융합 규칙

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
- 4.1. 이징 모형
- 4.2. 베스-추미노-위튼 모형
5. 역사
참조

1. 개요

융합 규칙은 유한 집합, 대합, 자유 가환 모노이드를 사용하여 정의되며, 규격화, 대칭, 융합, 부호, 비퇴화성 등의 공리를 만족하는 함수이다. 융합 규칙은 항등원과 3점 계수에 의해 결정되며, 자연수를 사용하여 고차 종수 융합 규칙을 재귀적으로 정의하는 데 사용된다. 2차원 등각 장론(CFT)에서 융합 규칙은 융합환을 구성하는 데 중요한 개념으로, 융합환은 CFT의 연산자 곱셈 규칙을 나타내는 대수 구조이며 상관 함수 계산 및 위상적 성질 연구에 활용된다. 융합 규칙과 융합환은 비라소로 대수, 초대칭 비라소로 대수, 아핀 리 대수 등 다양한 대수 구조를 갖는 CFT에서 정의될 수 있으며, 에릭 페를린더에 의해 2차원 등각 장론 연구를 위해 도입되었다.

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융합 규칙
수학적 구조
분야	표현론, 수학적 물리학, 끈 이론
연관 분야	등각 장론, 바일 대수, 텐서곱
상세 내용
다른 이름	퓨전 대수, 퓨전 링, 퓨전 규칙
영어 이름	Fusion rules
설명	텐서곱 분해 규칙 등각 장론에서 연산자 곱 전개(OPE) 계수
관련 개념	베를린데 공식

2. 정의

유한 집합 $I$ 와 $I$ 위의 대합 $(-)^*\colon I \to I$ (즉, $(-)^* \circ (-)^* = \operatorname{id}_I$ 를 만족하는 함수)가 주어졌다고 하자.

이 집합 $I$ 로부터 생성되는 자유 가환 모노이드 $\mathbb N^I$ 를 생각할 수 있다.

: $\mathbb N^I = \left\{ \sum_{i \in I} n_i i \mid \forall i \in I \colon n_i \in \mathbb N \right\}$

여기서 $\mathbb N$ 은 음이 아닌 정수의 집합 {0, 1, 2, ...}이다. $\mathbb N^I$ 의 원소는 $I$ 의 원소들로 이루어진 중복집합으로 생각할 수 있다. 예를 들어, $I = \{a, b\}$ 일 때, $2a + 3b$ 는 $a$ 가 2개, $b$ 가 3개 있는 중복집합에 해당한다.

집합 $I$ 위의 '''융합 규칙'''(fusion rule)은 다음 조건들을 만족하는 함수 $N \colon \mathbb N^I \to \mathbb Z$ 이다. 여기서 $\mathbb Z$ 는 정수의 집합이다.

'''규격화''' (Normalization): $N(0) = 1$
여기서 $0$ 은 $\mathbb N^I$ 의 덧셈 항등원, 즉 빈 중복집합을 의미한다.
'''대합에 대한 대칭''' (Symmetry under involution): 모든 $x \in \mathbb N^I$ 에 대해 $N(x^*) = N(x)$ 이다.
여기서 $x = \sum_i n_i i$ 일 때, $x^* = \sum_i n_i i^*$ 로 정의된다.
'''융합''' (Fusion): 모든 $x, y \in \mathbb N^I$ 에 대해 다음 식이 성립한다.

:

N(x+y) = \sum_{k \in I} N(x+k) N(y+k^*)

'''부호''' (Sign): $N(i) > 0$ 인 $i \in I$ 가 적어도 하나 존재한다.
'''비퇴화성''' (Non-degeneracy): 모든 $i \in I$ 에 대해, $N(i+x) \ne 0$ 을 만족하는 $x \in \mathbb N^I$ 가 존재한다.

