사인 법칙

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1. 개요

사인 법칙은 삼각형의 변과 각 사이의 관계를 나타내는 삼각법의 기본 법칙이다. 평면 사인 법칙은 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변의 길이를 각각 a, b, c, 외접원의 반지름을 R이라고 할 때, a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R의 관계가 성립한다는 것을 의미한다. 이 법칙은 두 각과 한 변의 길이, 또는 두 변의 길이와 한 각을 알 때 다른 각과 변의 길이를 계산하는 데 사용된다. 사인 법칙은 평면, 구면, 쌍곡면 등 다양한 공간에서 적용되며, 일반화된 형태로도 표현될 수 있다. 역사적으로는 나시르 알딘 알투시가 평면 사인 법칙을 최초로 언급하고 증명했으며, 구면 사인 법칙은 10세기에 발견되었다. 사인 법칙은 측량, 지도 제작 등 다양한 분야에 응용된다.

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사인 법칙
정의
설명	유클리드 평면상의 모든 삼각형에 적용되는 성질
관련 항목	삼각법 구면삼각법
공식
일반적인 형태	$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$
변형된 형태	$\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}$
확장된 형태 (R은 외접원의 반지름)	$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
변수 설명
a, b, c	삼각형의 각 변의 길이
α, β, γ (또는 A, B, C)	각 변에 대응하는 각의 크기
R	삼각형의 외접원의 반지름
활용
삼각형 풀이	두 각과 한 변이 주어졌을 때 나머지 변과 각을 구할 수 있음
외접원 반지름 계산	삼각형의 넓이와 변의 길이를 이용하여 외접원의 반지름을 구할 수 있음
응용
측량	거리 측정 및 각도 계산
항해	위치 결정 및 항로 설정
천문학	별의 거리 및 위치 계산

2. 평면 사인 법칙

삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변의 길이를 각각 a, b, c라 하고, 외접원의 반지름을 R이라고 할 때, 다음과 같은 관계가 성립한다.^[1]

: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

이를 사인 법칙이라고 한다. 이 법칙은 삼각 측량의 기초가 되는 정리로, 한 변과 그 양 끝 각을 알 때 다른 두 변의 길이를 구할 수 있게 해준다.

나시르 알딘 알투시는 모든 평면 삼각형에 적용되는 사인 법칙을 최초로 언급하고 증명한 페르시아의 수학자이다.^[2] 그는 "임의의 평면 삼각형에서 변의 비율은 그 변의 반대편 각의 사인 비율과 같다"고 설명했다.

사인 법칙은 A, B, C에 대해 대등한 표현이므로, 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: $\frac{a}{\sin A} =2R$ 또는 ${a} = 2R {\sin A}$

2. 1. 평면 사인 법칙의 증명

평면 사인 법칙은 삼각형의 넓이, 외접원, 코사인 법칙 등을 이용하여 증명할 수 있다.

밑변의 길이가 a인 삼각형의 높이는 또는 로 계산할 수 있다. 이 두 식을 같다고 놓으면 다음이 성립한다.

:

\frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}\,,

그리고 변의 길이가 또는 변의 길이가 인 변을 삼각형의 밑변으로 선택하면 유사한 방정식이 도출된다.

다음 등식에서

:

\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}},

세 분수의 공통 값은 실제로 삼각형의 외접원의 지름이다. 이 결과는 프톨레마이오스 시대로 거슬러 올라간다.^[7]^[8]

삼각형의 넓이는 로 주어지며, 여기서

\theta

는 길이가 와 인 변에 의해 둘러싸인 각도이다. 이 식에 사인 법칙을 대입하면 다음과 같다.

:

T=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}.

R

을 외접원의 반지름으로 하여,^[9]

:

T=\frac{abc}{4R}.

이 등식은 또한 다음을 함축함을 보일 수 있다.

:

\begin{align}\frac{abc} {2T}& = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]& = \frac {2abc} {\sqrt,\end{align}

여기서 는 삼각형의 넓이이고 는 반둘레 이다.

