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제어이론

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목차

1. 개요

제어 이론은 시스템의 동작을 원하는 대로 제어하기 위한 수학적 및 공학적 원리를 다루는 학문이다. 1868년 제임스 클러크 맥스웰의 연구를 시작으로 발전했으며, 제2차 세계 대전을 거치면서 비약적으로 성장했다. 주요 개념으로는 개루프 제어와 폐루프 제어, 시간 영역과 주파수 영역, 전달 함수와 상태 변수가 있으며, PID 제어는 고전 제어 이론의 대표적인 성과이다. 현대 제어 이론은 상태 공간을 기반으로 하며, 선형 시스템 이론, 최적 제어 이론, 강인 제어 및 비선형 제어 이론을 포함한다. 또한, 분산 제어, 이산 사건 시스템, 혼합 시스템, 지능 제어 등 다양한 분야에 응용되며, 로봇 공학, 항공우주 산업 등 다양한 산업 분야에서 활용된다.

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제어이론

2. 역사

제어 이론은 고대부터 다양한 형태로 존재해 왔지만, 19세기 후반 제임스 클러크 맥스웰이 원심 조속기를 연구하면서[4] 보다 공식적으로 분석되기 시작했다. 맥스웰은 원심 조속기의 자기 진동 현상을 설명하고 분석하여 이 분야에 대한 관심을 불러일으켰다.[5] 이후 에드워드 존 로스와 아돌프 후르비츠가 시스템 안정성 분석에 기여하여 라우스-후르비츠 정리가 도출되었다.[6][7][8]

1903년 12월 17일, 라이트 형제는 유인 비행에 성공하였는데, 비행 제어 능력으로 유명했으며, 이는 지속적인 비행에 필수적이었다.

제2차 세계 대전을 거치면서 제어 이론은 중요한 연구 분야로 떠올랐다. 이름가르트 플뤼게-로츠는 불연속 자동 제어 시스템 이론을 개발하고 뱅뱅 제어 원리를 자동 비행 장치에 적용했다.[9][10] 이 외에도 사격 통제 시스템, 유도 시스템, 전자공학 등 다양한 분야에서 제어 이론이 활용되었다.

우주 경쟁 시대에는 정확한 우주선 제어가 중요해짐에 따라 제어 이론이 더욱 발전했으며, 경제학, 인공지능 등 다른 분야에도 응용되기 시작했다.

1950년대에 체계화된 고전 제어 이론은 전달 함수를 이용하여 선형 단일 입출력 시스템을 표현하고 제어하는 이론이다. PID 제어는 현재도 산업 현장에서 널리 사용되고 있다.

1960년대 이후 등장한 현대 제어 이론은 상태 방정식으로 표현되는 제어 대상에 대해 동역학계 등 여러 수학적 성과를 응용하여 피드백 시스템을 분석하고 제어하는 이론이다.[22] 다중 입출력 시스템 표현이 용이하여 복잡한 시스템 제어에 많은 성과를 가져왔다. 1960년대에는 최적 출력 피드백, 1970년대에는 관측기와 최적 레귤레이터가 활발히 연구되었으며, 가제어성·가관측성, 최적 레귤레이터 등이 대표적인 성과이다.

2. 1. 주요 인물


  • '''피에르시몽 라플라스'''는 확률론 연구에서 Z 변환을 발명했는데, 이는 현재 이산 시간 제어 이론 문제를 해결하는 데 사용된다. Z 변환은 그를 기려 명명된 라플라스 변환의 이산 시간과 동등한 개념이다.[18]
  • '''이름가르트 플뤼게-로츠'''는 불연속 자동 제어 이론을 개발했고 이를 자동 항공기 제어 시스템에 적용했다.
  • '''알렉산드르 랴푸노프'''는 1890년대 안정성 이론의 시작을 알렸다.
  • '''해럴드 S. 블랙'''은 1927년 부궤환 증폭기의 개념을 발명했고, 1930년대에 안정적인 부궤환 증폭기를 개발했다.
  • '''해리 나이퀴스트'''는 1930년대에 궤환 시스템에 대한 나이퀴스트 안정성 판별법을 개발했다.
  • '''리처드 벨만'''은 1940년대에 동적 프로그래밍을 개발했다.
  • '''워렌 E. 딕슨'''은 제어 이론가이자 교수이다.
  • '''키리아코스 G. 밤부다키스'''는 최적 제어 및 게임 이론 문제를 해결하기 위해 동기식 강화 학습 알고리즘을 개발했다.
  • '''안드레이 콜모고로프'''는 1941년에 위너-콜모고로프 필터를 공동 개발했다.
  • '''노버트 위너'''는 위너-콜모고로프 필터를 공동 개발하고 1940년대에 사이버네틱스라는 용어를 만들었다.
  • '''존 R. 라가치니'''는 1950년대에 제어 이론에 디지털 제어와 Z 변환(라플라스가 발명)의 사용을 도입했다.
  • '''레프 폰트랴긴'''은 최대 원리와 방방 원리를 도입했다.
  • '''피에르루이 리옹스'''는 점성 해를 확률 제어 및 최적 제어 방법으로 개발했다.
  • '''루돌프 E. 칼만'''은 시스템 및 제어에 대한 상태 공간 접근 방식을 개척했다. 제어 가능성과 관측 가능성의 개념을 도입했으며, 선형 추정을 위한 칼만 필터를 개발했다.
  • '''알리 H. 나이페'''는 비선형 제어 이론의 주요 기여자 중 한 명으로, 섭동 방법에 대한 많은 책을 출판했다.
  • '''얀 C. 빌렘스'''는 랴푸노프 함수의 일반화로서, 입력/상태/출력 시스템에 대한 소산성의 개념을 도입했다. 랴푸노프 함수의 아날로그로서 저장 함수를 구성한 것은 제어 이론에서 선형 행렬 부등식 (LMI) 연구로 이어졌다. 그는 수학적 시스템 이론에 대한 행동 접근 방식을 개척했다.

