회전 (기하학)

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1. 개요
2. 용어 및 정의
3. 2차원 회전
- 3.1. 선형대수학적 표현
- 3.2. 복소수 표현
4. 3차원 회전
5. 4차원 회전
6. 비유클리드 기하학에서의 회전
7. 상대성 이론에서의 회전
8. 회전의 중요성 및 일반화
참조

1. 개요

회전은 기하학에서 한 점을 중심으로 물체를 돌리는 변환을 의미한다. 회전군은 고정점에 대한 회전의 리군이며, 회전의 중심은 고정점, 회전의 축은 고정점을 지나는 직선, 회전의 평면은 회전에 대한 불변 평면이다. 2차원 회전은 회전각을 사용하여 표현되며, 행렬과 복소수를 통해 나타낼 수 있다. 3차원 회전은 오일러 각, 축-각도 표현, 행렬, 쿼터니언 등으로 표현되며, 4차원 회전은 두 개의 회전각을 갖는 두 회전면을 갖는다. 회전은 대칭을 정의하고 강체 역학, 물리학의 수학적 형식주의에 적용되며, 유니타리 행렬과 특수 직교군을 통해 일반화된다.

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회전 (기하학)
개요
정의	공간의 운동으로, 적어도 한 점을 보존하는 변환
관련 분야	기하학, 군론
종류
2차원	원점을 중심으로 하는 회전 변환
3차원	회전축을 중심으로 하는 회전
n차원	(n - 1)차원 부분공간을 고정하는 회전
특징
보존	거리, 각도, 모양, 크기
방향	3차원 공간에서 반사 변환과 달리 방향을 보존
표현
2차원	회전 행렬
3차원	회전 행렬, 오일러 각, 축-각 표현, 쿼터니언
응용
분야	컴퓨터 그래픽스, 물리학, 공학
예시	물체의 회전, 카메라의 회전, 좌표계의 회전

2. 용어 및 정의

회전군은 한 고정점을 중심으로 하는 회전 변환의 집합이며, 리 군을 이룬다. 이 고정점은 '''회전 중심'''이라고 불리며, 대부분의 경우 원점으로 간주된다. 회전군은 더 넓은 (방향을 보존하는) 운동 그룹에서 ''점 안정자''이다.

하나의 회전에 관하여:

'''회전축'''은 고정점들의 선이다. 인 경우에만 존재한다.
'''회전면'''은 회전에 따라 불변하는 평면이다. 회전축과 달리, 그 점들은 고정되지 않는다. 회전축(존재하는 경우)과 회전면은 직교한다.

회전의 ''표현''은 회전 맵을 매개변수화하는 데 사용되는 특정 형식(대수적 또는 기하학적 형식)이다. 이것은 군 이론에서의 의미와 다소 반대이다.

(아핀) 점 공간과 해당 벡터 공간의 회전은 항상 명확하게 구분되지 않는다. 전자는 때때로 ''아핀 회전''이라고도 불리나, 후자는 ''벡터 회전''이다.

3. 2차원 회전

2차원에서의 회전은 회전각이라는 각도를 사용하여 정의할 수 있다. 원점을 중심으로 물체를 반시계 방향으로 θ만큼 회전시키는 것이 2차원 회전의 기본 개념이다. 이러한 회전은 행렬과 복소수를 이용하여 표현할 수 있으며, 구체적인 방법은 하위 섹션에서 설명한다.^[5]

점 주위의 평면 회전에 다른 점 주위의 다른 회전이 뒤따르면 (이 그림에서와 같이) 회전 또는 평행이동이 된다.

2차원 회전은 가환이다. 즉, 회전의 순서를 바꾸어도 결과는 같다. 이는 고차원 회전에서는 성립하지 않는 2차원 회전만의 특징이다. 2차원 회전은 회전각에 의해 완전히 결정되므로 자유도는 1이다.

