현수환

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1. 개요

현수환은 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합이 현수 부분 순서 집합일 때, 해당 가환환을 일컫는 용어이다. 보편 현수환은 가환환 R 위의 모든 유한 생성 가환 결합 대수가 현수환일 때를 의미하며, 현수환은 아니지만 보편 현수환인 환의 예시가 존재한다.

현수환

정의

정의	가환환 R은 다음 조건을 만족하면 사슬환이라고 한다. R의 임의의 두 소수 아이디얼 p ⊂ q에 대해 p = p₀ ⊊ p₁ ... ⊊ pₙ = q인 소수 아이디얼의 사슬이 존재하고, 모든 i에 대해 pᵢ ⊊ pᵢ₊₁은 연속적이다. 또한, 임의의 두 사슬의 길이 n은 같다.

추가 정보

보편적인 사슬환	가환환 R이 R의 모든 유한 생성 대수적 확대가 사슬환이면 보편적인 사슬환이라고 한다.
참고	대수 다양체의 차원

다른 언어

영어	en

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 차원 공식
- 4.1. 일반적인 차원 공식
- 4.2. 보편 현수환에 대한 차원 공식
5. 예시
- 5.1. 보편 현수환의 예시
- 5.2. 현수환이지만 보편 현수환이 아닌 환

2. 정의

현수환(catenary ring^영어)은 가환환의 일종으로, 소 아이디얼들의 부분 순서 집합이 현수 부분 순서 집합인 환이다. 대수기하학적으로, 현수환 조건은 이 환에 대응하는 스킴에서 두 닫힌 부분 스킴의 상대 크룰 차원이 일정함을 뜻한다.

2.1. 현수 부분 순서 집합

부분 순서 집합 $(S,\le)$ 에서 다음 두 조건을 만족시키는 부분 순서 집합을 현수 부분 순서 집합(catenary poset^영어)이라고 한다.

* 임의의 두 원소 $p\le q$ 에 대하여, $p$ 를 최소 원소로, $q$ 를 최대 원소로 하는 사슬의 크기는 항상 유한하다.
* 임의의 두 원소 $p\le q$ 에 대하여, $p$ 를 최소 원소로, $q$ 를 최대 원소로 하는 모든 포화 사슬의 크기는 같다.

부분 순서 집합 $(S,\le)$ 속의 유한 길이의 사슬 $a_0\le a_1\le\cdots\le a_n$ 에 대하여, 새 원소를 추가할 수 없다면 (즉, 임의의 $1\le i\le n$ 에 대하여 $a_{i-1}\le a'\le a_i$ 인 원소 $a'$ 이 존재할 수 없다면), 이 사슬을 포화 사슬(saturated chain^영어)이라고 한다.

2.2. 현수환

가환환 $R$ 의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합이 현수 부분 순서 집합이라면, $R$ 를 현수환(catenary ring^영어)이라고 한다.

마찬가지로, 위상 공간 $X$ 의 공집합이 아닌 기약 닫힌집합들의 부분 순서 집합이 현수 부분 순서 집합이라면, $X$ 를 현수 공간(catenary space^영어)이라고 한다. 현수 스킴(catenary scheme^영어)은 위상 공간으로서 현수 공간인 스킴이다.

대수기하학적으로, 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 은 닫힌 부분 스킴 $\operatorname{Spec}(R/\mathfrak p)\subseteq\operatorname{Spec}R$ 에 대응한다. 현수환 조건은 이러한 두 닫힌 부분 스킴의 상대 크룰 차원이 일정함을 뜻한다.

2.3. 현수 공간과 현수 스킴

위상 공간 $X$ 의 공집합이 아닌 기약 닫힌집합들의 부분 순서 집합이 현수 부분 순서 집합이라면, $X$ 를 현수 공간(catenary space^영어)이라고 한다. 현수 스킴(catenary scheme^영어)은 위상 공간으로서 현수 공간인 스킴이다.

2.4. 보편 현수환

가환환 $R$ 위의 모든 유한 생성 가환 결합 대수가 현수환이라면, $R$ 를 보편 현수환(普遍懸垂環, universally catenary ring^영어)이라고 한다.

3. 성질

현수환은 가환 뇌터 국소환, 코언-매콜리 국소환 등과 관련된 다양한 성질을 가진다. 모든 데데킨트 정역 및 모든 완비 뇌터 국소환은 보편 현수환이다. 보편 현수환의 임의의 곱셈 부분 모노이드에서의 국소화 및 보편 현수환 위의 유한 생성 가환 결합 대수 또한 보편 현수환이다.

