의 직관적 이해: $x$ 가 $a$ 주변의 $\delta$ -근방(a 제외) 안에 있으면, $f(x)$ 는 $b$ 주변의 $\epsilon$ -근방 안에 있다.

엡실론-델타 논법의 핵심 아이디어는 '가까움'의 정도를 구체적인 수치로 표현하는 것이다 (그림 2). 함수

f(x)

가

x \to a

일 때

b

로 수렴한다는 것은,

f(x)

와

b

의 차이를 원하는 만큼 (임의의 양수

\epsilon

만큼) 작게 만들 수 있다는 뜻이다. 이를 위해서는

x

를

a

에 충분히 가깝게 (어떤 양수

\delta

거리 안으로, 단

x \neq a

) 만들면 된다는 것이다. 즉, 아무리 작은 오차 범위

\epsilon > 0

을 제시하더라도, 그에 맞는 적절한 거리

\delta > 0

를 찾아

0 < |x-a| < \delta

이면

|f(x)-b| < \epsilon

이 성립하게 할 수 있다는 개념이다.

이러한 방식으로 극한을 정의하면 '한없이 가까워진다'는 모호한 표현 대신, 측정 가능한 거리(

\epsilon, \delta

)를 사용하여 극한을 명확하게 정의할 수 있다. 엡실론-델타 논법을 이용한 극한의 엄밀한 정의는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

3. 1. 정의

$x$ 가 $c$ 에 $\delta$ 거리 이내로 가까워지면, $f(x)$ 는 $L$ 에 $\epsilon$ 거리 이내로 가까워진다.

실수의 부분 집합

E\subseteq\mathbb R

에 정의된 실함수

f:E\to\mathbb{R}

가

E

의 극한점

a\in E'

에서 가지는 극한

:

\lim_{E\ni x\to a}f(x)=L

을 '''엡실론-델타 논법'''을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.

임의의 $\epsilon>0$ 에 대하여, 어떤 $\delta>0$ 가 존재하여, 임의의 $x\in E$ 에 대하여, $0<|x-a|<\delta$ 는 $|f(x)-L|<\epsilon$ 을 함의한다.

이를 기호로 표기하면 다음과 같다.

$\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-L|<\epsilon$

즉, 임의의 오차 범위

\epsilon

을 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값

a

와 어떤 작은 거리

\delta

이내인 값(

a

는 제외)에 대한 함숫값

f(x)

와 극한값

L

의 차이가 그 오차 범위

\epsilon

이내인 것을 보장한다는 뜻이다. 한없이 가까워진다는 극한의 개념은, 이처럼 유한한 값을 갖는 변수

\epsilon

과

\delta

를 이용한 논리식만으로 정의할 수 있다.

\epsilon

과

\delta

는 무한소가 아닌 유한한 양수이지만, 각각 얼마든지 작은 값을 가질 수 있다는 점이 극한의 개념을 명확하게 정의한다. 어떤

\epsilon_1 > 0

에 대해 조건을 만족하는

\delta_1

을 찾았다고 해도,

\epsilon_1

보다 더 작은

\epsilon_2

(예를 들어

\epsilon_2 = \epsilon_1 / 10

)에 대해서는 기존의

\delta_1

이 조건을 만족하지 못할 수 있다. 그러나 극한이 존재한다면, 그만큼 더 작은

\delta_2

를 적당히 선택하여

0 < |x-a| < \delta_2 \implies |f(x)-L| < \epsilon_2

가 성립하도록 항상 만들 수 있다.

부정인, 극한이 존재하지 않는다는 것은, 어떤

\epsilon > 0

에 대하여 조건을 만족하는

\delta > 0

가 존재하지 않는다는 의미가 된다.

조건을 만족할 때, 양수

\delta

는

\epsilon

에 의존하는 변수이다.

\epsilon

에 대한

\delta

는 일반적으로 하나로 한정되지 않고 무수히 많지만, 그중 하나라도 발견하면 존재를 증명한 것이 된다. 예를 들어

:

\lim_{x \to 3} x^2 = 9

를 엡실론-델타 논법으로 증명하는 과정은 다음과 같다. 임의의

\epsilon > 0

에 대하여

\delta = \sqrt{\epsilon+9}-3

라고 하면 (

\epsilon > 0

이므로

\delta > 0

이다),

0<|x-3|< \delta = \sqrt{\epsilon+9}-3

이라면

:

|x^2-9|=|x+3||x-3|

여기서

|x-3| < \delta

이므로

3-\delta < x < 3+\delta

이다. 따라서

x+3 < 6+\delta

이다.