위의 두 번째 등식은 삼각형의 넓이에 대한 헤론의 공식으로 쉽게 단순화된다.

사인 법칙은 또한 삼각형의 넓이에 대한 다음 공식을 유도하는 데 사용될 수 있다. 각의 사인들의 반합을 로 표기하면, 다음을 얻는다.^[10]

:

T = 4R^{2} \sqrt{S \left(S - \sin A\right) \left(S - \sin B\right) \left(S - \sin C\right)}

여기서

R

은 외접원의 반지름이다:

코사인 법칙을 사용하여 사인 법칙을 증명할 수도 있다. 코사인 법칙에 따르면,

:

\begin{align}\frac{\sin^2A}{a^2}&=\frac{1-\cos^2A}{a^2}\\&=\frac{4b^2c^2-4b^2c^2\cos^2 A}{4a^2b^2c^2}\\&=\frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4a^2b^2c^2}\\&=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4a^2b^2c^2}\end{align}

이다. 이 결과는

a,b,c

에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

2. 1. 1. 삼각형의 넓이를 통한 증명

삼각형

ABC

의 변

c

위의 높이를

h

라고 하면,^[14] 삼각법에 따라

h=b\sin A

이다. 따라서 삼각형

ABC

의 넓이

K

는 다음과 같다.

:

K=\frac 12ch=\frac 12bc\sin A

문자를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.

:

2K=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C

양변에

abc

를 나누면 사인 법칙을 얻는다.

:

\frac{\sin A}a=\frac{\sin B}b=\frac{\sin C}c

2. 1. 2. 외접원을 통한 증명

삼각형

ABC

의 외접원을 그리고,^[14]

A

를 지나는 지름을

AD

라고 하면,

ABD

는 직각 삼각형이며 빗변은

AD=2R

이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

:

c=2R\sin D

$C$ 가 예각일 경우, $C$ 와 $D$ 는 같은 호의 원주각이므로 $\angle C=\angle D$ 이다. 따라서 $c=2R\sin C$ 가 성립한다.
$C$ 가 직각일 경우, $B$ 와 $D$ 는 같은 점이므로, $2R=c$ 이며 $\sin C=1$ 이다. 따라서 위와 같은 식이 성립한다.
$C$ 가 둔각일 경우, $C$ 와 $D$ 는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, $\angle C=\pi-\angle D$ 이다. 따라서 위와 같은 식이 성립한다.

남은 두 각

A,B

에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

내접하는

\triangle ABC

와 원의 중심

O

를 통과하는 또 다른 내접하는

\triangle ADB

가 있는 원이 있다고 가정하면,

\angle AOD

는 중심각이

180^\circ

이므로, 탈레스의 정리에 의해

\angle ABD = 90^\circ

이다.

\triangle ABD

는 직각삼각형이므로,

\sin{\delta}= \frac{\text{대변}}{\text{빗변}}= \frac{c}{2R},

여기서

R= \frac{d}{2}

는 삼각형의 외접원의 반지름이다.^[8] 각

{\gamma}

와

{\delta}

는 동일한 원 위에 있고 동일한 현

c

를 마주보고 있으므로, 원주각 정리에 의해

{\gamma} = {\delta}

이다. 그러므로,

\sin{\delta} = \sin{\gamma} = \frac{c}{2R}.

재배열하면

2R = \frac{c}{\sin{\gamma}}.

다른 점들로

\triangle ADB

를 만드는 과정을 반복하면

\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}=2R.

호도법으로 각도를 나타낼 때 ''π'' = 180°이며, 다음과 같이 증명할 수 있다.

;0 < ∠A <

\frac{\pi}{2}

일 때

지름 BD를 긋고, 원주각의 정리에 의해 ∠A = ∠D이다. △BDC에서, BD는 지름이므로,

:

\text{BD} =2R, \angle \text{BCD} = \frac{\pi}{2}

이다. 따라서, 사인 정의에 의해,

:

\sin D= \frac{a}{2R}

:

\sin A=\sin D=\frac{a}{2R}

변형하면

:

\frac{a}{\sin A} =2R

을 얻을 수 있다. ∠B, ∠C에 대해서도 마찬가지로 증명된다.

