국소화 (범주론)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 집합론적 문제
3. 구성
4. 성질
5. 예
6. 관련 개념
참조

1. 개요

국소화는 범주론에서 주어진 범주와 사상의 특정 집합을 바탕으로 새로운 범주를 구성하는 방법이다. 국소화는 작은 범주에서는 항상 존재하지만, 작은 범주가 아닌 경우에는 존재하지 않을 수 있으며, 그로텐디크 전체를 사용하면 항상 존재하지만 사용되는 전체에 따라 달라진다. 국소화는 주어진 범주의 대상을 유지하면서, 특정 사상들을 동형 사상으로 만들어 새로운 사상들을 추가하여 구성한다. 이러한 구성은 지그재그, 오레 조건, 모형 범주 등을 통해 이루어지며, 유도 범주, 호모토피 범주, 아벨 범주의 몫 등 다양한 수학적 구조를 정의하는 데 사용된다.

2. 정의

작은 범주 $\mathcal C$ 와 그 속의 사상들의 집합 $\mathfrak W\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)$ 가 주어졌다고 하자. 여기서 $\mathfrak W$ 는 모든 동형 사상을 포함하며, 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다고 가정한다.

이때, $\mathcal C$ 의 $\mathfrak W$ 에서의 '''국소화''' $L\colon\mathcal C\to\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]$ 는 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 범주이다.

임의의 작은 범주 $\mathcal D$ 및 함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 에 대하여, $F$ 가 $\mathfrak W$ 에 속하는 모든 사상을 $\mathcal D$ 의 동형 사상으로 대응시킨다면, $D\simeq U\circ L$ 인 함자 $U\colon\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]\to\mathcal D$ 및 자연 동형 $F\Rightarrow U\circ L$ 이 존재한다.

:

\begin{matrix}\mathcal C&\xrightarrow L&\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]\\&{\scriptstyle F}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists U\\&&\mathcal D\end{matrix}

작은 범주의 국소화는 항상 존재하며, 보편 성질에 따라서 범주의 동치 아래 유일하다.

만약

\mathfrak W

가 모든 동형 사상을 포함하지 않거나, 사상의 합성에 대하여 닫혀 있지 않을 경우에는 국소화를 정의할 수는 있지만,

\bar{\mathfrak W}

를 위 성질에 대한 폐포라고 한다면,

\mathcal C[\bar{\mathfrak W}^{-1}]

는

\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]

와 같은 보편 성질을 만족시키게 되어 서로 동형이 된다. 따라서, 일반성을 잃지 않고

\mathfrak W

가 위 성질들을 만족시킨다고 가정할 수 있다.

범주 ''C''는 대상과 대상 간의 사상으로 구성되며, 사상은 대상 간의 관계를 반영한다. 많은 경우, 특정 사상을 동형 사상으로 만드는 다른 범주 ''C'''로 ''C''를 대체하는 것이 유용할 수 있다.

예를 들어, (고정된 가환환 ''R''에 대해) ''R''-가군 범주에서 고정된 원소 ''r''의 곱셈은 일반적으로 동형 사상이 아니다(즉, ''r''이 단위가 아닌 경우).

:

M \to M \quad m \mapsto r \cdot m.

이 맵이 동형 사상인 ''R''-가군과 가장 밀접하게 관련된 범주는

R[S^{-1}]

-가군의 범주이다. 여기서

R[S^{-1}]

는 ''r''의 모든 거듭제곱으로 구성된 (곱셈적으로 닫힌) 부분 집합 ''S''에 대한 ''R''의 국소화이다.

:

S = \{ 1, r, r^2, r^3, \dots\}

"가장 밀접하게 관련됨"이라는 표현은 다음 두 가지 조건으로 공식화된다. 첫째, 모든 ''R''-가군을 ''S''에 대한 국소화로 보내는 다음 함자가 존재한다.

:

\varphi: \text{Mod}_R \to \text{Mod}_{R[S^{-1}]} \quad M \mapsto M[S^{-1}]

둘째, 임의의 범주 ''C''와, 임의의 ''R''-가군에 대한 ''r''에 의한 곱셈 맵을 ''C''의 동형 사상으로 보내는 임의의 함자

F: \text{Mod}_R \to C

가 주어졌을 때,

F = G \circ \varphi

가 되는 고유한 함자

G: \text{Mod}_{R[S^{-1}]} \to C

가 존재한다.

