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SU(2)의 표현론

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목차

1. 개요

SU(2)의 표현론은 SU(2) 리 대수의 표현을 연구하며, 군 표현은 두 개의 복소수 변수의 다항식 공간에서 실현될 수 있다. SU(2)는 단일 연결되어 리 대수의 모든 표현이 군 표현으로 통합될 수 있다. SU(2)의 표현은 카시미르 원소와 가중치를 통해 분석되며, 가장 중요한 기약 표현은 물리학에서 스핀, 아이소스핀, 회전 등을 설명하는 데 활용된다.

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2. 리 대수 표현

SU(2) 군의 표현은 \mathfrak{su}(2)의 표현을 고려하여 찾을 수 있다. SU(2)는 단일 연결되어 있으므로, 이 리 대수의 모든 표현은 군 표현으로 적분될 수 있다.[1]

특수 선형 리 대수의 표현론도 참고할 수 있다.

2. 1. 실수 리 대수와 복소화된 리 대수

실수 리 대수 \mathfrak{su}(2)는 다음과 같은 기저로 표현된다.[14]

:u_1 = \begin{bmatrix}

0 & i\\

i & 0

\end{bmatrix} ,\qquad

u_2 = \begin{bmatrix}

0 & -1\\

1 & ~~0

\end{bmatrix} ,\qquad

u_3 = \begin{bmatrix}

i & ~~0\\

0 & -i

\end{bmatrix}~,



이 기저 행렬들은 파울리 행렬과 관련이 있다. (u_1 = +i\ \sigma_1 \;, \, u_2 = -i\ \sigma_2 \;, u_3 = +i\ \sigma_3). 이 행렬들은 사원수를 표현한다.

: u_1\,u_1 = -I\, , ~~\quad u_2\,u_2 = -I \, , ~~\quad u_3\,u_3 = -I\, ,

: u_1\,u_2 = +u_3\, , \quad u_2\,u_3 = +u_1\, , \quad u_3\,u_1 = +u_2\, ,

: u_2\,u_1 = -u_3\, , \quad u_3\,u_2 = -u_1\, , \quad u_1\,u_3 = -u_2 ~.

여기서 I는 2×2 단위 행렬이다. ~~I = \begin{bmatrix}

1 & 0\\

0 & 1

\end{bmatrix} ~.

따라서, 행렬의 교환자는 다음을 만족한다.

:[u_1, u_2] = 2 u_3\, ,\quad [u_2, u_3] = 2 u_1\, ,\quad [u_3, u_1] = 2 u_2 ~.

표현을 다루기 용이하게 하기 위해 복소화된 리 대수 \mathfrak{sl}(2;\mathbb C)를 도입한다.[3]

:\mathrm{su}(2) + i\,\mathrm{su}(2) = \mathrm{sl}(2;\mathbb C) ~.

복소화를 하는 이유는 실수 리 대수에는 존재하지 않는 유형의 좋은 기저를 구성할 수 있게 해주기 때문이다. 복소화된 리 대수는 다음과 같은 세 원소 X, Y, H로 구성된다.

:

H = \frac{1}{i}u_3, \qquad

X = \frac{1}{2i}\left(u_1 - iu_2\right), \qquad

Y = \frac{1}{2i}(u_1 + iu_2) ~;



명시적으로,

:

H = \begin{bmatrix}

1 & ~~0\\

0 & -1

\end{bmatrix}, \qquad

X = \begin{bmatrix}

0 & 1\\

0 & 0

\end{bmatrix}, \qquad

Y = \begin{bmatrix}

0 & 0\\

1 & 0

\end{bmatrix}

~.

군의 곱셈표의 자명하지 않거나 동일하지 않은 부분은 다음과 같다.

: H \, X ~=~~~~X ,\qquad H \, Y ~= -Y ,\qquad X \, Y ~=~ \tfrac{1}{2}\left(I + H \right),

: X \, H ~= -X ,\qquad Y \, H ~=~~~~Y ,\qquad Y \, X ~=~ \tfrac{1}{2}\left(I - H \right),

: H \, H ~=~~~I~ ,\qquad X \, X ~=~~~~O ,\qquad Y \, Y ~=~ ~O ~~;

여기서 O는 2×2 영행렬이다. 따라서 이들의 교환자는 다음과 같다.

