정십육포체
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1. 개요
정십육포체는 4차원 공간에서 16개의 정사면체 세포, 32개의 삼각형 면, 24개의 모서리, 8개의 꼭짓점을 가진 정규 볼록 4-다포체이다. 슐래플리 기호는 {3,3,4}이며, 5-포체 다음으로 크기와 복잡성 면에서 두 번째로 단순한 정규 4-다포체이다. 정십육포체는 4차원 교차 다포체이며, 8개의 정점을 가지며, 이들은 6개의 직교 중심 정사각형을 형성한다. 정십육포체는 정사면체, 나선형 구성, 그리고 정팔면체 이중 피라미드와 같은 다양한 방식으로 구성될 수 있으며, 4차원 유클리드 공간을 테셀레이션할 수 있으며, 다양한 투영 방법을 통해 3차원 공간에서 시각화할 수 있다. 또한, 4차원 공간에서의 회전, 4구 벤 다이어그램, 그리고 다양한 대칭 구성을 갖는다.
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- 4차원 다포체 - 정팔포체
정팔포체는 4차원 공간에서 정의되고 모든 모서리에서 3개의 정육면체가 만나는 도형으로, 슐레플리 기호 {4, 3, 3}으로 표현되며 다양한 방식으로 나타낼 수 있고, 네트워크 토폴로지나 대중 문화에 영감을 주는 소재로 활용된다. - 4차원 다포체 - 슐레플리-헤스 다포체
| 정십육포체 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 이름 | 16-체 (16-sae) |
| 종류 | 볼록 정사포체 4-오르토플렉스 (4-oteuropullekseu) 4-데미큐브(4-demikyuubeu) |
| 슐레플리 기호 | {3,3,4} |
| 세포 목록 | 16 {3,3} |
| 면 목록 | 32 {3} |
| 모서리 개수 | 24 |
| 꼭짓점 개수 | 8 |
| 페트리 다각형 | 팔각형 |
| 코크세터 군 | B₄, [3,3,4], 차수 384 D₄, 차수 192 |
| 꼭짓점 도형 | 팔면체 |
| 쌍대 | 정팔포체 (테서랙트) |
| 속성 | 볼록 아이소고날 아이소톡설 아이소헤드럴 정규 해너 다포체 |
| 좌표 | |
| 꼭짓점 좌표 | (±1, 0, 0, 0) 의 순열 |
2. 기하학
16-포체는 6개의 볼록 정규 4-다포체 중 크기와 복잡성 순서로 두 번째에 위치한다. 4-단순체(5-포체)는 가장 작고 120-포체가 가장 크다. 복잡성은 구성 매트릭스를 비교하거나 꼭짓점의 수를 비교하여 측정할 수 있는데, 이 역시 같은 순서를 따른다. 16-포체는 8개의 꼭짓점을 가지는 4-다포체이다.
16-포체는 다른 볼록 정규 4-다포체와 결합하여 구성될 수 있다. 예를 들어, 16-꼭짓점 초입방체는 두 개의 16-포체 화합물로, 24-꼭짓점 24-포체는 세 개의 16-포체 화합물로, 120-꼭짓점 600-포체는 15개의 16-포체 화합물로, 600-꼭짓점 120-포체는 75개의 16-포체 화합물로 구성된다.
다음은 정규 볼록 4-다포체의 일부 특징을 나타낸 표이다.
| 대칭군 | A4 | B4 | F4 | H4 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 이름 | 5-포체 초-사면체 5-점 | 16-포체 초-팔면체 8-점 | 8-포체 초-정육면체 16-점 | 24-포체 24-점 | 600-포체 초-정십이면체 120-점 | 120-포체 초-정십이면체 600-점 |
| 슐래플리 기호 | {3, 3, 3} | {3, 3, 4} | {4, 3, 3} | {3, 4, 3} | {3, 3, 5} | {5, 3, 3} |
| 꼭짓점 | 5 | 8 | 16 | 24 | 120 | 600 |
| 모서리 | 10 | 24 | 32 | 96 | 720 | 1200 |
| 면 | 10 | 32 | 24 | 96 | 1200 | 720 |
| 셀 | 5 | 16 | 8 | 24 | 600 | 120 |
2. 1. 볼록 정규 4-다포체 시퀀스
16-포체는 6개의 볼록 정규 4-다포체 시퀀스에서 크기와 복잡성 순으로 두 번째에 위치한다. 4-단순체(5-포체)가 가장 작고, 120-포체가 가장 크다. 꼭짓점의 수로 측정되는 복잡성 역시 같은 순서를 따른다. 16-포체는 8개의 꼭짓점을 가진 4-다포체이다.16-포체는 다른 볼록 정규 4-다포체와 결합하여 구성될 수 있다.