그러므로

|x^2-9| < (6+\delta)|x-3| < (6+\delta)\delta = (6+\sqrt{\epsilon+9}-3)(\sqrt{\epsilon+9}-3) = (\sqrt{\epsilon+9}+3)(\sqrt{\epsilon+9}-3) = (\epsilon+9) - 9 = \epsilon

이므로

:

{}^{\forall} \varepsilon >0,\; {}^{\exist} \delta >0 \;;\; x \in \mathbb{R} \; [0 < |x-3| < \delta \rArr |x^2-9| < \varepsilon]

가 성립하고,

x \to 3

일 때

x^2 \to 9

가 된다는 것을 엡실론-델타 논법에 의해 나타낸 것이 된다.

3. 2. 거리 공간으로의 확장

거리 공간

(X,d_X)

에서 거리 공간

(Y,d_Y)

로 가는 함수

f\colon X\to Y

가

X

의 극한점

a\in X'

에서 가지는 극한

:

\lim_{x\to a}f(x)=L

의 '''엡실론-델타 논법'''을 통한 정의는 다음과 같다.

임의의 $\epsilon>0$ 에 대하여, 어떤 $\delta>0$ 가 존재하여, 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $0 < d_X(x,a)<\delta$ 는 $d_Y(f(x),L)<\epsilon$ 을 함의한다.

이를 기호로 표기하면 다음과 같다.

$\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in X\colon\;0$

4. 함수의 연속성

엡실론-델타 논법은 함수의 극한뿐만 아니라 해석학의 여러 다른 개념을 정의하는 데에도 사용된다. 대표적인 예시가 함수의 연속성이다.

어떤 함수 $f(x)$ 가 특정 지점 $x=a$ 에서 '''연속'''이라는 것은, 직관적으로 $x$ 가 $a$ 에 가까워질 때 함수값 $f(x)$ 역시 $f(a)$ 에 한없이 가까워진다는 의미이다. 즉, 함수 $f$ 의 $x=a$ 에서의 극한값이 그 지점에서의 함숫값 $f(a)$ 와 같다는 뜻이다 ( $\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$ ).

이러한 연속성의 개념은 엡실론-델타 논법을 이용하여 엄밀하게 정의될 수 있다. 즉, 임의의 아주 작은 양수 $\epsilon$ 에 대해, $x$ 와 $a$ 사이의 거리가 특정 양수 $\delta$ 보다 작기만 하면( $|x-a| < \delta$ ), 함수값 $f(x)$ 와 $f(a)$ 사이의 거리도 $\epsilon$ 보다 작게 만들 수 있다( $|f(x)-f(a)| < \epsilon$ )는 것이다. 여기서 $\delta$ 의 값은 $\epsilon$ 의 값과 $a$ 의 위치에 따라 달라질 수 있다.

나아가 특정 구간 전체에서 함수가 연속인 연속 함수나, 구간 내 모든 점에서 동일한 $\delta$ 를 적용할 수 있는 균등 연속성과 같은 개념들도 엡실론-델타 논법을 통해 정의된다. 각 개념에 대한 구체적인 정의는 아래 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

4. 1. 정의

함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;>x-a\|<\delta\implies\|f(x)-f(a)\|<\epsilon
연속 함수	\forall a\in E'\;\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;>x-a\|<\delta\implies\|f(x)-f(a)\|<\epsilon
균등 연속 함수	\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x,y\in E\colon>x-y\|<\delta\implies\|f(x)-f(y)\|<\epsilon

두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	$\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in X\colon\;d_X(x,a)<\delta\implies d_Y(f(x),f(a))<\epsilon$
연속 함수	$\forall a\in E'\;\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in X\colon\;d_X(x,a)<\delta\implies d_Y(f(x),f(a))<\epsilon$
균등 연속 함수	$\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x,y\in X\colon d_X(x,y)<\delta\implies d_Y(f(x),f(y))<\epsilon$