:[H, X] = 2\,X \,, \qquad [H, Y] = -2\,Y \,, \qquad [X, Y] = H ~.

H, X, Y는 각각 각운동량 연산자 J_z, J_+, J_-와 동일시될 수 있다. (단, 인수 2가 다르다.)

H에 대한 고유값은 표현의 '''가중치'''라고 한다. v가 고유값 \alpha를 갖는 H의 고유벡터이면(H v = \alpha v), 다음이 성립한다.

:\begin{alignat}{5}

H (X v) &= (X H + [H,X]) v &&= (\alpha + 2) X v,\\[3pt]

H (Y v) &= (Y H + [H,Y]) v &&= (\alpha - 2) Y v.

\end{alignat}

즉, Xv는 영벡터이거나 고유값 \alpha + 2를 갖는 H의 고유벡터이고, Yv는 영벡터이거나 고유값 \alpha - 2를 갖는 H의 고유벡터이다. 따라서, X는 가중치를 2만큼 증가시키는 '''상승 연산자'''이고, Y는 '''하강 연산자'''이다.

2. 2. 가중치와 표현의 구조

H의 고윳값은 표현의 '''가중치'''라고 불린다.[15] v가 고윳값 \alpha에 대한 H의 고유벡터라면, 즉 H v = \alpha v이면, 다음이 성립한다.

:\begin{align}

H (X v) &= (\alpha + 2) X v,\\[3pt]

H (Y v) &= (\alpha - 2) Y v.

\end{align}

즉, Xv는 영벡터이거나 고윳값 \alpha + 2를 갖는 H의 고유벡터이고, Yv는 영벡터이거나 고윳값 \alpha - 2를 갖는 H의 고유벡터이다. 따라서 X는 가중치를 2만큼 증가시키는 '''상승 연산자'''로, Y는 '''하강 연산자'''로 작용한다.

이제 V가 복소화된 리 대수의 기약 유한차원 표현이라고 가정하자. 그러면 H는 유한 개의 고윳값만 가질 수 있다. 특히, \lambda + 2가 고윳값이 아닌 마지막 고윳값 \lambda \in \mathbb{C}가 존재한다. v_0를 고윳값 \lambda에 대한 H의 고유벡터라고 하면(H v_0 = \lambda v_0), X v_0 = 0이 성립한다.

벡터 v_0, v_1, \ldots의 사슬을 v_k = Y^k v_0로 정의하면, 수학적 귀납법에 의해 모든 k = 1, 2, \ldots에 대해 X v_k = k(\lambda - (k - 1))v_{k-1}이 성립한다.[16] v_k가 영벡터가 아니면, H의 고윳값 \lambda - 2k에 대한 고유벡터이다. H는 유한 개의 고유벡터만 가지므로, 어떤 \ell에 대해 v_\ell = 0이어야 한다.

v_m을 사슬의 마지막 0이 아닌 벡터라고 하자(v_m \neq 0, v_{m+1} = 0). 그러면 X v_{m+1} = 0이고, 0 = X v_{m+1} = (m + 1)(\lambda - m)v_m이 성립한다. m + 1은 최소한 1이고 v_m \neq 0이므로, \lambda는 음이 아닌 정수 m과 같다.

따라서 m + 1개의 벡터 v_0, v_1, \ldots, v_m의 사슬을 얻는다. 여기서 Y는 Y v_m = 0, Y v_k = v_{k+1} (k < m)로 작용하고, X는 X v_0 = 0, X v_k = k(m - (k - 1)) v_{k-1} (k \ge 1)로 작용하며, H는 H v_k = (m - 2k) v_k로 작용한다.

벡터 v_k는 서로 다른 고윳값을 갖는 H의 고유벡터이므로 선형 독립이다. 또한, v_0, \ldots, v_m으로 생성된 집합은 복소화된 리 대수의 작용에 대해 불변이다. V가 기약이므로, 이 생성된 집합은 V와 같아야 한다. 따라서 기약 표현의 구조에 대한 완전한 설명을 얻게 된다.

