고전군

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
4. 성질
5. 역사
참조

1. 개요

고전군은 실수, 복소수, 사원수와 같은 나눗셈환 위에서 정의되며, 일반 선형군과 비퇴화 형식의 자기 동형군을 포함한다. 고전군은 대칭, 왜대칭, 에르미트, 왜에르미트 형식을 보존하는 군으로 정의될 수 있으며, 헤르만 바일이 이 용어를 처음 사용했다. 고전군은 실수, 복소수, 사원수 체에 따라 분류되며, 각 경우에 따른 표준 형식과 리 대수 형태가 존재한다. 고전군은 표현론 연구의 대상이며, 예외적 리 군과 대조된다.

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고전군
개요
"고전군을 나타내는 다이어그램. 단일 연결된 콤팩트 Lie 그룹은 해당 Lie 대수의 Dynkin 다이어그램에 의해 분류된다. 이러한 다이어그램은 3개의 무한한 클래스(An, Bn, Cn, Dn)와 5개의 예외적인 경우(E6, E7, E8, F4, G2)로 나뉜다."
정의
정의	고전군은 연속적인 매개변수에 의해 지정될 수 있는 행렬군이다. 보다 정확하게는, 고전군은 대수군 G(F)를 의미하며, 여기서 F는 실수체, 복소수체 또는 유한체이다.
유형
유형	고전군의 가장 일반적인 유형은 다음과 같다.
선형군	일반 선형군 특수 선형군
유니타리군	유니타리군 특수 유니타리군
심플렉틱군	심플렉틱군
직교군	직교군 특수 직교군
기타
특징	위의 각 유형에는 유한체에 대한 유사체가 있다.
중요성	고전군은 수학과 물리학에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

실수체, 복소수체, 또는 사원수 대수와 같이 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환 ''K''가 주어졌을 때, ''K'' 위의 유한 차원 왼쪽 가군(벡터 공간) $_KV\cong {}_KK^{\oplus n}$ 과 실수 결합 대수의 준동형 $\sigma\colon K\to K^{\operatorname{op}}$ , $\sigma \in \{\operatorname{id}, a\mapsto\bar a\}$ 이 정의된다. 여기서 $\sigma$ 는 항등 함수이거나 ( $K\in\{\mathbb C,\mathbb H\}$ 일 때) 켤레 연산이다. 특히, $K=\mathbb H$ (사원수)일 경우, 항등 함수는 환 준동형이 아니므로, $\sigma \colon a\mapsto \bar a$ 이어야 한다. 따라서 가능한 $(K,\sigma)$ 의 조합은 $\{(\mathbb R,\operatorname{id}), (\mathbb C,\operatorname{id}), (\mathbb C,a\mapsto\bar a),(\mathbb H,a\mapsto\bar a)\}$ 네 가지이다.

또한, $V$ 위의 함수 $Q \colon V \times V \to K$ 는 실수 계수 쌍선형 형식이며, 다음 조건을 만족한다.

: $Q(ua,vb) = \sigma(a)Q(u,v)b \qquad\forall u,v\in V,\;a,b\in K$

이때, 이 데이터로 정의되는 '''고전군'''은 다음과 같은 부분군이다.

: $G = \{T \in \operatorname{GL}(V;K) \colon Q(Tu,Tv) = Q(u,v)\;\forall u,v\in V\}$

고전군은 $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ 및 $\mathbb{H}$ 위의 일반선형군과 비퇴화 형식의 자기동형군을 포함한다.^[5] 이러한 군은 일반적으로 원소의 행렬식이 1이 되도록 하위군으로 추가 제한되기도 한다.

3. 분류

고전군은 사용되는 계수 체와 쌍선형 형식의 종류에 따라 분류할 수 있다. $V$ 가 체 $K$ 위의 벡터 공간이고, $Q\colon V\times V\to K$ 가 함수라고 하자. $Q$ 는 다음과 같이 대칭 성분 $Q^+$ 와 반대칭 성분 $Q^-$ 로 분해할 수 있다.