실함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 가

: $\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$

를 만족할 때, $f(x)$ 는 $x=a$ 에서 '''연속'''이라고 한다. 이 조건은 함수의 극한을 ε-δ 논법으로 나타내어 정의된다. 열린구간 $I=(p,q)$ 위의 임의의 점 $a \in I$ 에서 $f(x)$ 가 연속일 때, $f$ 는 $I$ 위에서 연속이라고 한다. 이를 ε-δ 논법으로 정의하면

: ${}^{\forall} \varepsilon >0,\; {}^{\forall} a \in I,\; {}^{\exist} \delta >0 \; \mathrm{s.t.}\; {}^{\forall} x \in I\; [|x-a| < \delta \rArr |f(x)-f(a)| < \varepsilon]$

가 된다.

s.t. 구절의 처음에 나타나는 $\forall x \in I$ 라는 조건에 의해 $I$ 가 닫힌구간 $[p,q]$ 일 때도 그 단점에서의 $f(x)$ 의 한쪽 방향 연속성

: $\lim_{x \to p+}f(x) = f(p)$

: $\lim_{x \to q-}f(x) = f(q)$

이 정의된다. 반열린구간 $[p,q)$ 나 $(p,q]$ 등의 경우도 마찬가지이다.

이처럼 연속성을 ε-δ 논법으로 정의한 경우 $\delta$ 는 $\epsilon$ 와 $a$ 모두에 의존할 수 있다.

연속성의 정의 조건의 순서를 바꾸어

: ${}^{\forall} \varepsilon > 0,\; {}^{\exist} \delta > 0 \;\mathrm{s.t.}\; {}^{\forall} a \in I, {}^{\forall} x \in I\; [|x-a| < \delta \rArr |f(x)-f(a)| < \varepsilon]$

로 한 경우, $\delta$ 는 $\epsilon$ 에만 의존하고, $a$ 에 의존하지 않는다. 이때 $f(x)$ 는 $I$ 위에서 '''균등 연속'''이라고 한다.

예를 들어, $I=(0,1]$ 으로 하고, 그 위에 정의된 함수 $f(x) = \frac{1}{x}$ 는 연속이지만 균등 연속은 아니다. 왜냐하면, 어떤 $\delta$ 를 선택해도, $a = \min(\delta,1)$ , $x = \frac{a}{1+a}$ 일 때

: $\left| x-a \right| =\left| \frac{a} {1+a} - a \right| = \frac{a^2}{1+a} < a = \min(\delta,1)\le \delta$

이고

: $\left| \frac{1}{x} - \frac{1}{a} \right| = \left| \frac{1+a}{a} - \frac{1}{a} \right| = 1$

이므로, $\epsilon \le 1$ 이 되는 $\epsilon$ 에 대해 조건을 만족하는 $\delta$ 는 존재하지 않는다.

이 1은 본질적인 것이 아니며, 이 경우 어떤 $\epsilon$ 에 대해서도 조건을 만족하는 $\delta$ 가 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다.

이처럼 유계인 구간 위에서 정의된 연속 함수로 무한대로 발산하는 것 등이, 연속이지만 균등 연속은 아닌 예로 자주 사용된다.

5. 균등 연속

함수 ''f(x)''가 정의역 ''E''에서 균등 연속이라는 것은, 임의의 양수 $\epsilon > 0$ 에 대해 어떤 양수 $\delta > 0$ 가 존재하여, 정의역 ''E'' 안의 임의의 두 점 ''x'', ''y''에 대해 두 점 사이의 거리가 $\delta$ 보다 작기만 하면( $|x-y| < \delta$ ), 해당 함수값의 차이도 $\epsilon$ 보다 작게( $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ ) 만들 수 있음을 의미한다. 중요한 점은 이 $\delta$ 값이 ''x''나 ''y''의 위치에 상관없이 오직 $\epsilon$ 의 값에만 의존하여 결정된다는 것이다. 이는 일반적인 연속 함수의 정의에서 $\delta$ 가 점 ''a''와 $\epsilon$ 모두에 의존할 수 있는 것과 구별되는 특징이다.

