수학 기호

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1. 개요

수학 기호는 수학적 개념, 연산, 관계 등을 표현하기 위해 사용되는 다양한 기호들을 의미한다. 여기에는 기초 연산 기호(+, -, ×, /, √, ||), 집합론 기호(∈, ⊆, ∪, ∩, ∅), 논리 및 관계 기호(¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔), 수 체계 기호(ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ), 미적분학 및 해석학 기호(lim, ∫, ∂, d/dx), 선형대수학 기호(행렬, 벡터, ⊗), 괄호 기호, 기타 기호(∞, |, ∥, ⊥, !, P, C) 등이 포함된다. 이러한 기호들은 수학적 표현의 간결성과 정확성을 높이는 데 기여하며, 수학의 다양한 분야에서 널리 활용된다.

수학 기호

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수학 기호 - 존재 양화사
존재 양화사는 형식 논리에서 특정 조건을 만족하는 대상이 존재함을 나타내는 방법으로, 수리 논리학에서는 기호 "<math>\exists</math>"를 사용하여 변수가 특정 집합에 속하면서 주어진 조건을 만족하는 원소가 적어도 하나 존재함을 나타내며, 존재 일반화, 존재 제거 등의 추론 규칙과 관련이 있고, 담화 영역에 따라 진술의 참과 거짓이 달라질 수 있으며, 존재 양화된 명제 함수의 부정은 해당 명제 함수의 부정의 전칭 양화와 논리적으로 동치이다.

1. 개요
2. 기초 연산 기호
3. 집합론 기호
4. 논리 및 관계 기호
- 4.1. 논리 기호 (¬, ∧, ∨, →, ↔)
5. 수 체계 기호
6. 미적분학 및 해석학 기호
7. 선형대수학 기호
8. 추상대수학 기호
9. 괄호 기호
10. 기타 기호
- 10.1. 무한대 (∞)

2. 기초 연산 기호

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기호	의미	설명	예시
$+$	더하기	$X+Y$ 는 수 $X$ 와 $Y$ 를 더한 값이다.	$1+1=2$
$-$	빼기	$X-Y$ 는 수 $X$ 에서 $Y$ 를 뺀 값이다.	$9-7=2$
$-$	음의 부호	$-X$ 는 수 $X$ 의 반수이다.	$5+(-5)=0$
$\pm$	플러스마이너스	$X\pm Y$ 는 $X+Y$ 와 $X-Y$ 를 모두 의미한다.	$x^2=1$ 의 근은 $x=\pm1$ 이다.
$\pm$	측정에서의 범위	$X\pm Y$ 는 $X-Y$ 부터 $X+Y$ 까지의 범위를 의미한다.	$a=100\pm1$ mm는 $99$ mm $\le a\le 101$ mm이다.
$\times$ , $\cdot$	곱하기	$X\times Y$ 또는 $X\cdot Y$ 는 $X$ 와 $Y$ 를 곱한 값이다. $XY$ 로 쓰기도 한다.	$7\times8=56$ , $5\cdot7=35$
$/$ , $\div$	나누기	$X/Y$ 또는 $X\div Y$ 는 $X$ 를 0이 아닌 $Y$ 로 나눈 값이다.	$12/4=3$ , $2\div4=0.5$
$\frac{\Box}{\Box}$	분수	$\frac{X}{Y}$ 는 $X$ 를 0이 아닌 $Y$ 로 나눈 값이다.	$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
$\sqrt{\ }$ , $\surd$	제곱근	$\sqrt{x}$ 는 양수 $x$ 의 제곱근이다.	$\sqrt{9}=3$
$\sqrt[n]{\Box}$	거듭제곱근	$\sqrt[n]{x}$ 는 $x$ 의 $n$ 제곱근이다.	$\sqrt[4]{16}=2$
^, $\Box^\Box$	거듭제곱	$x$ ^ $y$ 또는 $x^y$ 는 $x$ 의 $y$ 거듭제곱이다. $y=2$ 인 경우 $x$ 의 제곱이다.	$3^2=9$ , $2$ ^ $3=8$
>\Box\|	절댓값	>x\|는 수 $x$ 의 절댓값이다.	>-3\|=3

2.1. 덧셈 기호 (+)

+ (덧셈 기호)는 두 수나 식을 더하는 덧셈 연산을 나타내며, '더하기'로 읽는다. 예를 들어, 3 + 2와 같이 사용된다.

2.2. 뺄셈 기호 (-)

뺄셈 기호(-)는 두 수나 식의 차이를 구하는 연산을 나타낸다.

* 뺄셈: '빼기'로 읽으며, 뺄셈을 나타낸다. (예: )
* 가법 역원: '빼기', '의 음수', 또는 '의 반대'로 읽으며, 가법 역원을 나타낸다. (예: )
* 집합론적 여집합: 집합론에서 여집합을 나타내는 대신 사용되기도 한다.

2.3. 곱셈 기호 (×, ⋅)

곱셈 기호(×, ⋅)는 두 수나 식을 곱하는 연산을 나타낸다.

* × 기호
* 초등 산술에서 곱셈을 나타내며, '곱하기'라고 읽는다. 예: 3 × 2.
* 기하학 및 선형 대수학에서 외적을 나타낸다.
* 집합론 및 범주론에서 카르테시안 곱과 직접곱을 나타낸다.

* ⋅ 기호 (중간 점)
* 곱셈을 나타내며, '곱하기'라고 읽는다. 예: 3 ⋅ 2.
* 기하학 및 선형 대수학에서 내적을 나타낸다.
* 미지의 원소를 대체하는 자리 표시자로 사용된다. 예를 들어 "절댓값은 | |로 표시된다" 와 같이 사용된다.

2.4. 나눗셈 기호 (/, ÷)

어떤 수를 다른 수로 나누는 연산을 나타내며, '나누기' 또는 '분의'로 읽는다. '/' 기호는 가로 막대로 대체될 수 있다. 예를 들어, 3 / 2 또는 $\frac 32$ 와 같이 표현한다.

영어권 국가에서는 '÷' 기호(나누기 기호)가 나눗셈을 나타내는 데 널리 사용되었으나, 수학에서는 더 이상 일반적으로 사용되지 않으며, 사용하지 않는 것이 권장된다.

2.5. 제곱근 기호 (√)

어떤 수의 제곱근을 나타내며, '제곱근'으로 읽는다. 인수의 범위를 명확하게 나타내는 가로 막대 없이 현대 수학에서 사용되는 경우는 드물다. 예를 들어, 2는 2의 제곱근을 의미한다.

2.6. 절댓값 기호 (| |)

絕對值^중국어 기호는 수의 절댓값을 나타낸다. 절댓값은 해당 수가 0에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 값으로, 항상 양수 또는 0이다.

