폰트랴긴 특성류

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 구체적 정의
- 2.2. 추상적 정의
3. 성질
4. 예
5. 폰트랴긴 수
6. 역사
7. 일반화
참조

1. 개요

폰트랴긴 특성류는 매끄러운 다양체 위에 정의되는 특성류의 일종으로, 실수 벡터 다발의 위상수학적 불변량을 나타낸다. 폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발의 복소화의 천 특성류를 이용하여 정의되며, 폰트랴긴 특성류는 차수가 4의 배수인 코호몰로지 군의 원소이다. 폰트랴긴 특성류는 매끄러운 다양체의 접다발의 폰트랴긴 특성류로 정의되며, 위상동형인 다양체는 같은 유리 폰트랴긴 특성류를 갖는다. 폰트랴긴 특성류는 천-베유 이론을 통해 곡률 형식으로 표현될 수 있으며, 폰트랴긴 특성류를 통해 정의되는 폰트랴긴 수는 다양체의 위상 불변량으로 사용된다. 레프 폰트랴긴에 의해 처음 정의되었으며, 사원수 구조를 갖는 벡터 다발에 대한 일반화도 존재한다.

더 읽어볼만한 페이지

특성류 - 천-베유 준동형
천-베유 준동형은 미분기하학에서 리 대수와 다양체의 코호몰로지 사이의 관계를 설명하며, 연결 콤팩트 리 군의 복소화된 리 대수의 불변량 부분 대수에서 매끄러운 다양체의 코호몰로지 환으로의 준동형사상으로, 천싱선과 앙드레 베유에 의해 도입되어 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 계산에 활용된다.
특성류 - 슈티펠-휘트니 특성류
슈티펠-휘트니 특성류는 위상 공간 위의 실수 유한 차원 벡터 다발에 대하여 코호몰로지 환의 원소로 표현되는 특성류이며, 직합의 분해, 당김, 계수, 규격화라는 공리적 조건을 만족시키고, 벡터 다발의 가향성, 스핀 구조, 스핀C 구조 존재에 대한 방해물 역할을 한다.
미분위상수학 - 벡터장
벡터장은 유클리드 공간이나 미분다양체의 각 점에 벡터를 대응시키는 사상으로, 유클리드 공간에서는 벡터값 함수로 표현되고 미분다양체에서는 접다발의 단면이나 도함수로 정의되며, 물리학, 기상, 유체역학, 전자기학, 컴퓨터 그래픽스 등 다양한 분야에서 응용된다.
미분위상수학 - 법다발
법다발은 다양체 $M$에 매장된 다양체 $N$의 접다발을 $M$의 접다발로 확장한 몫다발로, 리만 다양체에서는 법선 공간들의 모임으로 정의되며 여법선 다발과 관련이 깊다.

폰트랴긴 특성류
개요
종류	특성류
분류	대수적 위상수학
정의
대상	실수 벡터 번들
값	코호몰로지 환
표기	p_i(E) ∈ H⁴ⁱ(B; Z)
성질
방향 부여 가능성	방향 부여가 가능한 실수 벡터 번들 E에 대해, p₁(E) = w₂(E)² (mod 2)이다. 여기서 w₂(E)는 E의 두 번째 스티펠-휘트니 특성류이다.
복소수 구조	실수 벡터 번들이 복소수 벡터 번들에서 비롯되는 경우, 폰트랴긴 특성류는 천 특성류의 제곱으로 표현될 수 있다.
역사
이름의 유래	레프 폰트랴긴
참고 문헌
참고 문헌 목록	http://press.princeton.edu/titles/1571.html http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 $n$ 차원 실수 벡터 다발 $E$ 에 대하여, 그 $k$ 번째 폰트랴긴 특성류 $p_k(E)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $p_k(E) = p_k(E, \Z) = (-1)^k c_{2k}(E\otimes \Complex) \in H^{4k}(M, \Z),$

여기서:

$c_{2k}(E\otimes \Complex)$ 는 $E$ 의 복소화 $E\otimes \Complex = E\oplus iE$ 의 $2k$ 번째 천 특성류이다.
$H^{4k}(M, \Z)$ 는 $M$ 의 정수 계수를 갖는 $4k$ 차 코호몰로지 군이다.

유리 폰트랴긴 특성류

p_k(E, \Q)

는

p_k(E)

의

H^{4k}(M, \Q)

로의 상으로 정의되며, 여기서

H^{4k}(M, \Q)

는

M

의 유리수 계수를 갖는

4k

차 코호몰로지 군이다.

2. 1. 구체적 정의

E

가 매끄러운 다양체

M

위의

n

차원 실수 벡터 다발이라고 하자.

E

는

\operatorname{SO}(n)

-주다발인 틀다발

P\twoheadrightarrow M

의 연관 벡터 다발이다.