3. 주요 개념

제어 시스템은 시스템의 출력을 측정하고, 이를 원하는 값과 비교하여 오차를 줄이는 방식으로 동작한다. 피드백(feedback)은 폐루프 제어에 사용되는 방법이다. 제어 대상 시스템은 수학적으로 표현될 수 있으며, 이는 시간에 대한 함수(시간 영역) 또는 주파수에 대한 함수(주파수 영역)로 나타낼 수 있다.

질량-스프링 모델


예를 들어, 그림과 같은 질량-스프링 시스템은 시간 영역에서 다음과 같은 2차 미분 방정식으로 표현할 수 있다.

:{m {d^2 x(t) \over d t^2} + kx(t)} = f(t)

이는 외부 힘 f(t) 가 시간에 따라 변할 때 질량 m 의 위치 x(t) 가 어떻게 변하는지를 나타낸다.

같은 시스템을 라플라스 변환(Laplace transform)을 통해 주파수 영역에서 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: ms^2 X(s) + k X(s) = F(s)

이는 외부 힘이 주파수에 따라 어떻게 달라지는지에 따라 질량 m 의 위치 변화가 주파수에 따라 어떻게 되는지를 나타낸다.

고전 제어 이론은 전달 함수로 표현된 선형 단일 입출력 시스템을 기반으로 주파수 응답 등을 평가하여 원하는 동작을 달성하는 이론이다. 1950년대에 체계화되었으며, PID 제어는 현재에도 산업 현장에서 널리 사용된다.

현대 제어 이론은 상태 방정식으로 표현된 제어 대상에 대해 동역학계 등 여러 수학적 성과를 응용하여 피드백 시스템의 안정성, 시간 응답, 주파수 응답 등을 평가하고 원하는 동작을 달성하는 것을 목표로 한다.[22] 상태 방정식의 미지수(상태 변수)로 벡터를 선택할 수 있어 다중 입출력 시스템 표현이 용이하며 복잡한 시스템에 대한 많은 성과를 얻었다. 1960년대에는 최적 출력 피드백, 1970년대에는 관측기와 최적 레귤레이터를 조합한 연구가 활발히 진행되었다. 가제어성, 가관측성, 최적 레귤레이터 등이 대표적인 성과이다.

3. 1. 개루프 제어와 폐루프 제어

자동차 속도 조절을 예로 들어 보자. 가장 간단한 방법은 스로틀 위치를 고정하는 것이다. 그러나 자동차는 주행 중 다양한 외부 환경 변화(오르막길, 내리막길, 노면 상태, 타이어 압력, 탑승객/화물 무게 변화 등)를 겪으므로, 스로틀을 고정해서는 속도를 일정하게 유지할 수 없다.

따라서 실제로는 자동차 속도를 측정하여 원하는 속도보다 낮으면 속도를 더 내게 하고, 높으면 덜 내게 하는 제어가 필요하다. 이처럼 시스템의 실제 출력값을 원하는 값과 비교하여 그 차이를 시스템 입력값 조절에 반영하는 방식을 '''폐루프 제어(closed-loop control)'''라고 한다. 반면, 스로틀을 고정시키는 경우처럼 시스템 출력이 시스템 입력 조절에 반영되지 않는 것을 '''개루프 제어(open-loop control)'''라고 한다.

폐루프 제어에는 피드백(feedback)이 사용된다. 시스템 출력 ''y''(''t'')는 센서 ''F''로 측정되어 되먹임되는데, 이때 측정치는 기준값 ''r''(''t'')과 비교된다. 제어기 ''C''는 기준값과 시스템 출력을 비교한 오차 ''e''를 이용하여 시스템 ''P''로 입력되는 제어입력 ''u''를 결정한다.

