페르미 기체

3. 1차원 균일 기체

길이가 ''L''인 1차원 무한 사각 우물은 다음과 같은 퍼텐셜 에너지를 갖는 1차원 상자에 대한 모델이다.

:$V(x)\; =\; \backslash begin\{cases\}$

0, & x_c-\tfrac{L}{2} < x
\infty, & \text{그 외.}

\end{cases}

이것은 양자역학에서 표준적인 모델 시스템으로, 단일 입자에 대한 해가 잘 알려져 있다. 상자 내부의 퍼텐셜이 균일하기 때문에 이 모델은 1차원 균일 기체^[5]라고 불린다. 하지만 입자의 총 개수가 적을 때 기체의 실제 수 밀도 분포는 마디와 반마디를 가질 수 있다.

에너지 준위는 단일 양자수 ''n''으로 표시되며 에너지는 다음과 같이 주어진다.

:$E\_n\; =\; E\_0\; +\; \backslash frac\{\backslash hbar^2\; \backslash pi^2\}\{2\; m\; L^2\}\; n^2.$

여기서 $E\_0$는 영점 에너지(게이지 고정의 한 형태로 임의로 선택될 수 있음), $m$은 단일 페르미온의 질량, $\backslash hbar$는 환산 플랑크 상수이다.

상자 안에 스핀을 갖는 ''N''개의 페르미온이 있을때, 두 개 이상의 입자가 동일한 에너지를 가질 수 없다. 같은 에너지를 갖는 두 입자는 스핀 업(+) 또는 스핀 다운(-)을 갖고, 각 에너지 준위에 대해 두 개의 상태를 만든다. 총 에너지가 가장 낮은(바닥 상태) 배열에서 ''n'' = ''N''/2까지의 모든 에너지 준위는 채워지고 그 이상의 준위는 비어 있다.

페르미 에너지의 기준을 $E\_0$으로 정의하면, 페르미 에너지는 다음과 같이 주어진다.

:$E\_\{\backslash mathrm\{F\}\}^\{(\backslash text\{1D\})\}=E\_\{n\}-E\_0=\backslash frac\{\backslash hbar^2\; \backslash pi^2\}\{2\; m\; L^2\}\; \backslash left(\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{N\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor\backslash right)^2,$

여기서 $\backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{N\}\{2\}\; \backslash right\backslash rfloor$는 ''n'' = ''N''/2에서 평가된 바닥 함수이다.

3. 1. 열역학적 극한

4. 3차원 균일 기체

3차원 등방성 비상대론적 균일 페르미 기체의 경우는 '페르미 구'로 알려져 있다.

3차원 무한 사각 우물(즉, 변의 길이가 ''L''인 정육면체 상자)은 다음과 같은 퍼텐셜 에너지를 갖는다.

:$$V(x,y,z)\; =\; \backslash begin\{cases\}$$

0, & -\frac{L}{2}
\infty, & \text{그 외.}

\end{cases}

이제 상태는 세 개의 양자수 ''n''_''x'', ''n''_''y'', 그리고 ''n''_''z''로 표시된다. 단일 입자 에너지는 다음과 같다.

:$$E\_\{n\_x,n\_y,n\_z\}\; =\; E\_0\; +\; \backslash frac\{\backslash hbar^2\; \backslash pi^2\}\{2m\; L^2\}\; \backslash left(\; n\_x^2\; +\; n\_y^2\; +\; n\_z^2\backslash right)\; \backslash ,,$$

여기서 ''n''_''x'', ''n''_''y'', ''n''_''z''는 양의 정수이다. 이 경우, 예를 들어 $E\_\{211\}=E\_\{121\}=E\_\{112\}$와 같이 여러 상태가 같은 에너지를 갖는다(축퇴된 에너지 준위).

4. 1. 열역학적 극한

4. 1. 1. 축퇴압

4. 1. 2. 화학 퍼텐셜

4. 2. 여러 값

4. 2. 1. 금속

4. 2. 2. 백색왜성

4. 2. 3. 원자핵

5. 임의 차원 균일 기체

임의 차원 균일 기체는 보스 기체, 자유 전자 모델, 상자 안의 기체, 이상 기체와 관련이 있다.

d차원에서 상태 밀도는 다음과 같이 주어진다.

