T-이중성

3. 보손 끈 이론에서의 T-이중성

보손 끈 이론에서 T-이중성은 반지름 $R$을 가진 원에서 전파되는 끈 이론과 반지름 $\backslash alpha\text{'}/R$을 가진 원에서 전파되는 끈 이론이 서로 동등하다는 것을 의미한다. 여기서 $\backslash alpha\text{'}$는 끈의 장력을 나타내는 기울기 매개변수이다.

끈 이론에서는 입자를 0차원 점이 아닌 1차원의 끈으로 모델링한다. 우리가 일상적으로 경험하는 3차원 공간 외에도, 끈 이론에서는 원처럼 말려 있는 콤팩트 차원이 존재할 수 있다. 정원 호스를 멀리서 보면 1차원 선처럼 보이지만, 가까이 다가가면 2차원 둘레를 가지는 것처럼, 콤팩트 차원도 마찬가지이다.

반지름 $R$인 원으로 콤팩트화된 보존 끈 이론에서, 끈은 콤팩트 차원 내에서 운동량 $p$를 가질 수 있으며, 이 운동량은 $1/R$ 단위로 양자화된다. 즉,

:$$

p=\frac{n}{R}



(여기서 $n$은 정수)이다.

또한 닫힌 끈은 콤팩트 차원을 감을 수 있는데, 감은 횟수를 감음수 $w$라고 한다. 닫힌 끈의 질량은 다음과 같이 표현된다.

:$$

m^2=\frac{n^{2}}{R^{2}}+\frac{w^{2}R^{2}}{\alpha^{\prime 2}}+\frac{2}{\alpha'}\left(N+\tilde{N}-2\right)



여기서 $N$과 $\backslash tilde\{N\}$은 닫힌 끈의 좌, 우 이동 여기 상태이다.

이 식은 다음 변환에 대해 불변이다.

:$$

R\leftrightarrow \alpha'/R\quad n\leftrightarrow w



즉, 반지름 $R$인 경우와 $\backslash alpha\text{'}/R$인 경우, 운동량과 감음수를 서로 바꾸면 닫힌 끈의 질량 스펙트럼은 동일하게 유지된다. 닫힌 끈의 상호작용 또한 이 변환에서 불변이다. 따라서 반지름 $R$로 콤팩트화된 닫힌 보존 끈 이론은 반지름 $\backslash alpha\text{'}/R$로 콤팩트화된 이론과 동등하다.

3. 1. 닫힌 끈의 T-이중성

3. 2. 열린 끈과 D-막의 T-이중성

4. 초끈 이론에서의 T-이중성

초끈 이론에서 T-이중성은 ⅡA와 ⅡB종 이론, HE와 HO 이론을 각각 서로 연관짓는다. T-이중성은 끈 이론에서 나타나는 일반적인 이중성의 한 예시이다. 이중성이란 겉보기에는 서로 다른 두 이론이 실제로는 동일한 현상을 설명하는 다른 방식임을 의미한다.

4. 1. IIA와 IIB 이론의 관계

4. 2. 잡종 끈 이론의 관계

4. 3. I'종 이론 (IA종 이론)

4. 4. 부셔 규칙

• 1은 T-이중성을 취하는 방향의 좌표의 지표이며, $i,j$는 다른 방향의 좌표의 지표이다.
• $g$는 중력장이다.
• $B$는 캘브-라몽 장이다.
• $\backslash Phi$는 딜라톤이다.

5. 초중력의 T-이중성

초끈 이론의 저에너지 극한인 초중력에서도 T-이중성이 나타난다. 10차원 ⅡA 초중력과 ⅡB 초중력을 각각 원 위에 축소화하면 9차원에서는 동일한 $\backslash mathcal\; N=2$ 초중력을 얻게 된다. 이는 비축소화된 ⅡA와 ⅡB 이론이 하나의 축소화 초중력 모듈러스 공간의 경계에 위치한다는 것을 의미한다.

9차원으로 축소화하면 9차원 보손 장들의 종류와 개수가 같아진다. ⅡB 라몽-라몽 4차 형식의 장세기는 자기 쌍대(self-dual^영어)이므로, 축소화하면 4차 형식을 남기지 않는다.