: $Q(u,v) = Q^+(u,v) + Q^-(u,v)$

: $Q^\pm(u,v) = \frac12 (Q(u,v) \pm \sigma(Q(v,u)))$

여기서 $\sigma$ 는 체 $K$ 의 자기 동형 사상이다. $Q^\pm$ 는 다음 성질을 만족한다.

: $Q^\pm(u,v) = \pm \sigma(Q(v,u))$

따라서, $Q$ 로 정의되는 고전군은 $Q^+$ 와 $Q^-$ 로 정의되는 두 고전군의 교집합이다.

단, $K$ 가 사원수 대수이고, $\sigma=\operatorname{id}$ 인 경우, 가능한 $Q$ 는 $Q=0$ 뿐이다. 즉, 자명하지 않은 사원수 쌍선형 형식은 존재하지 않는다.

가능한 경우와 각 경우에 대한 표준 형식, 그리고 대응하는 리 대수는 다음과 같다.

계수 $K$	$Q$ 의 조건	고전군	표준 형식	리 대수 형태
실수체	0	$\operatorname{GL}(n;\mathbb R)$	0	$\mathsf A_{n-1}$
	대칭 쌍선형	$\operatorname O(p,n-p;\mathbb R)$	$x_1y_1+\dotsb+x_py_p - (x_{p+1}y_{p+1} + \dotsb + x_ny_n)$	$\mathsf B_{(n-1)/2}$ 또는 $\mathsf D_{n/2}$
	반대칭 쌍선형	$\operatorname{Sp}(n;\mathbb R)$ ( $n$ 짝수)	$x_1y_2 - x_2y_1 + x_3y_4 - x_4y_3 + \dotsb + x_{n-1}y_{n} - x_{n}y_{n-1}$	$\mathsf C_n$
복소수체	0	$\operatorname{GL}(n;\mathbb C)$	0	$\mathsf A_{n-1}$
	대칭 쌍선형	$\operatorname O(n;\mathbb C)$	$x_1y_1 + \dotsb + x_ny_n$	$\mathsf B_{(n-1)/2}$ 또는 $\mathsf D_{n/2}$
	반대칭 쌍선형	$\operatorname{Sp}(n;\mathbb C)$ ( $n$ 짝수)	$x_1y_2 - x_2y_1 + x_3y_4 - x_4y_3 + \dotsb + x_{n-1}y_{n} - x_{n}y_{n-1}$	$\mathsf C_n$
	에르미트	$\operatorname U(p,n-p)$	$\bar x_1y_1 + \dotsb + \bar x_ny_n$	$\mathsf A_{n-1}$
	반에르미트	$\operatorname U(p,n-p)$	$\mathrm i(\bar x_1 y_1 + \dotsb + \bar x_ny_n)$	$\mathsf A_{n-1}$
사원수 대수	0	$\operatorname U^*(2n)$	0	$\mathsf A_{2n-1}$
	에르미트	$\operatorname{USp}(2p,2(n-p))$	$\bar x_1y_1 + \dotsb + \bar x_py_p - (\bar x_{p+1}y_{p+1} + \dotsb + \bar x_ny_n)$	$\mathsf C_n$
	반에르미트	$\operatorname O^*(2n)$	$\bar x_1\mathrm iy_1 + \dotsb + \bar x_n\mathrm iy_n$	$\mathsf D_n$

3. 1. 실수 고전군

'''고전군'''은 일반선형군과 비퇴화 형식의 자기동형군을 포함하며, 이 군들은 원소의 행렬식이 1이 되도록 하위군으로 제한된다.^[5] 행렬식 1 조건을 갖는 고전군은 아래 표에 나열되어 있다.

이름

군

필드

형식

극대 컴팩트 부분군

리 대수

근계

특수 선형

SL(n,

\mathbb{R}

)

\mathbb{R}

—

복소 특수 선형

SL(n,

\mathbb{C}

)

\mathbb{C}

—

SU(n)

복소수

사원수 특수 선형

\mathbb{H}

—

(부정) 특수 직교

SO(p, q)

\mathbb{R}

대칭

복소 특수 직교

SO(n,

\mathbb{C}

)

\mathbb{C}

대칭

SO(n)

복소수

\begin{cases}

심플렉틱

3. 2. 복소수 고전군

Classical group^영어은 $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ 및 $\mathbb{H}$ 위의 일반선형군과 비퇴화 형식의 자기동형군을 포함한다.^[5] 이 군은 일반적으로 원소의 행렬식이 1이 되도록 하위군으로 제한된다. 행렬식 1 조건을 갖는 고전군은 아래 표와 같다.