:$g^\{(d)\}(E)=g\_s\; \backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^d\backslash mathbf\{k\}\}\{(2\backslash pi)^d\}\backslash delta\backslash left(E-E\_0-\backslash frac\{\backslash hbar^2|\backslash mathbf\{k\}|^2\}\{2m\}\backslash right)=g\_s\backslash \; \backslash left(\backslash frac\{m\}\{2\backslash pi\backslash hbar^2\}\backslash right)^\{d/2\}\; \backslash frac\{(E-E\_0)^\{d/2-1\}\}\{\backslash Gamma(d/2)\}$

페르미 에너지는 입자의 입자 밀도를 통해 얻을 수 있다.

:$\backslash rho\; =\; \backslash frac\{N\}\{V\}\; =\; \backslash int\_\{E\_0\}^\{E\_0\; +\; E\_\{\backslash mathrm\{F\}\}^\{(d)\}\}\; g^\{(d)\}(E)\; \backslash ,\; dE$

따라서,

:$E\_\{\backslash mathrm\{F\}\}^\{(d)\}=\backslash frac\{2\backslash pi\backslash hbar^2\}\{m\}\backslash left(\backslash tfrac\{1\}\{g\_s\}\backslash Gamma\backslash left(\backslash tfrac\{d\}\{2\}+1\backslash right)\backslash frac\{N\}\{V\}\backslash right)^\{2/d\}$

여기서 $V$는 d차원 부피이고, $g\_s$는 내부 힐베르트 공간의 차원이다. 스핀-의 경우 모든 에너지가 두 배로 축퇴되어 $g\_\{s\}=2$이다.

d=2일 때, 상태 밀도는 에너지에 의존하지 않는 상수가 된다.

:$g^\{(2\backslash mathrm\{D\})\}(E)\; =\; \backslash frac\{g\_s\}\{2\}\backslash frac\{m\}\{\backslash pi\; \backslash hbar^2\}.$

5. 1. 상태 밀도

6. 조화 포텐셜 내 페르미 기체

조화 포텐셜은 다음과 같이 표현된다.

:$$V(x,y,z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}m\backslash omega\_x^2x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}m\backslash omega\_y^2y^2+\backslash frac\{1\}\{2\}m\backslash omega\_z^2z^2$$

이는 현대 물리학에서 많은 응용 분야를 갖는 모델 시스템이다.^[5] 주어진 스핀 종류에 대한 상태 밀도(더 정확하게는 축퇴도)는 다음과 같다.

:$$g(E)\; =\; \backslash frac\{E^2\}\{2(\backslash hbar\backslash omega\_\backslash text\{ho\})^3\}\backslash ,.$$

여기서 $\backslash omega\_\backslash text\{ho\}=\backslash sqrt[3]\{\backslash omega\_x\backslash omega\_y\backslash omega\_z\}$는 조화 진동 주파수이다.

주어진 스핀 종류에 대한 페르미 에너지는 다음과 같다.

:$$E\_\{\backslash rm\; F\}=(6N)^\{1/3\}\backslash hbar\backslash omega\_\backslash text\{ho\}\backslash ,.$$

7. 관련 페르미 양

'''페르미 온도'''는 Fermi temperature^영어$T\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; =\; \backslash frac\{E\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\}\{k\_\{\backslash rm\; B\}\}$로 정의되며, 여기서 $k\_\{\backslash rm\; B\}$는 볼츠만 상수이다. 페르미 온도는 열 효과가 페르미 통계와 관련된 양자 효과와 비슷한 온도로 생각할 수 있다.^[9] 금속의 페르미 온도는 상온보다 두 자릿수 정도 높다.

이러한 맥락에서 정의된 다른 양으로는 '''페르미 운동량''' Fermi momentum^영어$p\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; =\; \backslash sqrt\{2\; m\; E\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\}$과 '''페르미 속도'''^[10] Fermi velocity^영어$v\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; =\; \backslash frac\{p\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\}\{m\}$가 있는데, 이는 각각 페르미 표면에서의 페르미온의 운동량과 군 속도이다. 페르미 운동량은 $p\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; =\; \backslash hbar\; k\_\{\backslash mathrm\{F\}\}$로도 설명할 수 있으며, 여기서 $k\_\{\backslash mathrm\{F\}\}$는 페르미 구의 반지름이고 '''페르미 파수 벡터'''라고 한다.^[11]

페르미 표면이 비구형인 경우 이러한 양들은 잘 정의되지 않는다는 점에 유의해야 한다.

