찬드라세카르 한계

3. 유도

유체 정역학 평형 상태에서 구형 대칭을 가정하면, 압력 $P(r)$은 중력과 평형을 이루어야 한다. 따라서 다음 평형 방정식을 만족시킨다.

:$\backslash frac\; d\{dr\}P(r)=-Gm(r)\backslash rho(r)/r^2$

여기서 $m(r)$은 반지름 $r$ 안에 있는 질량으로, 다음과 같다.

:$m(r\_0)=\backslash int\_0^\{r\_0\}\backslash ,4\backslash pi\; r^2\backslash rho(r)\backslash ,dr$

상대론적 전자 페르미 기체의 압력은 다음과 같이 주어진다. ($c=\backslash hbar=1$로 가정)

:$P(r)=\backslash frac1\{3\backslash pi^2\}\backslash int\_0^\{p\_\{\backslash text\{F\}\}(r)\}p^4\backslash sqrt\{m\_\{\backslash mathrm\; e\}^2+p^2\}\backslash ,dp$

여기서 $p\_\{\backslash text\{F\}\}(r)$는 페르미 운동량(페르미 에너지에서의 운동량)이며, 전자 입자수 밀도 $n\_\{\backslash mathrm\; e\}(r)=\backslash rho(r)/m\_\{\backslash mathrm\; H\}$에 의해 다음과 같이 결정된다.

:$p\_\{\backslash text\{F\}\}(r)=2\backslash pi\backslash sqrt[3]\{3n\_\{\backslash mathrm\; e\}(r)/8\backslash pi\; \}=2\backslash pi\backslash sqrt[3]\{3\backslash rho(r)/8\backslash pi\; m\_\{\backslash mathrm\; H\}\}$

이 식들을 정리하면 $m(r)$에 대한 2차 상미분 방정식을 얻는다. 이 경우 항성의 전체 질량은 $\backslash rho(r)=0$이 되는 지점 $r=r\_0$에서의 질량 $M=m(r\_0)$이다. 이 방정식은 2차 상미분 방정식이므로, 해는 두 개의 매개변수에 따라 결정된다. 하나는 초기 조건 $m(0)=0$으로 고정되고, 다른 하나는 전체 질량 $M$으로 표현할 수 있다. 이 때, 일정 전체 질량 이상에서는 해가 존재하지 않는데, 이 값이 바로 찬드라세카르 한계이다.

찬드라세카르 한계는 중력과 전자 축퇴압 사이의 경쟁의 결과이다. 전자는 페르미온이므로 파울리 배타 원리에 따라 두 개의 전자가 동일한 상태에 있을 수 없다. 따라서 모든 전자가 최소 에너지 수준에 있을 수 없고, 전자 띠 구조의 에너지 준위를 점유해야 한다. 전자 가스를 압축하면 주어진 부피 내의 전자 수가 증가하고 점유된 띠의 최대 에너지 수준이 증가한다. 따라서 압축에 따라 전자의 에너지가 증가하므로 전자 가스에 압력을 가하여 압축해야 하며, 이로 인해 전자 축퇴 압력이 발생한다.

비상대론적 경우, 전자 축퇴 압력은 $P\; =\; K\_1\backslash rho^\{5/3\}$ 형태의 상태 방정식을 유발한다. 여기서 $P$는 압력, $\backslash rho$는 질량 밀도, $K\_1$은 상수이다. 정수압 방정식을 풀면 지수 3/2의 폴리트로프인 모델 백색 왜성이 생성되며, 반경은 질량의 세제곱근에 반비례하고 부피는 질량에 반비례한다.^[8]

모델 백색 왜성의 질량이 증가하면 축퇴 압력이 전자에 가하는 전형적인 에너지는 더 이상 그들의 정지 질량에 비해 무시할 수 없다. 전자의 속도는 특수 상대성 이론을 고려해야 하며, 빛의 속도에 접근한다. 강하게 상대론적인 극한에서 상태 방정식은 $P\; =\; K\_2\backslash rho^\{4/3\}$ 형태를 취한다. 이것은 총 질량 $M\_\{\backslash text\{limit\}\}$을 발생시키는 지수 3의 폴리트로프를 생성하며, 이는 $K\_2$에만 의존한다.^[9]