이름

군

필드

형식

극대 컴팩트 부분군

리 대수

근계

복소 특수 선형

특수선형군

$\mathbb{C}$

—

복소수

복소 특수 직교

특수 직교군

$\mathbb{C}$

대칭

복소수

'''복소 고전군'''은 , , 이다. 군의 리 대수가 복소수이면 복소수라고 한다. '''실 고전군'''은 리 대수가 실수 대수인 모든 고전군을 지칭한다. '''컴팩트 고전군'''은 복소 고전군의 컴팩트 실수형으로, , , 이다. 컴팩트 실수형은 리 대수 를 사용하여 나타낼 수 있는데, 이고, 의 복소화이며, 에 의해 생성된 연결된 군 가 컴팩트하면 는 컴팩트 실수형이다.^[6]고전군은 실수형을 사용하여 다른 방식으로 균일하게 특징지을 수 있다.:복소 선형 대수적 군 , , 과 이들의 실수형.^[7]예를 들어, 은 의 실수형이고, 는 의 실수형이며, 는 의 실수형이다.

3. 3. 사원수 고전군

일반선형군과 비퇴화 형식의 자기동형군을 정확히 포함하는 고전군은 원소의 행렬식이 1이 되도록 하위군으로 추가 제한되므로, 중심이 이산적이다.^[5] 행렬식 1 조건을 갖는 고전군은 아래 표에 나타나 있다.

이름	군	필드	형식	극대 컴팩트 부분군	리 대수	근계
특수 선형	특수선형군	$\mathbb{R}$	—
복소 특수 선형	특수선형군	$\mathbb{C}$	—	SU(n)	복소수	근계#가약 근계의 명시적 구성
사원수 특수 선형		$\mathbb{H}$	—
(부정) 특수 직교	부정 직교군	$\mathbb{R}$	대칭
복소 특수 직교	특수 직교군	$\mathbb{C}$	대칭	SO(n)	복소수	근계#가약 근계의 명시적 구성
심플렉틱	심플렉틱 군	$\mathbb{R}$	반대칭
복소 심플렉틱	심플렉틱 군	$\mathbb{C}$	반대칭	Sp(n)	복소수	근계#가약 근계의 명시적 구성
(부정) 특수 유니타리	특수 유니타리군	$\mathbb{C}$	에르미트
(부정) 사원수 유니타리		$\mathbb{H}$	에르미트
사원수 직교		$\mathbb{H}$	반 에르미트

사원수 $n \times n$ -행렬은 복소수의 $2n \times 2n$ 블록 행렬로 표현될 수 있다.^[16] 복소수로 $2n \times 1$ 열 벡터로 사원수 $n \times 1$ 열 벡터를 표현하고, 상위 $n$ 개의 숫자가 $\alpha_i$ 이고 하위 $n$ 개가 $\beta_i$ 인 경우, 사원수 $n \times n$ -행렬은 복소수 $2n \times 2n$ -행렬이 된다.

사원수 행렬의 행렬식은 이 표현에서 대표 행렬의 일반적인 복소수 행렬식으로 정의된다. 이러한 모든 임베딩은 $g \mapsto AgA^{-1}, g \in GL(2n, \mathbb{C})$ for $A \in O(2n, \mathbb{C})$ 을 통해 관련되며, 행렬식은 영향을 받지 않는다.^[17] 이 복소수 형태의 $SL(n, \mathbb{H})$ 의 이름은 $SU^*(2n)$ 이다.

4. 성질

고전군은 실수( $\mathbb{R}$ ), 복소수( $\mathbb{C}$ ), 사원수( $\mathbb{H}$ ) 위에서 정의되는 일반선형군과, 비퇴화 형식의 자기동형군을 포함한다.^[5] 이러한 군들은 원소의 행렬식이 1이 되도록 하위군으로 제한되기도 한다.