3. 성질

유한 집합 $I$ 와 그 위의 대합 연산 $(-)^*\colon I \to I$ (즉, $(-)^* \circ (-)^* = \operatorname{id}_I$ 는 항등 함수)가 주어졌다고 가정하자. 이들로부터 생성되는 자유 가환 모노이드는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathbb N^I = \left\{ \sum_{i \in I} n_i i \mid \forall i \in I \colon n_i \in \mathbb N \right\}$

여기서 $\mathbb N = \{0, 1, 2, \dots\}$ 은 음이 아닌 정수의 집합이다. 이 모노이드의 원소는 $I$ 의 원소들로 이루어진 중복집합으로 생각할 수 있다. 즉, 각 원소 $i \in I$ 가 몇 번( $n_i$ 번) 나타나는지를 나타내는 형식적인 합이다.

$I$ 위의 '''융합 규칙'''은 다음의 다섯 가지 조건을 만족하는 함수 $N \colon \mathbb N^I \to \mathbb Z$ 이다.

'''규격화 (Normalization)''': 빈 중복집합(0)에 대한 값은 1이다. 즉, $N(0) = 1$ 이다.
'''대합에 대한 대칭 (Symmetry under involution)''': 임의의 중복집합 $x = \sum n_i i \in \mathbb N^I$ 에 대해, 각 원소를 대합시킨 중복집합 $x^* = \sum n_i i^*$ 의 값은 원래 값과 같다. 즉, $N(x^*) = N(x)$ 이다.
'''융합 (Fusion)''': 두 중복집합 $x, y \in \mathbb N^I$ 의 합집합( $x+y$ )에 대한 값은 다음과 같이 계산된다. 즉, $N(x+y) = \sum_{k \in I} N(x+k) N(y+k^*)$ 이다. 이 조건은 융합 규칙의 핵심적인 재귀적 관계를 정의한다.
'''부호 (Sign)''': $I$ 의 원소 중 적어도 하나 $i$ 에 대해서는 그 값이 양수이다. 즉, $\exists i \in I \colon N(i) > 0$ 이다.
'''비퇴화성 (Non-degeneracy)''': $I$ 의 모든 원소 $i$ 에 대해, $i$ 를 포함하는 어떤 중복집합 $i+x$ ( $x \in \mathbb N^I$ )의 값이 0이 아니도록 하는 $x$ 가 존재한다. 즉, $\forall i \in I \exists x \in \mathbb N^I \colon N(i+x) \ne 0$ 이다. 이는 어떤 원소도 융합 과정에서 완전히 "사라지지 않음"을 의미한다.

3. 1. 항등원과 3점 계수

임의의 융합 규칙

N\colon \mathbb N^I \to \mathbb Z

에는 항상 특별한 원소

\eta\in I

가 존재하는데, 이 원소는 다음 조건을 만족시킨다.

:

N(i) =\begin{cases}1 & i = \eta \\0 & i \ne \eta\end{cases}

:

\eta^*=\eta

이 원소

\eta

를 융합 규칙의 '''항등원'''(identity element^영어)이라고 부르며, 보통 간단히

1

로 표기한다. 이는 2차원 등각 장론에서 항등 연산자에 해당하는 개념이다. 모든 융합 규칙에는 이러한 항등원이 유일하게 존재하며, 자신의 켤레 원소와 같다(

1^*=1

).

항등원은 다른 원소와 융합할 때 다음과 같은 성질을 가진다.

:

N(1+x) = N(x)\qquad\forall x\in\mathbb N^I

즉, 항등원

1

은 융합 계산에서 다른 원소

x

에 영향을 주지 않는다.

또한, 두 원소

i, j \in I

에 대한 2점 계수는 다음과 같이 결정된다.

:

N(i+j) = \begin{cases}1 & i = j^* \\0 & i \ne j^*\end{cases}

이는 어떤 원소

i

와 그 켤레

i^*

의 융합 계수

N(i+i^*)

는 항상 1이며, 서로 켤레 관계가 아닌 두 원소의 융합 계수

N(i+j)

(

i \ne j^*

)는 항상 0임을 의미한다.