완전한 상대론적 처리를 위해 사용되는 상태 방정식은 작은 $\backslash rho$에 대해 $P\; =\; K\_1\backslash rho^\{5/3\}$와 큰 $\backslash rho$에 대해 $P\; =\; K\_2\backslash rho^\{4/3\}$ 방정식을 보간한다. 이렇게 하면 모델 반경은 여전히 질량에 따라 감소하지만, $M\_\{\backslash text\{limit\}\}$에서 0이 된다. 이것이 바로 찬드라세카르 한계이다.^[12]

한계에 대한 계산된 값은 질량의 원자핵 조성에 따라 달라진다.^[14] 찬드라세카르^[11][12][13]는 이상 페르미 기체에 대한 상태 방정식을 기반으로 다음 표현을 제시했다.

:$$M\_\backslash text\{limit\}\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\_3^0\; \backslash sqrt\{3\backslash pi\}\}\{2\}\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{\backslash hbar\; c\}\{G\}\backslash right\; )^\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash frac\{1\}\{(\backslash mu\_\backslash text\{e\}\; m\_\backslash text\{H\})^2\}$$

여기서:

• $\backslash hbar$는 환산 플랑크 상수이다.
• $c$는 빛의 속도이다.
• $G$는 중력 상수이다.
• $\backslash mu\_\backslash text\{e\}$는 별의 화학적 조성에 따라 달라지는 전자당 평균 분자량이다.
• $m\_\backslash text\{H\}$는 수소 원자의 질량이다.
• $\backslash omega\_3^0\; \backslash approx\; 2.018236$는 레인-엠덴 방정식의 해와 관련된 상수이다.

4. 물리학적 배경

찬드라세카르 한계는 페르미 기체로 구성된 안정된 구형 별이 가질 수 있는 최대 질량으로, 중력에 의한 압력이 전자 축퇴압을 능가하는 시점이다. 이 질량은 다음과 같이 표현된다.^[11][12][13]

:$M\_\{\backslash text\{limit\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\_3^0\; \backslash sqrt\{3\backslash pi\}\}\{2\}\backslash left\; (\; \backslash frac\{\backslash hbar\; c\}\{G\}\backslash right\; )^\{3/2\}\backslash frac1\{m\_\{\backslash mathrm\; H\}^2\}$

여기서 $\backslash hbar$는 디랙 상수, $c$는 광속, $G$는 중력 상수, $m\_\{\backslash mathrm\; H\}$는 수소 원자 질량이다. $\backslash omega\_3^0\backslash approx2.018236$는 상미분 방정식의 해에 등장하는 수학적 상수이다. 백색왜성이 주로 수소로 구성되지 않았다면, $m\_\{\backslash mathrm\; H\}$ 대신 전자당 평균 원자 질량을 사용한다.

일반적인 별은 중력에 의해 압축된 수소를 헬륨으로 융합하여 열을 생성한다. 수소가 소모되면 별의 핵은 더 압축되어 헬륨과 더 무거운 원자핵이 융합되며, 결국 안정적인 철 원자핵이 생성된다. 이를 별의 진화라고 한다. 찬드라세카르 한계 미만의 별은 안정적인 백색 왜성이 되지만, 한계를 초과하는 별은 중성자별 또는 블랙홀이 될 수 있다.^[7]

찬드라세카르 한계는 중력과 전자 축퇴 압력 사이의 경쟁 결과이다. 전자 축퇴 압력은 파울리 배타 원리에 따라 전자가 동일한 상태에 있을 수 없기 때문에 발생한다. 전자가 페르미온이기 때문에, 모든 전자가 최소 에너지 수준에 있을 수 없고, 전자 띠 구조의 에너지 준위를 점유해야 한다. 압축에 따라 전자의 에너지가 증가하므로 전자 가스에 압력을 가하여 압축해야 하며, 이로 인해 전자 축퇴 압력이 발생한다.