8. 유한 온도에서의 취급

페르미 입자의 농도가 온도에 따라 변하지 않는다고 가정하면, 3차원 이상적인 페르미 기체의 전 화학 포텐셜 $\backslash mu$ (페르미 준위)는 좀머펠트 전개($kT\; \backslash ll\; E\_\backslash mathrm\{F\}$ 가정)를 통해 온도 0의 페르미 에너지 $E\_\backslash mathrm\{F\}$와 다음과 같은 관계를 가진다.^[15][16]

:$\backslash mu\; =\; E\_0\; +\; E\_\backslash mathrm\{F\}\; \backslash left[\; 1-\; \backslash frac\{\backslash pi\; ^2\}\{12\}\; \backslash left(\backslash frac\{kT\}\{E\_\backslash mathrm\{F\}\}\backslash right)\; ^2\; -\; \backslash frac\{\backslash pi^4\}\{80\}\; \backslash left(\backslash frac\{kT\}\{E\_\backslash mathrm\{F\}\}\backslash right)^4\; +\; \backslash cdots\; \backslash right]$

여기서 $E\_0$는 입자당 포텐셜 에너지, $k$는 볼츠만 상수, $T$는 온도이다.

따라서 내부 화학 포텐셜 $\backslash mu\; -\; E\_0$는 페르미 온도 $E\_\backslash mathrm\{F\}/k$보다 훨씬 낮은 온도에서 페르미 에너지와 근사적으로 같아진다. 금속에서의 페르미 온도는 10⁵ 켈빈 정도이므로, 상온(300K)에서는 페르미 에너지와 내부 화학 포텐셜은 본질적으로 동일하다.

8. 1. 그랜드 정준 앙상블

8. 2. 페르미-디랙 분포와의 관계

9. 모델 확장

페르미 기체 모델은 다음과 같은 다양한 물리 시스템을 설명하기 위해 확장될 수 있다.

• 보스 기체: 보스-아인슈타인 응축을 보이는 입자들의 시스템을 설명한다.
• 자유 전자 모델: 금속 내 전자의 거동을 설명하는 데 사용되는 모델이다.
• 상자 안의 기체: 특정 경계 조건 내에 갇힌 입자들의 거동을 연구하는 모델이다.
• 이상 기체: 상호작용이 없는 입자들로 구성된 가상의 기체를 다루는 모델이다.

9. 1. 상대론적 페르미 기체

9. 2. 페르미 액체

10. 같이 보기

• 보스 기체
• 자유 전자 모델
• 상자 안의 기체
• 이상 기체

참조

_[1] 논문 Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases https://ethw.org/w/i[...] 1926-11-01
_[2] arXiv On the Quantization of the Monoatomic Ideal Gas 1999
_[3] 서적 Statistical Mechanics https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013-03-09
_[4] 논문 Observation of Resonance Condensation of Fermionic Atom Pairs 2004-01-28
_[5] 논문 Theory of ultracold atomic Fermi gases https://link.aps.org[...] 2008-10-02
_[6] 웹사이트 Statistical Mechanics of Ideal Fermi Systems http://www.uam.es:80[...] 2018-03-15
_[7] 웹사이트 Degenerate Ideal Fermi Gases http://www.physics.u[...] 2014-04-13
_[8] 웹사이트 Fermi Energies, Fermi Temperatures, and Fermi Velocities http://hyperphysics.[...] HyperPhysics 2018-03-21
_[9] 웹사이트 PHYS 3700: Introduction to Quantum Statistical Thermodynamics http://www.physics.u[...] 2018-03-21
_[10] 웹사이트 Fermi level and Fermi function http://hyperphysics.[...] HyperPhysics 2018-03-21
_[11] 서적 Solid State Physics https://archive.org/[...] Henry Holt and Company|Holt, Rinehart and Winston
_[12] 서적 Concepts in Thermal Physics Oxford University Press 2006
_[13] 서적 Thermodynamics and Statistical Mechanics https://archive.org/[...] Springer, New York, NY 1995
_[14] 웹사이트 http://www.conferenc[...] 2023-10
_[15] 웹사이트 http://www.uam.es/pe[...] 2023-10
_[16] 웹사이트 http://www.physics.u[...] 2023-10