3. 1. 선형대수학적 표현

이차원에서 회전을 나타내기 위해 행렬 또는 복소수를 사용할 수 있다. 두 방법 모두 원점을 중심으로 반시계 방향으로 θ만큼 회전시키는 것을 나타낸다.
행렬 표현:회전될 점 (''x'', ''y'')를 벡터로 표현하고, 회전 행렬을 곱하면 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

여기서 (''x''′, ''y''′)는 회전 후의 점 좌표이다. 위 식을 풀면 다음과 같다.

:

\begin{align}x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\y'&=x\sin\theta+y\cos\theta\end{align}

회전 전후의 벡터

:

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}

는 같은 크기를 가진다.
복소수 표현:평면 상의 점 (x, y)는 복소수 `z = x + iy` 로 표현할 수 있다. 이 점을 각 θ만큼 회전시키면, 오일러 공식을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\&= (x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta) \\&= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i (x \sin \theta + y \cos \theta) \\&= x' + i y'\end{align}

이는 행렬 표현과 동일한 결과를 제공한다.

3. 2. 복소수 표현

'''R'''²^한국어 평면의 점은 복소수로도 표현할 수 있다. 평면의 점 (x, )는 다음과 같은 복소수로 표현된다.

:

z = x + iy

이것은 ''e''^''i''θ^한국어를 곱하여 각도 만큼 회전할 수 있으며, 다음처럼 오일러 공식을 사용하여 곱을 확장한다.

:

\begin{align}e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\&= x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta \\&= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i ( x \sin \theta + y \cos \theta) \\&= x' + i y' ,\end{align}

그리고 실수부와 허수부를 같게 하면 2차원 행렬과 동일한 결과가 나온다.

:

\begin{align}x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.\end{align}

복소수는 가환환을 형성하므로 2차원에서의 벡터 회전은 더 높은 차원과는 달리 가환적이다. 이러한 회전은 회전 각도에 의해 완전히 결정되므로 자유도가 하나뿐이다.^[3]

4. 3차원 회전

회전군은 특정 한 점을 중심으로 한 회전 전체가 이루는 리 군을 말한다. 이 공통 부동점을 회전의 '''중심'''이라고 부르며, 보통 이것을 원점과 동일시한다. 회전군은 방향을 보존하는 더 큰 군의 일점 고정 부분군이다.

하나의 회전에 관하여:

'''회전축''' (axis of rotation)은 그 회전의 부동점 전체가 이루는 직선을 말한다. 이것은 3차원에서만 존재한다.
'''회전면''' (plane of rotation)은 그 회전의 군 작용 아래에서 안정(불변)인 평면을 말한다. 회전축과 달리, 이 평면상의 각 점 자체는 그 회전의 부동점이 아니다. 회전축이 존재한다면, 회전축과 회전 불변 면은 서로 직교한다.

일반적인 3차원 공간에서의 회전은 여러 중요한 면에서 2차원에서의 경우와 차이가 있다. 3차원의 회전은 일반적으로 가환이 아니므로, 회전을 적용하는 순서가 중요하다. 3차원에서의 회전 자유도는 3이며, 차원의 값과 동일하다.

3차원 회전을 특정하는 방법은 여러 가지가 있다.

4. 1. 선형대수학적 표현

유클리드 공간의 움직임은 해당 등거리 변환과 동일하다. 즉, 변환 후 두 점 사이의 거리가 변하지 않는다. 그러나 (고유) 회전은 방향 구조를 보존해야 한다. 군론의 언어에서 이 구분은 유클리드 군에서 '직접' 대 '간접' 등거리 변환으로 표현되며, 여기서 전자는 항등원 성분을 구성한다.

원점을 보존하는 유클리드 공간의 움직임을 고려할 때, 순수 수학에서 중요한 점과 벡터 사이의 구분은 사라질 수 있다. 왜냐하면 점과 위치 벡터 사이에 표준적인 일대일 대응이 있기 때문이다. 원점을 보존하는 움직임은 동일한 기하학적 구조를 보존하지만 벡터로 표현되는 벡터에 대한 선형 연산자와 같다. 유클리드 벡터의 경우, 이 표현은 그들의 '크기' (유클리드 노름)이다. 실수 좌표 공간에서, 이러한 연산자는 직교 행렬로 표현되며 열 벡터에 곱해진다.

