초입방체

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1. 개요
2. 작도 및 정의
- 2.1. 차원에 따른 초입방체
3. 성질
- 3.1. 면의 개수
4. 관련 다포체
- 4.1. 일반화된 초입방체
참조

1. 개요

초입방체는 n차원 데카르트 좌표가 0 또는 1인 2ⁿ개의 점으로 이루어진 볼록 껍질로 정의되며, 1차원에서는 선분, 2차원에서는 정사각형, 3차원에서는 정육면체, 4차원에서는 테서랙트가 된다. 초입방체는 경계 안에 더 낮은 차원의 초입방체를 면으로 가지며, n차원 초입방체는 2n개의 면을 갖는다. 또한, 초입방체는 정다포체 집합 중 하나이며, 일반화된 초입방체는 복소 힐베르트 공간에서 정의될 수 있다.

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초입방체
개요
4차원 초입방체의 2차원 투영
차원	n차원
면의 개수	2n개
꼭짓점 개수	2ⁿ개
모서리 개수	n × 2^(n-1)개
면의 종류	(n-1)차원 초입방체
관련 다면체
종류	정다면체, 볼록 다포체
쌍대다면체	자기 자신
슈레플리 기호	{4,3,...,3}
꼭짓점 도형	정삼각뿔
대칭군	B_n, [4,3^(n-1)]
n에 따른 초입방체
n=0	점
n=1	선분
n=2	정사각형
n=3	정육면체
n=4	정팔포체
n=5	오차원 초입방체

2. 작도 및 정의

n차원 단위 초입방체는 각 점의 n개의 데카르트 좌표가 각각 0 또는 1인

2^n

개의 점들의 볼록 껍질로 정의된다. 이 점들은 초입방체의 꼭짓점이다. 이러한 좌표를 가진 초입방체는 단위 구간

[0,1]

의 n개 복사본의 데카르트 곱

[0,1]^n

으로도 볼 수 있다. 주변 공간의 원점을 중심으로 하는 또 다른 단위 초입방체는 이 초입방체를 이동하여 얻을 수 있다. 이 초입방체는 다음과 같은 데카르트 좌표 벡터를 갖는

2^n

개 점들의 볼록 껍질이다.

:

\left(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \cdots, \pm \frac{1}{2}\right)\!\!.

여기서

\pm

기호는 각 좌표가

1/2

또는

-1/2

임을 의미한다. 이 단위 초입방체는 데카르트 곱

[-1/2,1/2]^n

으로도 표현된다. 모든 단위 초입방체는 변의 길이가 1이고 n차원 부피가 1이다.

한편, 좌표가

(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)

인 점들의 볼록 껍질, 또는 데카르트 곱

[-1,1]^n

으로 얻어지는 n차원 초입방체도 자주 고려된다. 이 경우 변의 길이는 2이고, n차원 부피는

2^n

이다. 초입방체를 작도하려면,

:

(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)

을 꼭짓점으로 하고, 거리가 2인 가장 가까운 꼭짓점끼리 변으로 연결하면 된다. 부호는 모든 가능한 조합을 취한다.

이렇게 작도된 초입방체는 n차원 유클리드 공간

\mathbb R^n

에서 다음과 같이 정의할 수도 있다.

:

\{x\in\mathbb R^n : \|x\|_\infty \le 1\}

2. 1. 차원에 따른 초입방체

초입방체는 도형의 차원을 늘려 정의할 수 있다.

'''0''' - 점은 0차원 초입방체이다.
'''1''' - 이 점을 단위 길이만큼 움직이면 선분으로 이어지는데, 이는 1차원 단위 초입방체이다.
'''2''' - 이 선분을 자체에 수직인 방향으로 길이만큼 움직이면 2차원 정사각형이 된다.
'''3''' - 이 정사각형을 그 면에 수직인 방향으로 단위 길이만큼 움직이면 3차원 정육면체가 생성된다.
'''4''' - 정육면체를 네 번째 차원으로 단위 길이만큼 움직이면 4차원 단위 초입방체(단위 테서랙트)가 생성된다.

이는 임의의 차원으로 일반화될 수 있다. 이 부피를 쓸어내는 과정은 수학적으로 민코프스키 합으로 형식화될 수 있다. 즉, ''d''차원 초입방체는 서로 수직인 ''d''개의 단위 길이 선분의 민코프스키 합이며, 따라서 존노이드의 한 예이다.

초입방체의 1-골격은 초입방체 그래프이다.