절댓값 기호의 사용 예시는 다음과 같다.

* = 3
* = 3
* = 0
* = = 3

절댓값은 또는 로 나타낼 수 있다.

2.7. 팩토리얼 기호 (!)

팩토리얼: 이 양의 정수라면, 은 처음 개의 양의 정수의 곱이며, "n 팩토리얼"로 읽는다.

3. 집합론 기호

집합론은 집합과 그 연산에 대한 수학 분야이다. 집합론에서 사용되는 몇 가지 기본적인 기호들은 다음과 같다.

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집합 연산 기호
기호	의미	설명	예시
$\empty$ $\varnothing$ $\{\}$	공집합	원소가 없는 공집합을 의미한다.	$\{1\}\cap\{2,3\}=\varnothing$
$\{\Box\}$	한원소 집합	$\{x\}$ 는 $x$ 하나만을 원소로 갖는 집합을 의미한다.	$\{1\}$
$\{\Box, \cdots, \Box\}$	원소나열법으로 표현한 집합	중괄호 안에 원소를 나열하고 쉼표로 구분하여 집합을 표현한다.	$\{1,2,3\}$
\{\Box:\Box\} $\{\Box>\Box\}$	조건제시법으로 표현한 집합	\{x:P(x)\} 또는 $\{x>P(x)\}$ 는 $x$ 에 대한 술어 $P(x)$ 에 대하여, $P(x)$ 가 참이 되도록 하는 원소 $x$ 들로 이루어진 집합을 의미한다.	$\{x:1\le x\le 3, x\in\N\}=\{1,2,3\}$
$\subseteq$ $\subset$ $\supseteq$ $\supset$	부분집합	$A\subseteq B$ , $A\subset B$ , $B\supseteq A$ , $B\supset A$ 는 집합 $A$ 가 집합 $B$ 의 부분집합임을 의미한다.	$\{1,2\}\subseteq\{1,2,3\}$ $\varnothing\subseteq\{1,2,3\}$
$\subsetneq$ $\supsetneq$	진부분집합	$A\subsetneq B$ , $B\supsetneq A$ 는 집합 $A$ 가 집합 $B$ 의 진부분집합임을 의미한다. 저자에 따라 $\subset$ , $\supset$ 이 진부분집합을 의미하기도 한다.	$\{1,2\}\subsetneq\{1,2,3\}$
$\nsubseteq$ $\varsubsetneq$ $\nsupseteq$ $\varsupsetneq$	부분집합이 아님	$A\nsubseteq B$ , $A\varsubsetneq B$ , $B\nsupseteq A$ , $B\varsupsetneq A$ 는 집합 $A$ 가 집합 $B$ 의 부분집합이 아님을 의미한다.	$\{1,2\}\nsubseteq\{2,3\}$
$\sqcup$ $\bigsqcup$ $+$ $\uplus$ $\biguplus$	분리합집합	$A\sqcup B$ , $A+B$ , $A\uplus B$ 는 집합 $A$ 와 $B$ 의 분리합집합을 의미한다.	$A=\{a,b\}$ , $B=\{b,c,d\}$ 에 대해 $A\sqcup B=\{(a,0),(b,0),(b,1),(c,1),(d,1)\}$
$\Box^c$ $\setminus$	여집합	$A^c$ 또는 $U\setminus A$ 는 전체집합 $U$ 의 원소 중 $A$ 가 아닌 것들의 집합을 의미한다.	$(A\cap B)^c = A^c \cup B^c$
$\times$ $\prod$	곱집합	A\times B는 [[집합]] $A$ 와 $B$ 의 곱집합 $\{(a,b)>a\in A,b\in B\}$ 을 의미한다.	$\{1,2\}\times\{3,4,5\}=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}$

* 집합과 원소: ∈, ∉ 기호는 원소가 집합에 속하는지 여부를 나타낸다.
* 부분집합: ⊆, ⊂ 기호는 한 집합이 다른 집합의 부분집합인지 여부를 나타낸다.
* 합집합: ∪ 기호는 두 집합의 모든 원소를 포함하는 집합을 나타낸다.
* 교집합: ∩ 기호는 두 집합에 공통으로 속하는 원소들만 포함하는 집합을 나타낸다.
* 차집합: \ 기호는 한 집합에서 다른 집합의 원소를 제외한 나머지 원소들을 포함하는 집합을 나타낸다.

3.1. 집합과 원소 (∈, ∉)

∈, ∉^영어 기호는 원소가 집합에 속하는지 여부를 나타내는 데 사용된다.

* ∈: 어떤 원소가 특정 집합에 속할 때 사용한다. 예를 들어, x ∈ S는 "x는 집합 S의 원소이다"를 의미한다. 즉, x가 집합 S 안에 포함되어 있다는 뜻이다.
* ∉: 어떤 원소가 특정 집합에 속하지 않을 때 사용한다. 예를 들어, x ∉ S는 "x는 집합 S의 원소가 아니다"를 의미한다. 즉, x가 집합 S 안에 포함되어 있지 않다는 뜻이다.

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집합과 원소 기호
기호	의미	설명
∈	집합에 대한 원소의 포함 관계	x ∈ S는 x가 집합 S의 원소임을 의미한다.
∉	집합에 대한 원소의 포함 관계 부정	x ∉ S는 x가 집합 S의 원소가 아님을 의미한다.

3.2. 부분집합 (⊆, ⊂)

S^영어 ⊆ T^영어는 S^영어가 T^영어의 부분집합임을 의미한다. 필요에 따라 T^영어 ⊇ S^영어라고 쓰기도 한다. ⊆는 S^영어와 T^영어가 같을 경우를 포함하며, 진부분집합에 대해서는 ⊊가 사용된다. ⊂는 진부분집합만을 가리키는 표기법과 일반적인 부분집합을 가리키는 표기법이 있다. ⊂가 일반적인 부분집합을 나타내는 경우 진부분집합은 ⊊로 나타내고, ⊂가 진부분집합을 나타내는 경우 일반적인 부분집합은 ⊆로 나타낸다.

∈과 마찬가지로, ⊄, ⊊ 등의 기호도 있다.

3.3. 합집합 (∪)

$\cup$ 는 합집합 기호로, 집합 와 집합 의 합집합은 ""로 나타낸다. 또한, 집합족 의 합집합은 $\textstyle\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda$ 로 나타낸다. $\mathfrak{S}:=\{S_{\lambda}\ |\ \lambda \in \Lambda\}$ 일 때, 이 집합족은 $\textstyle\bigcup \mathfrak{S}$ 로 표기하기도 한다.