입력과 출력이 하나인 시스템을 SISO(single-input-single-output) 제어 시스템이라고 하고, 2개 이상의 입력 혹은 출력을 갖는 MIMO(Multi-Input-Multi-Output) 제어 시스템이 더 일반적이다. MIMO 시스템의 경우 변수는 스칼라가 아닌 벡터로 표현되고, 어떤 경우에는 (예를 들면, distributed parameter 시스템) 벡터의 차원이 무한대일 수도 있다.

간단한 피드백 제어 루프


제어기 ''C'', 시스템(플랜트) ''P'', 센서 ''F''가 선형계 시불변이라고 가정하면, 위의 폐루프 시스템은 라플라스_변환을 이용하여 해석할 수 있다. 즉,

:Y(s) = P(s) U(s)

:U(s) = C(s) E(s)

:E(s) = R(s) - F(s)Y(s).

''Y''(''s'')를 ''R''(''s'')에 대하여 위의 방정식을 풀면

:Y(s) = \left( \frac{P(s)C(s)}{1 + P(s)C(s)F(s)} \right) R(s) = H(s)R(s).

H(s) = \frac{P(s)C(s)}{1 + F(s)P(s)C(s)}는 시스템의 ''폐루프 전달함수''이다. 분자는 신호 ''r''에서 ''y''로 가는 포워드 (개루프) 이득이고, 분모는 되먹임 루프를 따라 얻는 이득에 1을 더한 루프이득이다. 만약 |P(s)C(s)| \gg 1 이면, 즉 |P(s)C(s)|의 크기(norm)가 각각의 ''s''에서 매우 크고, |F(s)| \approx 1이면, ''Y''(''s'')는 ''R''(''s'')에 근사적으로 같게 되고, 출력이 기준입력을 충분히 가깝게 따라가고 있다는 것을 뜻한다.

개방 루프 제어는 제어 동작이 입력에만 의존하는 반면, 폐쇄 루프(피드백) 제어는 피드백을 사용하여 출력에 따라 제어를 결정한다. 즉, 폐쇄 루프 제어 시스템은 센서를 사용하여 출력을 측정하고 이 정보를 입력과 비교하여 오차 신호를 생성한다. 그런 다음 이 오차 신호를 사용하여 시스템 입력을 조정하여 출력을 원하는 값에 가깝게 유지한다.
개방 루프 제어는 시스템 출력에 대한 피드백이 없는 제어 방식이다. 이 구조는 종종 간단하고 구현하기 쉬우며, 비용이 적게 든다. 개방 루프 시스템의 작동 방식은 시스템에 입력이 적용되면, 컨트롤러는 입력에 따라 제어 동작을 수행하고, 제어 동작은 시스템 출력을 변경한다. 개방 루프 시스템의 예로는 세탁기의 세탁 사이클이 있다. 세탁기는 설정된 시간 동안 세탁, 헹굼, 탈수 단계를 수행한다. 세탁기에는 세탁이 얼마나 깨끗해졌는지 측정하는 센서가 없으므로, 세탁 주기가 완료되면 중지된다.

개방 루프 제어 시스템의 장단점은 다음과 같다.

장점단점


폐쇄 루프 제어는 출력에 대한 피드백을 사용하는 제어 방식이다. 이 피드백은 시스템 출력을 센서로 측정하여 얻는다. 센서 출력은 원하는 값과 비교되어 오차 신호가 생성된다. 이 오차 신호는 시스템 입력을 조정하는 데 사용되어 출력을 원하는 값에 가깝게 유지한다. 폐쇄 루프 시스템의 작동 방식은 시스템에 입력이 적용되면, 컨트롤러는 입력 및 피드백에 따라 제어 동작을 수행하고, 제어 동작은 시스템 출력을 변경한다. 이후 센서는 시스템 출력을 측정하고, 센서 출력은 원하는 값과 비교되어 오차 신호가 생성되며, 오차 신호는 컨트롤러에서 제어 동작을 조정하는 데 사용된다.

폐쇄 루프 시스템의 예로는 실내 온도 조절기가 있다. 실내 온도 조절기는 실내 온도를 측정하는 센서를 사용한다. 실내 온도가 원하는 값보다 낮으면 실내 온도 조절기는 히터를 켠다. 실내 온도가 원하는 값에 도달하면 실내 온도 조절기는 히터를 끈다.

폐쇄 루프 제어 시스템의 장단점은 다음과 같다.

장점단점



개방 루프와 폐쇄 루프 제어의 주요 차이점은 피드백의 사용이다. 개방 루프 제어는 피드백을 사용하지 않는 반면, 폐쇄 루프 제어는 피드백을 사용한다. 이 피드백을 사용하면 폐쇄 루프 시스템이 개방 루프 시스템보다 더 정확하고 교란을 보상할 수 있다. 그러나 폐쇄 루프 시스템은 더 복잡하고 비용이 많이 들고 불안정할 수 있다.