(고유) 회전은 벡터 공간의 방향을 보존한다는 점에서 임의의 고정점 움직임과 다르다. 따라서 회전 직교 행렬의 행렬식은 1이어야 한다. 직교 행렬의 행렬식에 대한 유일한 다른 가능성은 -1이며, 이 결과는 변환이 초평면 반사, 점 반사 (홀수 차원의 경우) 또는 다른 종류의 부정 회전임을 의미한다. 모든 고유 회전의 행렬은 특수 직교군을 형성한다.

2차원과 마찬가지로, 행렬을 사용하여 점 (x, y, z)를 점 (x', y', z')로 회전시킬 수 있다. 사용되는 행렬은 3 × 3 행렬이다.

:

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{pmatrix}

이는 점을 나타내는 벡터와 곱해져 결과를 제공한다.

:

\mathbf{A}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}

모든 적절한 행렬의 집합은 행렬 곱셈 연산과 함께 회전군 SO(3)를 이룬다. 행렬 A는 3차원 특수 직교군 SO(3)의 멤버이며, 이는 행렬식이 1인 직교 행렬이다. 직교 행렬이라는 것은 행렬의 행이 직교 단위 벡터의 집합(따라서 정규 직교 기저)이고, 열도 마찬가지여서 행렬이 유효한 회전 행렬인지 쉽게 확인하고 검사할 수 있음을 의미한다.

앞서 언급한 오일러 각과 축-각 표현은 쉽게 회전 행렬로 변환될 수 있다. 3차원 유클리드 벡터의 회전을 나타내는 또 다른 가능성은 아래에 설명된 쿼터니언이다.

일반적으로, 모든 차원에서 좌표 회전은 직교 행렬로 표현된다. 회전을 나타내는 n차원의 모든 직교 행렬 집합(행렬식 = +1)은 행렬 곱셈 연산과 함께 특수 직교군 SO(n)을 형성한다.

행렬은 변환을 수행하는 데 자주 사용되며, 특히 많은 수의 점이 변환될 때 선형 연산자의 직접적인 표현이기 때문이다. 다른 방식으로 표현된 회전은 사용 전에 행렬로 변환되는 경우가 많다. 동차 좌표계를 사용하여 회전과 변환을 동시에 나타내도록 확장할 수 있다. 사영 변환은 4 × 4 행렬로 표현된다. 이들은 회전 행렬은 아니지만 유클리드 회전을 나타내는 변환은 왼쪽 상단 구석에 3 × 3 회전 행렬을 갖는다.

행렬의 주요 단점은 계산하고 계산하는 데 더 많은 비용이 든다는 것이다. 또한 수치적 불안정성이 문제인 계산에서 행렬은 이에 더 취약할 수 있으므로, 행렬에 대해 수행하는 데 비용이 많이 드는 직교성을 복원하는 계산을 더 자주 수행해야 한다.

행렬을 사용하여 회전을 기술하려면 회전시킬 점 (''x'', ''y'')를 벡터로 표기하고, 각 θ의 회전을 제공하도록 계산된 행렬을 곱함으로써 다음을 얻는다.

:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

여기서 (''x''′, ''y''′)는 회전 후의 점의 좌표이며, 이 등식을 풀어 쓰면, ''x''′ 및 ''y''′에 관한 식

:

\begin{align}x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\y'&=x\sin\theta+y\cos\theta\end{align}

을 얻을 수 있다. 두 개의 벡터

:

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}

는 같은 크기를 가지며, 예상한 대로 각 θ를 이룬다.

