삼각형의 중심

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 종류
- 4.1. 삼각형의 오심
- 4.2. 기타 주요 중심
5. 좌표 표현
6. 현대적 응용
7. 같이 보기
참조

1. 개요

삼각형의 중심은 삼각형의 세 변의 길이에 대한 함수로 표현되는 특수한 점으로, 고대 그리스 시대부터 연구가 시작되었다. 유클리드의 "원론"에서 내심, 외심, 무게중심 등이 다뤄졌으며, 19세기 이후 체바의 정리 발견과 함께 다양한 중심들이 추가적으로 밝혀졌다. 2024년 현재 62,000개 이상의 중심이 등재된 "삼각형 중심 백과사전"이 존재하며, 이 중 오심(내심, 외심, 무게중심, 수심, 방심)은 가장 기본적인 중심이다. 삼각형의 중심은 삼선좌표 또는 무게중심 좌표를 사용하여 표현하며, 네트워크 설계 등 다양한 분야에 응용될 수 있다.

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삼각형의 중심 - 수심 (기하학)
수심은 삼각형의 세 꼭짓점에서 각 변에 내린 수선이 만나는 점으로, 삼각형의 종류에 따라 위치가 달라지며, 외심, 무게중심 등 다른 중심들과 관련되어 기하학적 문제 해결에 활용되는 중요한 기하학적 성질이다.
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슈피커 중심은 삼각형의 중점 삼각형의 내접원 중심으로, 중점 삼각형의 내심이자 세 클리버의 교차점이며, 삼선좌표와 무게중심 좌표로 표현되고, 내심, 무게중심, 나겔 점과 공선 관계에 있으며, 키퍼트 쌍곡선 위에 있다.
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삼각형의 중심
개요
정의	삼각형의 "중심"으로 간주될 수 있는 점
관련 분야	기하학
주요 중심
무게중심	중선의 교점
내심	각의 이등분선의 교점
외심	수직이등분선의 교점
수심	높이의 교점
구점원 중심	구점원의 중심
특징
동차 좌표	삼각형의 꼭짓점 좌표에 대한 동차 함수로 표현 가능
중심 함수	삼각형의 변 길이를 변수로 하는 함수로 표현 가능
관련 개념
킴벌링 삼각형 중심 목록	다양한 삼각형 중심들의 목록
오일러 직선	외심, 무게중심, 수심이 한 직선 위에 있음

2. 역사

고대 그리스인들은 삼각형의 고전적인 중심을 발견했지만, 삼각형 중심에 대한 어떠한 정의도 공식화하지 않았다. 고대 그리스 이후, 페르마 점, 9점 원의 중심, 르모인 점, 게르곤 점, 포이어바흐 점과 같이 삼각형과 관련된 여러 특수한 점들이 발견되었다.^[1]^[2]

1980년대 삼각형 기하학에 대한 관심이 부활하면서 이러한 특수한 점들이 삼각형 중심의 공식적인 정의의 기초가 되는 몇 가지 일반적인 속성을 공유한다는 점이 주목받았다. 클라크 킴벌링의 ''삼각형 중심 백과사전''은 62,000개 이상의 삼각형 중심에 대한 주석이 달린 목록을 담고 있다.^[3]

내심, 외심, 무게중심, 수심, 방심 (오심) 등은 오래전부터 알려져 있으며, 유클리드의 "원론"에도 기술되어 있다.

1678년 체바의 정리 이후, 이 정리에 의해 존재가 쉽게 증명되는 제르곤 점 등 여러 중심이 발견되었다.

19세기부터 20세기에는 몰리의 정리 발표, 브로카르 점, 드 롱샹 점 발견 등 삼각형에 대한 연구가 활발히 진행되었다.

그 후에도 새로운 중심들이 계속 제시되었으며, 에반스빌 대학교의 "Encyclopedia of Triangle Centers"에는 2024년 현재 62,000개 이상의 중심이 등록되어 있다.

3. 정의

실수 값 함수 ''f''가 세 개의 실수 변수 ''a'', ''b'', ''c''에 대해 다음 두 가지 속성을 가질 경우, 이 함수를 삼각형 중심 함수라고 부른다.