어떤 제어 방식을 사용할지는 응용 프로그램의 특정 요구 사항을 고려해야 한다. 정확성과 교란에 대한 내성이 가장 중요하다면 폐쇄 루프 제어가 더 나은 선택이다. 그러나 단순성, 저비용, 안정성이 가장 중요하다면 개방 루프 제어가 더 나은 선택이다.

3. 2. 시간 영역과 주파수 영역

제어이론에서 제어기를 설계하기 위해서는 먼저 제어 대상 시스템을 수학적으로 표현해야 한다. 시스템은 시간 영역 또는 주파수 영역으로 표현할 수 있다.

  • '''시간 영역(time domain)''' 표현: 시스템을 시간에 대한 함수로 나타내는 방식이다. 예를 들어, 질량-스프링 시스템은 다음과 같은 2차 미분 방정식으로 표현된다.


:{m {d^2 x(t) \over d t^2} + kx(t)} = f(t)

이는 외부 힘 f(t)가 시간에 따라 변할 때 질량 m의 위치 x(t)가 어떻게 변하는지를 나타낸다.

  • '''주파수 영역(frequency domain)''' 표현: 시스템을 주파수에 대한 함수로 나타내는 방식이다. 위 미분 방정식을 라플라스 변환하면 다음과 같은 주파수 영역에서의 식을 얻을 수 있다.


: ms^2 X(s) + k X(s) = F(s)

이는 외부 힘이 주파수에 따라 어떻게 달라지는지가 주어질 때, 질량 m의 위치 변화가 주파수에 따라 어떻게 되는지를 나타낸다.

전달 함수(transfer function)는 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 나타내는 수학적 표현식이다. 위 시스템의 전달 함수는 다음과 같다.

: H(s) = {X(s) \over F(s)}= {1 \over ms^2 + k}

제어 시스템 분석 및 설계를 위한 수학적 기법은 다음과 같이 두 가지로 나뉜다.

  • '''주파수 영역''': 시스템의 입력, 출력, 피드백을 나타내는 변수들이 주파수의 함수로 표현된다. 푸리에 변환, 라플라스 변환 등의 변환을 통해 시간 함수를 주파수 함수로 변환한다. ''미분 방정식''은 주파수 영역의 ''대수 방정식''으로 변환되어 더 쉽게 해결할 수 있지만, 선형 시스템에만 적용 가능하다.
  • '''시간 영역 상태 공간 표현''': 상태 변수의 값이 시간의 함수로 표현된다. 분석 대상 시스템은 하나 이상의 미분 방정식으로 표현된다. 선형 시스템으로 제한되는 주파수 영역 기법과 달리 비선형 시스템 분석에 널리 사용된다.

3. 3. 전달 함수와 상태 변수

제어이론에서 상태 변수(state variable)란, 전체 시스템의 동적 특성을 완전하게 나타낼 수 있는 최소 개수의 독립 변수의 집합을 말한다.[22] 2개 이상의 변수가 필요한 시스템의 상태 변수는 벡터이며, 이를 상태 벡터(state vector)라고 부른다.
상태 변수 방정식(state variable equation)이란 입력 변수(input variables), 출력 변수(output variables) 및 상태 변수에 관한 1차 미분 방정식으로써 시스템을 나타내는 수학적 표현법을 말한다.[22]

상태 변수 방정식의 일반적인 형태는 다음 식과 같다. 이 식에서 u(t) 는 입력 변수, y(t) 는 출력 변수이며 \mathbf x(t) 가 상태 변수이다.

:\dot{\mathbf x}(t) = f(\mathbf x(t), u(t))

:y(t) = g(\mathbf x(t), u(t))

선형 시불변 시스템(linear time-invariant system)에서는 상태 변수 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:\dot{\mathbf x}(t) = \mathbf A \mathbf x(t) + \mathbf B u(t)

:y(t) = \mathbf C \mathbf x(t) + D u(t)

여기에서 행렬 \mathbf A 는 시스템 행렬이라고 부르고, \mathbf B 는 입력 행렬, \mathbf C 는 출력 행렬, D 는 feedforward 행렬이라 부르며, 모두 상수 행렬이다.

위 식에서 볼 수 있는 것처럼, 상태 변수는 시간에 대한 함수로서 표현되며, 따라서 상태 변수 방정식 표현법은 시간 영역 표현법의 일종이다.
전달 함수(transfer function)이란 시스템에서 입력값과 출력값 사이의 관계를 나타낸 수학적 표현식을 일컫는다.[22] 예를 들어, 질량-스프링 시스템을 주파수 영역에서 표현하면 다음과 같은 식이 된다.

: ms^2 X(s) + k X(s) = F(s)

이때 주파수 영역에서의 관계식을 정리한 다음과 같은 식이 위 시스템의 전달 함수가 된다.