5. 1. 정의

함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;>x-a\|<\delta\implies\|f(x)-f(a)\|<\epsilon
연속 함수	\forall a\in E'\;\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in E\colon\;>x-a\|<\delta\implies\|f(x)-f(a)\|<\epsilon
균등 연속 함수	\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x,y\in E\colon>x-y\|<\delta\implies\|f(x)-f(y)\|<\epsilon

두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.

개념	엡실론-델타 정의
점에서 연속	$\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in X\colon\;d_X(x,a)<\delta\implies d_Y(f(x),f(a))<\epsilon$
연속 함수	$\forall a\in E'\;\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in X\colon\;d_X(x,a)<\delta\implies d_Y(f(x),f(a))<\epsilon$
균등 연속 함수	$\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x,y\in X\colon d_X(x,y)<\delta\implies d_Y(f(x),f(y))<\epsilon$

6. 수열의 극한 (ε-N 논법)

실수 수열 $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ 의 극한값이

: $\lim_{n \to \infty}a_n = b$

라는 것은, $n$ 을 크게 하면 $a_n$ 은 $b$ 에 한없이 가까워진다는 의미이다.

이를 논리식으로 엄밀하게 정의하면 다음과 같다.

: ${}^{\forall} \varepsilon >0,\; {}^{\exist} N \in \mathbb{N} \;\mathrm{s.t.}\; {}^{\forall} n \in \mathbb{N} \; [n>N \rArr |a_n-b| < \varepsilon]$

이것은 "임의의 양수 $\varepsilon$ 에 대해, 어떤 적당한 자연수 $N$ 이 존재하여, $N$ 보다 큰 모든 자연수 $n$ 에 대해 $|a_n - b| < \varepsilon$ 가 성립한다"는 의미이다. 이 정의는 $\delta$ 대신 자연수 $N$ 을 사용하기 때문에 엡실론-델타 논법과 구분하여 '''ε-''N'' 논법'''이라고 부른다.

ε-''N'' 논법에서 수열의 극한 정의가 타당한 이유는 다음과 같다. $a_n$ 이 $b$ 에 한없이 가까워진다는 것은, 임의로 작은 양수 $\varepsilon$ 를 생각하더라도, $a_n$ 이 결국에는 $b$ 의 $\varepsilon$ -근방 (즉, 구간 $(b-\varepsilon, b+\varepsilon)$ ) 안에 포함된다는 뜻이다. 따라서 충분히 큰 자연수 $N$ 을 잡으면, 그보다 큰 모든 번호 $n$ 에 대해 $a_n$ 은 $b$ 의 $\varepsilon$ -근방 안에 들어가게 된다. 여기서 $N$ 의 값은 $\varepsilon$ 의 값에 따라 달라지며, $\varepsilon$ 이 작아질수록 더 큰 $N$ 을 필요로 한다. 이는 ε-δ 논법에서 $\varepsilon$ 을 작게 할수록 $\delta$ 를 작게 잡아야 하는 것과 대비된다.

예를 들어, 수열 $a_n = \frac{n+1}{n}$ 의 극한이 1임을 보이자. 임의의 양수 $\varepsilon$ 에 대해, $N > \frac{1}{\varepsilon}$ 이 되도록 자연수 $N$ 을 선택하면, $n > N$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\left| a_n - 1 \right| = \left| \frac{n+1}{n} -1 \right| = \left| \frac{1}{n} \right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \varepsilon$

따라서,

: ${}^{\forall} \varepsilon >0,\; {}^{\exist} N \in \mathbb{N} \;\mathrm{s.t.}\; {}^{\forall} n \in \mathbb{N} \; [n > N \rArr |a_n-1| < \varepsilon]$

이 성립하므로, ε-''N'' 논법에 따라 수열 $a_n$ 은 1로 수렴함을 알 수 있다.

7. 함수열의 수렴

구간 $I$ 위에서 정의된 실수 함수열 $f_0(x), f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x), \dots$ 에 대해 $I$ 위에서 정의된 실수 함수 $f(x)$ 가 존재하고, 각 $x \in I$ 에 대해 극한 식

: $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$

가 성립할 때, 함수열 $\{f_n(x)\}$ 는 $f(x)$ 에 점별 수렴(pointwise convergence)한다고 한다.