3.4. 교집합 (∩)

" $\cap$ "는 집합 와 집합 의 교집합을 나타낸다. 또한 $\textstyle\bigcap\limits_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda$ 는 집합족 의 교집합을 나타낸다. $\mathfrak{S}:=\{S_{\lambda}\ |\ \lambda \in \Lambda\}$ 일 때, 위 집합족을 $\textstyle\bigcap \mathfrak{S}$ 로 쓰는 경우가 있다.

3.5. 차집합 (\)

Set difference^영어는 집합에서 집합를 제외한 차집합을 나타낸다. "" 또는 ""로 표기한다.

4. 논리 및 관계 기호

논리 및 관계 기호는 명제 사이의 논리적 관계 또는 수학적 대상 간의 관계를 나타내는 데 사용된다.

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기호	의미	설명
$\vDash$	논리적 귀결, 잉의	주로 의미론적인 귀결 관계에 사용된다.
$\vdash$	추론	주로 형식적인 귀결 관계에 사용된다. " $\Gamma \vdash \varphi$ "는 유한개의 논리식 $\Gamma$ 에서 형식적으로 논리식 $\varphi$ 를 추론할 수 있음을 나타낸다.
$\forall$	전칭 한정 기호	$\forall x \in S (P(x))$ 처럼 쓰이며, 집합 $S$ 의 임의의 원소 $x$ 에 대해 명제 $P(x)$ 가 성립함을 나타낸다.
$\exists$	존재 한정 기호	$\exists x \in S (P(x))$ 처럼 쓰이며, 집합 $S$ 에 조건 $P(x)$ 를 만족하는 원소 $x$ 가 적어도 하나 존재함을 나타낸다.
$\exists_1,\ \exists1,\ \exists\,!$	유일하게 존재	$\exists_1 x \in S (P(x))$ 처럼 쓰이며, 집합 $S$ 에 조건 $P(x)$ 를 만족하는 원소 $x$ 가 유일하게 존재함을 나타낸다. 다른 기호도 마찬가지이다.
$\therefore$	결론	문두에 기재되어 그 문장의 주장이 앞선 내용을 받아서 서술되고 있음을 나타낸다. 즉, "그러므로".
$\because$	이유·근거	문두에 기재되어 그 문장의 내용이 앞선 내용의 이유 설명임을 나타낸다. "왜냐하면".
$:=,\ :\Leftrightarrow$	정의	" $A \coloneqq X$ "는 $A$ 라는 기호가 의미하는 바를 $X$ 로 정의하는 것이다. " $A : \Leftrightarrow X$ "라고도 쓴다. "=" 위에 " $\mathrm{def}$ " 또는 " $\bigtriangleup$ "를 쓰는 경우도 있다( $\stackrel{\mathrm{def}}{=}, \stackrel{\bigtriangleup}{=}$ ). $\ :\Leftrightarrow$ 는 명제를 정의할 때 사용하고, $:=$ 는 어떤 양이나 대상을 정의할 때 사용한다.

4.1. 논리 기호 (¬, ∧, ∨, →, ↔)

Logic symbols^영어 (¬, ∧, ∨, →, ↔)는 명제의 부정, 논리곱, 논리합, 조건, 쌍조건 등을 나타낸다.

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기호	의미	설명
$\land$	논리곱, 연언 (AND)	" $P \land Q$ "는 "명제 $P$ 와 명제 $Q$ 가 모두 참"이라는 명제를 나타낸다.
$\lor$	논리합, 선언 (OR)	" $P \lor Q$ "는 "명제 $P$ 와 명제 $Q$ 중 적어도 하나가 참"이라는 명제를 나타낸다.
$\neg$	부정 (NOT)	" $\neg P$ "는 "명제 $P$ 가 거짓"이라는 명제를 나타낸다.
$\Rightarrow$	논리적 함의, 함의	" $P \Rightarrow Q$ "는 "명제 $P$ 가 참이면 반드시 명제 $Q$ 도 참"이라는 명제를 나타낸다. $P$ 가 거짓인 경우 $P \Rightarrow Q$ 는 참이다.
$\rightarrow$	논리적 함의, 함의
$\Leftrightarrow,\ \text{iff},\ \equiv$	동치	" $P \Leftrightarrow Q$ ", " $P \equiv Q$ "는 $P$ 와 $Q$ 의 참거짓이 반드시 일치함을 의미한다. iff는 if and only if의 약자이다.

5. 수 체계 기호

블랙보드 볼드체(서체)는 기본적인 수 체계를 나타내는 데 널리 사용된다. 이러한 체계는 해당 대문자 볼드체로도 표시되는 경우가 많다. 블랙보드 볼드체의 명확한 장점은 이러한 기호가 다른 것과 혼동될 수 없다는 것이다. 따라서 정의를 다시 상기시킬 필요 없이 수학의 어떤 영역에서도 이들을 사용할 수 있다. 예를 들어, 조합론에서 $\mathbb R$ 을 만나면, 조합론이 실수를 연구하지는 않지만(많은 증명에 사용하지만) 이것이 실수를 나타낸다는 것을 즉시 알 수 있다.

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기호	내용	정의
ℕ	$\mathbb N$	자연수 집합 $\{1, 2,\ldots \},$ 또는 때때로 $\{0, 1, 2, \ldots \}.$ 구분이 중요하고 독자가 어느 정의를 가정할 수 있는 경우, 각각을 명확하게 나타내기 위해 $\mathbb{N}_1$ 과 $\mathbb{N}_0$ 가 사용된다. $\mathbf N$ 표기법도 일반적으로 사용된다.
ℤ	$\mathbb Z$	정수 집합 $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2,\ldots \}.$ 를 나타낸다. $\mathbf Z$ 로도 종종 표시된다.
ℤ_p	$\mathbb{Z}_p$	-adic 정수 집합을 나타낸다. 여기서 p는 소수이다. 때로는 $\mathbb Z_n$ 이 n을 법으로 하는 정수를 나타낸다. 여기서 n은 0보다 큰 정수이다. $\mathbb Z/n\mathbb Z$ 표기법도 사용되며, 모호성이 적다.
ℚ	$\mathbb Q$	유리수(두 정수의 분수) 집합을 나타낸다. $\mathbf Q$ 로도 종종 표시된다.
ℚ_p	$\mathbb{Q}_p$	-adic 수 집합을 나타낸다. 여기서 p는 소수이다.
ℝ	$\mathbb R$	실수 집합을 나타낸다. $\mathbf R$ 로도 종종 표시된다.
ℂ	$\mathbb C$	복소수 집합을 나타낸다. $\mathbf C$ 로도 종종 표시된다.
ℍ	$\mathbb H$	사원수 집합을 나타낸다. $\mathbf H$ 로도 종종 표시된다.
F_q	$\mathbb{F}_q$	q개의 원소를 가진 유한체를 나타낸다. 여기서 q는 소수를 포함한 소수의 거듭제곱이다. GF(q)로도 표시된다.
O	$\mathbb O$	드물게 팔원수 집합을 나타내는 데 사용된다. $\mathbf O$ 로도 종종 표시된다.