동차성: 어떤 상수 ''n''에 대해, 모든 ''t'' > 0 에 대해, $f(ta,tb,tc) = t^n f(a,b,c)$ 가 성립한다.
양대칭성: $f(a,b,c) = f(a,c,b)$

만약 ''f''가 삼각형 중심 함수이고, ''a'', ''b'', ''c''가 기준 삼각형의 변의 길이라면, 삼선좌표가

f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)

인 점을 삼각형 중심이라고 부른다.

이 정의는 닮은 삼각형의 삼각형 중심이 불변성 기준을 충족하도록 보장한다. 관례상 삼각형 중심의 세 삼선 좌표 중 첫 번째 좌표만 인용되는데, 다른 두 좌표는 ''a'', ''b'', ''c''의 순환 순열을 통해 얻을 수 있기 때문이다. 이 과정을 '''순환성'''이라고 한다.^[4]^[5]

모든 삼각형 중심 함수는 고유한 삼각형 중심에 해당하지만, 이 대응은 전단사 함수가 아니다. 다른 함수가 동일한 삼각형 중심을 정의할 수 있다. 예를 들어, 함수

f_1(a,b,c) = \tfrac{1}{a}

와

f_2(a,b,c) = bc

는 모두 무게중심에 해당한다. 두 삼각형 중심 함수가 동일한 삼각형 중심을 정의하는 것은 두 함수의 비율이 ''a'', ''b'', ''c''에 대해 대칭인 함수일 때뿐이다.

삼각형 중심 함수가 모든 곳에서 잘 정의되어 있더라도, 관련된 삼각형 중심에 대해서는 항상 그렇다고 말할 수 없다.

삼각형의 중심은 삼선 좌표 대신 바리중심 좌표를 사용하여 동등하게 정의될 수 있다.

4. 종류

삼각형의 중심에는 여러 종류가 있다.

세 선의 교점: 3개의 꼭짓점 또는 변에 대해 특정 방법으로 그은 3개의 직선이 한 점에서 만날 때, 그 교점을 의미한다. 체바의 정리가 공점임을 증명하는 데 자주 사용된다.
수심: 3개의 높이 (각 꼭짓점에서 그 대변에 수직으로 내린 선분)의 교점이다.
내심: 3개의 각의 이등분선의 교점이다.
외심: 3개 변의 수직이등분선의 교점이다.
무게중심: 3개의 중선(각 꼭짓점과 그 대변의 중점을 잇는 선분)의 교점이다.
가중 무게중심: 각 꼭짓점과 그 대변의 내분점을 잇는 3개 선분의 교점으로, 각 꼭짓점에 변의 비율을 바꿔 넣은 추를 매달면 균형을 이루는 중심이다.
제르곤 점: 꼭짓점과 대변에 내접원이 접하는 점을 잇는 3개 선의 교점이다.
엑세터 점, 말파티 원과 같이 여러 단계를 거쳐 작도되는 선분의 교점도 있다.
원의 중심: 특정 원의 중심에 해당하는 점을 의미한다.
방심: 삼각형의 방접원의 중심이다.
육점원의 중심: 각 꼭짓점에서 내린 수선의 발에서 다른 두 변에 내린 총 6개의 수선의 발을 지나는 원의 중심이다.
구점원의 중심: 각 변의 중점, 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발, 수심과 각 꼭짓점의 중점, 이렇게 9개의 점을 지나는 원의 중심이다.
슈피커 점: 중점 삼각형의 내심이다.
기존의 점이나 선에서 유도되는 것: 특정 조건을 만족시키는 점, 특정 두 점의 중점, 특정 선과 원의 교점 등을 의미한다.
페르마 점: 3개의 꼭짓점으로부터 거리의 합이 최소가 되는 점이다.
구점원의 중심: 외심과 수심의 중점이다.
등력점: 3개의 아폴로니우스 원의 교점이다.

내심, 외심, 무게중심, 수심, 방심 (오심)은 오래전부터 알려져 있었으며, 유클리드의 "원론"에도 기술되어 있다. 1678년 체바의 정리 이후에는 이 정리를 통해 존재가 쉽게 증명되는 제르곤 점과 같은 중심들이 많이 발견되었다.