2차원의 경우와 마찬가지로, 점 (''x'', ''y'', ''z'')를 점 (''x''′, ''y''′, ''z''′)로 옮기는 회전에 대해서도 행렬을 사용할 수 있다. 여기서 사용하는 것은 3 × 3 행렬

:

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{bmatrix}

이며, 이것을 점을 나타내는 벡터에 곱하면,

:

\mathbf{A}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix}

을 얻는다. 이 행렬 '''A'''는 3차원 특수 직교군 SO(3)의 원소, 즉 행렬식 1의 직교 행렬이다. 직교 행렬이라는 것은, 그 행 벡터가 서로 직교하는 단위 벡터의 집합(즉 정규 직교 기저)이 된다는 것을 의미하므로(열 벡터에 대해서도 같은 것이 말할 수 있다), 이 점을 사용하면 행렬이 회전 행렬인지의 여부를 검토하거나 확인할 수 있다. 회전 행렬의 행렬식 값은 1이어야 하며, 그 외에 직교 행렬이 가질 수 있는 행렬식 값은 -1뿐이며, 이 경우 얻어지는 직교 변환은 경사, 회전 반사 또는 점에 대한 반전이며 회전은 아니다.

행렬은, 그것이 선형 사상을 직접적으로 표현하는 것과 마찬가지로, 특히 다수의 점을 동시에 변환할 때의 변환을 나타내는 것으로서도 자주 사용되는 것이다. 다양한 방법으로 표현된 회전은, 그것을 행렬 표시로 바꾸는 것도 자주 행해진다. 동차 좌표계를 사용하면 회전도 변환도 동시에 나타내도록 확장하여 다룰 수 있다. 동차 좌표계를 갖춘 이 공간에서의 변환은 4 × 4 행렬로 나타내며, 이것 자체가 회전 행렬은 아니지만, 그 왼쪽 위의 3행 3열은 회전 행렬이 된다.

행렬을 사용하는 것의 불리한 점은 주로, 계산량이 많아지는 것과, 계산에 사용하기가 번거로운 것이다. 행렬에 관해서는 수치적 불안정성이 증가하기 쉬운 경향이 있으므로, 계산에는 직교성을 확보하는 것이 중요한데, 그것도 행렬에게는 계산량의 부담이 되므로 빈번하게 수행해야 한다.

4. 2. 오일러 각

3차원 공간에서의 회전은 오일러 각으로 표현할 수 있다. 오일러 각은 원점에 대한 회전을 세 가지 회전의 합성으로 나타낸다. 각 회전은 세 각 중 하나를 변경하여 얻어지며, 다른 두 각은 일정하게 유지한다. 오일러 각은 다양한 기준 프레임의 혼합을 기준으로 측정되기 때문에 '''혼합 회전축''' 시스템을 구성한다.

첫 번째 각도는 외부 축 ''z''를 중심으로 노드선을 움직인다.
두 번째 각도는 노드선을 중심으로 회전한다.
세 번째 각도는 움직이는 물체에 고정된 축을 중심으로 하는 고유한 회전(스핀)이다.

오일러 각은 일반적으로 ''α'', ''β'', ''γ'' 또는 ''φ'', ''θ'', ''ψ''로 표시된다. 이 표현은 고정점 주위의 회전에만 적합하다.

오일러 회전은 세 개의 오일러 각 중 두 개를 움직이지 않고 나머지 하나만 변화시켜 얻을 수 있는 운동으로서, 세 종류의 회전으로 구성된 집합을 말한다. 오일러 회전을 외부 기준계나 이동체와 함께 회전하는 기준계의 용어로 기술할 수는 없으며, 그것들을 조합해야 한다. 그렇게 하여 '''회전의 혼합 축계'''(mixed axes of rotation system)가 얻어지며, 첫 번째 각은 외부 축 ''z'' 주위의 결절점이 이루는 직선을 움직이고, 두 번째는 그 결절점이 이루는 직선 주위에서의 회전을 나타내며, 세 번째 각은 이동체에 고정된 축 주위에서의 내부적인 회전(자전)을 나타낸다.

이 세 종류의 회전을 각각 세차 운동(Precession), 장동 운동(Nutation), 자전(intrinsic rotation)이라고 부른다.