: H(s) = {X(s) \over F(s)}= {1 \over ms^2 + k}

4. 고전 제어 이론

고전 제어 이론은 주로 선형 시불변(LTI) 시스템을 대상으로 하며, 주파수 영역에서의 분석을 기반으로 한다. 1950년대에 체계화되었으며, 전달 함수라고 불리는 선형 단일 입출력 시스템으로 표현된 제어 대상을 중심으로 주파수 응답 등을 평가하여 원하는 동작을 달성하는 이론이다.

연속시간 시스템에서는 라플라스 변환, 이산시간 시스템에서는 Z-변환을 통해 전달함수를 얻는다. 시스템의 안정성은 전달함수의 극점 위치에 따라 결정된다.


  • 인과적 연속시간 선형 시스템: 모든 극점의 실수부가 음수이면(극점이 복소평면에서 허수축 왼쪽 평면에 있으면) 안정하다.
  • 인과적 이산시간 선형 시스템: 모든 극점의 크기가 단위원 내에 존재하면 안정하다.


위 조건을 만족하면 시스템은 점근적 안정성을 가진다. 점근적 안정성을 갖는 시스템의 상태변수는 초기값에서 출발하여 항상 감소하며 지속적인 진동을 하지 않는다. 극점의 실수값이 0(연속시간)이거나 크기가 1(이산시간)이면 지속적인 진동이 발생한다. 줄어들지도, 발산하지도, 진동하지도 않는 경우는 가장자리 안정성 (marginally stable)이라고 한다.

임펄스 응답과 Z-변환을 예로 들어보자.

  • \ x[n] = 0.5^n u[n] → \ X(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}} (극점: z = 0.5): 단위원 안에 있으므로 BIBO 안정.
  • \ x[n] = 1.5^n u[n] → \ X(z) = \frac{1}{1 - 1.5z^{-1}} (극점: z = 1.5): 단위원 밖에 있으므로 BIBO 불안정.


근궤적기법, 보드 선도, 나이퀴스트 선도 등 그래프를 이용한 극점 해석 도구들이 있다.

고전 제어 이론의 대표적 성과인 PID 제어는 현재에도 산업 현장(특히 화학 플랜트 등 전달 함수가 복잡한 생산 설비)에서 널리 사용된다.

4. 1. PID 제어

PID 제어기는 설정값과 측정된 프로세스 값 사이의 ''오차값''을 연속적으로 계산하여, 오차값을 비례제어:비례, 적분, 미분하여 오차를 수정할 제어값을 결정한다. PID는 이렇게 세 가지 다른 계산의 합으로 결정된 제어값이 어떻게 계산되었는지를 나타내는 약자이다.[47]

PID 제어에 대한 이론적 이해와 실제 적용은 1920년대부터이다. PID 제어기는 기계 제어 시스템에서 거의 모든 아날로그 제어기에 사용되었고, 그 후 이산 전자 그리고 산업 프로세스 컴퓨터에 사용되었다. PID 제어기는 가장 널리 사용되는 되먹임 제어 설계법이라고 할 수 있다.[47]

는 시스템에 보내지는 제어 신호이고, 는 측정된 출력이고, 는 원하는 출력이고, 는 추정오차라고 하면, PID 제어기 일반 형태는 다음과 같이 주어진다.

:u(t) = K_P e(t) + K_I \int e(\tau)\text{d}\tau + K_D \frac{\text{d}e(t)}{\text{d}t}.

원하는 폐루프 동적 특성은 세 개의 변수 , , 를 "조절"이라고 불리는 반복적인 조절을 통하여 얻어진다. 이러한 반복적인 조절에 프랜트 모델에 대한 지식이 반드시 요구되지는 않는다. 안정성은 비례항만으로 얻을 수도 있다. 적분항은 프로세스 제어에서 흔히 요구되는 사항인 계단형 외란을 없애는데 사용된다. 미분항은 감쇄 기능을 추가하여 응답의 모양을 변화시키는데 사용된다. PID 제어기는 잘 확립된 제어 시스템의 한 종류이지만 MIMO 시스템과 같이 좀 더 복잡한 시스템에는 단순 적용하여 원하는 안정성이나 성능을 얻지 못하는 경우가 자주 있다.[47]

라플라스 변환을 PID 제어식에 적용하면

:u(s) = K_P e(s) + K_I \frac{1}{s} e(s) + K_D s e(s)

:u(s) = \left(K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s\right) e(s)

PID 제어기의 전달함수가 다음과 같이 구해진다.

:C(s) = \left(K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s\right).[47]

다음 예를 PID 제어기를 조절하는 과정에 사용하기로 하자. 여기서 폐루프 시스템은 위에서 구한 이다.

:P(s) = \frac{A}{1 + sT_P}

여기서 와 는 상수이다. 프랜트 출력은 다음과 같은 전달함수를 통하여 되먹임된다.