융합 규칙은 항등원

1\in I

과 3점 계수

N(i+j+k)

(단,

i,j,k \in I \setminus\{1\}

)만으로 완전히 결정된다. 2점 이하의 계수는 항등원에 의해 위에서 보듯 결정되며, 4점 이상의 계수는 3점 계수와 더 낮은 점수의 계수들을 이용하여 재귀적으로 계산할 수 있기 때문이다. 예를 들어, 4점 계수는 다음과 같이 3점 계수로 표현된다.

:

N(i_1+i_2+i_3+i_4) = \sum_{j\in I}N(i_1+i_2+j^*)N(j+i_3+i_4)

보통 3점 계수는 다음과 같이 표기한다.

:

N_{ij}^k = N(i+j+k^*)

이 표기법에서 3점 계수는 다음과 같은 대칭성을 만족한다.

:

N_{ij}^k = N_{ji}^k = N_{k^*i}^j = N_{i^*j^*}^{k^*}

또한, 항등원

1

이 포함된 3점 계수는 크로네커 델타

\delta

를 사용하여 간단히 표현할 수 있다.

:

N_{1i}^j = N_{i1}^j = \delta_i^j

:

N_{ij^*}^1 = \delta_i^j

융합 규칙은 다음 조건을 만족한다.

:

N(i+j+k+l^*) = \sum_{m\in I}N_{ij}^mN_{km}^l = \sum_{m\in I}N_{ik}^mN_{jm}^l\qquad(\forall i,j,k,l\in I)

이 조건은 융합 계수

N_{ij}^k

를 성분으로 가지는 행렬

(N_i)_j^k = N_{ij}^k

를 정의했을 때, 이 행렬들이 서로 교환 가능함을 의미한다.

:

N_jN_k = N_kN_j

따라서, 복소수 계수 위에서 이 융합 행렬

N_i

들을 동시에 대각화하는 기저를 찾을 수 있다. 페를린더 공식에 따라, 이 공통 고유벡터 기저는 모듈러 변환의 S행렬에 의해 주어진다.^[2]

3. 2. 고차 종수 융합 규칙

융합 규칙

N\colon \mathbb N^I\to\mathbb Z

및 자연수

g

에 대하여, 다음과 같은 함수들을 재귀적으로 정의할 수 있다.

:

N_g(x) = \sum_{i\in I}N_{g-1}(x+i+i^*)\qquad\forall x\in \mathbb N^I

:

N_0 = N

이들은 2차원 등각 장론에서, 종수

g

의 콤팩트 리만 곡면 위에 정의된 상관 함수에 대응된다.

그렇다면, 이는 다음과 같은 성질을 따른다.^[3]

:

N_{g+h}(x+y) = \sum_{i\in I}N_g(x+i^*)N_h(i+y)\qquad\forall x,y\in \mathbb N^I,\;g,h\in\mathbb N

3. 3. 융합환

융합 규칙

N\colon\mathbb N^I \to \mathbb Z

이 주어지면, 집합

I

의 원소들을 기저로 하는 자유 아벨 군

R = \mathbb Z^I

위에 다음과 같은

\mathbb Z

-쌍선형 곱셈 연산을 정의할 수 있다.

:

i_1 \cdot i_2 \cdot \dotsb \cdot i_k = \sum_{j\in I}N(i_1+\dotsb+i_k+j^*)j \qquad(k\in\mathbb N,\;i_1,\dotsc,i_k\in I)

이 곱셈 연산을 통해

R

은 항등원

1\in I

을 갖는 가환환 구조를 가지게 되며, 이를 '''융합환'''이라고 부른다.

특히, 융합환

R

의 가환환으로서의 항등원은 0개 원소의 곱으로 정의되며, 이는 다음과 같다.

:

\sum_{j\in I}N(j^*)j = 1

이는 융합 규칙에서 정의된 항등원

1\in I

과 일치한다. 융합 규칙의 융합 공리는 이 곱셈 연산이 결합 법칙을 만족함을 보장한다.