4. 3. 축-각 표현

축-각 표현은 회전이 발생하는 축과 그 각도를 함께 지정하여 3차원 회전을 나타내는 방법이다. 이는 경첩과 심봉에 의해 움직임이 제한되는 경우를 모델링할 때 유용하며, 오일러 각보다 시각적으로 이해하기 쉽다.

축-각 표현은 다음 두 가지 방식으로 나타낼 수 있다.

각도와 축을 나타내는 단위 벡터의 쌍
각도와 단위 벡터를 곱하여 얻어지는 유클리드 벡터인 ''회전 벡터'' (의사 벡터)

일반적으로 각도와 축의 쌍을 함께 사용하는 것이 더 편리하지만, 회전 벡터는 오일러 각처럼 세 개의 숫자만으로 표현 가능하여 간결하다는 장점이 있다. 그러나 실제로는 오일러 각과 마찬가지로 다른 표현으로 변환하여 처리하는 경우가 많다.

4. 4. 사원수(쿼터니언)

단위 사원수 또는 ''버서''는 어떤 면에서는 3차원 회전의 가장 직관적이지 않은 표현이다. 그것들은 일반적인 접근 방식의 3차원 인스턴스가 아니다. 행렬보다 더 간결하고 다른 모든 방법보다 다루기 쉬워서 실제 응용 분야에서 자주 선호된다.

버서(''회전 사원수''라고도 함)는 4개의 실수로 구성되며, 사원수의 노름이 1이 되도록 제한된다. 이 제약 조건은 사원수의 자유도를 필요한 대로 3개로 제한한다. 행렬 및 복소수와 달리 두 번의 곱셈이 필요하다.

:

\mathbf{x'} = \mathbf{qxq}^{-1},

여기서 는 버서이고, 는 그 역원이며, 는 0의 스칼라 부분을 가진 사원수로 취급되는 벡터이다. 사원수는 사원수에 대한 지수 맵에 의해 축 각도 회전의 회전 벡터 형식과 관련될 수 있다.

:

\mathbf{q}  = e^{\mathbf{v}/2},

여기서 는 사원수로 취급되는 회전 벡터이다.

버서에 의한 단일 곱셈, 왼쪽 또는 오른쪽, 그 자체는 회전이지만 4차원에서 그렇다. 원점에 대한 모든 4차원 회전은 두 개의 ''다른'' 단위 사원수에 의한 두 개의 사원수 곱셈(왼쪽 하나와 오른쪽 하나)으로 표현할 수 있다.

5. 4차원 회전

사차원에서의 일반적인 회전은 회전 중심이 되는 한 점만을 고정하고, 회전축을 갖지 않는 대신 서로 직교하는 두 개의 회전 불변면(회전에 의해, 그 평면상의 각 점이 회전 후에도 그 평면 내에 머문다는 의미로, 고정되는 면)을 갖는다. 따라서 사차원에서의 회전은 각 회전면에서 그 위의 점의 평면 회전으로 정해지며, 두 개의 회전각을 갖는다. 그 회전각을 ω₁ 및 ω₂라고 하면, 이들 회전면 위에 있지 않은 임의의 점은 ω₁과 ω₂ 사이의 각을 통해 회전한다.

ω₁ = ω₂가 되는 경우, 회전은 이중 회전이 되어, 모든 점은 동일한 회전각을 갖는다. 따라서 임의의 직교하는 두 평면을 회전면으로 취할 수 있다. 또한, ω₁과 ω₂ 중 어느 한쪽이 0일 때는, 한쪽 회전면은 각 점이 부동이 되고, 회전은 단일 회전이 된다. ω₁과 ω₂가 모두 0인 회전은 항등 회전이다^[6]。

사차원의 회전은 회전 행렬의 일반화로서, 4차 직교 행렬로 나타낸다. 사원수도 또한 사차원으로 일반화된 개념이며, 사차원 기하 대수에 속하는 다중 벡터가 된다. 세 번째 접근법으로, 이것은 사차원에서만 의미를 가지지만, 단위 사원수의 쌍을 사용하는 방법이 있다.