5.1. 자연수 집합 (ℕ)

$\mathbb{N}$ 은 자연수 전체의 집합을 나타낸다. $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \cdots\}$ 이며, 경우에 따라 0을 포함하기도 한다. 구분이 중요하고 독자가 어느 정의를 가정할 수 있는지 명확하게 하기 위해 $\mathbb{N}_1$ 과 $\mathbb{N}_0$ 를 사용하기도 한다. $\mathbf{N}$ 표기법도 일반적으로 사용된다.

5.2. 정수 집합 (ℤ)

정수 전체의 집합은 $\mathbb{Z}$ 로 나타낸다. 블랙보드 볼드체 서체의 일종으로, 기본적인 수 체계를 나타내는 데 널리 사용되며, $\mathbf{Z}$ 로도 종종 표시된다. 정수 집합의 정의는 다음과 같다.

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기호	의미	정의
$\mathbb{Z}$	정수 집합	$\mathbb{Z}=\{\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\}$

5.3. 유리수 집합 (ℚ)

$\mathbb{Q}$ 는 유리수 집합을 나타낸다. 유리수는 두 정수의 분수로 표현 가능한 수이며, 다음과 같이 정의된다.

: $\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \right\}$

여기서 m과 n은 정수이고, n은 0이 아니다. $\mathbb{Q}$ 는 종종 $\mathbf{Q}$ 로도 표시된다.

5.4. 실수 집합 (ℝ)

실수 집합은 $\mathbb R$ 로 나타내며, 굵은 글씨로는 $\mathbf{R}$ 로도 종종 표시된다.

5.5. 복소수 집합 (ℂ)

$\mathbb{C}$ 는 복소수 집합을 나타낸다. 복소수는 $\mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in\mathbb{R}\}$ 와 같이 정의된다. 여기서 $i$ 는 허수 단위이다. $\mathbf{C}$ 로도 종종 표시된다.

6. 미적분학 및 해석학 기호

미적분학 및 해석학에서 사용되는 기호는 다음과 같다.

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미적분학 및 해석학 기호
기호	의미	설명
\Box>_{\Box=\Box}	대입	f(x)>_{x=a}는 함수 $f$ 에 $a$ 를 대입한 값 $f(a)$ 를 의미한다. $f(x)\|_{x=a}^{x=b}$ 는 $f(b)-f(a)$ 를 의미한다.
$\lim$	극한	함수의 극한 또는 수열의 극한을 참고한다.
$\Box'$ $\Box^{(\Box)}$	미분의 라그랑주 표기법	$f'$ 은 함수 $f$ 의 도함수를 의미한다. $f$ , $f$ '은 각각 함수 $f$ 의 이계 도함수와 삼계 도함수를 의미한다. $f^{(n)}$ 은 $f$ 의 $n$ 계 도함수를 의미한다.
$\dot\Box$	미분의 뉴턴 표기법	$\dot x$ 는 일반적으로 시간 $t$ 에 의존하는 변수 $x$ 의 도함수를 의미한다.
$\frac{d\Box}{d\Box}$	미분의 라이프니츠 표기법	$\frac{dy}{dx}$ 는 변수 $x$ 에 의존하는 변수 $y$ 의 도함수를 의미한다. $\frac{df}{dx}$ 는 단일 변수 $x$ 에 의존하는 함수 $f$ 의 도함수를 의미하고, $\frac{df}{dx}(a)$ 는 $a$ 에서의 도함수의 값을 의미한다.
$\partial$	편미분	$\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 는 변수 $x_1,\cdots,x_n$ 에 의존하는 함수 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 의 $x_i$ 에 대한 편미분을 의미한다.
$\int$	부정적분	$\int f(x)dx$ 는 도함수가 $f$ 인 함수를 의미한다.
$\int$	정적분	$\int_{a}^{b} f(x)dx$ 는 구간 $[a,b]$ 위에서 정의된 함수 $f(x)$ 의 정적분을 의미한다.
$\int$	선적분	$\int_C f\ ds$ 는 곡선 $C$ 위의 함수 $f$ 의 선적분을 의미한다.
$\oint$	폐곡선의 선적분, 경로적분	$\oint_C f\,ds$ 는 폐곡선 $C$ 위의 함수 $f$ 의 선적분을 의미한다.
$\iint$	이중적분, 면적분	$\iint_S f\mathrm\,dS$ 는 곡면 $S$ 위의 함수 $f$ 의 면적분을 의미한다.
$\nabla$	델 연산자	스칼라 함수의 기울기, 또는 벡터 함수의 발산, 회전 등을 나타내는 데 사용하는 벡터 연산자이다.
$\Delta$	라플라시안	$\Delta f$ 는 함수 $f$ 의 라플라시안을 의미한다.

6.1. 극한 (lim)

$\lim$ 은 함수의 극한을 나타낸다. 수열 에 대해, $\lim_{n\to\infty} a_n$ 은 그 수열의 극한값을 나타낸다. 또한, 함수 에 대해, $\lim_{x\to c} f(x)$ 는 의 에서의 극한값을 나타낸다.

6.2. 미분 (′, d/dx, ∂/∂x)

라그랑주 표기법에서 함수 f의 미분은 f'로 나타내며, "f 프라임"으로 읽는다. 이계도함수는 f''로 표시한다. 뉴턴 표기법에서는 시간에 대한 미분을 $\dot x$ (x 도트)로, 이계도함수는 $\ddot x$ (x 더블 도트)로 나타낸다.

라이프니츠 표기법은 $\frac{dy}{dx}$ 와 같이 표현하며, "dy over dx" (일반적으로 "d y d x"로 줄임)로 읽는다. 변수 y가 x에 의존하는 경우, $\frac{dy}{dx}$ 는 x에 대한 y의 미분을 나타낸다. 함수 f의 경우, $\frac{df}{dx}$ 는 f의 미분을, $\frac{df}{dx}(a)$ 는 a에서의 미분 값을 의미한다.

편미분은 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 로 나타내며, 여러 변수 함수 f에서 다른 변수를 상수로 두고 특정 변수 $x_i$ 에 대한 미분을 의미한다.

6.3. 적분 (∫)

주어진 원본 소스에는 적분 기호(∫)에 대한 정보가 포함되어 있지 않다. 따라서 '적분 (∫)' 섹션에 작성할 내용은 없다. 요약에서 언급된 "함수의 적분을 나타낸다"는 내용은 일반적인 적분 기호의 의미를 설명하는 것이며, 주어진 소스에는 이와 관련된 구체적인 내용이 없다.