또한, 융합환

R

위에는 항상 다음 조건을 만족시키는 덧셈 군 준동형

:

t\colon (R,+) \to (\mathbb Z,+)

이 존재한다.^[3]

:

t(i_1i_2\dotsm i_k) = N(i_1+i_2+\dotsb+i_k)\qquad\forall i_1,\dotsc,i_k\in I

이 준동형

t

는

R

과 그 쌍대 가군

R^\vee = \hom_{\mathbb Z}(R,\mathbb Z)

사이의 동형 사상

r \mapsto (s\mapsto t(rs))

을 정의한다. 이는 모든 융합환이 고런스틴 환임을 의미한다. 이 가군 동형에서 대각합

\operatorname{tr} \in R^\vee

에 대응하는

R

의 원소는 카시미르 원소

\sum_{i\in I}ii^*

이다.

3. 3. 1. 등각 장론의 융합환

2차원 등각 장론 가운데 최소 모형이 주어졌다고 하자. 이 경우,

I

를 1차장의 집합으로 놓고,

(-)^*

를 항등 함수로 놓고,

:

N_{ij}^k = \begin{cases}0 & C_{ijk} = 0 \\1 & C_{ijk} \ne 0\end{cases}

로 놓자. (여기서

C_{ijk}

는 등각 장론의 3점 상관 함수의 계수이다.) 그렇다면, 이는 융합 규칙을 정의한다.

보다 일반적으로, 비라소로 대수 대신 초대칭 비라소로 대수나 아핀 리 대수(베스-추미노-위튼 모형)에 대한, 유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에 대해서도 유사하게 융합환을 정의할 수 있다. 이 경우 대합

(-)^*

이 자명하지 않을 수 있다.

4. 예

융합 규칙은 다양한 2차원 등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 구체적인 예시는 다음과 같다.

이징 모형: 임계 2차원 이징 모형에 해당하는 최소 모형 $c=1/2$ 의 경우, 세 개의 일차장(진공, 스핀 밀도, 에너지 밀도) 사이의 융합 규칙을 정의할 수 있다.^[2]
베스-추미노-위튼 모형: 아핀 리 대수 $\hat{\mathfrak g}$ 의 표현을 갖는 베스-추미노-위튼 모형에서는, 리만 구 위에서의 등각 블록의 차원을 이용하여 융합 규칙을 정의할 수 있다.^[3]

각 모형에서의 구체적인 융합 규칙과 계산 과정은 해당 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

4. 1. 이징 모형

임계 2차원 이징 모형에 해당하는 최소 모형

c=1/2

을 생각하자. 이 경우, 세 개의 일차장이 존재하며, 다음과 같다.

기호	설명	비라소로 대수 표현 $(h,\bar h)$
1	진공	(0,0)
$\sigma$	스핀 밀도	(1/16,1/16)
$\epsilon$	에너지 밀도	(½,½)

이에 대응되는 융합 규칙은 다음과 같다.^[2]

: $I = \{1,\sigma,\epsilon\}$

: $(-)^* = \operatorname{id}_I$

: $N(2\sigma) = 1$

: $N(2\epsilon) = 1$

: $N(2\sigma+\epsilon) = 1$

: $N(1+2\epsilon) = 1$

: $N(1+2\sigma) = 1$

: $N(\epsilon+2\sigma) = 1$

이 경우, 페를린더 대수는 3차원이며, 다음과 같다.

: $A = \mathbb Z[\sigma,\epsilon] / (\sigma^2 - 1 - \epsilon,\epsilon\sigma-\sigma,\epsilon^2-1)$

즉, 곱셈이 다음과 같다.

·	1	σ	ε
1	1	σ	ε
σ	σ	1+ε	σ
ε	ε	σ	1

4. 2. 베스-추미노-위튼 모형

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정한다.