사차원에서의 회전의 자유도는 6이며, 이 사실을 보려면 두 개의 단위 사원수를 사용하는 것이 가장 쉽다(삼차원 구 상의 점으로서 각 단위 사원수의 자유도는 3, 두 개로 2 × 3 = 6의 자유도가 된다).

6. 비유클리드 기하학에서의 회전

유클리드 공간의 움직임은 해당 등거리 변환과 동일하다. 즉, 변환 후 두 점 사이의 거리가 변하지 않는다. 그러나 (고유) 회전은 방향 구조를 보존해야 한다. "부적절한 회전"이라는 용어는 방향을 반전(뒤집기)시키는 등거리 변환을 의미한다.

1차원 공간에서는 자명한 회전만 있다. 2차원에서는 원점에 대한 회전을 지정하는 데 단일 각도만 필요하며, 회전의 합성은 각도를 합산하며 1 턴 모듈로로 합산한다.

3차원 공간에서의 회전은 2차원에서의 회전과 여러 가지 중요한 측면에서 다르다. 3차원에서의 회전은 일반적으로 교환적이지 않으므로 회전이 적용되는 순서가 동일한 점에 대해서도 중요하며, 원점에 대한 회전에는 세 개의 자유도가 있다.

3차원 회전은 여러 가지 방법으로 지정할 수 있는데, 가장 일반적인 방법은 다음과 같다.

오일러 각
축-각도 표현

4차원에서의 일반적인 회전은 회전 중심인 고정점과 회전축이 하나만 있다. 대신 회전에는 두 개의 서로 수직인 회전 평면이 있으며, 회전에는 각 회전 평면에 대한 두 개의 회전 각도가 있다. 고정점에 대한 4차원 회전에는 6개의 자유도가 있다.

구면 기하학에서, -구 ( 타원 기하학의 예시)의 직접 운동은 원점에 대한 -차원 유클리드 공간의 회전과 동일하다. 홀수 의 경우, 이러한 운동의 대부분은 -구에 고정점을 가지지 않으며, 이러한 운동은 때때로 ''클리포드 변환''이라고 불린다. 타원 및 쌍곡 기하학에서 고정점을 중심으로 하는 회전은 유클리드 회전과 다르지 않다.

아핀 기하학과 사영 기하학은 회전에 대한 별개의 개념이 없다.

7. 상대성 이론에서의 회전

특수 상대성 이론에서 회전의 일반화는 3개의 공간 차원과 1개의 시간 차원으로 구성된 4차원 공간인 시공간에서 작용하는 것으로 간주될 수 있다. 특수 상대성 이론에서 이 공간은 민코프스키 공간이라고 불리며, 로렌츠 변환이라고 불리는 4차원 회전은 물리적인 해석을 갖는다. 이러한 변환은 시공간 간격이라고 불리는 이차 형식을 보존한다.^[4]

민코프스키 공간의 회전이 공간과 같은 평면에 있는 경우, 이 회전은 유클리드 공간에서의 공간 회전과 동일하다. 반대로, 공간과 같은 차원과 시간과 같은 차원으로 구성된 평면에서의 회전은 쌍곡 회전이며, 이 평면에 기준 프레임의 시간 축이 포함된 경우 "로렌츠 부스트"라고 불린다. 이러한 변환은 민코프스키 공간의 유사 유클리드 특성을 보여준다. 쌍곡 회전은 때때로 "압착 맵"으로 묘사되며 평면 도면에서 (1 + 1) 차원 유사 유클리드 기하학을 시각화하는 민코프스키 도표에 자주 나타난다. 상대성 이론 연구는 공간 회전과 쌍곡 회전에 의해 생성된 로렌츠 군을 다룬다.^[4]

물리학과 천문학에서 회전이 유클리드 3차원 공간에서 구인 천구의 회전에 해당하지만, 의 로렌츠 변환은 천구의 등각 변환을 유도한다. 이는 뫼비우스 변환으로 알려진 더 넓은 종류의 구 변환이다.