:F(s) = \frac{1}{1 + sT_F}

여기서 는 상수이다. 이제 제어기 변수를 다음과 같이 설정하고: K_P=K\left(1+\frac{T_D}{T_I}\right), , K_I=\frac{K}{T_I}, PID 제어기 전달함수는 아래와 같이 쓰여진다.

:C(s) = K \left(1 + \frac{1}{sT_I}\right)(1 + sT_D)

, , 를 폐루프 전달 함수 에 대입하면

:K = \frac{1}{A}, T_I = T_F, T_D = T_P

. 그러므로, 시스템 출력은 원하는 기준입력을 정확히 따라가게된다.

하지만 실제 시스템에서 미분항은 물리적으로 정확히 구현할 수 없고 잡음 증폭과 시스템의 공진 모드와의 상호작용 때문에 바람하지도 않다.[47]

그러므로 phase-lead compensator 형태의 저주파 신호만 통과시키는 미분기가 대신 사용된다.

5. 현대 제어 이론

현대 제어 이론은 상태 공간 표현을 기반으로 한다. 이는 다중 입력 다중 출력(MIMO) 시스템을 다룰 수 있게 해주며, 전투기 제어와 같이 복잡한 문제를 해결하는데 사용된다. 기존의 고전 제어 이론이 주파수 영역에서 분석을 수행했던 것과는 달리, 현대 제어 이론은 시스템을 상태 변수를 사용하여 정의된 일련의 1차 미분 방정식으로 표현한다. 비선형 제어, 다변수 제어, 적응 제어 및 강인 제어 이론이 여기에 속한다.

제어성과 관측성은 시스템 해석의 핵심 요소이다. 제어성은 적절한 제어 입력을 통해 시스템을 원하는 상태로 만들 수 있는지, 관측성은 측정된 출력을 통해 시스템의 상태를 파악할 수 있는지를 나타낸다. 현대 제어 이론은 1차 상미분 방정식으로 표현된 제어 대상에 대해, 동역학계를 비롯한 여러 수학적 성과를 응용하여 피드백 시스템의 안정성, 시간 응답 및 주파수 응답 등을 평가하여 원하는 동작을 얻는 것을 목표로 한다.[22] 다중 입출력 시스템의 경우, 상태 방정식의 미지수(상태 변수)에 벡터를 사용함으로써 복잡한 시스템을 쉽게 표현할 수 있다.

1960년대에는 최적 출력 피드백, 1970년대에는 관측기와 최적 레귤레이터를 조합한 연구가 활발하게 이루어졌다. 루돌프 E. 칼만과 알렉산드르 랴푸노프와 같은 학자들이 현대 제어 이론 형성에 기여했다.

5. 1. 선형 시스템 이론

선형 시스템 이론은 선형 상미분 방정식으로 표현된 상태 방정식을 대상으로 하는 제어 이론이다.[23] 상태 방정식은 행렬을 사용하여 표현할 수 있으며, 행렬 대수 및 선형 역학계의 많은 지식이 적용되어 현대 제어 이론의 주요 결과가 도출되었다. 따라서 현대 제어 이론은 일반적으로 선형 시스템 이론을 의미한다. 1960년대에는 최적 출력 피드백, 1970년대에는 관측기와 최적 레귤레이터를 조합한 연구가 활발히 진행되었다. 가제어성, 가관측성, 최적 레귤레이터 등이 대표적인 성과이다. 비선형 시스템이라도 평형점 근방에서 선형 근사한 것을 대상으로 제어계를 설계하여 문제를 해결하는 경우가 많아, 응용 범위가 매우 넓다.

선형 시스템 이론에서는 상태 공간 표현을 사용하여 시스템을 분석하고, 가제어성 및 가관측성 등의 개념을 통해 시스템의 제어 가능성을 평가한다.

5. 2. 최적 제어 이론

최적 제어 이론은 평가 지표를 부여하고 이를 최소화(또는 최대화)하여 최적의 제어계를 제공하는 것을 목적으로 하는 이론이다.[25][26][27] 1960년대에 최적 출력 피드백에 관한 연구가 활발히 진행되었는데, 가장 대표적인 것은 2차 형식의 평가 함수

: J = \int_0^\infty\left( x^T Q x + u^TRu \right) dt

를 최소화하는 상태 피드백 입력을 구하는 것으로, '''최적 레귤레이터'''(Optimal Regulator)라고 불린다. 그 해는 리카티 방정식(Algebraic Riccati Equation)[28]

: A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0

의 양정대칭해 P를 기반으로,

: u = -R^{-1}B^TP x

로 주어진다.

6. 강인 제어 및 비선형 제어

보데 등의 초기 제어 이론은 상당히 강인했다. 그러나 1960년대와 1970년대에 발명된 상태 공간 방법은 때때로 강인성이 부족한 것으로 밝혀졌다. 현대 강인 제어 기술에는 키스 글로버와 Duncan McFarlane이 개발한 H-무한 루프 쉐이핑, 바딤 웃킨이 개발한 슬라이딩 모드 제어(SMC), 그리고 스마트 전력망 응용 분야에서 대규모 이종 전기 부하 집단의 제어를 위해 설계된 안전 프로토콜 등이 있다.[16] 이러한 강인 제어 방법들은 작은 모델링 오류가 있는 경우에도 강인한 성능 및/또는 안정성을 확보하는 것을 목표로 한다.