5. 1. IIA와 IIB 초중력의 관계

ⅡB 초중력의 보손 장과 이를 축소화하여 얻는 장들은 다음과 같다.

(ⅡB 라몽-라몽 4차 형식의 장세기는 자기 쌍대(self-dual^영어)이므로, 축소화하면 4차 형식을 남기지 않는다.)

따라서 9차원으로 축소화하면 9차원 보손 장들의 종류와 개수가 같아지는 것을 알 수 있다.

6. 위상 T-이중성

T-이중성은 원과의 곱공간 대신 원을 올로 하는 올다발에 대하여 적용될 수 있다. 이 경우 T-이중성은 서로 위상 동형이지 않을 수 있는 올다발 사이의 쌍대성을 정의한다.

7. 거울 대칭과의 관계

7. 1. SYZ 추측

8. 역사

오사카 대학의 깃카와 게이지(吉川 圭二|きっかわ けいじ^일본어)와 야마사키 마사미(山崎 眞見|やまさき まさみ^일본어)가 1984년에^[22], 도쿄 공업대학의 사카이 노리스케(坂井 典佑|さかい のりすけ^일본어)와 센다 이쿠오(仙田 郁夫|せんだ いくお^일본어)가 1986년에^[23] 초기적인 형태로 도입하였다. 토머스 헨리 부셔(Thomas Henry Buscher^영어)^[24][25][26]와 마르틴 로체크(Martin Roček^cs), 에리크 페터르 페를린더(Erik Peter Verlinde^nl)^[27]가 이를 개량하고 확장하였다.

오늘날에는 이와 같은 가환(Abelian) T-이중성 말고도, 이를 일반화한 비가환 T-이중성^[28]과 페르미온 T-이중성^[29][30]이 알려져 있다. 또한, 거울 대칭도 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.^[31]

참조

_[1] 논문 Sathiapalan 1987
_[2] 논문 Seiberg 2006
_[3] 논문 Sathiapalan 1987
_[4] 논문 Greene 2000
_[5] 논문 Witten 1995
_[6] 논문 Candelas et al. 1985
_[7] 논문 Dixon 1988; Lerche, Vafa, and Warner 1989
_[8] 논문 Zaslow 2008
_[9] 논문 Strominger, Yau, and Zaslow 1996
_[10] 논문 Yau and Nadis 2010
_[11] 논문 Yau and Nadis 2010
_[12] 논문 Yau and Nadis 2010
_[13] 웹사이트 T-duality in nlab http://ncatlab.org/n[...]
_[14] 웹사이트 Generalised complex geometry and T-duality http://www.staff.sci[...] 2013-10-29
_[15] 웹사이트 Looking for extra dimensions http://www.superstri[...]
_[16] 저널 Target space duality in string theory
_[17] 저널 An introduction to T-duality in string theory 1995-04
_[18] 서적 String Theory and M-Theory: A Modern Introduction Cambridge University Press 2006-12
_[19] 서적 String Theory, Volume 1: An introduction to the bosonic string Cambridge University Press
_[20] 서적 Introduction to conformal field theory with applications to string theory Springer-Verlag
_[21] 서적 The many faces of the superworld: Yuri Golfand memorial volume World Scientific 2010-07
_[22] 저널 Casimir effects in superstring theories 1984-12-20
_[23] 저널 Vacuum energies of string compactified on torus
_[24] 저널 Quantum corrections and extended supersymmetry in new σ-models 1985-09-19
_[25] 저널 A symmetry of the string background field equations 1987-07-30
_[26] 저널 Path-integral derivation of quantum duality in nonlinear sigma-models 1988-02-18
_[27] 저널 Duality, quotients and currents 1992-04-13
_[28] 저널 Recent developments in non-Abelian T-duality in string theory 2011-11
_[29] 저널 Dual superconformal symmetry, and the amplitude/Wilson loop connection 2008-09-11
_[30] 저널 Fermionic T-duality: a snapshot review 2012-11-20
_[31] 저널 Mirror symmetry is ''T''-duality 1996-11-11