범주 ''C''와 ''C''의 사상의 일부 클래스 ''W''가 주어지면, 국소화 ''C''[''W''⁻¹]는 ''W''의 모든 사상을 뒤집어 얻는 또 다른 범주이며, 보편 성질에 의해 특징지어진다. 즉, 자연 국소화 함자 ''C'' → ''C''[''W''⁻¹]가 존재하며, 다른 범주 ''D''가 주어졌을 때, 함자 ''F'': ''C'' → ''D''는 ''F''가 ''W''의 모든 화살표를 동형사상으로 보낼 때에만 ''C''[''W''⁻¹] 위에서 유일하게 인수분해된다.

범주의 국소화는 존재한다면, 범주의 유일한 동형사상까지 유일하다. 국소화의 한 가지 구성은 그 대상이 ''C''의 대상과 동일하다고 선언하지만, 사상은 ''W''의 각 사상에 대한 형식적 역을 추가하여 강화함으로써 수행된다. ''W''에 대한 적절한 가설 하에서,^[1] 객체 ''X''에서 객체 ''Y''로 가는 사상은 ''루프''로 주어진다.

:

X \stackrel f \leftarrow X' \rightarrow Y

(여기서 ''X'''는 ''C''의 임의의 객체이고 ''f''는 주어진 사상 클래스 ''W''에 속한다), 특정 동치 관계를 적용한다. 이러한 관계는 "잘못된" 방향으로 가는 사상을 ''f''의 역으로 바꾼다. 이 "분수 계산"은 정수 쌍의 동치 클래스로서의 유리수의 구성을 일반화한 것이다.

일부 저자들은 또한 범주 ''C''의 ''국소화''를 멱등원이자 공가법적 함자라고 정의한다. 공가법적 함자는 ''(L,l)''의 쌍으로, 여기서 ''L:C → C''는 자기 함자이고 ''l:Id → L''는 항등 함자에서 ''L''로의 자연 변환이다(공가법이라고 부른다). 공가법적 함자는 모든 ''X''에 대해 두 맵 ''L(l_X),l_L(X):L(X) → LL(X)''가 동형 사상일 경우 멱등원이다. 이 경우, 두 맵은 같다는 것을 증명할 수 있다.^[2]

이 정의는 위에서 주어진 정의와 관련이 있다. 첫 번째 정의를 적용하면, 많은 상황에서 정규 함자

C \to C[W^{-1}]

뿐만 아니라 반대 방향의 함자도 존재한다.

:

C[W^{-1}] \to C.

예를 들어, 링의 국소화

R[S^{-1}]

에 대한 모듈은 ''R'' 자체에 대한 모듈이기도 하며, 함자를 제공한다.

:

\text{Mod}_{R[S^{-1}]} \to \text{Mod}_R

이 경우, 합성

:

L : C \to C[W^{-1}] \to C

은 멱등원적이고 공가법적인 함자의 의미에서 ''C''의 국소화이다.

2. 1. 집합론적 문제

작은 범주가 아닌 경우 국소화는 일반적으로 존재하지 않을 수 있다. 특히, 국소적으로 작은 범주를 국소화하면 (만약 존재한다면) 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있다.^[1]

그로텐디크 전체를 사용하면 국소화는 항상 존재하지만, 이 경우 국소화는 사용되는 그로텐디크 전체에 의존하게 된다.^[1]

3. 구성

작은 범주 $\mathcal C$ 와 그 속의 사상 집합 $\mathfrak W\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)$ 가 주어졌다고 하자. 이때, $\mathfrak W$ 는 모든 동형 사상을 포함하고 사상의 합성에 대해 닫혀 있다고 가정한다.

$\mathcal C$ 의 $\mathfrak W$ 에서의 '''국소화''' $L\colon\mathcal C\to\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]$ 는 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 범주이다.

임의의 작은 범주 $\mathcal D$ 및 함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 에 대하여, $F$ 가 $\mathfrak W$ 에 속하는 모든 사상을 $\mathcal D$ 의 동형 사상으로 대응시킨다면, $D\simeq U\circ L$ 인 함자 $U\colon\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]\to\mathcal D$ 및 자연 동형 $F\Rightarrow U\circ L$ 이 존재한다.

:

\begin{matrix}\mathcal C&\xrightarrow L&\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]\\&{\scriptstyle F}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists U\\&&\mathcal D\end{matrix}

작은 범주의 국소화는 항상 존재하며, 보편 성질에 따라 범주의 동치 아래 유일하다.

(만약

\mathfrak W

가 모든 동형 사상을 포함하지 않거나, 사상의 합성에 대하여 닫혀 있지 않을 경우에도 국소화를 정의할 수 있다. 그러나 이 경우

\bar{\mathfrak W}

를 위 성질에 대한 폐포라고 한다면,

\mathcal C[\bar{\mathfrak W}^{-1}]

는

\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]

와 같은 보편 성질을 만족시키게 되어 서로 동형이다. 즉, 일반성을 잃지 않고

\mathfrak W

가 위 성질들을 만족시킨다고 가정할 수 있다.)