비상대론적인 경우, 전자 축퇴 압력은 형태의 상태 방정식을 발생시키는데, 여기서 P는 압력, ρ는 질량 밀도이며, K1은 상수이다. 정수압 방정식을 풀면 반경은 질량의 세제곱근에 반비례하고 부피는 질량에 반비례하는 모델 백색 왜성이 생성된다.^[8]

모델 백색 왜성의 질량이 증가함에 따라 전자의 속도는 특수 상대성 이론을 고려해야 하며, 빛의 속도에 접근한다. 강하게 상대론적인 극한에서 상태 방정식은 형태를 취한다. 이것은 총 질량 M_limit을 발생시키는 지수 3의 폴리트로프를 생성하며, 이는 K2에만 의존한다.^[9]

완전한 상대론적 처리를 위해 사용되는 상태 방정식은 작은 ρ에 대해 P = K1ρ^(5/3) 와 큰 ρ에 대해 P = K2ρ^(4/3) 방정식을 보간한다. 이렇게 하면 모델 반경은 여전히 질량에 따라 감소하지만, M_limit에서 0이 된다. 이것이 바로 찬드라세카르 한계이다.^[12]

한계에 대한 계산된 값은 질량의 원자핵 조성에 따라 달라진다.^[14] 찬드라세카르는 이상 페르미 기체에 대한 상태 방정식을 기반으로 다음 표현을 제공한다.

:$$M\_\backslash text\{limit\}\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\_3^0\; \backslash sqrt\{3\backslash pi\}\}\{2\}\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{\backslash hbar\; c\}\{G\}\backslash right\; )^\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash frac\{1\}\{(\backslash mu\_\backslash text\{e\}\; m\_\backslash text\{H\})^2\}$$

여기서:

• ħ는 환산 플랑크 상수이다.
• c는 빛의 속도이다.
• G는 중력 상수이다.
• μe는 별의 화학적 조성에 따라 달라지는 전자당 평균 분자량이다.
• mH는 수소 원자의 질량이다.
• ω3^0 ≈ 2.018236는 레인-엠덴 방정식의 해와 관련된 상수이다.

5. 역사

찬드라세카르 한계는 1929년 빌헬름 안데르손과 에드문드 클리프턴 스토너가 처음 발표한 개념이다. 이후 1930년, 당시 19세였던 인도계 미국인 천체물리학자 수브라마니안 찬드라세카르가 이 계산을 발전시켜 자신의 이름을 따 명명되었다.^[23]

일반적인 별은 중력에 의해 압축된 수소를 헬륨으로 융합하여 막대한 양의 열을 생성한다. 수소가 소모됨에 따라 별의 핵은 더 압축되어 헬륨과 더 무거운 원자핵이 융합될 수 있게 되며, 결국 안정적인 철 원자핵이 생성된다. 이를 별의 진화라고 한다. 별의 질량이 찬드라세카르 한계 미만이면 안정적인 백색 왜성이 되지만, 한계를 초과하면 중성자별이나 블랙홀이 될 수 있다.^[7]

찬드라세카르 한계는 중력과 전자 축퇴 압력 사이의 경쟁 결과이다. 전자 축퇴 압력은 양자역학적 효과로, 파울리 배타 원리에 따라 두 개의 전자가 동일한 상태에 있을 수 없기 때문에 발생한다. 전자 가스를 압축하면 전자들이 전자 띠 구조의 에너지 준위를 점유해야 하므로 압축에 따라 전자의 에너지가 증가하고, 이는 전자 가스에 압력을 가하여 압축해야 하는 전자 축퇴 압력을 발생시킨다.

찬드라세카르는 이상 페르미 기체에 대한 상태 방정식을 기반으로 한계 질량에 대한 표현을 다음과 같이 제시했다.

$$M\_\backslash text\{limit\}\; =\; \backslash frac\{\backslash omega\_3^0\; \backslash sqrt\{3\backslash pi\}\}\{2\}\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{\backslash hbar\; c\}\{G\}\backslash right\; )^\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash frac\{1\}\{(\backslash mu\_\backslash text\{e\}\; m\_\backslash text\{H\})^2\}$$

여기서:

• ħ는 환산 플랑크 상수이다.
• c는 빛의 속도이다.
• G는 중력 상수이다.
• μ_e는 별의 화학적 조성에 따라 달라지는 전자당 평균 분자량이다.
• m_H는 수소 원자의 질량이다.
• ω₃⁰ ≈ 2.018236는 레인-엠덴 방정식의 해와 관련된 상수이다.