| 4-다포체 | 구성 (16-포체 개수) |
|---|---|
| 초입방체 | 2 |
| 24-포체 | 3 |
| 600-포체 | 15 |
| 120-포체 | 75 |
2. 2. 좌표
정십육포체의 8개 꼭짓점은 (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1)과 같이 나타낼 수 있다. 이는 4차원 데카르트 좌표계의 각 축에 두 점이 서로 반대 방향으로 놓여 있음을 의미한다. 모든 꼭짓점은 서로 반대되는 쌍을 제외하고는 모서리로 연결되어 있으며, 모서리의 길이는 이다.이 꼭짓점들은 6개의 직교하는 중심 정사각형을 이루는데, 이 정사각형들은 6개의 좌표 평면 상에 위치한다. 예를 들어 ''xy'' 평면과 ''wz'' 평면처럼 서로 축을 공유하지 않는 '반대' 평면의 정사각형들은 완전히 분리되어 어떤 점에서도 만나지 않는다.
정십육포체는 4차원 기준 틀에서 정규 직교 기저를 구성하는데, 이는 정십육포체의 꼭짓점들이 정확히 네 개의 직교하는 축을 정의하기 때문이다.
다음 표는 ''xy'' 평면과 ''wz'' 평면에서의 좌표를 나타낸다.
{| class="wikitable"
!colspan=2|분리된 정사각형
|-
|
| xy 평면 | |
|---|---|
| ( 0, 1, 0, 0) | ( 0, 0,-1, 0) |
| ( 0, 0, 1, 0) | ( 0,-1, 0, 0) |
|-
|
| wz 평면 | |
|---|---|
| ( 1, 0, 0, 0) | ( 0, 0, 0,-1) |
| ( 0, 0, 0, 1) | (-1, 0, 0, 0) |
|}
2. 3. 구조
16포체의 슐래플리 기호는 {3,3,4}이며, 이는 각 모서리에 3개의 정사면체 세포가 모이고, 각 꼭짓점에 4개의 정사면체가 모이는 구조를 의미한다.16포체는 8개의 꼭짓점, 24개의 모서리, 32개의 삼각형 면, 16개의 정사면체 세포로 구성된다. 각 모서리는 3개의 정사면체와 3개의 삼각형 면에 인접한다. 각 꼭짓점에는 4개의 정사면체, 6개의 삼각형 면, 4개의 모서리가 연결되어 있다.
16포체의 모서리 도형은 정사각형이다. 즉, 각 모서리에서 3개의 정사면체가 삼각형 면을 공유하며 이루는 각은 정사각형의 각과 같다.
16포체는 16개의 정사면체 세포가 면 대 면으로 배열된 구조를 가진다. 이 구조는 4차원 공간에서 시각화하기 어렵지만, 3차원 공간에 투영하여 대략적인 형태를 파악할 수 있다.
16포체에는 6개의 직교 중심 정사각형이 존재하며, 이들은 서로 완전히 직교한다. 또한 4개의 직교 중심 초평면이 존재하는데, 각 초평면은 3개의 직교하는 정사각형을 포함하며 16포체의 중심에서 교차한다.
3. 회전
16-세포는 4차원 도형이므로 3차원 공간에서 직접 회전하는 모습을 시각적으로 표현하기는 어렵다. 하지만, 16-세포를 구성하는 요소들의 관계와 정팔면체와의 유사성을 통해 16-세포의 회전 특성을 유추할 수 있다.