3.1. 포함 관계

가환 뇌터 국소환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

: 가환 뇌터 국소환 ⊋ 뇌터 현수 국소환 ⊋ 뇌터 보편 현수 국소환 ⊋ 코언-매콜리 국소환 ⊋ 고런스틴 국소환 ⊋ 정칙 국소환

3.2. 보편 현수환의 성질

가환환 뇌터 국소환에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:가환 뇌터 국소환 ⊋ 뇌터 현수 국소환 ⊋ 뇌터 보편 현수 국소환 ⊋ 코언-매콜리 국소환 ⊋ 고런스틴 국소환 ⊋ 정칙 국소환

모든 데데킨트 정역은 보편 현수환이다. 모든 완비 뇌터 국소환은 보편 현수환이다.

보편 현수환의 임의의 곱셈 부분 모노이드에서의 국소화는 보편 현수환이다. 보편 현수환 위의 유한 생성 가환 결합 대수는 보편 현수환이다.

3.3. 국소성

가환환 R에 대하여, 다음 세 조건들은 서로 동치이다.

* 현수환이다.
* 모든 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대하여, $R_{\mathfrak p}$ 는 국소 현수환이다.
* 모든 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 에 대하여, $R_{\mathfrak m}$ 는 국소 현수환이다.

가환 뇌터 환 R에 대하여, 다음 세 조건들은 서로 동치이다.

* 보편 현수환이다.
* 모든 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대하여, $R_{\mathfrak p}$ 는 국소 보편 현수환이다.
* 모든 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 에 대하여, $R_{\mathfrak m}$ 는 국소 보편 현수환이다.

4. 차원 공식

뇌터 정역과 그 위의 유한 생성 가환 결합 대수 사이의 차원 관계를 나타내는 공식이다.

4.1. 일반적인 차원 공식

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* 뇌터 정역 $R$ 및 그 위의 유한 생성 가환 결합 대수 $S\supseteq R$ . 또한 $S$ 역시 정역이다.
* $S$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak q\in\operatorname{Spec}S$ 및 $R$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak p=\mathfrak q\cap R\in\operatorname{Spec}R$

그렇다면, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{ht}(\mathfrak q)\le \operatorname{ht}(\mathfrak p)+ \operatorname{tr\,deg}_RS-\operatorname{tr\,deg}_{\operatorname{Frac}(R/\mathfrak p)}(\operatorname{Frac}(S/\mathfrak q))$

여기서

* $\operatorname{Frac}$ 은 정역의 분수체를 뜻한다.
* $\operatorname{ht}$ 는 아이디얼의 높이를 뜻한다.
* $\operatorname{tr\,deg}$ 는 체의 확대의 초월 차수를 뜻한다.

만약 $R$ 가 추가로 보편 현수환이라면, 위 부등식은 등식이 된다.

만약 A가 뇌터 정역이고, B가 A를 포함하며 A 위에서 유한 생성된 정역이라고 가정하자. P가 B의 소 아이디얼이고, p가 A와의 교집합이라면,

: $\text{height}(P)\le \text{height}(p)+ \text{tr.deg.}_A(B) - \text{tr.deg.}_{\kappa(p)}(\kappa(P)).$

보편적 사슬 조건을 만족하는 환에 대한 차원 공식은 A가 보편적 사슬 조건을 만족할 경우 등식이 성립한다고 말한다. 여기서 κ(P)는 P의 잉여류체를 의미하며, tr.deg.는 초월 차수(몫체에 대한)를 의미한다. 사실, A가 보편적 사슬 조건을 만족하지 않더라도, $B=A[x_1,\dots,x_n]$ 일 경우 등식이 성립한다.

$A$ 를 뇌터 정역, $B$ 를 $A$ 위 유한 생성 정역이라고 하자. $P$ 를 $B$ 의 소 아이디얼, $p$ 를 이와 $A$ 의 교집합이라고 할 때,

: $\text{height}(P)\le \text{height}(p)+ \text{tr.deg.}_A(B) - \text{tr.deg.}_{\kappa(p)}(\kappa(P))$

가 성립한다. $A$ 가 강사슬환이면 등식이 성립하며, 이를 강사슬환의 차원 공식이라고 한다.

여기서, $\kappa(P)$ 는 $P$ 의 잉여류체이고, $\text{tr.deg.}$ 는 (분수체의) 초월 차수이다.

또한, $A$ 가 강사슬이 아니더라도 $B=A[x_1,\dots,x_n]$ 이면, 등식은 역시 성립한다.