고전군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다:

$\operatorname U(p,q) \subseteq \operatorname{GL}(p+q;\mathbb C)\cap\operatorname O(2p,2q;\mathbb R)$
$\operatorname O(p,q;\mathbb R) \subseteq \operatorname U(p,q) \cap \operatorname O(p+q;\mathbb C)$
$\operatorname{Sp}(p,q;\mathbb R)\subseteq\operatorname{Sp}(p+q;\mathbb C)$
$\operatorname{USp}(p,q) = \operatorname U(p,q) \cap \operatorname{Sp}(p+q;\mathbb C)$
$\operatorname U^*(2n) \subseteq\operatorname{GL}(2n;\mathbb C)$
$\operatorname O^*(2n) = \operatorname O(2n;\mathbb C) \cap \operatorname U(n,n)$
$\operatorname U(n/2) \cong \operatorname O(n;\mathbb R) \cap \operatorname{Sp}(n;\mathbb R)$

복소 고전군은

\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})

,

\operatorname{SO}(n, \mathbb{C})

,

\operatorname{Sp}(n, \mathbb{C})

이며, 이들의 리 대수는 복소수이다. 실 고전군은 모든 리 대수가 실수 대수인 고전군을 지칭한다. 컴팩트 고전군은 복소 고전군의 컴팩트 실수형으로,

\operatorname{SU}(n)

,

\operatorname{SO}(n)

,

\operatorname{Sp}(n)

이다.^[6]

고전군은 실수형을 사용하여 다른 방식으로도 특징지을 수 있다. 이들은 복소 선형 대수적 군

\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})

,

\operatorname{SO}(n, \mathbb{C})

,

\operatorname{Sp}(n, \mathbb{C})

과 이들의 실수형이다.^[7] 예를 들어,

\operatorname{SO}^*(2n)

은

\operatorname{SO}(2n, \mathbb{C})

의 실수형이고,

\operatorname{SU}(p, q)

는

\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})

의 실수형이며,

\operatorname{SL}(n, \mathbb{H})

는

\operatorname{SL}(2n, \mathbb{C})

의 실수형이다.

고전군은

\mathbb{R}

,

\mathbb{C}

,

\mathbb{H}

에서 정의된 형식에 따라 정의된다. 여기서

\mathbb{R}

과

\mathbb{C}

는 체로서 실수와 복소수를 의미하고, 사원수

\mathbb{H}

는 곱셈이 교환되지 않아 나눗셈 환을 형성한다.^[8]

\varphi

가

\mathbb{R}

,

\mathbb{C}

또는

\mathbb{H}

위에서 유한 차원 오른쪽 벡터 공간

V

에 대한 형식일 때, 다음과 같은 경우 쌍선형이다.

:

\varphi(x\alpha, y\beta) = \alpha\varphi(x, y)\beta, \quad \forall x,y \in V, \forall \alpha,\beta \in F.

:

\varphi(x_1+x_2,y_1+y_2)=\varphi(x_1,y_1)+\varphi(x_1,y_2)+\varphi(x_2,y_1)+\varphi(x_2,y_2),\quad \forall x_1, x_2, y_1, y_2 \in V.

그리고 다음과 같은 경우 '''사선형'''이라고 한다.

:

\varphi(x\alpha, y\beta) = \bar{\alpha}\varphi(x, y)\beta, \quad \forall x,y \in V, \forall \alpha,\beta \in F.

:

\varphi(x_1+x_2,y_1+y_2)=\varphi(x_1,y_1)+\varphi(x_1,y_2)+\varphi(x_2,y_1)+\varphi(x_2,y_2), \quad \forall x_1, x_2, y_1, y_2 \in V.

\varphi

의 자기 동형 사상은 다음을 만족하는

V

에 대한 선형 연산자 집합에서 사상

A

이다.

:

\varphi(Ax, Ay) = \varphi(x, y), \quad \forall x,y \in V.

\varphi

의 모든 자기 동형 사상의 집합은 군을 형성하며, 이를

\varphi

의 자기 동형 사상 군이라고 하고

\operatorname{Aut}(\varphi)

로 표기한다.