P

의 주곡률

F

는 리 대수

\mathfrak{so}(\dim E)

값을 갖는 2차 미분 형식이다.

다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.

:

\det(I+tF/2\pi)=\sum_{k=0}^\infty t^{2k}p_k(E)

.

우변에서

k

가 홀수인 항들은

F

의 반대칭성에 의하여 사라진다.

p_k

는 미분 형식으로 간주하면

E

의 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다. 즉, 코호몰로지 원소

p_k\in H^{4k}(M,\mathbb Q)

는 실수 벡터 다발

E

의 위상수학적 불변량이다. 이를

k

차 '''폰트랴긴 특성류'''라고 한다.

'''총 폰트랴긴 특성류'''

p

는 모든 차수의 폰트랴긴 특성류의 합이다.

:

p=\sum_{k=0}^\infty p_k(E)=\det(I+F/2\pi)\in H^\bullet(M,\mathbb Q)

2. 2. 추상적 정의

\operatorname O(n)

-주다발

P

는 분류 공간

\operatorname{BO}(n)

으로 가는 연속 함수

:

f \colon M \to \operatorname{BO}(n)

의 호모토피류로 분류된다. 직교군은 유니터리 군의 부분군이므로, 다음과 같은 포함 사상이 존재한다.

:

\iota\colon\operatorname O(n) \hookrightarrow \operatorname U(n)

이에 대응되는 분류 공간 사이의 함수가 존재한다.

:

\operatorname B\iota\colon\operatorname{BO}(n) \to \operatorname{BU}(n)

이는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.

\operatorname{BU}(n)

위에는 천 특성류에 해당하는 코호몰로지류

:

c_k \in \operatorname H^{2k}(\operatorname{BU}(n))

가 존재한다. 이를

\operatorname{BO}(n)

위로 당김을 통해 정의할 수 있는데, 이 경우

:

(\mathrm B\iota)^*c_{2k+1} = 0 \in \operatorname H^{4k+2}(\operatorname{BO}(n))

이다. 즉, 짝수 차수 천 특성류만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) '''폰트랴긴 특성류'''라고 한다.

:

p_k = (-)^k (\mathrm B\iota)^*c_{2k} \in \operatorname H^{4k}(\operatorname{BO}(n))

이 경우,

E

의 폰트랴긴 특성류는 분류 공간 위의 폰트랴긴 특성류의 당김

:

p_k(E) = f^*p_k \in \operatorname H^{4k}(M)

이다.

3. 성질

서로 위상 동형인 다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다.^[8] 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는 위상 불변량이다.

총 폰트랴긴 특성류는 (2-꼬임에 대한 모듈로) 벡터 다발의 휘트니 합에 대해 곱셈적이다. 즉, $M$ 위의 두 벡터 다발 $E$ 와 $F$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)$

개별 폰트랴긴 특성류 $p_k$ 로 표현하면 다음과 같다.

: $2p_1(E\oplus F)=2p_1(E)+2p_1(F),$

: $2p_2(E\oplus F)=2p_2(E)+2p_1(E)\smile p_1(F)+2p_2(F)$

벡터 다발의 폰트랴긴 특성류와 슈티펠-휘트니 특성류가 0이라고 해서 벡터 다발이 자명하다는 것을 보장하지는 않는다. 예를 들어, 벡터 다발 동형까지 고려하면, 9-구 위에 유일한 비자명한 랭크 10 벡터 다발 $E_{10}$ 이 존재한다. 이 벡터 다발의 폰트랴긴 특성류와 슈티펠-휘트니 특성류는 모두 0이다.

$2k$ 차원 벡터 다발 $E$ 가 주어지면, 다음이 성립한다.

: $p_k(E)=e(E)\smile e(E),$

여기서 $e(E)$ 는 $E$ 의 오일러 특성류를, $\smile$ 는 코호몰로지 클래스의 컵 곱을 나타낸다.

세르게이 노비코프는 1966년에 다양체가 위상 동형이면, ''H''^4''k''(''M'', '''Q''') 안의 유리 폰트랴긴 류 ''p_k''(''M'', '''Q''')는 같다는 것을 증명했다.

차원이 적어도 5 이상이면, 주어진 호모토피형과 폰트랴긴 류를 가진 미분 가능한 다양체는 기껏해야 유한 개만 존재한다.

3. 1. 천 특성류와의 관계

폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 이 둘 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

직교군과 유니터리 군 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다.

:

\operatorname O(n) \,\overset\iota\hookrightarrow\, \operatorname U(n) \,\overset{\iota'}\hookrightarrow\, \operatorname O(2n)

이는 분류 공간 사이의 연속 함수(의 호모토피류)

:

\operatorname{BO}(n) \,\overset{\mathrm B\iota}\hookrightarrow\, \operatorname{BU}(n) \,\overset{\mathrm B\iota'}\hookrightarrow\, \operatornameoperatorname{BO}(2n)

를 정의한다.

