폐포 (위상수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 폐포 연산자
4. 예
5. 추가 정보
참조

1. 개요

폐포는 위상 공간의 부분 집합과 관련된 개념으로, 주어진 집합의 모든 폐포점의 집합을 의미한다. 폐포점은 그 점의 모든 근방이 주어진 집합과 교차하는 점을 말한다. 폐포는 원래 집합과 그 집합의 극한점들의 합집합이며, 닫힌 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다. 폐포는 내부, 경계와 밀접한 관련이 있으며, 폐포 연산자를 통해 위상 공간을 정의하는 데 사용될 수 있다.

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폐포 (위상수학)
정의
위상 공간	위상 공간 (X, τ)
부분 집합	X의 부분 집합 A
폐포	A를 포함하는 모든 닫힌 집합의 교집합
기호	A, cl(A), 또는 A⁻
성질
포함 관계	A ⊆ A⁻
멱등성	(A⁻)⁻ = A⁻
합집합	(A ∪ B)⁻ = A⁻ ∪ B⁻
교집합	(A ∩ B)⁻ ⊆ A⁻ ∩ B⁻
공집합	∅⁻ = ∅
전체 집합	X⁻ = X
특징
닫힌 집합	A가 닫힌 집합일 필요충분조건은 A = A⁻
내부	A의 여집합의 폐포는 A의 내부의 여집합과 같음
경계	A의 경계는 A의 폐포와 A의 여집합의 폐포의 교집합과 같음
관련 개념
집적점	A의 모든 집적점을 포함함
극한점	A의 모든 극한점을 포함함
조밀성	A⁻ = X 이면 A는 X에서 조밀함
예시
실수 집합	실수 집합 R
유리수 집합	유리수 집합 Q의 폐포는 R
열린 구간	(a, b)의 폐포는 [a, b]
칸토어 집합	칸토어 집합은 폐집합이므로 자신의 폐포와 같음

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $A\subseteq X$ 가 주어졌을 때, 점 $x\in X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $A$ 의 '''폐포점'''(point of closure^영어)이라고 한다.

$x$ 의 모든 근방 $U\ni x$ 에 대하여, $U\cap A\ne\varnothing$ 이다.

만약

x

의 국소 기저

\mathcal B

가 주어졌을 경우, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$x$ 는 $A$ 의 폐포점이다.
모든 $B\in\mathcal B$ 에 대하여, $B\cap A\ne\varnothing$ 이다.

특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다.

위상 공간

X

의 부분 집합

A\subseteq X

의 '''폐포'''

\operatorname{cl}A

는

A

의 모든 폐포점들의 집합이다.

제1 가산 공간 (예: 거리 공간)에서,

\operatorname{cl} S

는

S

에 있는 점들의 모든 수렴하는 수열들의 모든 극한들의 집합이다. 일반적인 위상 공간의 경우, "수열"을 "넷" 또는 "필터"로 대체하면 이 명제가 참이다.

2. 1. 극한점과의 관계

위상 공간의 부분 집합 A의 점 x가 A의 폐포점이라는 것은, x가 A의 원소이거나 A의 극한점인 것과 동치이다.^[1] 즉, A의 폐포는 A와 A의 유도 집합(극한점들의 집합)의 합집합이다.

:

\operatorname{cl}A=A\cup A'

유클리드 공간의 부분 집합 S에 대해, x가 S의 폐포점이라는 것은 x를 중심으로 하는 모든 열린 공이 S의 점을 포함하는 경우이다(이 점은 x 자신일 수도 있다).^[2]

집합 S의 폐포는 S의 접점 전체가 이루는 집합을 말하며, cl(S), Cl(S), S, S⁻ 등으로 표기한다. 집합의 폐포는 다음과 같은 성질을 가진다.

cl(S)는 S를 포함하는 닫힌 집합(닫힌 확대 집합)이다.
cl(S)는 S를 포함하는 모든 닫힌 집합의 교집합과 일치한다.
cl(S)는 S를 포함하는 최소의 닫힌 집합이다.
집합 S가 닫힌 집합이기 위한 필요충분 조건은 S = cl(S)를 만족하는 것이다.
S가 T의 부분 집합이라면 cl(S)는 cl(T)의 부분 집합이다.
A가 닫힌 집합이라면, A가 S를 포함하는 것과 A가 cl(S)를 포함하는 것은 동치이다.