고전군은

\mathbb{R}

,

\mathbb{C}

또는

\mathbb{H}

위의 유한 차원 벡터 공간에서 쌍선형 또는 사선형 형식을 보존하는 군으로 정의할 수 있다.

F = \mathbb{R}

인 경우 쌍선형은 사선형과 동일하며,

F = \mathbb{H}

인 경우 0이 아닌 쌍선형 형식은 없다.^[9]

형식은 다음과 같이 분류된다.

'''대칭''': $\varphi(x, y) = \varphi(y, x).$
'''왜대칭''': $\varphi(x, y) = -\varphi(y, x).$
'''에르미트''': $\varphi(x, y) = \overline{\varphi(y, x)}$
'''왜에르미트''': $\varphi(x, y) = -\overline{\varphi(y, x)}.$

쌍선형 형식

\varphi

는 대칭 형식과 왜대칭 형식의 합으로 유일하게 표현되며,

\varphi

를 보존하는 변환은 두 부분을 개별적으로 보존한다. 에르미트 형식과 왜에르미트 형식도 마찬가지이다.

형식의 '''정규 형식'''은 특정 기저의 선택에 해당하며, 좌표에서 다음과 같은 정규 형식을 제공하는 기저이다.

:

\begin{align}\text{쌍선형 대칭 형식 (의사-)정규 직교 기저에서:} \quad\varphi(x, y) ={} &{\pm}\xi_1\eta_1 \pm \xi_2\eta_2 \pm \cdots \pm \xi_n\eta_n, & &(\mathbf R)\\\text{쌍선형 대칭 형식 정규 직교 기저에서:} \quad\varphi(x, y) ={} &\xi_1\eta_1 + \xi_2\eta_2 + \cdots + \xi_n\eta_n, & &(\mathbf C)\\\text{심플렉틱 기저에서 쌍선형 왜대칭 형식:} \quad\varphi(x, y) ={} &\xi_1\eta_{m + 1} + \xi_2\eta_{m + 2} + \cdots + \xi_m\eta_{2m = n} \\&-\xi_{m + 1}\eta_1 - \xi_{m + 2}\eta_2 - \cdots - \xi_{2m = n}\eta_m, & &(\mathbf R, \mathbf C)\\\text{세스퀴선형 에르미트 형식:} \quad\varphi(x, y) ={} &{\pm}\bar{\xi_1}\eta_1 \pm \bar{\xi_2}\eta_2 \pm \cdots \pm \bar{\xi_n}\eta_n, & &(\mathbf C, \mathbf H)\\\text{세스퀴선형 왜에르미트 형식:} \quad\varphi(x, y) ={} &\bar{\xi_1}\mathbf{j}\eta_1 + \bar{\xi_2}\mathbf{j}\eta_2 + \cdots + \bar{\xi_n}\mathbf{j}\eta_n, & &(\mathbf H)\end{align}

왜에르미트 형식의

\mathbf{j}

는

\mathbb{H}

에 대한 기저

(\mathbf{1}, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})

의 세 번째 기저 원소이다. 쌍

(p, q)

또는

p - q

는 형식의 '''서명'''이라고 한다.

\mathbb{H}

위에는 비자명한 쌍선형 형식이 없으며, 대칭 쌍선형의 경우

\mathbb{R}

위의 형식만 서명을 갖는다. 에르미트 형식은 복소수 및 사원수 모두에서 기저와 독립적인 서명을 갖는다. 복소 벡터 공간에서의 왜에르미트 형식은

i

를 곱하여 에르미트가 되므로,

\mathbb{H}

만이 이 경우 흥미롭다.

\varphi

가

\mathbb{R}

,

\mathbb{C}

또는

\mathbb{H}

위의 유한 차원 벡터 공간

V

에 대한 비퇴화 형식일 때, 자기 동형 사상군은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathrm{Aut}(\varphi) = \{A \in \mathrm{GL}(V) : \varphi(Ax, Ay) = \varphi(x, y), \quad \forall x,y \in V\}.

모든

A \in M_n(V)

는

\varphi

에 대한

A^\varphi

를 가지며, 이는 다음과 같이 정의된다.

:

\varphi(Ax, y) = \varphi(x, A^\varphi y), \qquad x, y \in V.