1960년대에는 최적 출력 피드백, 1970년대에는 관측기와 최적 레귤레이터를 조합한 연구가 활발히 진행되었다. 가제어성, 가관측성, 최적 레귤레이터 등이 대표적인 성과이다.

선형 시스템을 대상으로 하는 현대 제어 이론은 1980년경에 완성되었다. 이후 연구는 모델링 오차에 효과적인 제어 시스템 설계 문제(강인 제어 문제[29][30])로 옮겨갔다.

6. 1. 강인 제어 (Robust Control)

강인 제어기는 제어기 설계에 사용된 수학적 모델과 약간 다른 시스템에 적용하더라도 크게 변하지 않는 제어기를 의미한다. 실제 물리적 시스템은 수학적으로 완벽하게 표현하는 것이 불가능하므로, 제어 시스템은 어느 정도의 강인성(robustness)을 가져야 한다.[29][30]

현대 제어 이론에서는 모델링 오차에 효과적인 제어 시스템 설계 문제(강인 제어 문제)가 주요 연구 대상이었다. 그중 H∞ 제어 이론은 외란 신호의 영향을 억제하는 제어 시스템을 구축하는 이론으로, 외란 억제 성능을 H∞ 노름으로 평가하기 때문에 이러한 이름이 붙었다.[31] 제어 대상의 불확실한 부분을 외란 신호로 간주하여 모델의 불확실성 영향을 억제하며, 상정했던 모델(노미널 모델)과의 오차에 대해서도 유효한(안정성을 잃지 않는) 성질을 '강인성'(견고성, 안정성의 의미)이라고 부른다.

6. 2. 비선형 시스템 이론 (Nonlinear Control)

비선형 제어 이론은 중첩의 원리를 따르지 않는 더 넓은 부류의 시스템을 다룬다. 모든 실제 제어 시스템은 비선형이므로, 이는 더 많은 실제 시스템에 적용된다. 이러한 시스템은 종종 비선형 미분 방정식의 지배를 받는다. 이를 처리하기 위해 개발된 수학적 기법은 더 어렵고 훨씬 덜 일반적이며, 종종 좁은 범주의 시스템에만 적용된다. 여기에는 리미트 사이클 이론, 푸앵카레 사상, 랴푸노프 안정성 정리, 기술 함수가 포함된다.[35]

로봇 공학 및 항공우주 산업과 같은 산업의 공정은 일반적으로 강한 비선형 동역학을 갖는다. 제어 이론에서 이러한 종류의 시스템을 선형화하고 선형 기술을 적용하는 것이 때때로 가능하지만, 많은 경우 비선형 시스템 제어를 허용하는 이론을 처음부터 고안해야 할 수 있다. 예를 들어, 피드백 선형화, 백스테핑, 슬라이딩 모드 제어, 궤적 선형화 제어는 일반적으로 랴푸노프 안정성 이론에 기반한 결과를 활용한다. 미분 기하학은 잘 알려진 선형 제어 개념을 비선형 사례로 일반화하고, 이를 더 어려운 문제로 만드는 미묘한 차이를 보여주는 도구로 널리 사용되었다.

비선형 시스템 이론은 선형 시스템이 아닌 시스템, 주로 비선형 상태 방정식을 대상으로 하는 이론이다.[35] 그 대상은 매우 광범위하지만, 그중에서도 상태 방정식이 매끄러운(무한 번 미분 가능) 것에 대해 집중적으로 연구가 이루어지고 있으며, 미분 기하학의 개념을 응용하여 선형 시스템 이론의 개념 확장을 비롯해 많은 성과가 나타나기 시작했다.

적응 제어는 파라미터(일부)가 알려지지 않은 제어 대상에 대해 시스템을 안정화하면서 파라미터를 추정하는 제어 방법이다.[36][37][38] 파라미터가 변동하는 시스템에서 높은 제어 성능을 발휘하는 것을 목표로 한다. 제어 시스템 설계 단계에서 시스템 동정을 할 필요가 없다.

7. 분산 제어 및 지능 제어

분산 제어는 여러 개의 제어기가 서로 협력하여 시스템을 제어하는 방식이다.[1] 더 넓은 지리적 영역에서 제어 시스템이 작동하도록 돕는 등 여러 면에서 유용하다.[1] 분산 제어 시스템의 에이전트(제어기)는 통신 채널을 사용하여 상호 작용하고, 서로의 행동을 조정할 수 있다.[1]

이산 사건 시스템은 계의 내부 상태에 대한 사건이 이산적으로 발생하여 상태 전이가 일어나는 시스템을 통틀어 이르는 말이다.[39][40] 오토마톤이나 형식 언어를 사용하여 제어 패턴을 제공하는 제어기를 가진 감독 제어나 페트리넷을 사용한 모델이 존재한다.