고립점은 극한점이 아닌 폐포의 점을 말한다. 즉, 점 x가 S의 고립점이 되려면 x가 S의 원소이고 x 자신 외에는 S의 다른 점을 포함하지 않는 x의 근방이 존재해야 한다.

2. 2. 닫힌집합과의 관계

위상 공간의 부분 집합

A

가 닫힌집합인 것은

\operatorname{cl}A=A

인 것과 동치이다.^[3]

A

의 폐포는

A

를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이며,

A

를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.

2. 3. 내부·경계와의 관계

위상 공간

X

의 부분 집합

A\subseteq X

와 점

x\in X

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$x$ 는 $A$ 의 폐포점이다.
$x$ 는 $A$ 의 내부점이거나 경계점이다.
$x$ 는 $A$ 의 여집합 $X\setminus A$ 의 내부점이 아니다.

즉,

A

의 폐포는

A

의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한

A

의 내부와 경계의 분리 합집합이다.

:

\operatorname{cl}A=X\setminus\operatorname{int}(X\setminus A)

:

\operatorname{cl}A=\operatorname{int}A\sqcup\partial A

반대로,

A

의 경계는

A

와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.

:

\partial A=\operatorname{cl}A\cap\operatorname{cl}(X\setminus A)

3. 성질

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $A,B\subseteq X$ 및 집합족 $\mathcal A$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname{cl}\varnothing=\varnothing$
$\operatorname{cl}X=X$
$\operatorname{cl}(A\cup B)=\operatorname{cl}A\cup\operatorname{cl}B$
$\operatorname{cl}\left(\bigcup\mathcal A\right)\supseteq\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A$
$\operatorname{cl}\left(\bigcap\mathcal A\right)\subseteq\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A$

즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 유한·무한 교집합은 일반적으로 보존하지 않는다. 만약

\mathcal A

가 국소 유한 집합족이라면, 다음이 성립한다.

:

\operatorname{cl}\left(\bigcup\mathcal A\right)=\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A

즉, 국소 유한 집합족의 경우, 폐포는 합집합을 보존한다.

이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다. 비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.

(균등 위상을 갖춘) 균등 공간

(X,\mathcal E)

의 부분 집합

A\subseteq X

의 폐포는

A

의 대칭 측근들에 대한 상들의 교집합과 같다.^[9]

:

\operatorname{cl}A=\bigcap_{E=E^{-1}\in\mathcal E}\{y\colon\exist x\in A\colon(x,y)\in E\}

원순서 집합

(P,\lesssim)

위에 스콧 위상을 주었을 때, 한원소 집합의 폐포는 그 하폐포이다.^[10]

:

\operatorname{cl}\{a\}=\mathop\downarrow a

3. 1. 폐포 연산자

폐포 연산자

집합

X

에 대한 폐포 연산자는

X

의 멱집합에서 자기 자신으로의 사상이며, 쿠라토프스키 폐포 공리를 만족시킨다.

위상 공간

(X, \tau)

가 주어졌을 때, 위상적 폐포는 부분 집합

S \subseteq X

를

\operatorname{cl}_X S

로 보내는 함수

\operatorname{cl}_X : \wp(X) \to \wp(X)

를 유도하며,

\overline{S}

또는

S^{-}

표기가 대신 사용될 수 있다. 반대로,

\mathbb{c}

가 집합

X

에 대한 폐포 연산자이면,

\mathbb{c}(S) = S

를 만족하는 부분 집합

S \subseteq X

를 닫힌 집합으로 정의하여 위상 공간을 얻을 수 있다 (이러한 부분 집합의

X

에서의 여집합은 위상의 열린 집합을 형성한다).^[6]

폐포 연산자

\operatorname{cl}_X

는 쌍대적으로 내부 연산자

\operatorname{int}_X

와 같으며, 이는 다음과 같다.

:

\operatorname{cl}_X S = X \setminus \operatorname{int}_X (X \setminus S),

:

\operatorname{int}_X S = X \setminus \operatorname{cl}_X (X \setminus S).

따라서, 폐포 연산자와 쿠라토프스키 폐포 공리에 대한 추상적인 이론은 집합을

X

에서의 여집합으로 대체하여 내부 연산자의 언어로 쉽게 번역될 수 있다.
폐포 연산자 ⁻는

:

\bar{S} = X\smallsetminus (X\smallsetminus S)^\circ

및

:

S^\circ = X\smallsetminus \overline{X\smallsetminus S}

가 성립한다는 의미에서 내부 연산자 ^o의 쌍대이다. 단, ''X''는 ''S''를 포함하는 위상 공간이며, 역슬래시는 집합론적 차이를 나타낸다.