자기 동형 사상군은 다음과 같다.

:

\operatorname{Aut}(\varphi) = \{A \in \operatorname{GL}(V): A^\varphi A = 1\}.

^[10]

V

에 대한 기저를 고정하고, 이 기저를 기준으로 다음을 둔다.

:

\varphi(x, y) = \sum \xi_i\varphi_{ij}\eta_j

여기서

\xi_i, \eta_j

는

x, y

의 성분이다. 행렬 표기법에서는 다음과 같다.

:

\varphi(x, y) = x^{\mathrm T}\Phi y

:

A^\varphi = \Phi^{-1}A^{\mathrm T}\Phi

^[11]

\Phi

는 행렬

(\varphi_{ij})

이며, 비퇴화 조건은

\Phi

가 가역적임을 의미한다.

자기 동형 사상군의 리 대수

\mathfrak{aut}(\varphi)

는 다음과 같다.

:

\mathfrak{aut}(\varphi) = \left\{X \in M_n(V): X^\varphi = -X\right\},

또는 기저에서

:

\mathfrak{aut}(\varphi) = \left\{X \in M_n(V): \Phi^{-1}X^\mathrm{T}\Phi = -X\right\}

이는 다음과 같이 특징지을 수 있다.

:

\mathfrak{aut}(\varphi) = \{X \in M_n(V): \varphi(Xx, y) = -\varphi(x, Xy),\quad \forall x,y \in V\}.

형식이 대칭일 때

\operatorname{Aut}(\varphi)

는

\operatorname{O}(\varphi)

로 불리고, 반대칭일 때는

\operatorname{Sp}(\varphi)

로 불린다. 사원수 벡터 공간에는 0이 아닌 쌍선형 형식이 존재하지 않으므로 사원수 경우는 비어 있다.^[12]

공간

\mathbb{H}^n

은

\mathbb{H}

위의 ''오른쪽'' 벡터 공간으로 간주된다.^[15] 사원수

n \times n

-행렬은 복소수의

2n \times 2n

블록 행렬로 표현될 수 있다.^[16]

사원수 행렬의 행렬식은 대표 행렬의 일반적인 복소수 행렬식으로 정의된다.

M_n(\mathbb{H})

가

M_{2n}(\mathbb{C})

에 임베딩되는 방식은 고유하지 않지만, 이러한 모든 임베딩은

g \mapsto AgA^{-1}, g \in \operatorname{GL}(2n, \mathbb{C})

for

A \in \operatorname{O}(2n, \mathbb{C})

을 통해 관련되며, 행렬식은 영향을 받지 않는다.^[17] 이 복소수 형태의

\operatorname{SL}(n, \mathbb{H})

의 이름은

\operatorname{SU}^*(2n)

이다.

\mathbb{C}

의 경우와 달리, 에르미트와 반에르미트 모두

\mathbb{H}

를 고려할 때 새로운 것을 가져오므로, 이러한 경우는 별도로 고려된다.

고전 리 군과 대조되는 것은 추상적인 속성을 공유하지만 친숙하지 않은 예외적 리 군 G₂, F₄, E₆, E₇, E₈이다.^[23]

5. 역사

헤르만 바일이 1939년에 ‘고전군’(classical group^영어)이라는 용어를 최초로 사용하였다.^[24] 실제 사례와 마찬가지로, 대칭 및 반대칭의 두 가지 경우가 있으며, 각 경우에 고전군의 한 유형이 생성된다.

참조

_[1] 문서
_[2] 문헌
_[3] 문헌
_[4] 문헌
_[5] 문헌
_[6] 문헌
_[7] 문헌
_[8] 문헌
_[9] 문헌
_[10] 문헌
_[11] 문헌
_[12] 문헌
_[13] 문헌
_[14] 문헌
_[15] 문헌
_[16] 문헌
_[17] 문헌
_[18] 문헌
_[19] 문헌
_[20] 문헌
_[21] 문헌
_[22] 문헌
_[23] 서적 Classical Groups for Physicists Wiley-Interscience
_[24] 서적 The classical groups. Their invariants and representations https://press.prince[...] Princeton University Press 1939

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