'''결론''': 음이 아닌 정수 m 각각에 대해 최대 가중치 m을 갖는 유일한 기약 표현이 있다. 각각의 기약 표현은 이들 중 하나와 동일하다. 최대 가중치 m인 표현은 m + 1차원이고 중복도 1인 가중치 m, m - 2, \ldots, -(m - 2), -m을 갖는다.[17]

2. 3. 카시미르 원소

이제 (2차) 카시미르 원소 ''C''를 다음과 같이 소개한다.

:''C'' = -(u12 + u22 + u32)

''C''를 보편 포락 대수의 원소로 볼 수도 있고, 각 기약 표현에서의 연산자로 볼 수도 있다. 최고 무게 ''m''을 갖는 표현에서 ''C''를 연산자로 보면, ''C''가 각 ui와 교환됨을 쉽게 계산할 수 있다. 따라서 슈어의 보조정리에 의해, ''C''는 각 ''m''에 대해 항등원의 스칼라 배수로 작용한다. ''C''를 { ''H'', ''X'', ''Y'' } 기저로 표현하면 다음과 같다.

:''C'' = (''X'' + ''Y'')2 - (-''X'' + ''Y'')2 + ''H''2

이를 정리하면

:''C'' = 4''YX'' + ''H''2 + 2''H''

최고 무게가 ''m''인 표현에서 ''C''의 고유값은 ''X''에 의해 소멸되는 최고 무게 벡터에 ''C''를 적용하여 계산할 수 있으며, 그 값은 다음과 같다.

:cm = ''m''2 + 2''m'' = ''m''(''m'' + 2)

물리학 문헌에서 카시미르 원소는 C' = (1/4)C 로 정규화된다. \ell = \frac{1}{2}m 로 표시하면 ''C''′의 고유값 dℓ는 다음과 같이 계산된다.

:dℓ = (1/4)(2ℓ)(2ℓ + 2) = ℓ(ℓ + 1)

3. 군 표현

SU(2)는 단일 연결되어 있으므로, 일반적인 결과에 따라 (복소화된) 리 대수의 모든 표현은 SU(2) 자체의 표현으로 이어진다. 그러나 그룹 수준에서 표현을 명시적으로 실현하는 것이 바람직하며, 이는 두 개의 복소 변수에 대한 다항식 공간에서 가능하다.[7]

(자세한 내용은 하위 섹션 "다항식에 대한 작용"에서 다룬다.)

3. 1. 다항식에 대한 작용

단일 연결인 SU(2)는 일반적인 결과에 따라 (복소화된) 리 대수의 모든 표현이 SU(2) 자체의 표현으로 이어진다. 그러나 군 수준에서 표현을 명시적으로 구현하는 것이 바람직하다. 군 표현은 두 개의 복소수 변수의 다항식 공간에서 실현될 수 있다.[18] 음이 아닌 각 정수 m에 대해, V_m를 복소 이변수 m차 동차 다항식 p의 공간이라 하자. 그러면 V_m의 차원은 m + 1이다. 다음과 같이 각각 V_m에 대한 \mathrm{SU}(2)의 자연스러운 작용이 있다.

:[U \cdot p](z) = p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in\mathbb C^2,\, U\in\mathrm{SU}(2) .

관련된 리 대수 표현은 이전 절에서 설명한 것이다. (다항식 공간에 대한 리 대수의 작용에 대한 명시적인 공식은 여기를 참조.)

3. 2. 특성

표현 \Pi: G \rightarrow \operatorname{GL}(V)의 특성은 함수 \Chi: G \rightarrow \mathbb{C}이며, 다음과 같이 정의된다.

:\Chi(g) = \operatorname{trace}(\Pi(g))

특성은 콤팩트 군 표현에서 중요한 역할을 한다. 특성은 클래스 함수, 즉 켤레 불변인 것으로 쉽게 확인할 수 있다.[19]

SU(2)의 경우, 특성이 클래스 함수라는 사실은 극대 원환면 T의 값에 의해 결정됨을 의미한다. 원소는 스펙트럼 정리에 따라 직교 대각선화 가능하므로, \mathrm{SU}(2)의 대각 행렬로 구성된다. 가장 높은 가중치 m를 갖는 기약 표현은 가중치 m, m - 2, \ldots, -(m - 2), -m를 갖기 때문에, 연관된 특성은 다음을 만족한다.