국소화

\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]

는 다음과 같이 구성된다.

$\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]$ 의 대상은 $\mathcal C$ 의 대상과 같다.
$\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]$ 의 사상은 $(\mathcal C,\mathfrak W)$ 의 지그재그의 동치류이다.
지그재그 $a_0a_1\cdots a_n$ 의 정의역은 $a_n$ 의 정의역이며, 공역은 $a_0$ 의 공역이다.
$X\in\mathcal C$ 의 항등 사상은 지그재그 $\operatorname{id}_X$ 의 동치류이다.

지그재그 및 동치 관계에 대한 더 자세한 설명은 지그재그에서 확인할 수 있다.

3. 1. 지그재그

작은 범주

\mathcal C

와, 동형 사상을 포함하며 합성에 대하여 닫혀 있는 사상 집합

\mathfrak W\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 알파벳 집합

:

\Sigma=\operatorname{Mor}(\mathcal C)\sqcup\{\bar w\colon w\in\mathfrak W\}

의 원소가 사상

f\in\operatorname{Mor}\mathcal C

또는 각

w\in\mathfrak W

에 대하여 형식적 기호

\bar w

로 구성되었다고 하자.

\Sigma

위의 문자열

:

a_0a_1a_2\cdots a_k\in\Sigma^*

가 다음 두 성질을 만족시킨다면, '''지그재그'''(zigzag^영어)라고 한다. (

\Sigma^*

는 클레이니 스타이다.)

길이가 1 이상이다.
모든 $i\in\{1,\dots,k\}$ 에 대하여, $\operatorname{dom}a_{i-1}=\operatorname{codom}a_i$ 이다.

지그재그는 다음과 같은 꼴의 그림으로 생각할 수 있다.

:

\bullet\overset\sim\leftarrow\bullet\to\bullet\overset\sim\leftarrow\bullet\to\cdots\to\bullet

(여기서

\overset\sim\to

는

\mathfrak W

에 속한 사상을 뜻한다.) 즉, 순방향으로는 임의의 사상을 사용할 수 있지만, 역방향으로는 항상

\mathfrak W

의 원소만을 사용한다.^[1]

3. 2. 오레 조건

환의 국소화를 오레 조건을 가정하면 더 간단하게 구성할 수 있는 것처럼, 범주의 국소화도 비슷한 '''오레 조건'''을 가정하여 더 간단하게 구성할 수 있다.

범주

\mathcal C

및 그 속의 사상 모임

\mathfrak W

가 다음 조건들을 만족시킨다면, '''오른쪽 오레 조건'''이 성립한다고 한다. (여기서,

\mathfrak W

의 원소를

\overset\sim\to

로 표기하였다.)

$\mathfrak W$ 는 모든 동형 사상을 포함한다.
$\mathfrak W$ 는 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다.
임의의 그림 $X\to Y\overset\sim\leftarrow Y'$ 에 대하여, 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 $X\overset\sim\leftarrow X'\to Y'$ 이 존재한다.

:

\begin{matrix}X&\underset{\exists}{\overset\sim\leftarrow}&X'\\\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\exists\\Y&\underset\sim\leftarrow&Y'\end{matrix}

임의의 $X\underset g{\overset f{\rightrightarrows}}Y\underset w{\overset\sim\to}Y'$ 에 대하여, 만약 $w\circ f=w\circ g$ 라면, $f\circ v=g\circ v$ 가 되는 $X'\underset v{\overset\sim\to}X$ 가 존재한다.

'''오른쪽 지붕'''(right roof^영어)은 다음과 같은 꼴의 그림이다.

:

\bullet\overset\sim\leftarrow\bullet\to\bullet

같은 정의역과 공역을 갖는 두 오른쪽 지붕

:

\begin{matrix}&&\bullet\\&{^\sim}\!\swarrow&&\searrow\\\bullet&&&&\bullet\\&{_\sim}\!\nwarrow&&\nearrow\\&&\bullet\end{matrix}

에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 두 오른쪽 지붕이 서로 동치라고 하자.