이에 따라, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

\operatorname p_k = (-) (\mathrm B\iota)^* \operatorname c_k \in \operatorname H^{4k}(\operatorname{BO}(n))

:

(-)^k(\mathrm B\iota')^*\operatorname p_k = \sum_{i+j=2k} (-)^i \operatorname c_i \operatorname c_j \in \operatorname H^{4k}(\operatorname{BU}(n))

이를 벡터 다발의 언어로 번역하면 다음과 같다.

사상 $\mathrm B\iota\colon \operatorname{BO}(n)\to\operatorname{BU}(n)$ 는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.
사상 $\mathrm B\iota'\colon \operatorname{BU}(n)\to\operatorname{BO}(2n)$ 은 복소수 벡터 다발에서 복소구조를 잊는 것(실수 벡터 다발로 간주하는 것)에 해당한다.

즉, 실수 벡터 다발

E

의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화

E\otimes\mathbb C

의 천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\operatorname p_k(E)=(-)^k\operatorname c_{2k}(E\otimes\mathbb C)\in\operatorname H^{4k}(M)

천 특성류

c_k

는

2k

차 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류

p_k

는

4k

차 코호몰로지 원소이다. (

E\otimes\mathbb C

의 홀수차 천 특성류는 슈티펠-휘트니 특성류로 나타낼 수 있다.)

반대로, 복소수 벡터 다발

E

의 (복소구조를 잊었을 때) 폰트랴긴 특성류는 그 천 특성류로부터 다음과 같이 주어진다.

:

\operatorname p_k(E) = (-)^k \sum_{i+j=2k}(-)^i\operatorname c_i(E)\operatorname c_j(E) \in \operatorname H^{4k}(M)

복소 벡터 다발

\pi: E \to X

의 폰트랴긴 특성류는 그 체른 특성류에 의해 완전히 결정된다. 이는

E\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C} \cong E\oplus \bar{E}

라는 사실, 휘트니 합 공식, 그리고 복소 공액 다발의 체른 특성류의 성질에서 비롯된다. 즉,

c_i(\bar{E}) = (-1)^ic_i(E)

이고

c(E\oplus\bar{E}) = c(E)c(\bar{E})

이다. 그러면, 이는 다음 관계식을 제공한다.^[2]

:

1 - p_1(E) + p_2(E) - \cdots + (-1)^np_n(E) =(1 + c_1(E) + \cdots + c_n(E)) \cdot(1 - c_1(E) + c_2(E) -\cdots + (-1)^nc_n(E))

예를 들어, 이 공식을 적용하여 곡선과 곡면 위의 복소 벡터 다발의 폰트랴긴 특성류를 찾을 수 있다. 곡선의 경우, 다음이 성립한다.

:

(1-c_1(E))(1 + c_1(E)) = 1 + c_1(E)^2

따라서 복소 벡터 다발의 모든 폰트랴긴 특성류는 자명하다. 곡면의 경우, 다음이 성립한다.

:

(1-c_1(E) + c_2(E))(1 + c_1(E) + c_2(E)) = 1 - c_1(E)^2 + 2c_2(E)

이는

p_1(E) = c_1(E)^2 - 2c_2(E)

임을 보여준다. 선다발에서는 차원상의 이유로

c_2(L) = 0

이므로, 이 공식이 더 단순해진다.

3. 2. 분수 폰트랴긴 특성류

벡터 다발

E

가 스핀 구조를 가지면, 1차 분수 폰트랴긴 특성류

\tfrac12\operatorname p_1(E)

가 정의된다. 스핀 군은 단일 연결 단순 리 군이므로 다음과 같다.

:

\pi_i(\operatorname{Spin}(n)) = 0\qquad(i<3)

:

\pi_3(\operatorname{Spin}(n)) = \mathbb Z

따라서, 스핀 군의 분류 공간의 호모토피 군은 다음과 같다.

:

\pi_i(\operatorname{BSpin}(n)) = 0 \qquad(i<4)

:

\pi_4(\operatorname{Spin}(n)) = \mathbb Z

그러므로, 후레비치 준동형이 동형이며, 다음이 성립한다.

:

\operatorname H^4(\operatorname{BSpin}(n)) = \mathbb Z

따라서, 그 생성원을

\alpha

라고 하면, 다음이 성립함을 보일 수 있다.

:

(\mathrm Bq)^*\operatorname p_1 = 2\alpha \in \operatorname H^4(\operatorname{BSpin}(n))

따라서, 이를 사용하여, 다음이 성립하는 특성류를 정의할 수 있다.