따라서, 폐포 연산자의 추상론 및 쿠라토프스키의 폐포 공리는 집합과 그 여집합을 바꾸는 연산으로, 즉시 내부 연산자에 대한 것으로 번역할 수 있다.

4. 예

실수의 유클리드 공간 $\mathbb{R}$ 에서, 열린구간 (0, 1)의 폐포는 닫힌구간 [0, 1]이다.
유클리드 공간 $\mathbb{R}$ 에서 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$ 의 폐포는 전체 공간 $\mathbb{R}$ 이다. 이를 통해 $\mathbb{Q}$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 조밀하다고 한다.
복소평면 $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$ 에서 집합 $\{ z \in \mathbb{C} : | z | > 1 \}$ 의 폐포는 $\{ z \in \mathbb{C} : | z | \geq 1 \}$ 이다.
유한 집합의 폐포는 자기 자신이다. (일반적인 위상 공간의 경우, 이 속성은 T₁ 공리와 동등하다.)
하한 극한 위상을 부여한 $X = \mathbb{R}$ 에서 (0, 1)의 폐포는 [0, 1)이다.
모든 집합이 닫힌(열린) 이산 위상을 갖는 $X = \mathbb{R}$ 에서 (0, 1)의 폐포는 (0, 1)이다.
유일한 닫힌(열린) 집합이 공집합과 $\mathbb{R}$ 자체인 자명 위상을 갖는 $X = \mathbb{R}$ 에서 (0, 1)의 폐포는 $\mathbb{R}$ 이다.
이산 공간에서 모든 집합은 자신의 폐포와 같다.
비이산 공간의 공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.
거리 공간에서, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 이산 거리 공간 $(X,d)$ 에서 $x$ 를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 각각 $\operatorname{ball_{open}}(x,1)=\{x\}$ 와 $\operatorname{ball_{closed}}(x,1)=X$ 이지만, $|X|\ge 2$ 인 경우 열린 공의 폐포는 자기 자신이며 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다.^[1]
3차원 공간의 구에서 개 3-공(구의 내부)과 닫힌 3-공(개 3-공과 표면인 개 3-공의 폐포)을 구별할 수 있다.^[2]

5. 추가 정보

폐포는 거리 공간 ''X''에서, 각 ''r'' > 0에 대해 ''S''의 적당한 점 ''y''를 선택하면 ''d''(''x'', ''y'') < ''r''로 할 수 있을 때 점 ''x''가 ''X''의 부분 집합 ''S''의 촉점(폐포점)이라는 것을 통해 정의할 수 있다. 이는 ''x''가

: ''d''(''x'', ''S'') := inf{''d''(''x'', ''s'') : ''s'' ∈ ''S''} = 0

을 만족하는 것과 같다. 이를 "근방" 개념을 사용하여 일반적인 위상 공간으로 확장할 수 있다. 즉, 위상 공간 ''X''의 부분 집합 ''S''에 대해, ''X''의 점 ''x''가 ''S''의 촉점이라는 것은, ''x''의 임의의 근방이 반드시 ''S''의 점을 적어도 하나 포함할 때를 말한다.

집합 ''S''의 '''폐포'''는 ''S''의 접점 전체가 이루는 집합이며, cl(''S''), Cl(''S''), ''S'', ''S''⁻ 등으로 표기한다. 집합의 폐포는 다음과 같은 성질을 가진다.

cl(''S'')는 ''S''를 포함하는 닫힌 집합이다.
cl(''S'')는 ''S''를 포함하는 닫힌 집합 전체의 교집합과 일치한다.
cl(''S'')는 ''S''를 포함하는 최소의 닫힌 집합이다.
집합 ''S''가 닫혀있기 위한 필요충분 조건은 ''S'' = cl(''S'')를 만족하는 것이다.
''S''가 ''T''의 부분 집합이라면 cl(''S'')는 cl(''T'')의 부분 집합이다.
''A''가 닫힌 집합이라면, ''A''가 ''S''를 포함하는 것과 ''A''가 cl(''S'')를 포함하는 것은 동치이다.

제1 가산 공간에서는, cl(''S'')는 ''S'' 내의 모든 수렴 점렬의 극한 전체가 이루는 집합과 일치한다. 일반적인 위상 공간에서는 "점렬"을 "유향족" 또는 "필터"로 바꾼 것이 성립한다.