3. 성질

n차원 초입방체의 한 변의 길이를 a라고 할 때, 초부피는 $a^n$ , 초표면적은 $2na^{n-1}$ 이다. n차원 초입방체는 $2^n$ 개의 꼭짓점과 2n개의 (n-1)차원 면을 갖는다. 대각선의 길이는 $\sqrt{n}a$ 이다.

초입방체의 면들은 서로 직교하거나 평행하다. 특히, 인접한 면은 직교하고, 그 외의 면은 평행하다. 또한, 꼭짓점에는 n개의 변이 모여 서로 직교한다.

일반적으로, m차원 면 (0 ≤ m ≤ n-1)의 개수는 $2^{n - m} {}_{n}\operatorname{C}_m$ 이다.

쌍대는 정축체이다.

3. 1. 면의 개수

모든 초입방체는 낮은 차원의 초입방체를 면으로 가진다. 예를 들어, 선분(1차원)은 2개의 끝점(0차원)을 가지고, 정사각형(2차원)은 4개의 변(1차원)을 가진다. 3차원 정육면체는 6개의 정사각형 면(2차원)을 가지며, 4차원 테서랙트는 8개의 정육면체(3차원)를 면으로 가진다. n차원 초입방체의 꼭짓점 수는

2^n

이다.^[4]

n차원 초입방체의 경계에 포함된 m차원 초입방체(m-큐브)의 수

E_{m,n}

는 다음과 같이 계산된다.

:

E_{m,n} = 2^{n-m}{n \choose m}

여기서

{n \choose m}=\frac{n!}{m!\,(n-m)!}

이고,

n!

은 n의 팩토리얼을 나타낸다.

예를 들어, 4차원 초입방체(테서랙트)는 8개의 정육면체(3-큐브), 24개의 정사각형(2-큐브), 32개의 선분(1-큐브), 16개의 꼭짓점(0-큐브)을 포함한다.

이러한 숫자는 다음의 점화 관계를 통해서도 얻을 수 있다.

:

E_{m,n} = 2E_{m,n-1} + E_{m-1,n-1} \!

,

E_{0,0}= 1

이고,

n < m

,

n < 0

또는

m < 0

일 때

E_{m,n}=0

이다.

n-큐브에 대한 확장된 f-벡터는

(2x+1)^n

을 전개하여 얻을 수 있다. 예를 들어 테서랙트의 요소는 (2,1)⁴ = (4,4,1)² = (16,32,24,8,1)이다.

m차원 면의 개수는 파스칼의 피라미드의 제 n + 1 단의 삼각형의 제 m + 1 단(꼭지점을 아래로 한 경우)의 숫자의 총합과 같다.

다음은 n차원 초입방체의 m차원 면의 수를 나타내는 표이다.

n차원 초입방체의 m차원 면의 수 $E_{m,n}$
			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n-큐브	이름	슐레플리 기호 콕서-딘킨 다이어그램	꼭짓점 (0-면)	모서리 (1-면)	면 (2-면)	셀 (3-면)	4-면	5-면	6-면	7-면	8-면	9-면	10-면
0	0-큐브	점		1		rowspan=2\|	rowspan=3\|	rowspan=4\|	rowspan=5\|	rowspan=6\|	rowspan=7\|	rowspan=8\|	rowspan=9\|	rowspan=10\|
1	1-큐브	선분		2	1
2	2-큐브	정사각형		4	4	1
3	3-큐브	정육면체		8	12	6	1
4	4-큐브	테서랙트		16	32	24	8	1
5	5-초입방체	펜터랙트		32	80	80	40	10	1
6	6-초입방체	헥서랙트		64	192	240	160	60	12	1
7	7-초입방체	헵터랙트		128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-초입방체	옥터랙트		256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-초입방체	에너랙트		512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10-초입방체	데커랙트		1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

4. 관련 다포체

초입방체는 모든 차원에서 표현되는 몇 안 되는 정다포체 중 하나이다.^[6] 쌍대 다포체는 정축체이다. 초입방체는 코세터에 의해 ''γ_n''으로 명명된 세 개의 정다포체 집합 중 하나이며, 나머지 두 개는 초입방체의 쌍대 집합인 교차 다포체( ''β_n''으로 명명)와 단순포체( ''α_n''으로 명명)이다. 네 번째 집합인 초입방체의 무한 테셀레이션은 ''δ_n''으로 명명된다.

초입방체와 관련된 다포체는 다음과 같다.