4.2. 보편 현수환에 대한 차원 공식

뇌터 정역 $R$ 위의 유한 생성 가환 결합 대수이자 정역인 $S\supseteq R$ 가 주어졌다고 하자. $S$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak q\in\operatorname{Spec}S$ 와 $R$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak p=\mathfrak q\cap R\in\operatorname{Spec}R$ 에 대해, 다음 부등식이 성립한다.

: $\operatorname{ht}(\mathfrak q)\le \operatorname{ht}(\mathfrak p)+ \operatorname{tr\,deg}_RS-\operatorname{tr\,deg}_{\operatorname{Frac}(R/\mathfrak p)}(\operatorname{Frac}(S/\mathfrak q))$

여기서
* $\operatorname{Frac}$ 은 정역의 분수체이다.
* $\operatorname{ht}$ 는 아이디얼의 높이이다.
* $\operatorname{tr\,deg}$ 는 체의 확대의 초월 차수이다.

만약 $R$ 가 보편 현수환이라면, 위 부등식은 등식이 된다. 이를 보편적 사슬 조건을 만족하는 환에 대한 차원 공식이라고 한다.

$A$ 가 뇌터 정역이고, $B$ 가 $A$ 를 포함하며 $A$ 위에서 유한 생성된 정역이라고 하자. $P$ 가 $B$ 의 소 아이디얼이고, $p$ 가 $A$ 와의 교집합이라면, 다음 부등식이 성립한다.

: $\text{height}(P)\le \text{height}(p)+ \text{tr.deg.}_A(B) - \text{tr.deg.}_{\kappa(p)}(\kappa(P))$

여기서 κ(P)는 P의 잉여류체를 의미하며, tr.deg.는 몫체에 대한 초월 차수를 의미한다.

$A$ 가 강사슬환이면 위 부등식은 등식이 성립하며, 이를 강사슬환의 차원 공식이라고 한다. $A$ 가 강사슬이 아니더라도 $B=A[x_1,\dots,x_n]$ 이면 등식이 성립한다.

5. 예시

대수기하학에서 나타나는 다양한 현수환의 예시를 제시한다. 대수기하학에 등장하는 거의 모든 뇌터 환은 보편적으로 사슬적이다.

5.1. 보편 현수환의 예시

대수기하학에서 자주 다루는 거의 대부분의 뇌터 환은 보편적으로 사슬적이다. 다음은 보편적으로 사슬적인 환들의 예시다.

* 완비 뇌터 국소환
* 데데킨트 정역(및 체)
* 코헨-매콜리 환(및 정칙 국소환)
* 보편적으로 사슬적인 환의 모든 국소화
* 보편적으로 사슬적인 환 위의 모든 유한 생성 대수

5.2. 현수환이지만 보편 현수환이 아닌 환

나가타 마사요시는 현수환이지만 보편 현수환이 아닌 환의 예시를 제시하였다. 이 예시는 2차원 뇌터 국소 정역이며, 동시에 우수환이 아닌 준-우수환의 예시이기도 하다.

나가타가 제시한 예시는 다음과 같다. 먼저 체 k와 k 위의 x에 대한 형식적 멱급수환 S를 정의한다. 이때, z와 x가 대수적으로 독립이 되도록 하는 형식적 멱급수 z=Σ_i>0a_ixⁱ를 선택한다. 여기서 z₁ = z 이고, i > 1 에 대해 z_i+1=z_i/x–a_i 로 정의한다.

다음으로, R을 x와 모든 z_i에 의해 생성되는 링으로 정의한다. m을 x로 생성되는 아이디얼 (x), n을 x–1과 모든 z_i로 생성되는 아이디얼로 정의한다. R의 국소화 R_m은 차원이 1인 정칙 국소 링이고, R_n은 차원이 2인 정칙 노터리안 국소 링이다.

이제 B를 m 또는 n에 포함되지 않는 모든 원소에 대한 R의 국소화라고 정의한다. 그러면 B는 mB(높이 1)와 nB(높이 2)라는 두 개의 극대 아이디얼을 갖는 2차원 노터리안 준국소 링이 된다.

마지막으로 I를 B의 야콥슨 근기로 정의하고, A = k+I라고 하면, A는 극대 아이디얼 I를 갖는 2차원 국소 정역이므로 연쇄적이다. 또한 A는 B가 노터리안이고 B가 유한 A-가군이므로 노터리안이다. 그러나 A는 보편적 연쇄환이 아니다. 만약 A가 보편적 연쇄환이라면, 보편적 연쇄환에 대한 차원 공식에 의해 B의 아이디얼 mB는 mB∩A와 같은 높이를 가져야 한다. 하지만 mB∩A의 높이는 dim(A)=2 이므로, A는 보편적 연쇄환이 될 수 없다.