위 내용을 $\varepsilon$ - $N$ 논법으로 정의하면 다음과 같다:

임의의 $\varepsilon > 0$ 와 임의의 $x \in I$ 에 대해, 어떤 자연수 $N$ 이 존재하여, 모든 자연수 $n > N$ 에 대해 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$ 가 성립한다.

: $\forall \varepsilon > 0, \forall x \in I, \exists N \in \mathbb{N} \text{ s.t. } \forall n \in \mathbb{N} \; [n > N \implies |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon]$

여기서 자연수 $N$ 은 $\varepsilon$ 과 $x$ 의 값에 따라 달라질 수 있다. 즉, $N$ 은 $\varepsilon$ 과 $x$ 에 의존한다. 특정 값 $x=c$ 에서 함수열을 보면, 수열 $f_0(c), f_1(c), f_2(c), \dots, f_n(c), \dots$ 가 실수 수열로서 $f(c)$ 에 수렴한다는 의미이다.

조건의 순서를 바꾸어, $N$ 이 $x$ 에 의존하지 않도록 정의할 수도 있다.

임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 어떤 자연수 $N$ 이 존재하여, 모든 $x \in I$ 와 모든 자연수 $n > N$ 에 대해 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$ 가 성립한다.

: $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ s.t. } \forall x \in I, \forall n \in \mathbb{N} \; [n > N \implies |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon]$

이 조건이 성립할 때, 함수열 $\{f_n(x)\}$ 는 $f(x)$ 에 균등 수렴(uniform convergence)한다고 한다.

균등 수렴 조건은 점별 수렴과 달리, 자연수 $N$ 이 $x$ 와 무관하게 오직 $\varepsilon$ 에만 의존한다. 즉, 구간 $I$ 내의 모든 $x$ 에 대해 공통적인 $N$ 을 선택할 수 있다는 의미이다.

예를 들어, 열린 구간 $I = (0,1)$ 에서 정의된 함수열 $f_n(x) = x^n$ 을 생각해보자. 이 함수열은 $f(x) = 0$ 이라는 상수 함수에 점별 수렴한다. 즉, $(0,1)$ 안의 각 $x$ 에 대해 $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$ 이다. 하지만 이 함수열은 $f(x)=0$ 에 균등 수렴하지는 않는다. 만약 $\varepsilon$ 을 1보다 작은 양수(예: $\varepsilon = 1/2$ )로 잡으면, 아무리 $N$ 을 크게 잡더라도, $n = N + 1$ 일 때 $x$ 를 1에 충분히 가깝게 선택하면 (구체적으로 $\varepsilon^{1/(N+1)} < x < 1$ 인 $x$ 를 선택하면), $|f_n(x) - f(x)| = |x^n - 0| = x^n = x^{N+1} > (\varepsilon^{1/(N+1)})^{N+1} = \varepsilon$ 가 되어 균등 수렴 조건을 만족하지 못한다. 즉, 모든 $x \in (0,1)$ 에 대해 동시에 $|x^n| < \varepsilon$ 을 만족시키는 $N$ 을 찾을 수 없다.

만약 구간 $I$ 의 양 끝점을 포함하는 닫힌 구간 $[0,1]$ ( $I$ 의 폐포) 위에서 함수열 $f_n(x) = x^n$ 을 생각하면, 점별 극한 함수는 다음과 같다.

: $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \le x < 1 \\ 1 & \text{if } x = 1 \end{cases}$

이 경우, $x=1$ 에서 극한 함수 $f(x)$ 는 불연속이다. ( $f_n(x)$ 는 모두 $[0,1]$ 에서 연속이지만 극한 함수는 불연속이다.) 이는 연속 함수열의 점별 극한 함수가 반드시 연속 함수일 필요는 없음을 보여준다. 참고로, 만약 연속 함수열이 어떤 함수에 균등 수렴한다면, 그 극한 함수는 반드시 연속 함수가 된다는 중요한 정리가 있다. 따라서 $f_n(x) = x^n$ 이 $[0,1]$ 에서 균등 수렴하지 않는다는 사실을 극한 함수의 불연속성으로부터도 알 수 있다.

참조

_[1] 문서
_[2] 웹사이트 My question is not about who was first with this notation, but rather: https://web.archive.[...] math over flow 2020-01-26

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com