4차원에서의 회전은 특수 상대성 이론에도 응용되며, 공간 차원 3개와 시간 차원 1개로 구성된 4차원 공간으로서의 시공간에서의 조작으로 생각할 수 있다. 특수 상대성 이론에서 이 공간은 선형이며, 로렌츠 변환이라 불리는 4차원 회전은 실제 물리적 해석을 갖는다.

단일 회전은 공간 3차원에 대해서만 일어나는 경우(즉, 회전면이 공간 전체에 걸쳐 있는 경우) 회전은 3차원에서의 공간 회전과 동일하다. 그러나, 공간 차원과 시간 차원을 잇는 평면 주위의 단일 회전은 "부스트", 즉 두 개의 서로 다른 기준틀 사이의 변환으로, 기준틀 간의 상대론적 관계에 의해 결정되는 시공간의 성질을 만족하는 것이 된다. 이러한 회전 변환 전체의 집합은 로렌츠 군을 이룬다.^[7]

8. 회전의 중요성 및 일반화

회전군은 고정점에 대한 회전의 리군이다. 고정점은 '회전의 중심'이라 하며 대부분의 경우 원점으로 생각한다. 회전군은 군의 작용에서 점이 안정자군이다.

회전의 표현(representation)은 대수적이나 기하학적으로 회전 사상을 매개변수로 표시하는 형식이다. 군의 표현과는 반대이다.

점들의 아핀 공간이나 벡터 공간에서 회전은 항상 확실히 구별할 수는 없다. 전자는 아핀 회전, 후자는 벡터 회전을 말한다.

일반적으로, 모든 차원에서 좌표 회전은 직교 행렬로 표현된다. 회전을 나타내는 차원의 모든 직교 행렬 집합(행렬식 = +1)은 행렬 곱셈 연산과 함께 특수 직교군을 형성한다.

행렬은 변환을 수행하는 데 자주 사용되며, 특히 많은 수의 점이 변환될 때 선형 연산자의 직접적인 표현이기 때문이다. 다른 방식으로 표현된 회전은 사용 전에 행렬로 변환되는 경우가 많다.

행렬의 주요 단점은 계산하고 계산하는 데 더 많은 비용이 든다는 것이다. 또한 수치적 불안정성이 문제인 계산에서 행렬은 이에 더 취약할 수 있으므로, 행렬에 대해 수행하는 데 비용이 많이 드는 직교성을 복원하는 계산을 더 자주 수행해야 한다.

회전군은 특정 한 점을 중심으로 한 회전 전체가 이루는 리 군을 말한다. 이 공통 부동점을 회전의 '''중심'''이라고 부르며, 보통 이것을 원점과 동일시한다. 회전군은 방향을 보존하는 운동이 이루는 더 큰 군의 일점 고정 부분군이다.

위에 언급된 행렬 전체가 이루는 집합 위에 행렬 곱셈을 고려한 것은 회전군 ''SO''(3)이다.

더 일반적으로, 임의 차원에서의 좌표 회전은 직교 행렬에 의해 표현된다. ''n''차원 직교 행렬로 진정한 회전을 나타내는 것(행렬식이 1인 것) 전체가 이루는 집합에 행렬 곱셈을 더한 것은 특수 직교군 ''SO''(''n'')을 이룬다.

직교 행렬은 실수 성분으로 생각하지만, 그 복소 행렬에서의 대응물로 유니타리 행렬이 있다. 주어진 차원 ''n''을 갖는 유니타리 행렬 전체가 이루는 집합은 ''n''차 유니타리 군 ''U''(''n'')을 이루며, 또한 그 부분군으로서, 진정한 회전을 나타내는 것 전체는 ''n''차 특수 유니타리 군 ''SU''(''n'')을 이룬다. ''SU''(2)의 원소는 양자역학에서 스핀의 회전에 사용된다.

참조

_[1] 웹사이트 Alibi Transformation http://mathworld.wol[...]
_[2] 웹사이트 Alias Transformation http://mathworld.wol[...]
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적

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