특수선형군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 기하학적 해석
5. 위상
6. 다른 부분군과의 관계
7. 생성원과 관계
8. SL^±(''n'',''F'')
9. GL(''n'',''F'')의 구조
10. 특수한 경우
참조

1. 개요

특수선형군(SL)은 체 F에 대해 행렬식이 1인 n×n 정사각 행렬들의 곱셈군이다. SL은 일반선형군의 정규 부분군이자 행렬식 군 준동형의 핵이며, 실수체 또는 복소수체에서 n²-1 차원의 리 군을 이룬다. 기하학적으로는 Rⁿ의 부피와 방향을 보존하는 선형 변환들의 군으로 해석할 수 있으며, SL(n, C)의 위상은 SU(n)의 위상과 에르미트 행렬 군의 위상의 곱이다. SL은 전단사에 의해 생성되는 부분군을 가지며, 슈타인베르그 관계를 통해 군 표현을 제시할 수 있다. 또한 행렬식이 ±1인 행렬의 집합인 SL±(n, F)와 일반선형군 GL(n, F)의 구조와 관계를 가진다. 특수한 경우로, SL(2, C)와 SL(2, R)은 각각 뫼비우스 변환 군의 두 겹 피복 공간이다.

더 읽어볼만한 페이지

특수선형군
개요
특수선형군의 예시
종류	군
기호	SL(n, F)
차수	n × n
정의	행렬식이 1인 n × n 행렬들의 집합
성질
연산	행렬곱
항등원	단위행렬
역원	역행렬
닫힘	닫혀 있음
결합 법칙	결합 법칙 성립
예시
SL(2, R)	2×2 실수 행렬 중 행렬식이 1인 행렬의 집합
SL(n, q)	유한체 Fq 위의 n×n 행렬 중 행렬식이 1인 행렬의 집합

2. 정의

체 $\mathbb{F}$ 에 대해, '''특수선형군''' $SL(n,\mathbb{F})$ 은 행렬식이 1인 $n\times n$ 정사각행렬들이 이루는, 곱셈에 대한 군이다.

3. 성질

특수선형군은 일반선형군의 정규 부분군이며, 행렬식 군 준동형의 핵이다. 즉, 다음과 같은 행렬식 사상

: $\det\colon \operatorname{GL}(n,\mathbb F)\to F^\times$

이 주어졌을 때 ( $\mathbb F^\times$ 는 0이 아닌 체의 원소들의 곱셈군), 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

: $1\to\operatorname{SL}(n,\mathbb F)\hookrightarrow\operatorname{GL}(n,\mathbb F)\overset{\det}{\twoheadrightarrow}\mathbb F^\times\to1$ .

만약 $\mathbb F$ 가 $\mathbb R$ 또는 $\mathbb C$ 이라면, $SL(n,\mathbb F)$ 는 리 군을 이룬다. 이 리 군의 차원은 $n^2-1$ 차원이다 (실수 또는 복소 차원). 이에 대한 리 대수 $\mathfrak{so}(n,\mathbb F)$ 는 대각합이 0인 $n\times n$ 정사각행렬들로 구성된다.

4. 기하학적 해석

특수선형군 SL|^영어(''n'', '''R''')은 '''R'''^''n''의 부피와 방향을 보존하는 선형 변환들의 군으로 특징지을 수 있다. 이는 행렬식이 부피와 방향의 변화를 측정하는 것으로 해석되는 것과 일치한다.

5. 위상

모든 가역 행렬은 극분해에 따라 유니타리 행렬과 양의 고유값을 갖는 에르미트 행렬의 곱으로 고유하게 표현될 수 있다. 특수선형군의 행렬은 이 두 행렬식의 곱이 1이어야 하므로, 특수 유니타리 행렬(실수인 경우 특수 직교 행렬)과 행렬식이 1인 양의 정부호 에르미트 행렬 (실수인 경우 대칭 행렬)의 곱으로 나타낼 수 있다.

따라서 군 SL(''n'', '''C''')^영어의 위상은 SU(''n'')의 위상과 행렬식이 1이고 양의 고유값을 갖는 에르미트 행렬 군의 위상의 곱이다. SL(''n'', '''C''')^영어는 2보다 크거나 같은 모든 ''n''에 대해 단일 연결이다.

SL(''n'', '''R''')^영어의 위상은 SO(''n'')의 위상과 양의 고유값과 행렬식이 1인 대칭 행렬 군의 위상의 곱이다. SL(''n'', '''R''')^영어은 SO(''n'')과 동일한 기본군을 가지며, ''n'' = 2인 경우 '''Z''', ''n'' > 2인 경우 '''Z'''₂이다. 특히 이는 SL(''n'', '''R''')^영어이 1보다 큰 ''n''에 대해 단일 연결이 아님을 의미한다.

6. 다른 부분군과의 관계

화이트헤드 보조정리도 참조

특수선형군(SL)과 관련된 두 개의 부분군으로는 일반선형군(GL)의 교환자 부분군과 전단사에 의해 생성된 군이 있다. 이들은 어떤 경우에는 SL과 일치하고, 다른 경우에는 SL과 혼동되기도 한다. 이들은 모두 SL의 부분군이다(전단사 사상은 행렬식이 1이고, 행렬식은 가환군으로의 사상이므로 [GL, GL] ≤ SL). 하지만 일반적으로 SL과 일치하지는 않는다.

전단사에 의해 생성된 군은 E(''n'', ''A'') (기본 행렬) 또는 TV(''n'', ''A'')로 표기한다. 슈타인베르크 관계에 따라, ''n'' ≥ 3인 경우 전단사는 교환자이므로 E(''n'', ''A'') ≤ [GL(''n'', ''A''), GL(''n'', ''A'')]이다.