;∠A =

\frac{\pi}{2}

일 때

BC = ''a'' = 2''R'' 이고,

:

\sin A=\sin \frac{\pi}{2} =1

이므로,

:

\frac{a}{\sin A} =2R

이 성립한다.

;

\frac{\pi}{2}

< ∠A < ''π''일 때

지름 BD를 긋고, 원에 내접하는 사각형의 성질로부터,

:

\angle \text{D} = \pi -\angle \text{A}

:

\sin A=\sin D

BD는 지름이므로,

:

\text{BD} =2R, \angle \text{BCD} =\frac{\pi}{2}

따라서, 사인 정의에 의해,

:

\sin A=\sin D= \frac{a}{2R}

변형하면

:

\frac{a}{\sin A} = 2R

을 얻을 수 있다. ∠B, ∠C에 대해서도 마찬가지로 증명된다.

이상을 통해 사인 법칙이 성립함을 보일 수 있다.

또한, 역으로 사인 법칙을 가정하면, "원주각의 정리", "내접 사각형의 정리"(원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 180°이다.)를 도출할 수 있다.

2. 1. 3. 코사인 법칙을 통한 증명

코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.^[15]

:

\begin{align}\frac{\sin^2A}{a^2}&=\frac{1-\cos^2A}{a^2}\\&=\frac{4b^2c^2-4b^2c^2\cos^2 A}{4a^2b^2c^2}\\&=\frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4a^2b^2c^2}\\&=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{4a^2b^2c^2}\end{align}

결과는

a,b,c

에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

3. 구면 사인 법칙

단위 구면 위의 구면 삼각형 ABC에서 각 A, B, C가 마주보는 변을 a, b, c라고 할 때, '''구면 사인 법칙'''은 다음과 같다.

: $\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}$

구면 사인 법칙은 대원의 호를 변으로 하는 구면 위의 삼각형을 다룬다. 구의 반지름이 1이라고 가정하면, 변을 이루는 대원의 호의 길이 a, b, c는 그 호에 의해 가려지는 구의 중심에서의 각도이며, 라디안으로 표시된다. A, B, C는 각 변에 마주보는 각도이며, 이는 세 개의 대원의 평면 사이의 이각이다.

구면 사인 법칙은 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}.$

구면 사인 법칙은 10세기에 발견되었으며, 아부 마흐무드 호잔디, 아불 와파 부즈자니, 나시르 알딘 알투시, 아부 나스르 만수르 등의 페르시아 수학자들에게 그 공이 있다.^[3] 이븐 무아드 알자야니의 11세기 저서 ''구면의 미지의 호의 책''에도 구면 사인 법칙이 포함되어 있다.^[4] 13세기에 나시르 알딘 알투시는 그의 저서 ''섹터 도형에 관하여''에서 평면 및 구면 삼각형에 대한 사인 법칙을 언급하고 증명을 제공했다.^[5]

3. 1. 구면 사인 법칙의 증명

구면 사인 법칙은 순수 기하학적 방법, 벡터, 구면 코사인 법칙 등을 이용하여 증명할 수 있다. 이 섹션에서는 하위 섹션에서 이미 자세히 설명된 증명 방법들을 간략하게 요약한다.

'''순수 기하 증명:''' 구의 중심에서 각 변에 수선을 내려 삼수선 정리와 삼각법을 이용한다.
'''벡터를 통한 증명:''' 구의 중심에서 각 꼭짓점을 잇는 벡터들의 삼중곱을 이용한다.
'''구면 코사인 법칙을 통한 증명:''' 제1 구면 코사인 법칙과 삼각함수의 항등식을 이용한다.^[16]

3. 1. 1. 순수 기하 증명

구의 중심을 O라고 하자. OA에서 아무 점 P를 취하자. P를 지나는 평면 BOC의 수선을 PD라고 하자. D를 지나는 직선 OB, OC의 수선을 각각 DE, DF라고 하자. 삼수선 정리에 따라 PE, PF는 각각 OB, OC와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

:PD = PE sin B = OP sin c sin B

:PD = PF sin C = OP sin b sin C

두 식에서 PD/OP를 소거하면 다음을 얻는다.