16-세포는 정팔면체와 마찬가지로 여러 개의 축을 가지는데, 정팔면체가 3개의 수직축을 가지는 것처럼 16-세포는 4개의 수직축을 가진다. 이러한 축을 기준으로 회전이 일어날 수 있다.
3. 1. 단순 회전
정십육포체의 6개 직교 평면 중 하나에서 단순 회전은 다음과 같이 이루어진다. 회전 시 4개의 꼭짓점은 이동하고, 다른 4개의 꼭짓점은 고정된다.3. 2. 이중 회전
16-세포는 정팔면체의 3개 수직 축과 6개 꼭짓점을 기본으로, 다른 3개의 축에 수직인 네 번째 축에 꼭짓점 쌍을 추가하여 구성된다. 새로운 꼭짓점을 기존 6개 꼭짓점에 연결하면 12개의 모서리가 추가되어, 16-세포 중앙 초평면에 정팔면체 피라미드 두 개가 맞닿은 형태가 된다.16-세포의 각 정사각형은 다른 정사각형과 두 개의 반대 꼭짓점에서 교차하며, 각 꼭짓점에는 정사각형 두 개가 교차한다. 네 번째 차원에 두 점이 추가되면, 각 정사각형은 일부 정사각형과만 교차하고, 꼭짓점을 공유하지 않는 정사각형이 하나씩 존재한다. 이 분리된 수직 정사각형들은 정사면체의 반대 모서리처럼 수직이면서 교차하지 않는다. 이는 '''''클리포드 평행 평면''''''의 예시이며, 16-세포는 이러한 평면이 나타나는 가장 간단한 정규 다포체이다. 클리포드 평행성은 2차원 이상에서 나타나며, 이후 모든 4차원 정규 다포체에서 발생한다.[1]
16-세포는 8개의 연결된 사면체로 구성된 두 개의 보르데이크-콕세터 나선으로 구성 가능하다.[2][3] 두 나선은 서로를 중심으로 회전하며 겹쳐져 호프 링크를 형성한다. 16개 삼각형 면은 삼각 타일링에서 2D 넷으로 볼 수 있다. 보라색 모서리는 16-세포의 페트리 다각형을 나타내며, 8개 사면체 링에는 서로 다른 색상의 팔각별 세 개가 포함된다. 주황색과 노란색 모서리는 팔각별의 4-모서리 절반으로, 뫼비우스의 띠를 형성한다.
16-세포는 8개 사면체의 두 원형 체인으로 분해 가능하다. 각 체인은 4개 모서리 길이로, 하나는 시계 방향(오른손), 다른 하나는 반시계 방향(왼손)으로 회전한다. 이들은 서로 맞물려 16-세포를 채우며, 4-4 이중반각기둥 구성을 통해 확인 가능하다.
각 8-세포 링에는 세 개의 8-모서리 경로가 나선형으로 회전하며, 각 정점에서 90° 각도를 이룬다. 이 경로들은 각 정점을 통과하며, 각 경로의 세그먼트는 4𝝅 단면을 가진 뫼비우스 띠를 형성한다. 여섯 개의 4-모서리 절반은 90° 각도를 이루지만, 직교 대원은 아니다. 이들은 네 개의 다른 대원에서 나오며 서로 직교한다. 같은 키랄성을 가진 4-모서리 경로 쌍은 8-모서리 뫼비우스 루프, 즉 나선 팔각별을 만든다. 각 팔각별은 16-세포의 페트리 다각형이자, 등경사 회전에서 모든 정점이 회전하는 트랙이다.
각 8-모서리 나선은 16-세포를 세 번 회전하며 모든 정점을 지나는 엇각 팔각별{8/3}이다. 8개 모서리는 ''등경사''의 코드이며, 정점은 등경사 회전 중 나선형 호를 그린다. 16-세포의 정점은 대대 정점을 제외하면 만큼, 대대 정점과는 만큼 떨어져 있다. 등경사에서 정점은 만큼 떨어진 네 번째 정점에 도달 전, 만큼 떨어진 세 정점을 지난다.