7. 선형대수학 기호

선형대수학은 행렬, 벡터, 선형 변환 등을 다루는 수학 분야이다. 다음은 선형대수학에서 자주 사용되는 기호들이다.

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선형대수학 기호
기호	의미	설명
$\Box^*$	쌍대 공간	벡터 공간 $V$ 의 쌍대 공간 $V^*$ 를 나타낸다.
$\Box^\times$ $\Box^*$	환의 가역원 곱셈군	환 $R$ 의 가역원 집합을 나타낸다. ( $R$ 이 체이면 $R^\times=R \setminus\{0\}$ 이다.)
$\ker$	핵, 영공간	선형 변환, 군 준동형사상, 환 준동형사상 $f$ 에 대해 0으로 사상하는 정의역의 원소들의 집합을 나타낸다.
$\operatorname{nullity}$	퇴화차수	선형 변환 $T$ 의 핵의 차원을 나타낸다. (벡터 공간 $V$ 위의 선형 변환 $T$ 에 대해 $\operatorname{rank}T+\operatorname{nullity}T=\dim V$ 이다.)
$\dim$	차원	체 $F$ 위 벡터 공간 $V$ 의 기저 집합의 크기를 나타낸다.
⊗	텐서곱	벡터 공간 $V$ 와 $W$ 의 텐서곱 $V \otimes W$ 을 나타낸다.

7.1. 행렬 표현

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기호	의미	설명	예시
$\begin{pmatrix}$	행렬	$i$ 번째 행 $j$ 번째 열의 성분이 $a_{ij}$ 인 $m\times n$ 행렬을	$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}$
$\Box^{-1}$	역행렬	$\mathbf{A}^{-1}$ 은 행렬 $\mathbf{A}$ 의 역행렬을 의미한다.	$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & \tfrac{3}{2} \\ 1 & -1\end{pmatrix}$ 에 대해 $\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix}$
$\Box^\operatorname T$ $\Box^\top$ $^\operatorname t\Box$ $\Box'$ $\Box^\operatorname{tr}$	전치 행렬	$\mathbf{A}^\operatorname T$ , $\mathbf{A}^\top$ , $^\operatorname t\mathbf{A}$ , $\mathbf{A}'$ , $\mathbf{A}^\operatorname{tr}$ 는 행렬 $\mathbf{A}$ 의 전치 행렬을 의미한다.	$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}^\operatorname T$
$\Box^H$ $\Box^*$ $\Box^\dagger$ $\Box'$	켤레 전치	$\mathbf{A}^H$ , $\mathbf{A}^*$ , $\mathbf{A}^\dagger$ , $\mathbf{A}'$ 는 복소 행렬 $\mathbf{A}$ 의 켤레 전치를 의미한다.	$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & -2 - i & 5 \\ 1 + i & i & 4-2i \end{pmatrix}$ 에 대해 $\mathbf{A}^\mathrm{H} = \begin{pmatrix} 1 & 1 - i \\ -2 + i & -i \\ 5 & 4+2i\end{pmatrix}$
$\operatorname{adj}$	고전적 수반 행렬	$\operatorname{adj}\mathbf{A}$ 는 행렬 $\mathbf{A}$ 의 여인자 행렬의 전치 행렬이다.	$\operatorname{adj}\begin{pmatrix}$
$\operatorname{det}$ $\|\Box\|$	행렬식	\operatorname{det}\mathbf{A} 또는 $>\mathbf{A}\|$ 는 행렬 $A$ 의 행렬식을 의미한다.	$\det \begin{pmatrix} a & b \\c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix} = ad - bc.$
$I_n$ $I$	단위 행렬	$I_n$ 은 $n\times n$ 단위 행렬을 의미한다.	$I_3 = \begin{pmatrix}$
$\operatorname{diag}$	대각 행렬	$\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$ 는 $i$ 번째 대각 성분이 $d_i$ 인 대각 행렬을 의미한다.	$\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)=$
$\operatorname{tr}$	대각합	$\operatorname{tr}(\mathbf{A})$ 는 정사각 행렬 $\mathbf{A}$ 의 주대각선 성분들의 합을 의미한다.	$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5$
$\operatorname{rank}$ $\operatorname{rk}$	계수	$\operatorname{rank}\mathbf{A}$ 또는 $\operatorname{rk}\mathbf{A}$ 는 행렬 $\mathbf{A}$ 의 행공간 또는 열공간의 차원을 의미한다.	$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ 일 때 $\operatorname{rank}\mathbf{A}=1$
$\sim$	행렬의 닮음	$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ 는 행렬 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 가 닮음임을 의미한다.

7.2. 행렬 연산

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행렬 연산 기호
기호	의미	설명
$\mathbf{A}^{-1}$	역행렬	행렬 $\mathbf{A}$ 의 역행렬
$\mathbf{A}^\operatorname T$ , $\mathbf{A}^\top$ , $^\operatorname t\mathbf{A}$ , $\mathbf{A}'$ , $\mathbf{A}^\operatorname{tr}$	전치 행렬	행렬 $\mathbf{A}$ 의 전치 행렬
$\mathbf{A}^H$ , $\mathbf{A}^*$ , $\mathbf{A}^\dagger$ , $\mathbf{A}'$	켤레 전치	복소 행렬 $\mathbf{A}$ 의 켤레 전치
$\operatorname{adj}\mathbf{A}$	고전적 수반 행렬	행렬 $\mathbf{A}$ 의 여인자 행렬의 전치 행렬
\operatorname{det}\mathbf{A} 또는 $>\mathbf{A}\|$	행렬식	행렬 $A$ 의 행렬식
$I_n$ 또는 $I$	단위 행렬	$n\times n$ 단위 행렬 (행렬의 크기가 중요하지 않거나 생략해도 되는 경우 $I$ 로 표기)
$\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$	대각 행렬	$i$ 번째 대각 성분이 $d_i$ 인 대각 행렬
$\operatorname{tr}(\mathbf{A})$	대각합	정사각 행렬 $\mathbf{A}$ 의 주대각선 성분들의 합
$\operatorname{rank}\mathbf{A}$ 또는 $\operatorname{rk}\mathbf{A}$	계수	행렬 $\mathbf{A}$ 의 행공간 또는 열공간의 차원
$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$	행렬의 닮음	행렬 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 가 닮음