:sin b / sin B = sin c / sin C

남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.^[16]

단위 구를 고려해 보자.

:OA = OB = OC = 1

점 D와 점 E를 ∠ADO = ∠AEO = 90°가 되도록 구성한다.

점 A'를 ∠A'DO = ∠A'EO = 90°가 되도록 구성한다.

따라서 ∠ADA' = B이고 ∠AEA' = C임을 알 수 있다.

A'는 평면 OBC에 대한 A의 투영이라는 점에 유의한다. 따라서 ∠AA'D = ∠AA'E = 90°이다.

기본적인 삼각법에 의해 다음을 얻는다.

:AD = sin c

:AE = sin b

그러나 AA' = AD sin B = AE sin C 이다.

이들을 결합하면 다음을 얻는다.

:sin c sin B = sin b sin C

:=> sin B / sin b = sin C / sin c

유사한 추론을 적용하여 구면 사인 법칙을 얻는다.

: sin A / sin a = sin B / sin b = sin C / sin c

3. 1. 2. 벡터를 통한 증명

구의 중심과 세 꼭짓점 A, B, C를 잇는 벡터를 각각 '''a''', '''b''', '''c'''라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.

:

(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)=((\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c)\mathbf a

:

(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)=((\mathbf b\times\mathbf a)\cdot\mathbf c)\mathbf b

:

(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)=((\mathbf c\times\mathbf a)\cdot\mathbf b)\mathbf c

따라서 다음이 성립한다.

:

|(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)|=|(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)|=|(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)|

여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

:

|(\mathbf a\times\mathbf b)\times(\mathbf a\times\mathbf c)|=\sin c\sin b\sin A

:

|(\mathbf b\times\mathbf a)\times(\mathbf b\times\mathbf c)|=\sin c\sin a\sin B

:

|(\mathbf c\times\mathbf a)\times(\mathbf c\times\mathbf b)|=\sin b\sin a\sin C

단위 구를 생각해 보자. 구의 중심에서 삼각형의 꼭짓점으로 세 개의 단위 벡터 OA^영어, OB^영어, OC^영어가 그려져 있다. 따라서 각 α, β, γ는 각각 각 a, b, c이다. 호 BC는 중심에서 크기 a의 각을 이룬다. OA를 z-축을 따라, OB를 xz-평면에서 z-축과 각 c를 이루도록 하는 데카르트 기저를 도입한다. 벡터 OC는 xy-평면에서 ON으로 투영되고 ON과 x-축 사이의 각은 A이다. 따라서 세 벡터는 다음과 같은 성분을 갖는다.

\mathbf{OA} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \quad\mathbf{OB} = \begin{pmatrix}\sin c \\ 0 \\ \cos c\end{pmatrix}, \quad\mathbf{OC} = \begin{pmatrix}\sin b\cos A \\ \sin b\sin A \\ \cos b\end{pmatrix}.

스칼라 삼중곱 OA ⋅ (OB × OC)^영어은 구면 삼각형 OA, OB, OC의 꼭짓점의 위치 벡터로 형성된 평행육면체의 부피이다. 이 부피는 OA, OB, OC를 나타내는 데 사용된 특정 좌표계에 불변이다. 스칼라 삼중곱 OA ⋅ (OB × OC)^영어의 값은 OA, OB, OC를 행으로 하는 3 × 3 행렬식이다. z-축을 OA를 따라 놓으면 이 행렬식의 제곱은

\begin{align}\bigl(\mathbf{OA} \cdot (\mathbf{OB} \times \mathbf{OC})\bigr)^2& = \left(\det \begin{pmatrix}\mathbf{OA} & \mathbf{OB} & \mathbf{OC}\end{pmatrix}\right)^2 \\[4pt]& =  \begin{vmatrix}0 & 0 & 1 \\\sin c & 0 & \cos c \\\sin b \cos A & \sin b \sin A & \cos b\end{vmatrix} ^2= \left(\sin b \sin c \sin A\right)^2.\end{align}

OB를 따라 z-축을 놓고 이 계산을 반복하면 (sin c sin a sin B)²가 되고, OC를 따라 놓으면 (sin a sin b sin C)²가 된다. 이 식들을 같다고 놓고 (sin a sin b sin c)²로 나누면 다음을 얻는다.