''n'' = 2일 때, 전단사가 교환자일 필요는 없다. 예를 들어 ''A''가 두 개의 원소를 갖는 체 '''F'''₂인 경우가 이에 해당한다.

:Alt(3) ≅ [GL(2, '''F'''₂), GL(2, '''F'''₂)] < E(2, '''F'''₂) = SL(2, '''F'''₂) = GL(2, '''F'''₂) ≅ Sym(3)

여기서 Alt(3)와 Sym(3)는 각각 3개의 문자에 대한 교대군과 대칭군을 나타낸다.

그러나 ''A''가 2개 이상의 원소를 갖는 체인 경우 E(2, ''A'') = [GL(2, ''A''), GL(2, ''A'')]이며, ''A''가 3개 이상의 원소를 갖는 체인 경우 E(2, ''A'') = [SL(2, ''A''), SL(2, ''A'')]이다.

어떤 상황에서는 이들이 일치하는데, 체 또는 유클리드 정역 위의 특수 선형군은 전단사에 의해 생성되며, 데데킨트 정역 위의 "안정적인" 특수 선형군도 전단사에 의해 생성된다. 더 일반적인 환의 경우 안정적인 차이는 특수 화이트헤드 군 SK₁(''A'') := SL(''A'')/E(''A'')에 의해 측정된다. 여기서 SL(''A'')와 E(''A'')는 각각 특수 선형군과 기본 행렬의 안정적인 군이다.

7. 생성원과 관계

전단사에 의해 생성되는 체 또는 유클리드 정역과 같은 환에서, 슈타인베르그 관계를 사용하여 전단사를 통해 특수선형군(SL)의 표현을 제공할 수 있다. 전단사는 슈타인베르그 관계를 만족하지만, 이것만으로는 충분하지 않다. 결과 군은 슈타인베르그 군이며, 특수선형군이 아니라 일반선형군(GL)의 교환자 부분군의 보편 중심 확대이다.

SL(''n'', '''Z''')^영어에 대한 충분한 관계 집합은 ''n'' ≥ 3^영어에 대해 두 개의 슈타인베르그 관계와 세 번째 관계로 주어진다. 대각선에 1이 있고 ''ij'' 위치에 1이 있으며 다른 곳에는 0이 있는 기본 행렬(여기서 ''i'' ≠ ''j'')을 1=''T_ij'' := ''e_ij''^영어(1)라고 하면, 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $\begin{align}\left[ T_{ij},T_{jk} \right] &= T_{ik} && \text{for } i \neq k \\[4pt]\left[ T_{ij},T_{k\ell} \right] &= \mathbf{1} && \text{for } i \neq \ell, j \neq k \\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^4 &= \mathbf{1}\end{align}$

이는 SL(''n'', '''Z''')^영어, ''n'' ≥ 3에 대한 완전한 관계 집합이다.

8. SL^±(''n'',''F'')

표수가 2가 아닌 경우, 행렬식이 ±1인 행렬의 집합은 SL을 지수 2의 부분군(필연적으로 정규 부분군)으로 하는 GL의 또 다른 부분군을 형성한다. 표수가 2인 경우는 SL과 동일하다. 이는 다음과 같은 그룹의 짧은 완전열을 형성한다.

: $1\to\operatorname{SL}(n, F) \to \operatorname{SL}^{\pm}(n, F) \to \{\pm 1\}\to1.$

이 수열은 행렬식이 -1인 임의의 행렬(예: 대각 행렬 $(-1, 1, \dots, 1)$ )을 취함으로써 분할된다. $n = 2k + 1$ 가 홀수이면, 음의 항등 행렬 $-I$ 는 $\operatorname{SL}^\pm(2k + 1, F)$ 에는 있지만 $\operatorname{SL}(2k + 1, F)$ 에는 없으므로, 그룹은 내부 직접곱 $\operatorname{SL}^\pm(2k + 1, F) \cong \operatorname{SL}(2k + 1, F) \times \{\pm I\}$ 로 분할된다. 그러나 $n = 2k$ 가 짝수인 경우, $-I$ 는 이미 $\operatorname{SL}(n, F)$ 에 있고, $\operatorname{SL}^{\pm}$ 는 분할되지 않으며, 일반적으로 자명하지 않은 군 확대이다.

실수 위에서 $\operatorname{SL}^{\pm}(n, R)$ 은 $\operatorname{SL}(n, R)$ 에 해당하는 두 개의 연결 성분과, 점(행렬식이 -1인 행렬)의 선택에 따라 식별되는 다른 성분을 가진다. 홀수 차원에서는 $-I$ 에 의해 자연스럽게 식별되지만, 짝수 차원에서는 자연스러운 식별이 없다.

9. GL(''n'',''F'')의 구조

일반선형군 GL(''n'', ''F'')^영어는 행렬식에 따라 분해될 수 있다. (반직접곱 참조) 따라서 GL(''n'', ''F'')^영어는 특수선형군 SL(''n'', ''F'')^영어과 ''F''^×의 반직접곱으로 쓸 수 있다.

: $\operatorname{GL}(n, F) = \operatorname{SL}(n, F) \rtimes F^\times$ .

10. 특수한 경우

SL^영어(2, C^영어)는 뫼비우스 변환 군 PSL^영어(2, C^영어)의 두 겹 피복 공간이다. (이는 M ~ -M으로 몫군을 취했기 때문이다.) 마찬가지로, SL^영어(2, R^영어)는 복소 반평면의 자기동형사상군 PSL^영어(2, R^영어)의 두 겹 피복 공간이다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com