7.3. 벡터 연산

* 스칼라곱: 벡터 과 의 스칼라곱을 의미한다.
: $(1,2,5)\cdot(3,4,-1)=1\cdot3+2\cdot4+5\cdot(-1)=6$
* × : 벡터곱
: 는 벡터 과 의 벡터곱을 의미한다.
: $(1,2,5)\times(3,4,-1)=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k} \\1&2&5\\3&4&-1\end{vmatrix}=(-22,16,-2)$
* $\langle\Box,\Box\rangle$ : 내적
: $\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle$ 는 내적 공간 $V$ 의 원소 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 의 내적을 의미한다. 내적 공간 참조.
:: 실수에서 원소 $x,y\in\R$ 의 내적은 $\langle x, y \rangle := xy$
* $\perp$ : 직교
: $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}$ 는 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 의 내적이 0임을 의미한다.
* ⊗ : 외적
: $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}$ 는 벡터 $\mathbf{u}$ 와 $\mathbf{v}$ 의 외적을 의미한다.
: $\mathbf{u} = \begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3\\4\\-1\end{pmatrix}$ 에 대해
: $\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\cdot3&1\cdot4&1\cdot(-1)\\2\cdot3&2\cdot4&2\cdot(-1)\\5\cdot3&5\cdot4&5\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4&-1\\6&8&-2\\15&20&-5\end{pmatrix}$

8. 추상대수학 기호

추상대수학은 군, 환, 체 등의 대수적 구조를 연구하는 수학 분야이다. 추상대수학에서 사용되는 몇 가지 기호들을 소개한다.

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기호	의미	설명	예시
$*$	이항 연산	임의의 이항 연산을 나타낼 때 일반적으로 사용한다.	군 $G$ 는 이항 연산 $$ 가 주어진 집합 $(G,)$ 이다.
$Z(\Box)$	군의 중심	$Z(G)$ 는 군 $G$ 의 중심 $\{z\in G:\forall g\in G, zg=gz\}$ 을 의미한다.	아벨 군 $G$ 에 대해 $Z(G)=G$ 이다.
$\times$ $\prod$	직접곱	$X\times Y$ 는 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조 $X,Y$ 의 직접곱을 의미한다. $\prod_{i \in I} X_i$ 은 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조들의 모임 $\{X_i\}_{i\in I}$ 의 직접곱을 의미한다.	$Z_2\times Z_3\simeq Z_6$
$\ltimes$ $\rtimes$	반직접곱	$N\rtimes H$ 또는 $H\ltimes N$ 은 군 $N$ 과 $H$ 의 반직접곱을 의미한다.	$D_{2n}\simeq Z_n\rtimes Z_2=Z_n\ltimes Z_2$
$\oplus$	직합	$V \oplus W$ 은 벡터 공간, 아벨 군, 가군 등의 대수 구조 $V$ 와 $W$ 의 직합을 의미한다. $\bigoplus_{i \in I} V_i$ 은 벡터 공간, 아벨 군, 가군 등의 대수 구조들의 모임 $\{V_i\}_{i\in I}$ 의 직합을 의미한다. $I$ 가 유한 집합인 경우 직접곱과 같다.	유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 대각화 가능한 선형 변환 $T$ 의 고윳값 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 에 대해, $V=\bigoplus_{1\le i\le n}\ker(T-\lambda_i I)$ 이다.
$\coprod$	쌍대곱	$\coprod_{i\in I}X_i$ 는 범주 $\mathcal C$ 의 대상의 집합 $\{X_i\}_{i\in I}$ 의 쌍대곱을 의미한다.
$\wr$	화환곱	$(G,A)\wr(H,B)$ 은 반군 $G,H$ 가 각각 집합 $A,B$ 의 오른쪽에서 작용할 때 $(G,A)$ 와 $(H,B)$ 의 화환곱을 의미한다.
$\le$ $\ge$	부분군	$H \le G$ 는 군 $H$ 가 군 $G$ 의 부분군임을 의미한다.	$5\mathrm{Z} \le \mathrm{Z}$ , $\mathrm{A}_3 \le \mathrm{S}_3$
$<$ $>$	진부분군	$H < G$ 는 군 $H$ 가 군 $G$ 의 진부분군임을 의미한다.	$5\mathrm{Z} < \mathrm{Z}$ , $\mathrm{A}_3 < \mathrm{S}_3$
$\triangleleft$ $\triangleright$	정규 부분군	$N\triangleleft G$ 또는 $G\triangleright N$ 는 $N$ 이 $G$ 의 정규 부분군임을 의미한다.	군 $G$ 에 대해 $Z(G)\triangleleft G$
$/$	몫공간	몫집합, 몫군, 몫환 등 몫공간을 나타낼 때 사용한다.	$X/\sim$ , $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\simeq\mathbb{Z}[i]$ , $\operatorname{Im}(f)\cong G/\ker(f)$
$/$	체의 확대	$E/F$ 는 체 $E$ 가 체 $F$ 의 확대임을 의미한다.	$\mathbb{C}/\mathbb{R}$
$[\Box:\Box]$	체의 차수	$[E:F]$ 는 체의 확대 $E/F$ 가 이루는 벡터 공간의 차원을 의미한다.	$[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$
$\operatorname{Aut}$	자기 동형 사상군	$\operatorname{Aut}(X)$ 는 대상(특히, 군) $X$ 의 자기동형사상이 이루는 군을 의미한다.	E/F가 $>\operatorname{Aut}(E/F)\|=[E:F]$ 를 만족하면 이를 갈루아 확대라 한다.
$\text{ob}(\Box)$	대상의 모임	$\text{ob}(\mathcal{C})$ 는 범주 $\mathcal{C}$ 의 대상들의 모임을 의미한다.
$\text{hom}(\Box)$ $\text{hom}_\Box(\Box)$ $\text{mor}(\Box)$	사상들의 모임	$\text{hom}(\mathcal{C})$ 는 범주 $\mathcal{C}$ 의 사상들의 모임이다. $\text{hom}(X,Y)$ 또는 $\text{hom}_\mathcal{C}(X,Y)$ , $\text{mor}(X,Y)$ , $\mathcal{C}(X,Y)$ 는 범주 $\mathcal{C}$ 의 대상 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 사상들의 모임이다.
$\Box^{\text{op}}$	반대 범주	$\mathcal{C}^{\text{op}}$ 는 범주 $\mathcal{C}$ 의 모든 사상의 방향을 반대로 뒤집은 반대 범주를 의미한다.
	가환 그림	범주론에서, 시작과 끝이 같은 모든 경로가 모두 동일한 결과로 이어지는 그림을 가환 그림이라 한다.