:\Chi\left(\begin{pmatrix}

e^{i\theta} & 0\\

0 & e^{-i\theta}

\end{pmatrix}\right) = e^{im\theta} + e^{i(m-2)\theta} + \cdots + e^{-i(m-2)\theta} + e^{-im\theta}.

이 표현식은 유한 기하 급수로, 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:\Chi\left(\begin{pmatrix}

e^{i\theta} & 0\\

0 & e^{-i\theta}

\end{pmatrix}\right) = \frac{\sin((m + 1)\theta)}{\sin(\theta)}.

이 마지막 표현은 \mathrm{SU}(2)에 대한 바일 지표 공식을 나타낸다.[20]

3. 3. SO(3) 표현과의 관계

표현의 모든 가중치는 짝수(만약 m이 짝수)이거나 모든 가중치가 홀수(m이 홀수인 경우)이다. 물리적 측면에서 이러한 구별은 중요하다. 짝수 가중치 표현은 회전 군 SO(3)의 일반적인 표현에 해당한다.[21] 대조적으로, 홀수 가중치를 갖는 표현은 사영 표현이라고도 알려진 SO(3)의 이중 값(스피너) 표현에 해당한다.

물리학의 관례에서는 m이 짝수이면 l이 정수이고, m이 홀수이면 l이 반정수이다. 이 두 가지 경우는 각각 정수 스핀과 반정수 스핀으로 설명된다. 홀수 양의 값 m을 갖는 표현은 \mathrm{SU}(2)를 충실하게 표현하는 반면, 음수가 아닌 짝수 m을 갖는 \mathrm{SU}(2)의 표현은 충실하지 않다.[22]

4. 가장 중요한 기약 표현과 그 응용

m = 1 (l = 1/2) 표현은 SU(2)의 기본 표현인 '''2''' 표현이다. SU(2)의 원소가 복소수 2 × 2 행렬로 작성되면 이는 단순히 열 2-벡터의 곱셈이다. 물리학에서는 스핀-1/2로 알려져 있으며, 역사적으로는 사원수의 곱셈(보다 정확하게는 단위 쿼터니언의 곱셈)으로 알려져 있다. 이 표현은 회전 군 SO(3)의 이중 값 사영 표현으로 볼 수도 있다.

m = 2 (l = 1) 표현은 '''3''' 표현, 딸림표현이다. SO(3)의 표준 표현인 3차원 회전을 설명하므로 실수 만으로도 충분하다. 물리학자들은 벡터 중간자와 같은 거대한 스핀-1 입자를 설명하기 위해 이를 사용하지만, 스핀 상태를 물리적 3-공간의 기하학에 고정시키기 때문에 스핀 이론에 대한 중요성은 훨씬 더 높다.

m = 3 (l = 3/2) 표현은 Δ와 같은 특정 중입자에 대한 입자 물리학에서 사용된다.

SU(2)의 표현은 유클리드 3차원 공간의 회전 군을 이중으로 덮기 때문에 비상대론적 스핀을 설명한다. 상대론적 스핀은 SU(2)의 상위군인 SL2('''C''')의 표현론으로 설명되며, 이는 유사한 방식으로 회전군의 상대론적 버전인 SO+(1;3)을 덮는다. SU(2) 대칭은 또한 집합적으로 ''아이소스핀''으로 알려진 아이소바릭 스핀과 약한 아이소스핀의 개념을 지원한다.

5. 또 다른 접근법

보렐-베유-보트 정리를 통해 SU(2) 표현을 이해할 수 있다.[1]

참조

[1] 논문
[2] 논문
[3] 논문
[4] 논문
[5] 논문
[6] 논문
[7] 논문
[8] 웹사이트 Conjugacy classes in $SU_2$ https://math.stackex[...] 2021-01-10
[9] 논문
[10] 논문
[11] 서적 Group Theory for Physicists https://books.google[...] World Scientific Publishing Company 2007-11-28
[12] 논문
[13] 논문
[14] 논문
[15] 논문
[16] 논문
[17] 논문
[18] 논문
[19] 웹사이트 Conjugacy classes in $SU_2$ https://math.stackex[...] 2021-01-10
[20] 논문
[21] 논문
[22] 서적 Group Theory for Physicists https://books.google[...] World Scientific Publishing Company 2007-11-28


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