혼합 시스템 이론은 연속 시간 동적 시스템과 이산 사건을 결합한 혼합 시스템을 대상으로 하는 제어 이론이다. 1990년대 후반부터 연구되기 시작하여 현재도 활발하게 연구되고 있다.[1]

지능 제어는 신경망, 퍼지 논리, 학습, 유전자 알고리즘 등 소프트웨어 알고리즘을 사용한 정보 공학에서 파생된 제어 기법이다.[41][42] 다른 제어 이론과의 가장 큰 차이점은 제어 모델이나 제어기를 구축할 때 물리적 성질에 기반한 정보를 필요로 하지 않는다는 것이다.

퍼지 제어는 '''퍼지 집합'''(Fuzzy Set)을 제어 모델이나 제어계에서 사용하는 방법이다.[43][44][45] 언어로 표현된 논리에 의해 대상이 되는 모델이나 제어계를 구축해 나가기 때문에 컴퓨터 프로그램과의 친화성이 높다.

신경망 제어는 시스템의 입출력 신호를 바탕으로 신경망을 통해 비선형적인 입출력 관계를 재현하여 이를 제어 대상으로 삼는 제어 기법이다.[46]

7. 1. 분산 제어 (Decentralized Control)

분산 제어는 여러 개의 제어기가 서로 협력하여 시스템을 제어하는 방식이다.[1] 더 넓은 지리적 영역에서 제어 시스템이 작동하도록 돕는 등 여러 면에서 유용하다.[1] 분산 제어 시스템의 에이전트(제어기)는 통신 채널을 사용하여 상호 작용하고, 서로의 행동을 조정할 수 있다.[1]

7. 2. 이산 사건 시스템 (Discrete Event Systems)

이산 사건 시스템은 계의 내부 상태에 대한 사건이 이산적으로 발생하여 상태 전이가 일어나는 시스템을 통틀어 이르는 말이다.[39][40] 오토마톤이나 형식 언어를 사용하여 제어 패턴을 제공하는 제어기를 가진 감독 제어나 페트리넷을 사용한 모델이 존재한다. 종종 이산 시간 시스템과 혼동되지만, '''전혀 다른 개념'''이라는 점에 주의해야 한다.

7. 3. 혼합 시스템 (Hybrid Systems)

혼합 시스템 이론은 연속 시간 동적 시스템과 이산 사건을 결합한 혼합 시스템을 대상으로 하는 제어 이론이다. 1990년대 후반부터 연구되기 시작하여 현재도 활발하게 연구되고 있다.[1] 초창기에는 웰포즈니스(well-posedness)나 가제어 구조 등의 해석에 주력했지만, 클래스를 한정하는 안정화 문제도 나타나기 시작했다.[1] 또한, 이산 사건만으로 구성되는 시퀀스 제어를 혼합 시스템의 틀에서 파악하려는 시도가 주목받기 시작했다.[1]

; 하이브리드 시스템(Hybrid System)

: 연속 시간 동적 시스템과 이산 사건을 조합한 시스템. 불연속적인 상태 변화를 수반하는 현상도 다룰 수 있으며, 제어 이론 중에서 적용 대상이 가장 넓은 시스템이라고 할 수 있다.[1]

; 웰포즈니스(Well-posedness)

: 해의 존재성과 유일성.[1] 상미분 방정식으로 표현되는 현대 제어 이론의 경우보다 논의가 훨씬 복잡해진다.[1]

7. 4. 지능 제어 (Intelligent Control)

지능 제어는 신경망, 퍼지 논리, 학습, 유전자 알고리즘 등 소프트웨어 알고리즘을 사용한 정보 공학에서 파생된 제어 기법이다.[41][42] 다른 제어 이론과의 가장 큰 차이점은 제어 모델이나 제어기를 구축할 때 물리적 성질에 기반한 정보를 필요로 하지 않는다는 것이다. 학습과 유전자 알고리즘은 범용성이 높은 최적화 수단을 제공한다.

퍼지 제어는 '''퍼지 집합'''(Fuzzy Set)을 제어 모델이나 제어계에서 사용하는 방법이다.[43][44][45] 언어로 표현된 논리에 의해 대상이 되는 모델이나 제어계를 구축해 나가기 때문에 컴퓨터 프로그램과의 친화성이 높다. 또한, 자연어를 이용할 수 있기 때문에, 숙련자의 지식이나 경험을 활용한 제어 시스템의 재현에 적합하다.

신경망 제어는 시스템의 입출력 신호를 바탕으로 신경망을 통해 비선형적인 입출력 관계를 재현하여 이를 제어 대상으로 삼는 제어 기법이다.[46]

참조

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