8.1. 군 (Group)

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기호	의미	설명	예시
$*$	이항 연산	임의의 이항 연산을 나타낼 때 일반적으로 사용한다.	군 $G$ 는 이항 연산 $$ 가 주어진 집합 $(G,)$ 이다.
$Z(\Box)$	군의 중심	$Z(G)$ 는 군 $G$ 의 중심 $\{z\in G:\forall g\in G, zg=gz\}$ 을 의미한다.	아벨 군 $G$ 에 대해 $Z(G)=G$ 이다.
$\times$ $\prod$	직접곱	$X\times Y$ 는 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조 $X,Y$ 의 직접곱을 의미한다. $\prod_{i \in I} X_i$ 은 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조들의 모임 $\{X_i\}_{i\in I}$ 의 직접곱을 의미한다.	$Z_2\times Z_3\simeq Z_6$
$\ltimes$ $\rtimes$	반직접곱	$N\rtimes H$ 또는 $H\ltimes N$ 은 군 $N$ 과 $H$ 의 반직접곱을 의미한다.	$D_{2n}\simeq Z_n\rtimes Z_2=Z_n\ltimes Z_2$
$\wr$	화환곱	$(G,A)\wr(H,B)$ 은 반군 $G,H$ 가 각각 집합 $A,B$ 의 오른쪽에서 작용할 때 $(G,A)$ 와 $(H,B)$ 의 화환곱을 의미한다.
$\le$ $\ge$	부분군	$H \le G$ 는 군 $H$ 가 군 $G$ 의 부분군임을 의미한다.	$5\mathrm{Z} \le \mathrm{Z}$ $\mathrm{A}_3 \le \mathrm{S}_3$
$<$ $>$	진부분군	$H < G$ 는 군 $H$ 가 군 $G$ 의 진부분군임을 의미한다.	$5\mathrm{Z} < \mathrm{Z}$ $\mathrm{A}_3 < \mathrm{S}_3$
$\triangleleft$ $\triangleright$	정규 부분군	$N\triangleleft G$ 또는 $G\triangleright N$ 는 $N$ 이 $G$ 의 정규 부분군임을 의미한다.	군 $G$ 에 대해 $Z(G)\triangleleft G$
$/$	몫공간	몫집합, 몫군, 몫환 등 몫공간을 나타낼 때 사용한다. 예를 들어 군 $G$ , $N$ 에 대해 $G/N$ 은 몫군을 의미한다.	$X/\sim$ $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\simeq\mathbb{Z}[i]$ $\operatorname{Im}(f)\cong G/\ker(f)$

8.2. 환 (Ring)

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\| 의미 \|\| 설명 \|\| 예시
$*$	이항 연산	임의의 이항 연산을 나타낸다.	군 $G$ 는 이항 연산 $$ 가 주어진 집합 $(G,)$ 이다.
$Z(\Box)$	군의 중심	$Z(G)$ 는 군 $G$ 의 중심 $\{z\in G:\forall g\in G, zg=gz\}$ 이다.	아벨 군 $G$ 에 대해 $Z(G)=G$ 이다.
$\times$ $\prod$	직접곱	$X\times Y$ 는 군, 가군, 위상 공간 등의 대수 구조 $X,Y$ 의 직접곱이다.
$\ltimes$ $\rtimes$	반직접곱	$N\rtimes H$ 또는 $H\ltimes N$ 은 군 $N$ 과 $H$ 의 반직접곱이다.	$D_{2n}\simeq Z_n\rtimes Z_2=Z_n\ltimes Z_2$
$\oplus$	직합	$V \oplus W$ 은 벡터 공간, 아벨 군, 가군 등의 대수 구조 $V$ 와 $W$ 의 직합이다.
$\coprod$	쌍대곱	$\coprod_{i\in I}X_i$ 는 범주 $\mathcal C$ 의 대상의 집합 $\{X_i\}_{i\in I}$ 의 쌍대곱이다.
$\wr$	화환곱	$(G,A)\wr(H,B)$ 은 반군 $G,H$ 가 각각 집합 $A,B$ 의 오른쪽에서 작용할 때 $(G,A)$ 와 $(H,B)$ 의 화환곱이다.
$\le$ $\ge$	부분군	$H \le G$ 는 군 $H$ 가 군 $G$ 의 부분군임을 나타낸다.	$5\mathrm{Z} \le \mathrm{Z}$ , $\mathrm{A}_3 \le \mathrm{S}_3$
$<$ $>$	진부분군	$H < G$ 는 군 $H$ 가 군 $G$ 의 진부분군임을 나타낸다.	$5\mathrm{Z} < \mathrm{Z}$ , $\mathrm{A}_3 < \mathrm{S}_3$
$\triangleleft$ $\triangleright$	정규 부분군	$N\triangleleft G$ 또는 $G\triangleright N$ 는 $N$ 이 $G$ 의 정규 부분군임을 나타낸다.	군 $G$ 에 대해 $Z(G)\triangleleft G$
$/$	몫공간	몫집합, 몫군, 몫환 등 몫공간을 나타낸다.	$X/\sim$ , $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\simeq\mathbb{Z}[i]$ , $\operatorname{Im}(f)\cong G/\ker(f)$
$/$	체의 확대	$E/F$ 는 체 $E$ 가 체 $F$ 의 확대임을 나타낸다.	$\mathbb{C}/\mathbb{R}$
$[\Box:\Box]$	체의 차수	$[E:F]$ 는 체의 확대 $E/F$ 가 이루는 벡터 공간의 차원이다.	$[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$
$\operatorname{Aut}$	자기 동형 사상군	$\operatorname{Aut}(X)$ 는 대상(특히, 군) $X$ 의 자기동형사상이 이루는 군이다.	E/F가 $>\operatorname{Aut}(E/F)\|=[E:F]$ 를 만족하면 이를 갈루아 확대라 한다.
$\text{ob}(\Box)$	대상의 모임	$\text{ob}(\mathcal{C})$ 는 범주 $\mathcal{C}$ 의 대상들의 모임이다.
$\text{hom}(\Box)$ $\text{hom}_\Box(\Box)$ $\text{mor}(\Box)$	사상들의 모임	$\text{hom}(\mathcal{C})$ 는 범주 $\mathcal{C}$ 의 사상들의 모임이다.
\Box^{\text{op}} \|\| [[범주 (수학)#정의#반대 범주>반대 범주]] \|\| $\mathcal{C}^{\text{op}}$ 는 범주 $\mathcal{C}$ 의 모든 사상의 방향을 반대로 뒤집은 반대 범주이다. \|\|
	가환 그림	범주론에서, 시작과 끝이 같은 모든 경로가 모두 동일한 결과로 이어지는 그림을 가환 그림이라 한다.

8.3. 체 (Field)

Field^영어의 연산, 체의 확대 등을 나타내는 기호는 다음과 같다.