반초입방체: 초입방체에서 번갈아 꼭짓점을 제거하고 그 틈에 단순체 면을 추가하여 만든 다포체이다. ''hγ_n''으로 명명된다.
화합 다포체: ''n''-입방체는 쌍대(교차 다포체)와 결합하여 만들 수 있다.
2차원: 팔각별 {8/2}
3차원: 정육면체와 정팔면체의 화합
4차원: 정십육포체와 테서랙트의 화합

''n''-초입방체의 모서리 그래프는 (''n''−1)-단순체의 하세 도표의 면 격자와 동형이다. 이는 두 개의 반대쪽 꼭짓점이 각각 (''n''−1)-단순체 자체와 널 다포체에 해당하는 수직선상에 놓이도록 ''n''-초입방체를 정렬함으로써 알 수 있다. 맨 위 꼭짓점에 연결된 각 꼭짓점은 (''n''−1)-단순체의 면(''n''−2차원 면) 중 하나에 고유하게 매핑되고, 해당 꼭짓점에 연결된 각 꼭짓점은 단순체의 ''n''−3차원 면 중 하나에 매핑되며, 아래 꼭짓점에 연결된 꼭짓점은 단순체의 꼭짓점에 매핑된다. 이러한 관계는 (''n''−1)-단순체의 면 격자를 효율적으로 생성하는 데 사용될 수 있다.

4. 1. 일반화된 초입방체

정규 복소 다포체는 복소수 힐베르트 공간에서 정의될 수 있으며, ''일반화된 초입방체''라고 한다. γ = _''p''{4}₂{3}...₂{3}₂로 표기한다. 실수 해는 ''p'' = 2인 경우, 즉 γ = γ_''n'' = ₂{4}₂{3}...₂{3}₂ = {4,3,..,3}로 존재한다. ''p'' > 2인 경우,

\mathbb{C}^n

에 존재한다. 면은 일반화된 (''n''−1)-입방체이고, 꼭짓점 도형은 정규 단순체이다.

이러한 직교 투영에서 보이는 정다각형 둘레는 페트리 다각형이라고 한다. 일반화된 정사각형(''n'' = 2)은 빨간색과 파란색이 번갈아 나타나는 ''p''-변으로 윤곽이 표시되어 있으며, 더 높은 ''n''-입방체는 검은색 윤곽의 ''p''-변으로 그려진다.

''p''-일반화된 ''n''-입방체에서 ''m''-면 요소의 개수는

p^{n-m}{n \choose m}

이다. 이는 ''p''^''n''개의 꼭짓점과 ''pn''개의 면을 가진다.^[7]

일반화된 초입방체
	p=2		p=3	p=4	p=5	p=6	p=7	p=8
$\mathbb{R}^2$	{4} 4개의 꼭짓점	$\mathbb{C}^2$	9개의 꼭짓점	16개의 꼭짓점	25개의 꼭짓점	36개의 꼭짓점	49개의 꼭짓점	64개의 꼭짓점
$\mathbb{R}^3$	{4,3} 8개의 꼭짓점	$\mathbb{C}^3$	27개의 꼭짓점	64개의 꼭짓점	125개의 꼭짓점	216개의 꼭짓점	343개의 꼭짓점	512개의 꼭짓점
$\mathbb{R}^4$	{4,3,3} 16개의 꼭짓점	$\mathbb{C}^4$	81개의 꼭짓점	256개의 꼭짓점	625개의 꼭짓점	1296개의 꼭짓점	2401개의 꼭짓점
$\mathbb{R}^5$	{4,3,3,3} 32개의 꼭짓점	$\mathbb{C}^5$	243개의 꼭짓점	1024개의 꼭짓점	3125개의 꼭짓점	7776개의 꼭짓점
$\mathbb{R}^6$	{4,3,3,3,3} 64개의 꼭짓점	$\mathbb{C}^6$	729개의 꼭짓점	4096개의 꼭짓점	15,625개의 꼭짓점
$\mathbb{R}^7$	{4,3,3,3,3,3} 128개의 꼭짓점	$\mathbb{C}^7$	2187개의 꼭짓점
$\mathbb{R}^8$	{4,3,3,3,3,3,3} 256개의 꼭짓점	$\mathbb{C}^8$	6561개의 꼭짓점

참조

_[1] 논문 An adaptive algorithm for numerical integration over an n-dimensional cube https://dx.doi.org/1[...] 1976
_[2] 논문 A (4n − 9)/3 diagnosis algorithm on n-dimensional cube network https://www.scienced[...] 2007-04-15
_[3] 서적 The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces University of Groningen
_[4] 논문 Distance-based optimal sampling in a hypercube: Analogies to N-body systems 2019-11
_[5] 서적 Geometries and Transformations Cambridge University Press
_[6] 논문 Transmitting in the n-dimensional cube https://dx.doi.org/1[...] 1992
_[7] 서적 Regular complex polytopes Cambridge University Press

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