5. 1. 찬드라세카르-에딩턴 논쟁

6. 응용

일반적인 별은 중력에 의해 압축된 수소를 헬륨으로 융합하여 막대한 양의 열을 생성한다. 수소가 소모됨에 따라 별의 핵은 더 압축되어 헬륨과 더 무거운 원자핵이 융합될 수 있게 되며, 결국 안정적인 철 원자핵이 생성된다. 이를 별의 진화라고 한다. 다음 단계는 별의 질량에 따라 달라진다. 찬드라세카르 한계 미만의 별은 안정적인 백색 왜성이 되어 외부의 힘이 없는 한 우주의 나머지 역사 동안 그 상태를 유지한다. 한계를 초과하는 별은 중성자별 또는 블랙홀이 될 수 있다.^[7]

찬드라세카르 한계는 중력과 전자 축퇴압 사이의 경쟁 결과이다. 전자 축퇴압은 파울리 배타 원리에서 발생하는 양자역학적 효과이다. 전자는 페르미온이므로 두 전자가 동일한 상태에 있을 수 없다. 따라서 모든 전자가 최소 에너지 수준에 있을 수 없기 때문에, 전자는 전자 띠 구조의 에너지 준위를 점유해야 한다. 전자 가스를 압축하면 주어진 부피 내의 전자 수가 증가하고 점유된 띠의 최대 에너지 수준이 증가한다. 따라서 압축에 따라 전자의 에너지가 증가하므로 전자 가스에 압력을 가하여 압축해야 하며, 이로 인해 전자 축퇴 압력이 발생한다. 충분한 압축이 가해지면 전자는 전자 포획 과정에서 원자핵으로 강제로 들어가 압력을 완화한다.

주계열성이 너무 무겁지 않다면 (약 8 태양 질량 미만), 결국 충분한 질량을 잃어 찬드라세카르 한계 미만의 질량을 가진 백색 왜성을 형성하게 되는데, 이는 별의 이전 중심부로 구성된다. 더 무거운 별의 경우, 전자 축퇴압은 철 중심부가 매우 높은 밀도로 붕괴되는 것을 막지 못하며, 이는 중성자별, 블랙홀, 또는 추정적으로 쿼크별의 형성을 초래한다. (매우 무겁고 금속 함량이 낮은 별의 경우 불안정성으로 인해 별이 완전히 파괴될 수도 있다.)^{[40][41][42][43]} 붕괴 동안, 전자 포획 과정에서 전자가 양성자에 의해 포획되어 중성자가 형성되고, 중성미자가 방출된다.^[39] 붕괴하는 중심부의 중력 에너지 감소는 막대한 양의 에너지를 방출하는데, 이 에너지의 대부분은 방출되는 중성미자와 팽창하는 가스 껍질의 운동 에너지에 의해 전달되며, 약 1%만이 가시광선으로 방출된다.^[45] 이 과정은 핵붕괴 초신성 (초신성 Ib, Ic, II형)의 원인으로 여겨진다.^[39]

6. 1. Ia형 초신성

6. 2. 초찬드라세카르 질량 초신성

7. 톨만-오펜하이머-볼코프 한계

전자 축퇴압이 제공하는 찬드라세카르 한계를 넘는 별들은 백색 왜성이 되지 않는다. 대신, 그들은 초신성으로 폭발한다. 최종 질량이 톨만-오펜하이머-볼코프 한계보다 낮으면 중성자 축퇴압이 중력에 대항하는 균형에 기여하여 중성자별이 된다.^[7] 그러나 총 질량이 톨만-오펜하이머-볼코프 한계를 넘으면 그 결과는 블랙홀이 된다.^[7]