복소수 단순 리 대수 $\mathfrak g$
$\mathfrak g$ 의 카르탕 부분 대수 $\mathfrak h$
* 이를 통해 근계 $\operatorname R(\mathfrak g,\mathfrak h)$ 를 정의할 수 있다.
근계 $\operatorname R(\mathfrak g,\mathfrak h)$ 위의 순서. 이를 통해 최고(最高) 근 $\theta\in \operatorname R(\mathfrak g,\mathfrak h)$ 을 선택할 수 있다.
양의 정수 $k\in\mathbb Z^+$

이제,

\hat{\mathfrak g}

의 우세 무게

\lambda

중에서

\langle\lambda|\theta\rangle \le k

를 만족하는 것들의 집합을

P_k

라고 하자. 이들은 아핀 리 대수

\hat{\mathfrak g}

의 준위

k

표현들과 일대일 대응 관계를 가진다.

\lambda\in P_k

에 대응하는

\hat{\mathfrak g}

-표현을

\mathcal H_\lambda

로 표기한다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

콤팩트 연결 리만 곡면 $\Sigma$
$\Sigma$ 의 유한 부분 집합 $X=\{x_1,\dotsc,x_n\} \subseteq\Sigma$
함수 $\lambda\colon X \to P_k$

그러면,

\hat{\mathfrak g}

의 표현

:

\bigotimes_{x\in X}\mathcal H_{\lambda(x)}

을 고려할 수 있다. 또한,

\mathfrak g

값을 가지는 정칙 함수의 복소수 리 대수

\mathcal O(\Sigma\setminus X) \otimes_{\mathbb C} \mathfrak g

는 이 표현 위에 표준적으로 작용한다. 따라서, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.^[3]

:

V(X,\lambda) = \left(\bigotimes_{x\in X}\mathcal H_{\lambda(x)}\right)_{\mathcal O(\Sigma\setminus X) \otimes_{\mathbb C} \mathfrak g}

여기서 아래 첨자

\mathfrak g

는

\mathfrak g

-작용에 대한 쌍대불변량(coinvariant)의 공간, 즉

\mathfrak g

에 불변인 가장 큰 몫 벡터 공간을 의미한다.

아핀 리 대수

\hat{\mathfrak g}

의 표현을 갖는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형을 정의할 수 있다. 이 맥락에서 복소수 벡터 공간

V(X,\lambda)

는 각 점

x\in X

에

\lambda(x)

에 해당하는 일차장을 삽입했을 때의 등각 블록에 해당한다.

두 유한 집합

X

,

X'

및 전단사 함수

i\colon X\to X'

가 주어지면, 다음과 같은 표준적인 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.

:

V_\Sigma(X,\lambda) \cong V_\Sigma(X',\lambda\circ i)

이는 등각 블록의 차원이 선택된 점들의 개수와 각 점에 대응하는 표현에만 의존하며, 점들의 구체적인 위치에는 의존하지 않음을 의미한다.

이 경우, 다음과 같은 융합 규칙을 정의할 수 있다.^[3]

:

N\left(\sum\lambda_i\right) = \dim V_{\mathbb P_{\mathbb C}^1}(\{x_1,\dotsc,x_n\},(x_i \mapsto \lambda_i))

여기서

\mathbb P_{\mathbb C}^1

은 리만 구를 나타낸다. 즉, 융합 규칙은 리만 구 위에서의 등각 블록의 차원으로 정의되며, 이는 베스-추미노-위튼 모형에 대응하는 융합 규칙이다.

5. 역사

에릭 페를린더(Erik Verlinde^nl, 1962〜)가 1988년에 2차원 등각 장론을 연구하기 위하여 도입하였다.^[5]

참조

_[1] 논문 Fusion rules in conformal field theory
_[2] 서적 Introduction to conformal field theory with applications to string theory Springer-Verlag
_[3] 서적 Proceedings of the Hirzebruch 65 Conference on Algebraic Geometry: May 2–7, 1993 "אוניברסיטת בר-אילן‬" 1996
_[4] 논문 Fusion rules in conformal field theory 1994
_[5] 논문 Fusion rules and modular transformations in 2D conformal field theory 1988

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