:

\operatorname p_1(E) = 2 \cdot (\tfrac12\operatorname p_1(E)) \in 2\operatorname H^4(M)

:

\tfrac12\operatorname p_1(E) \in \operatorname H^4(M)

이를 '''1차 분수 폰트랴긴 특성류'''(一次分數Понтрягин特性類, first fractional Pontryagin class^영어)라고 한다.^[6]

마찬가지로, 만약

E

가 '''끈 구조'''(string structure^영어)를 갖는다면, '''2차 분수 폰트랴긴 특성류'''(二次分數Понтрягин特性類, second fractional Pontryagin class^영어)

\tfrac16\operatorname p_2(E) \in \operatorname H^8(E)

가 존재한다.^[6] 여기서

\operatorname{String}(n)

은 끈 군이다.

3. 3. 곡률과의 관계

천싱선과 앙드레 베유가 1948년경 제시한 천-베유 이론에 따르면, 유리수 폰트랴긴 특성류는 벡터 다발의 곡률 형식에 대한 다항식으로 표현될 수 있다. 이는 대수적 위상수학과 전역 미분 기하학 사이의 중요한 연결 고리를 제공한다.

접속 형식을 갖는 n차원 미분 가능 다양체 M 위의 벡터 다발 E에 대해, 총 폰트랴긴 특성류는 다음과 같이 표현된다.

:

p=\left[1-\frac{{\rm Tr}(\Omega ^2)}{8 \pi ^2}+\frac{{\rm Tr}(\Omega ^2)^2-2 {\rm Tr}(\Omega ^4)}{128 \pi ^4}-\frac{{\rm Tr}(\Omega ^2)^3-6 {\rm Tr}(\Omega ^2) {\rm Tr}(\Omega ^4)+8 {\rm Tr}(\Omega ^6)}{3072 \pi ^6}+\cdots\right]\in H^*_{dR}(M),

여기서 $\Omega$는 곡률 형식을 나타내고, $H^*_{dR}(M)$은 드람 코호몰로지 군을 나타낸다.

4. 예

낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.

: $\operatorname p_0=1$

: $\operatorname p_1=-\frac1{2(2\pi)^2}\operatorname{tr} F^2$

: $\operatorname p_2=\frac1{8(2\pi)^4}\left((\operatorname{tr} F^2)^2-2\operatorname{tr} F^4\right)$

5. 폰트랴긴 수

폰트랴긴 수는 매끄러운 다양체의 위상 불변량이다. 다양체 $M$ 의 폰트랴긴 수는 $M$ 의 차원이 4로 나누어 떨어지지 않으면 0이 된다. 폰트랴긴 수는 다음과 같이 다양체 $M$ 의 폰트랴긴 류를 사용하여 정의된다.

매끄러운 $4n$ 차원 다양체 $M$ 과 자연수 집합 $k_1, k_2, \ldots , k_m$ 가 주어져 $k_1+k_2+\cdots +k_m =n$ 일 때, 폰트랴긴 수 $P_{k_1,k_2,\dots,k_m}$ 는

: $P_{k_1,k_2,\dots, k_m}=p_{k_1}\smile p_{k_2}\smile \cdots\smile p_{k_m}([M])$

로 정의되며, 여기서 $p_k$ 는 $k$ 번째 폰트랴긴 류를 나타내고, $[M]$ 은 $M$ 의 기본류를 나타낸다.

폰트랴긴 수는 방향성을 가진 코보디즘 불변량이며, 슈티펠-휘트니 수와 함께 방향성을 가진 다양체의 코보디즘 류를 결정한다.^[1] 닫힌 리만 다양체의 폰트랴긴 수(폰트랴긴 류와 마찬가지로)는 리만 다양체의 곡률 텐서에서 특정 다항식의 적분으로 계산할 수 있다.^[1] 시그니처 및 $\hat A$ -genus와 같은 불변량은 폰트랴긴 수를 통해 표현할 수 있다.^[1]

6. 역사

러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1947년에 정의하였다.^[7] 세르게이 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.^[8]

7. 일반화

사원수 구조를 갖는 벡터 다발에는 사원수 폰트랴긴 특성류가 존재한다.

참조

_[1] 논문 Homotopically equivalent smooth manifolds. I 1964
_[2] 웹사이트 Pontryagin Classes https://www.math.sto[...]
_[3] 웹사이트 A Survey of Computations of Homotopy Groups of Spheres and Cobordisms http://math.mit.edu/[...]
_[4] 서적 Characteristic classes http://press.princet[...] Princeton University Press 1974
_[5] 서적 Vector bundles and K-Theory http://www.math.corn[...] 2009-05
_[6] 저널 Fivebrane structures
_[7] 저널 Характеристические циклы дифференцируемых многообразий http://mi.mathnet.ru[...] 1947
_[8] 저널 О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применениях (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы) http://mi.mathnet.ru[...] 1966

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com