참조

_[1] 웹사이트 Great Indians: Professor Subrahmanyan Chandrasekhar https://www.youtube.[...] 2014-01-26
_[2] 서적 Three Hundred Years of Gravitation Cambridge University Press
_[3] 서적 Formation And Evolution of Black Holes in the Galaxy: Selected Papers with Commentary https://archive.org/[...] World Scientific 2003
_[4] PDF A Common Explosion Mechanism for Type Ia Supernovae
_[5] 웹사이트 Chandrasekhar limit {{!}} White Dwarf, Neutron Star & Supernova {{!}} Britannica https://www.britanni[...] 2024-07-13
_[6] 문서 Dark Matter, Dark Energy: The Dark Side of the Universe The Teaching Company 2007
_[7] 간행물 Mechanisms, Models and Laws in Understanding Supernovae 2019
_[8] 간행물 The Density of White Dwarf Stars
_[9] 간행물 The Maximum Mass of Ideal White Dwarfs
_[10] 웹사이트 Standards for Astronomical Catalogues, Version 2.0 http://vizier.u-stra[...] 2017-05-08
_[11] 간행물 The Highly Collapsed Configurations of a Stellar Mass
_[12] 간행물 The Highly Collapsed Configurations of a Stellar Mass (second paper)
_[13] 웹사이트 On Stars, Their Evolution and Their Stability https://www.nobelpri[...] 2010-12-15
_[14] 간행물 The Neutron Star and Black Hole Initial Mass Function
_[15] 간행물 A rigorous examination of the Chandrasekhar theory of stellar collapse https://dash.harvard[...] 2019-09-04
_[16] 간행물 On Dense Matter
_[17] 간행물 The Limiting Density of White Dwarf Stars
_[18] 간행물 Uber die Grenzdichte der Materie und der Energie
_[19] 간행물 The Equilibrium of Dense Stars
_[20] 간행물 The minimum pressure of a degenerate electron gas
_[21] 간행물 Anwendung der Pauli-Fermischen Elektronengastheorie auf das Problem der Kohäsionskräfte
_[22] 간행물 The article by Ya I Frenkel' on 'binding forces' and the theory of white dwarfs
_[23] 웹사이트 Chandrasekhar's biographical memoir at the National Academy of Sciences http://www.nap.edu/r[...] 1999-10-08
_[24] 간행물 Stellar Configurations with degenerate Cores
_[25] 뉴스 Giants of physics found white-dwarf mass limits http://adsabs.harvar[...]
_[26] 뉴스 Edmund C. Stoner and the Discovery of the Maximum Mass of White Dwarfs http://adsabs.harvar[...] 2022-01-25
_[27] 뉴스 Chandrasekhar and the history of astronomy https://www.worldsci[...]
_[28] 문서 On the Theory of Stars Gordon and Breach
_[29] 간행물 Meeting of the Royal Astronomical Society, Friday, 1935 January 11
_[30] 간행물 On "Relativistic Degeneracy"
_[31] 서적 Empire of the Stars: Obsession, Friendship, and Betrayal in the Quest for Black Holes Houghton Mifflin 2006-10-11
_[32] 간행물 The International Astronomical Union meeting in Paris, 1935
_[33] 간행물 Note on "Relativistic Degeneracy"
_[34] 간행물 The Pressure of a Degenerate Electron Gas and Related Problems
_[35] 서적 Relativity Theory of Protons and Electrons Cambridge University Press
_[36] 논문 The physics of white dwarf matter
_[37] 서적 Fundamental Theory Cambridge University Press 1946
_[38] 웹사이트 The Nobel Prize in Physics 1983 https://www.nobelpri[...] 2023-10-03
_[39] 논문 The evolution and explosion of massive stars
_[40] 논문 White dwarfs in open clusters. VIII. NGC 2516: a test for the mass-radius and initial-final mass relations
_[41] 간행물 An Empirical Initial-Final Mass Relation from Hot, Massive White Dwarfs in NGC 2168 (M35) http://adsabs.harvar[...] 2004
_[42] 논문 How Massive Single Stars End Their Life
_[43] 논문 Strange quark matter in stars: a general overview]
_[44] 논문 The Physics of Neutron Stars
_[45] 간행물 Readings: Unit 66: End of a star's life http://abyss.uoregon[...]
_[46] 논문 Type IA Supernova Explosion Models
_[47] 논문 Astronomy: Champagne supernova 2006-09-21
_[48] 간행물 The weirdest type Ia supernova yet http://www.eurekaler[...] LBL 2007-01-13
_[49] 간행물 Champagne supernova challenges ideas about how supernovae work http://www.spacedail[...] 2007-01-13
_[50] 논문 The type Ia supernova SNLS-03D3bb from a super-Chandrasekhar-mass white dwarf star
_[51] 논문 A single degenerate progenitor model for type Ia supernovae highly exceeding the Chandrasekhar mass limit
_[52] 문서 Dark Matter, Dark Energy: The Dark Side of the Universe 2007
_[53] 서적
_[54] 서적 How A Supernova Explodes 2003
_[55] 저널