\frac{\sin^2 A}{\sin^2 a}= \frac{\sin^2 B}{\sin^2 b}= \frac{\sin^2 C}{\sin^2 c}= \frac{V^2}{\sin^2 (a) \sin^2 (b) \sin^2 (c)},

여기서 V는 구면 삼각형의 꼭짓점의 위치 벡터로 형성된 평행육면체의 부피이다. 결과적으로, 결과가 나온다.

구면 삼각형이 작을 때, 즉 구의 반지름이 삼각형의 변보다 훨씬 클 때 이 공식이 극한에서 평면 공식이 되는 것을 쉽게 알 수 있다. 왜냐하면,

\lim_{a \to 0} \frac{\sin a}{a} = 1

이고, sin b 및 sin c에 대해서도 동일하기 때문이다.

3. 1. 3. 구면 코사인 법칙을 통한 증명

제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.^[16]

:

\begin{align}\frac{\sin^2A}{\sin^2a}&=\frac{1-\cos^2A}{\sin^2a}\\&=\frac{\sin^2b\sin^2c-\sin^2b\sin^2c\cos^2A}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}\\&=\frac{\sin^2b\sin^2c-(\cos a-\cos b\cos c)^2}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}\\&=\frac{1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c}{\sin^2a\sin^2b\sin^2c}\end{align}

순수하게 대수적인 증명은 구면 코사인 법칙으로부터 구성될 수 있다.

\sin^2 A = 1 - \cos^2 A

항등식과 구면 코사인 법칙에서

\cos A

에 대한 명시적 표현으로부터

\begin{align}\sin^2\!A &= 1-\left(\frac{\cos a  - \cos b\, \cos c}{\sin b \,\sin c}\right)^2\\&=\frac{\left(1-\cos^2\!b\right) \left(1-\cos^2\!c\right)-\left(\cos a  - \cos b\, \cos c\right)^2}{\sin^2\!b \,\sin^2\!c}\\[8pt]\frac{\sin A}{\sin a}&= \frac{\left[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c + 2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}.\end{align}

우변은

a,\;b,\;c

의 순환적인 순열에 대해 불변이므로, 구면 사인 법칙이 즉시 따른다.

4. 쌍곡 사인 법칙

가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 $ABC$ 에서 각 $A,B,C$ 가 마주보는 변을 $a,b,c$ 라고 할 때, 쌍곡 사인 법칙(hyperbolic law of sines^영어)에 따르면 다음이 성립한다.^[17]

: $\frac{\sinh a}{\sin A}=\frac{\sinh b}{\sin B}=\frac{\sinh c}{\sin C}$

여기서 $\sinh$ 는 쌍곡 사인 함수이다.

4. 1. 쌍곡 사인 법칙의 증명

제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 증명할 수 있다.^[17] 쌍곡 기하학에서 곡률이 -1일 때, 사인 법칙은 다음과 같다.

:

\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c} \,.

B

가 직각일 때, 다음을 얻는다.

:

\sin C = \frac{\sinh c}{\sinh b}

이것은 유클리드 기하학에서 각도의 사인을 빗변으로 나눈 대변으로 표현하는 공식과 유사하다.

쌍곡 삼각형도 참조.