8-세포 링은 키랄성을 가지며, 시계 방향(오른손)과 반시계 방향(왼손) 형태가 있다. 16-세포는 각각을 포함하여 왼쪽, 오른쪽 등경사를 가진다. 등경사는 8-세포 링이 비틀리는 축이다. 각 링은 16개 세포의 절반과 모든 정점을 포함하며, 두 링은 정점과 24개 모서리를 공유하지만, 좌우 팔각별 나선은 다른 경로이다.
완전히 직교하는 세 쌍의 대원이 존재하므로, 16-세포는 세 가지 방식으로 두 8-세포 링으로 구성된다. 16-세포는 세 방향의 좌우 8-세포 링 쌍을 포함하며, 각 링은 축 등경사를 가진다. 각 쌍의 등경사는 등경사 회전의 좌우 쌍 트랙이며, 이는 완전히 직교하는 불변 평면 쌍의 회전이다. 각 정점은 세 대원과 교차하고, 16-세포 축 코드를 공유하는 여섯 팔각별 등경사를 가진다.
4. 구성
구성 행렬은 정십육포체를 나타낸다. 행과 열은 각각 꼭짓점, 모서리, 면, 그리고 세포(cell)에 해당한다. 대각선 숫자는 전체 정십육포체에 각 요소가 몇 개 있는지 나타내며, 비대각선 숫자는 열의 요소가 행의 요소에 몇 개 있거나 나타나는지 보여준다.
:
5. 구성 행렬
구성 행렬은 정십육포체를 나타낸다. 행과 열은 각각 꼭짓점, 모서리, 면, 세포(cell)에 해당한다. 대각선 숫자는 전체 정십육포체에 각 요소가 몇 개 있는지 나타내며, 비대각선 숫자는 열의 요소가 행의 요소에 몇 개 있거나 나타나는지 나타낸다.[1]
| 꼭짓점 | 모서리 | 면 | 세포 | |
|---|---|---|---|---|
| 꼭짓점 | 8 | 6 | 12 | 8 |
| 모서리 | 2 | 24 | 4 | 4 |
| 면 | 3 | 3 | 32 | 2 |
| 세포 | 4 | 6 | 4 | 16 |
6. 테셀레이션
정십육포체는 4차원 유클리드 공간을 테셀레이션할 수 있다. 이것을 정십육포체 벌집이라고 하며 슐래플리 기호는 {3,3,4,3}이다. 따라서 정십육포체는 이각이 120°이다.[1] 각 정십육포체는 정사면체를 공유하는 16개의 이웃, 모서리만 공유하는 24개의 이웃, 점만 공유하는 72개의 이웃을 갖는다. 이 테셀레이션의 주어진 꼭짓점에는 24개의 정십육포체가 만난다.
쌍대 테셀레이션인 정24포체 벌집{3,4,3,3}은 정24포체로 만들어진다. 초입방체 벌집 {4,3,3,4}과 함께 이들은 '''R'''4의 세 가지 유일한 정 테셀레이션이다.
7. 투영
정십육포체는 4차원 도형이기 때문에 3차원 공간에 투영할 수 있다. 정십육포체의 투영 방법에는 세포 우선 투영, 꼭짓점 우선 투영, 모서리 및 면 우선 투영이 있다.
7. 1. 세포 우선 투영
정십육포체의 세포 우선 평행 투영을 3차원으로 투영하면 정육면체 엔벨로프가 나타난다. 가장 가깝고 가장 먼 세포는 정육면체 내에 새겨진 사면체로 투영되며, 이는 정육면체에 정사면체를 새기는 두 가지 가능한 방식에 해당한다. 이 사면체 각각을 둘러싸는 4개의 다른 (비정규) 사면체 부피가 있으며, 이는 4개의 주변 사면체 세포의 이미지이며, 새겨진 사면체와 정육면체 사이의 공간을 채운다. 나머지 6개의 세포는 정육면체의 정사각형 면으로 투영된다. 정십육포체의 이 투영에서 모든 모서리는 정육면체 엔벨로프의 면에 놓인다.
정십육포체의 세포 우선 원근 투영을 3차원으로 투영하면 삼각뿔별 사면체 엔벨로프가 나타난다. 이 엔벨로프 내의 세포 배치는 세포 우선 평행 투영과 유사하다.