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기호	의미	설명	예시
/	체의 확대	$E/F$ 는 체 $E$ 가 체 $F$ 의 확대임을 의미한다.	$\mathbb{C}/\mathbb{R}$
$[\Box:\Box]$	체의 차수	$[E:F]$ 는 체의 확대 $E/F$ 가 이루는 벡터 공간의 차원을 의미한다.	$[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$

9. 괄호 기호

( )는 연산 순서를 나타내는 데 사용되며, 괄호 안의 연산을 먼저 수행해야 함을 의미한다.

( , )는 순서쌍 및 2차원 좌표를 나타낸다. (a, b)는 두 대상 a, b의 순서쌍을 의미하며, 2차원 좌표계의 점을 순서쌍으로 나타낸다.

( ,…, )는 튜플 및 좌표를 나타낸다. (a₁, …, a_n)은 대상 a₁, …, a_n의 n-튜플을 의미하며, n차원 좌표계의 점을 튜플로 나타낸다.

( , ), [ , ], ( , ], [ , )는 구간을 나타낸다.
* (a, b)는 a보다 크고 b보다 작은 원소들로 이루어진 열린구간이다.
* [a, b]는 a보다 크거나 같고 b보다 작거나 같은 원소들로 이루어진 닫힌구간이다.
* [a, b)는 a보다 크거나 같고 b보다 작은 원소들로 이루어진 반열린구간이다.
* (a, b]는 a보다 크고 b보다 작거나 같은 원소들로 이루어진 반열린구간이다.

|| ||는 노름을 나타낸다. ||x||는 노름 공간의 원소 x의 노름을 의미한다.

⌊ · ⌋, [·]는 바닥함수를 나타낸다. ⌊x⌋ 또는 [x]는 실수 x보다 같거나 작은 가장 큰 정수를 의미한다. 예시: ⌊1.7⌋ = 1

⌈ · ⌉는 천장함수를 나타낸다. ⌈x⌉는 실수 x보다 같거나 큰 가장 작은 정수를 의미한다. 예시: ⌈1.7⌉ = 2

{·}는 부분 분수 함수를 나타낸다. {x}는 실수 x에 대해 {x} = x - ⌊x⌋을 의미한다. 예시: {1.7} = 0.7

⟨ | 는 브라 벡터를 나타낸다. ⟨φ|는 벡터 |φ⟩의 쌍대를 의미한다.

| ⟩는 켓 벡터를 나타낸다. |φ⟩는 φ 표시와 함께 표기되는 벡터를 의미하며, 힐베르트 공간 안에 있다.

10. 기타 기호

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기호	의미	설명	예시
$\mid$	약수	$m\mid n$ 은 정수 $m$ 이 정수 $n$ 의 약수임을 의미한다.	$7\mid 42$
$\nmid$	약수가 아님	$m\nmid n$ 은 정수 $m$ 이 정수 $n$ 의 약수가 아님을 의미한다.	$5\nmid 42$
$\parallel$	평행	$l_1\parallel l_2$ 는 두 선분 혹은 직선 $l_1, l_2$ 가 서로 평행함을 의미한다.
$\perp$	수직	$l_1\perp l_2$ 는 두 선분 혹은 직선 $l_1, l_2$ 가 서로 수직임을 의미한다.
$\circ$	도	$\circ$ 는 1회전을 360등분한 평면 각도의 단위를 의미한다.	$90^\circ$
$'$	분	$1'$ 은 $1^\circ$ 를 60등분한 평면 각도의 단위를 의미한다.
	초	$1$ 는 $1'$ 을 60등분한 평면 각도의 단위를 의미한다.
$\operatorname{rad}$	라디안	$\operatorname{rad}$ 는 단위원 중심각에 해당하는 호의 길이와 값이 같도록 하는 평면 각도의 단위를 의미한다. 수학에서는 일반적으로 라디안 단위를 생략한다.	$\pi\operatorname{rad}=180^\circ$
$\operatorname{sr}$	스테라디안	$\operatorname{sr}$ 는 단위구 중심각에 해당하는 곡면의 넓이와 값이 같도록 하는 입체각의 단위를 의미한다.
$\uparrow$	커누스 윗화살표 표기법	$\uparrow$ 는 커누스 윗화살표 표기법에서 쓰이는 연산자이다.
$!$	계승	자연수 $n$ 에 대해 $n!$ 는 $1\times2\times\cdots\times n$ 을 의미한다.	$4! = 1\times2\times3\times4 = 24$
$!$	준계승	자연수 $n$ 에 대해 $!n$ 는 $n$ 개의 원소에 대한 완전순열의 수를 의미한다.	$!n = \frac{\Gamma (n+1, -1)}{e} = \left[ \frac{n!}{e} \right]$
${}_\Box P_\Box$	k-순열	${}_nP_k$ 는 서로 다른 $n$ 개의 원소에서 중복 없이 $k$ 개를 골라 순서 있게 나열할 수 있는 경우의 수를 의미한다. $n^{\underline k},P_{n,k},P(n,k)$ 로도 쓴다.	${}_5P_2=5\cdot4=20$
$\binom \Box\Box$ ${}_\Box C_\Box$	이항 계수	$\binom nk$ 또는 ${}_n C_k$ 는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수를 의미한다. $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 와 같은 값이며, $C(n,k)$ 로도 쓴다.	$\binom 52=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10$
$P(\Box/\Box)$ $P(\Box\mid\Box)$	조건부 확률	$P(A/B)$ 또는 $P(A\mid B)$ 는 사건 $B$ 가 일어났을 때 사건 $A$ 가 일어날 조건부 확률을 의미한다.
$\sim$	확률 분포	확률 변수가 특정 확률 분포를 따름을 나타낼 때 사용한다.	확률 변수 $X$ 가 표준 정규 분포를 따를 때, $X\sim N(0,1)$ 라 쓴다.
$\operatorname{argmax}$ $\operatorname{argmin}$	아그 맥스와 아그 민	$\operatorname{argmax}_S f$ 는 집합 $X$ 의 부분집합 $S$ 와 전순서 집합 $Y$ 에 대해 주어진 함수 $f:X\to Y$ 에 대해 $\{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x)\ \forall s \in S \}$ 을 의미한다.

10.1. 무한대 (∞)

∞는 무한대를 나타낸다. 합산, 무한곱, 적분 등의 상한으로서 계산이 무제한임을 의미한다. 마찬가지로 하한에 있는 $-\infty$ 는 음수 방향으로 계산이 무제한임을 의미한다.

$-\infty$ 와 $+\infty$ 는 실수축에 더해져 확장된 실수축을 형성하는 일반화된 수이며, $\infty$ 는 실수축에 더해져 사영 확장 실수축을 형성하는 일반화된 수이다.