4. 1. 1. 쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명

제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.^[17]

:

\begin{align}\frac{\sin^2A}{\sinh^2a}&=\frac{1-\cos^2A}{\sinh^2a}\\&=\frac{\sinh^2b\sinh^2c-\sinh^2b\sinh^2c\cos^2A}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}\\&=\frac{\sinh^2b\sinh^2c-(\cosh b\cosh c-\cosh a)^2}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}\\&=\frac{1-\cosh^2a-\cosh^2b-\cosh^2c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{\sinh^2a\sinh^2b\sinh^2c}\end{align}

5. 일반화

사인 법칙은 평면, 구면, 쌍곡면뿐만 아니라, 임의의 상수 곡률을 갖는 공간, 그리고 더 고차원의 공간으로 일반화될 수 있다.

일반적으로, n차원 유클리드 공간의 n차원 단순체(삼각형(n=2), 사면체(n=3), 5포체(n=4) 등)에 대해, 한 꼭짓점에서 만나는 면들의 법선 벡터의 극사인의 절댓값을 꼭짓점 반대편 면의 초면적으로 나눈 값은 꼭짓점의 선택과 무관하다. V를 n차원 단순체의 초부피, P를 그 (n-1)차원 면들의 초면적의 곱으로 표기하면, 공통 비율은 다음과 같다.^[13]

: $\frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{b}, \ldots, \mathbf{z})\right|}{\mathrm{Area}_a} = \cdots = \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \ldots, \mathbf{y})\right|}{\mathrm{Area}_z} = \frac{(nV)^{n-1}}{(n-1)! P}.$

사면체의 경우, 한 꼭짓점을 공유하는 세 면의 법선 벡터의 극 사인(psin^영어)의 절댓값을 네 번째 면의 면적으로 나눈 값은 꼭짓점의 선택에 의존하지 않는다.^[13]

: $\begin{align}& \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{d})\right|}{\mathrm{Area}_a} =\frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \mathbf{c}, \mathbf{d})\right|}{\mathrm{Area}_b} =\frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{d})\right|}{\mathrm{Area}_c} =\frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})\right|}{\mathrm{Area}_d} \\[4pt]= {} & \frac{(3~\mathrm{Volume}_\mathrm{tetrahedron})^2}{2~\mathrm{Area}_a \mathrm{Area}_b \mathrm{Area}_c \mathrm{Area}_d}\,.\end{align}$

5. 1. 상수 곡률 공간에서의 사인 법칙

실수 매개변수

\kappa

에 따라 일반화된 사인 함수를 다음과 같이 정의한다.

:

\sin_\kappa(x) = x - \frac{\kappa}{3!}x^3 + \frac{\kappa^2}{5!}x^5 - \frac{\kappa^3}{7!}x^7 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \kappa^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}.

상수 곡률

\kappa

에서의 사인 법칙은 다음과 같다.^[1]

:

\frac{\sin A}{\sin_\kappa a} = \frac{\sin B}{\sin_\kappa b} = \frac{\sin C}{\sin_\kappa c} \,.

\kappa=0

,

\kappa=1

,

\kappa=-1

을 대입하면 각각

\sin_{0}(x) = x

,

\sin_{1}(x) = \sin x

,

\sin_{-1}(x) = \sinh x

를 얻을 수 있는데, 이는 위에서 설명한 사인 법칙의 유클리드, 구면, 쌍곡선 경우에 해당한다.^[1]

p_\kappa(r)

이 상수 곡률

\kappa

공간에서 반지름

r

인 원의 둘레를 나타낸다고 하자. 그러면

p_\kappa(r)=2\pi\sin_\kappa(r)

이다. 따라서 사인 법칙은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\frac{\sin A}{p_\kappa(a)} = \frac{\sin B}{p_\kappa(b)} = \frac{\sin C}{p_\kappa(c)} \,.