7. 2. 꼭짓점 우선 투영
16-포체의 꼭짓점 우선 평행 투영을 3차원으로 투영하면 팔면체 엔벨로프가 나타난다. 이 팔면체는 좌표 평면을 따라 잘라서 8개의 사면체 부피로 나눌 수 있다. 이러한 각 부피는 16-포체의 세포 쌍의 이미지이다. 관찰자에게 가장 가까운 16-포체의 꼭짓점은 팔면체의 중심에 투영된다.7. 3. 모서리 및 면 우선 투영
16-포체의 모서리 우선 평행 투영은 단축된 팔면체 엔벨로프를 가지며, 면 우선 평행 투영은 육각쌍뿔 엔벨로프를 가진다.8. 4구 벤 다이어그램
정십육포체의 3차원 투영과 4개의 교차하는 구(4개의 집합에 대한 벤 다이어그램)는 위상학적으로 동일하다.
- -------------
9. 대칭 구성
정십육포체의 대칭군은 B4로 표시된다.[1]
'''데미테서랙트'''(demitesseract) 또는 '''4-반정육면체'''라고 불리는 ''정십육포체''의 낮은 대칭 형태가 있으며, 이는 반정육면체 계열의 구성원이며, h{4,3,3}으로 표시된다. 콕세터 다이어그램은 또는 로 나타낼 수 있다.[1] 정사면체 세포로 이색적으로 그릴 수 있다.[1]
또한 2개의 평행한 정사면체가 이중 구성으로 연결된 8개의 (가능한 신장된) 정사면체로 구성된 '''정사면체 반각기둥'''으로 낮은 대칭 형태로 볼 수도 있다.[1] 이는 s{2,4,3}으로 표시되며, 콕세터 다이어그램은 이다.[1]
s{21,1,1}로 표시되며 콕세터 다이어그램은 또는 로 표시되는 스너브 4-직교다포체로 볼 수도 있다.[1]
정팔포체가 4-4 이중각기둥으로 구성되는 경우, 정십육포체는 4-4 이중각뿔로 그 이중체로 볼 수 있다.[1]
| 이름 | 콕세터 다이어그램 | 슐래플리 기호 | 콕세터 표기법 | 차수 | 꼭짓점 그림 |
|---|---|---|---|---|---|
| 정규 정십육포체 | {3,3,4} | [3,3,4] | 384 | ||
| Demitesseract 준정규 정십육포체 | = = | h{4,3,3} {3,31,1} | [31,1,1] = [1+,4,3,3] | 192 | |
| 교대 4-4 이중각기둥 | 2s{4,2,4} | 4,2+,4 | 64 | ||
| 정사면체 반각기둥 | s{2,4,3} | [2+,4,3] | 48 | ||
| 교대 정사각형 각기둥 각기둥 | sr{2,2,4} | [(2,2)+,4] | 16 | ||
| 스너브 4-직교다포체 | = | s{21,1,1} | [2,2,2]+ = [21,1,1]+ | 8 | |
| 4-마름모꼴 퓨질 | |||||
| {3,3,4} | [3,3,4] | 384 | |||
| {4}+{4} 또는 2{4} | 4,2,4 = [8,2+,8] | 128 | |||
| {3,4}+{ } | [4,3,2] | 96 | |||
| {4}+2{ } | [4,2,2] | 32 | |||
| { }+{ }+{ }+{ } 또는 4{ } | [2,2,2] | 16 |
10. 관련 복소 다각형
뫼비우스-칸토어 다각형은 에서 3{3}3으로 표기되는 정규 복소 다각형이며, 16-세포와 동일한 꼭짓점을 공유한다. 이 다각형은 8개의 꼭짓점과 8개의 3-모서리를 갖는다.[1]
에서 정규 복소 다각형 2{4}4는 4차원 공간에서 16-세포로 표현될 수 있으며, 8개의 꼭짓점과 16개의 2-모서리를 갖는다. 이는 16-세포의 모서리의 절반에 해당한다. 이 다각형의 대칭성은 4[4]2이며, 차수는 32이다.[2]
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참조
[1]
서적
Geometries and Transformations
2018
[2]
서적
The Geometry of Art and Life
1977
[3]
서적
4次元図形百科
丸善出版
2020
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