19세기부터 20세기에는 몰리의 정리 발표와 함께 삼각형에 대한 연구가 활발히 이루어지면서 브로카르 점, 드 롱샹 점 등이 발견되었다.

그 후에도 새로운 중심들이 계속 제시되고 있으며, 에반스빌 대학교의 "Encyclopedia of Triangle Centers"에는 2024년 현재 62,000개 이상의 중심이 등록되어 있다. 중심의 이름에는 나폴레옹 점의 나폴레옹 보나파르트, 소디 점의 프레데릭 소디처럼 수학자 외의 인물 이름이 붙는 경우도 있고, 안지마-말파티 점과 같이 일본인의 이름이 붙은 경우도 있다.

4. 1. 삼각형의 오심

삼각형의 오심은 가장 기본적인 삼각형 중심으로, 다음이 해당된다.

'''내심''': 삼각형의 내접원의 중심이며, 세 내각의 이등분선의 교점이다.
'''외심''': 삼각형의 외접원의 중심이며, 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 예각삼각형의 외심은 삼각형 내부에, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에, 둔각삼각형의 외심은 삼각형 외부에 있다.
'''무게중심''': 삼각형의 꼭짓점과 그 마주보는 변의 중점을 이은 세 개의 선분(중선)이 만나는 점이다. 세 꼭짓점의 좌표가 각각 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\,$ 인 삼각형의 무게중심의 좌표는 $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ 이다.
'''수심''': 삼각형의 세 꼭짓점에서 각각의 대변에 내린 수선의 교점이다.
'''방심''': 삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점으로, 서로 다른 3개의 방심이 존재한다.

삼각형의 오심
이름	기호	삼선 좌표	설명
내심	I	$1 : 1 : 1$	각의 이등분선의 교점. 삼각형의 내접원의 중심.
무게중심	G	$bc : ca : ab$	중선의 교점. 균일한 삼각형 평면 덮개의 질량 중심.
외심	O	$\cos A : \cos B : \cos C$	변의 수직 이등분선의 교점. 삼각형의 외접원의 중심.
수심	H	$\sec A : \sec B : \sec C$	높이의 교점.
방심			삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점.

4. 2. 기타 주요 중심

X₁₆Isodynamic pointsS
S′sin(A + π/3) : sin(B + π/3) : sin(C + π/3)
sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3)X₁₇
X₁₈Napoleon pointsN
N′sec(A − π/3) : sec(B − π/3) : sec(C − π/3)
sec(A + π/3) : sec(B + π/3) : sec(C + π/3)X₉₉Steiner pointSbc/(b² − c²) : ca/(c² − a²) : ab/(a² − b²)

ETC 참조; 이름	중심 함수 $f(a,b,c)$	설명 연도
X₂₁	쉬플러 점	$\frac{1}{\cos B + \cos C}$	1985
X₂₂	엑서터 점	$a(b^4 + c^4 - a^4)$	1986
X₁₁₁	패리 점	$\frac{a}{2a^2 - b^2 - c^2}$	1990년대 초
X₁₇₃	합동 이등변화 점	$\tan\tfrac{A}{2} + \sec\tfrac{A}{2}$	1989
X₁₇₄	Yff 합동 중심	$\sec\tfrac{A}{2}$	1987
X₁₇₅	등주 점	$\sec\tfrac{A}{2} \cos\tfrac{B}{2} \cos\tfrac{C}{2} -1$	1985
X₁₇₉	첫 번째 아지마-말파티 점	$\sec^4\tfrac{A}{4}$
X₁₈₁	아폴로니우스 점	$\frac{a(b + c)^2}{b + c - a}$	1987
X₁₉₂	동일 평행선 점	$bc(ca+ab-bc)$	1961
X₃₅₆	몰리 중심	$\cos\tfrac{A}{3} + 2\cos\tfrac{B}{3} \cos\tfrac{C}{3}$	1978^[7]
X₃₆₀	호프스태터 영 점	$\frac{A}{a}$	1992