이 공식은 야노스 볼리아이가 발견했다.^[12]

5. 2. 고차원 공간에서의 사인 법칙

사면체는 네 개의 삼각형 면을 갖는다. 사면체의 한 꼭짓점을 공유하는 세 면의 법선 벡터의 극 사인(psin^영어)의 절댓값을 네 번째 면의 면적으로 나눈 값은 꼭짓점의 선택에 의존하지 않는다.^[13]

더 일반적으로, n차원 유클리드 공간의 n차원 단순체 (즉, 삼각형(n=2), 사면체(n=3), 5포체(n=4) 등)에 대해, 한 꼭짓점에서 만나는 면들의 법선 벡터의 극사인의 절댓값을 꼭짓점 반대편 면의 초면적으로 나눈 값은 꼭짓점의 선택과 무관하다. V를 n차원 단순체의 초부피로, P를 그 (n-1)차원 면들의 초면적의 곱으로 표기하면, 공통 비율은 다음과 같다.

:

\frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{b}, \ldots, \mathbf{z})\right|}{\mathrm{Area}_a} = \cdots = \frac{\left|\operatorname{psin}(\mathbf{a}, \ldots, \mathbf{y})\right|}{\mathrm{Area}_z} = \frac{(nV)^{n-1}}{(n-1)! P}.

6. 응용

사인 법칙은 두 각과 한 변의 길이를 알 때, 또는 두 변의 길이와 한 각을 알 때 다른 각과 변의 길이를 계산하는 데 사용될 수 있다.

삼각형의 넓이는 $T = \frac{1}{2}ab \sin \theta$ 로 주어지며, 여기서 $\theta$ 는 길이 $a$ 와 $b$ 인 변에 의해 둘러싸인 각도이다. 이 식에 사인 법칙을 대입하면 다음과 같다.

: $T=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}.$ ( $R$ 은 외접원의 반지름)^[9]

이 등식은 다음과 같이 변형될 수 있다.

: $\frac{abc} {2T} = \frac {2abc} {\sqrt$

여기서 $T$ 는 삼각형의 넓이이고 $s$ 는 반둘레 $s = \frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$ 이다. 위 식은 헤론의 공식으로 쉽게 단순화된다.

사인 법칙을 이용해 삼각형의 넓이에 대한 다음 공식을 유도할 수도 있다. 각의 사인들의 반합을 $S =\frac{1}{2}\left(\sin A + \sin B + \sin C\right)$ 로 표기하면, 다음을 얻는다.^[10]

: $T = 4R^{2} \sqrt{S \left(S - \sin A\right) \left(S - \sin B\right) \left(S - \sin C\right)}$

여기서 $R$ 은 외접원의 반지름이다: $2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ .

△ABC에서 BC = $a$ , CA = $b$ , AB = $c$ , 외접원의 반지름을 $R$ 이라고 할 때,

: $\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} =2R$

가 성립한다. 이로부터 한 변과 그 양 끝 각에서 다른 두 변을 알 수 있으며, 삼각 측량의 기초가 되는 정리이다.

또는

: $\frac{a}{\sin A} =2R$ 또는 ${a} = 2R {\sin A}$

를 사인 법칙이라고 표현할 수도 있다.

6. 1. 모호한 경우

사인 법칙을 사용하여 삼각형의 변을 구할 때, 주어진 정보로 두 개의 서로 다른 삼각형을 만들 수 있는 경우가 있는데, 이를 "모호한 경우"라고 하며 주의해야 한다. 아래 그림에서 삼각형 ''ABC''와 삼각형 ''ABC′''가 그 예이다.

일반적인 삼각형에서 다음 조건들이 만족되면 모호한 경우가 발생한다.

삼각형에 대해 알려진 유일한 정보는 각 ''α''와 변 ''a'', ''c''뿐이다.
각 ''α''는 예각이다 (즉, ''α'' < 90°).
변 ''a''는 변 ''c''보다 짧다 (즉, ''a'' < ''c'').
변 ''a''는 각 ''β''에서 높이 h|h^영어보다 길다 (h|h^영어 = ''c'' sin ''α'', 즉 ''a'' > h|h^영어).

위 조건들이 모두 참이면, 각 ''β''와 ''β′'' 각각에 대해 유효한 삼각형이 만들어진다. 즉, 다음 두 식이 모두 성립한다.