폐포의 예시는 다음과 같다.

''X''가 실수 전체로 구성된 1차원 유클리드 공간 '''R'''일 때, cl((0, 1)) = [0, 1]이다.
''X'' = '''R'''일 때, 유리수 전체로 구성된 부분 집합 '''Q'''의 폐포는 '''R''' 전체와 일치한다. ('''Q'''는 '''R'''에서 조밀하다.)
''X''를 가우스 평면 '''C''' = '''R'''²라고 하면 cl({''z'' ∈ '''C''' : |''z''| > 1}) = {''z'' ∈ '''C''' : |''z''| ≥ 1}이다.
''S''가 유클리드 공간의 유한 부분 집합이면 cl(''S'') = ''S''가 성립한다. (일반적인 위상 공간에서 이 성질은 T₁ 분리 공리와 동치)

실수 집합 '''R'''에 다른 위상을 적용하면 다른 결과가 나올 수 있다.

''X'' = '''R'''에서 '''R'''에 하한 극한 위상을 적용할 때, cl((0, 1)) = [0, 1)이다.
'''R'''의 모든 부분 집합이 (열린 집합이자) 닫힌 집합인 위상을 고려하면, cl((0, 1)) = (0, 1)이다.
'''R''' 위의 위상에서 공집합과 '''R''' 자체만이 (열린 집합이자) 닫힌 집합인 경우를 고려하면, cl((0, 1)) = '''R'''이다.

이는 주어진 부분 집합의 폐포가 해당 공간의 위상에 의존한다는 것을 보여준다.

이산 공간에서는 임의의 부분 집합이 (열린 집합이자) 닫힌 집합이므로, 임의의 부분 집합은 그 폐포와 일치한다.
밀착 공간 ''X''에서는 (열린 집합이자) 닫힌 집합은 공집합과 ''X'' 자체뿐이므로, 공집합의 폐포는 공집합이며, 공집합이 아닌 임의의 부분 집합 ''A''에 대해서는 cl(''A'') = ''X''가 성립한다. 즉, 밀착 공간의 임의의 공집합이 아닌 부분 집합은 조밀 부분 집합이다.

집합의 폐포는 어느 공간에서 폐포를 취하는지에 따라서도 달라진다. 예를 들어, ''X''를 유리수 집합 '''Q'''에 일반적인 위상을 적용한 것으로 하고, ''S'' = {''q'' ∈ '''Q''' : ''q''² > 2}라고 하면, ''S''는 '''Q'''에서 닫혀 있으며 ''S''의 '''Q'''에서의 폐포는 ''S'' 자체와 일치하지만, ''S''의 유클리드 공간 '''R'''에서의 폐포는

\sqrt{2}

이상의 '''실수''' 전체 집합이 된다.

집합 ''S''가 폐집합이 되기 위한 필요충분 조건은 Cl(''S'') = ''S''를 만족하는 것이다. 공집합의 폐포는 공집합(Cl(∅) = ∅)이며, 전체 집합 ''X''의 폐포는 ''X''와 일치한다(Cl(''X'') = ''X'').

집합족의 교집합의 폐포는 각 집합의 폐포족의 교집합에 포함되지만, 반드시 일치하지는 않는다. 유한 개의 집합의 합집합에 대해서는, 합집합의 폐포와 (각 집합의) 폐포의 합집합과는 일치한다. 무한 개의 합집합에서는 등호가 성립하지 않을 수 있지만, 합집합의 폐포는 폐포의 합집합을 포함한다.

''A''를 위상 공간 ''X''의 ''S''를 포함하는 부분 공간이라고 할 때, ''S''의 ''A''에서의 폐포는, ''S''의 ''X''에서의 폐포와 ''A''와의 교집합과 같다. 즉

:

\text{Cl}_A(S) = A\cap \text{Cl}_X(S)

가 성립한다. 특히, ''S''가 ''A''에서 조밀하게 되기 위한 필요충분 조건은, ''A''가 Cl_''X''(''S'')의 부분 집합이 되는 것이다.

참조

_[1] Harvnb
_[2] Harvnb
_[3] Harvnb
_[4] Harvnb
_[5] Harvnb
_[5] Harvnb
_[5] Harvnb
_[6] Harvnb
_[7] 문서
_[8] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[9] 서적 Topological and Uniform Spaces https://archive.org/[...] Springer-Verlag 1987
_[10] 서적 Continuous lattices and domains Cambridge University Press 2003

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