: γ′|γ′^영어 = arcsinc sinα/a|c sinα/a^영어 또는 γ|γ^영어 = π - arcsinc sinα/a|c sinα/a^영어

여기서 필요한 경우, 변 ''b'' (점 ''A''와 ''C'' 사이) 또는 ''b′'' (점 ''A''와 ''C′'' 사이)를 구할 수 있다.

6. 2. 예제

변 ''a'' = 20, 변 ''c'' = 24, 각도 γ^영어 = 40°로 주어졌을 때, 각도 α^영어를 구하는 예시는 다음과 같다.

사인 법칙을 사용하면,

:

:

잠재적인 해 α^영어 = 147.61°는 α^영어 + β^영어 + γ^영어 > 180°를 만족해야 하므로 제외된다.

삼각형의 두 변 ''a''와 ''b''의 길이가 ''x''이고, 세 번째 변의 길이가 ''c''이며, 길이가 ''a'', ''b'', ''c''인 변의 대각이 각각 α^영어, β^영어, γ^영어일 때, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

:

:

:

7. 역사

사인 법칙은 10세기 페르시아의 수학자들에 의해 처음 발견되고 증명되었다. 평면 사인 법칙은 13세기 페르시아의 수학자 나시르 알딘 알투시에 의해 언급되었다. 알투시는 ''섹터 도형에 관하여''에서 평면 및 구면 삼각형에 대한 사인 법칙을 언급하고 증명을 제공했다.^[5] 그는 사인 법칙을 사용하여 두 각과 한 변을 알거나, 두 변과 그중 하나의 반대편 각을 아는 삼각형을 풀 수 있었다. 또한 두 변과 끼인각이 주어진 삼각형의 경우, 이들을 직각 삼각형으로 나누어 해결했다.^[2]

우비라탄 D'암브로시오와 헬레인 셀린에 따르면, 구면 사인 법칙은 10세기에 발견되었다. 이는 아부 마흐무드 호잔디, 아불 와파 부즈자니, 나시르 알딘 알투시, 아부 나스르 만수르에게 귀속된다.^[3] 11세기 이븐 무아드 알자야니의 저서 ''구면의 미지의 호의 책''에는 구면 사인 법칙이 포함되어 있다.^[4]

글렌 반 브루멜렌에 따르면, "사인 법칙은 실제로 레기오몬타누스가 제4권에서 직각 삼각형을 푸는 기초이며, 이 해결책들은 다시 일반 삼각형을 푸는 기반이 된다."^[6] 레기오몬타누스는 15세기 독일 수학자였다.

조선 시대 측량 기록에서 사인 법칙과 유사한 개념이 발견되는데, 이는 당시 조선의 수학과 측량술이 상당히 발전했음을 보여준다. 사인 법칙은 토지 측량과 지도 제작에 필수적인 기술이었으며, 세종대왕 시대에 제작된 혼일강리역대국도지도와 같은 정밀한 지도 제작에 기여했을 것으로 추정된다.

참조

_[1] 웹사이트 Generalized law of sines http://mathworld.wol[...]
_[2] 서적 A History of Mathematics: An Introduction https://books.google[...] Pearson 2017-03-21
_[3] 서적 Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics Springer Science+Business Media
_[4] MacTutor Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani
_[5] 서적 The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook Princeton University Press
_[6] 서적 The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry https://books.google[...] Princeton University Press
_[7] 문서 Geometry Revisited Math. Assoc. Amer.
_[8] 웹사이트 Law of Sines http://www.pballew.n[...] 2018-09-18
_[9] Citation Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle https://www.youtube.[...] 2015-06-10
_[10] 간행물 A Heron-type area formula in terms of sines 2009-03
_[11] Citation Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors https://web.archive.[...] Mathematical Association of America 2004
_[12] 서적 Fuchsian groups https://archive.org/[...] University of Chicago Press
_[13] 저널 The law of sines for tetrahedra and n-simplices
_[14] 서적
_[15] 저널
_[16] 서적 http://www.gutenberg[...]
_[17] 서적

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