:

\begin{matrix}&&\bullet\\&{^\sim}\!\swarrow&\uparrow&\searrow\\\bullet&\overset\sim\leftarrow&\bullet&&\bullet\\&{_\sim}\!\nwarrow&\downarrow&\nearrow\\&&\bullet\end{matrix}

만약

(\mathcal C,\mathfrak W)

가 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다면, 지그재그의 동치류는 오른쪽 지붕의 동치류와 일대일 대응하며, 따라서 사상을 오른쪽 지붕으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건을 쌍대화하여 '''왼쪽 오레 조건'''(left Ore condition^영어)을 정의할 수 있다. 이 경우, 사상을 '''왼쪽 지붕'''(left roof^영어)으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.

3. 3. 모형 범주

모형 범주

(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)

가 주어졌다고 하자. 그 '''호모토피 범주'''

\operatorname{ho}(\mathcal C)

는 다음과 같다.

$\operatorname{ho}(\mathcal C)$ 의 대상은 $\mathcal C$ 의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것이다.
$\operatorname{ho}(\mathcal C)$ 의 사상은 $\mathcal C$ 의 호모토피류이다. (올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 사이에는 왼쪽·오른쪽 호모토피류가 일치한다.)

그렇다면, 국소화

\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]

는 호모토피 범주

\operatorname{ho}(\mathcal C)

와 동치이다.

특히, 모형 범주의 호모토피 범주 구성은

\mathcal C

가 작은 범주가 아니더라도 국소적으로 작은 범주라면 집합론적으로 문제가 없기 때문에, 이러한 경우에 국소화를 구성하는 데 사용된다.

모형 범주는 약한 동치의 집합을 가지는 범주이며, 호모토피 범주 Ho(''M'')는 약한 동치에 대한 국소화이다. 모형 범주의 공리들은 이러한 국소화가 집합론적 어려움 없이 정의될 수 있도록 보장한다.

4. 성질

일반적으로, 국소화 함자 $L\colon\mathcal C\to\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]$ 는 충실한 함자도, 충만한 함자도 아니다. 예를 들어, 사상 $f,g\colon X\to Y$ 및 $w\colon Y\to Y'$ 에 대하여, 만약 $f\circ w=g\circ w$ 이지만 $f\ne g$ 라면, 국소화 함자 $L$ 아래에서 $Lf=Lg$ 가 된다.

: $\bullet\underset g{\overset f\rightrightarrows}\bullet\overset\sim\to\bullet$

이는 $\mathcal C$ 에서 $w$ 가 단사 사상이 아니더라도, $\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]$ 에서는 항상 동형 사상이므로 특히 단사 사상이 되기 때문이다.

5. 예

아벨 범주의 유도 범주는 유사동형 집합에 대한 국소화이다.

위상 공간의 호모토피 범주는 위상 공간의 범주를 호모토피 동치 또는 약한 호모토피 동치에서 국소화하여 얻는다. 이 범주는 작은 범주가 아니지만, 모형 범주 이론을 통해 집합론적 문제를 피하면서 구성할 수 있다.

아벨 다양체 ''A''에서 ''B''로 가는 등원 사상(isogeny)은 유한 핵을 갖는 전사 함수이다.

범주 ''C''는 대상과 대상 간의 사상으로 구성된다. 많은 경우, 특정 사상을 동형 사상으로 강제하는 다른 범주 ''C'''로 ''C''를 대체하는 것이 의미 있는데, 이 과정을 국소화라고 한다. 예를 들어, 고정된 가환환 ''R''에 대해, ''R''-가군 범주에서 고정된 원소 ''r''의 곱셈은 일반적으로 동형 사상이 아니다(즉, ''r''이 단위가 아닌 경우).

:

M \to M \quad m \mapsto r \cdot m.

이 맵이 동형 사상인 ''R''-가군과 가장 밀접하게 관련된 범주는

R[S^{-1}]

-가군의 범주이다. 여기서

R[S^{-1}]

는 ''r''의 모든 거듭제곱으로 구성된 (곱셈적으로 닫힌) 부분 집합 ''S''에 대한 ''R''의 국소화이다.

:

S = \{ 1, r, r^2, r^3, \dots\}

5. 1. 세르의 C-이론

세르는 아벨 군의 호모토피 이론에서 "어떤 종류의 ''C'' 모듈"에서 작업한다는 개념을 도입했다. 이는 ''A/B''가 ''C''에 속하는 경우, 군 ''A''와 ''B''를 동형으로 취급하는 것을 의미한다.^[1]

5. 2. 가군 이론

가환환 ''R'' 위의 가군 이론에서, ''R''이 크룰 차원이 2 이상일 때, ''M/N''이 최소 2 이상의 코차원을 가지면 가군 ''M''과 ''N''을 ''유사 동형''으로 취급하는 것이 유용할 수 있다. 이 아이디어는 이와사와 이론에서 많이 사용된다.

5. 3. 유도 범주

아벨 범주의 유도 범주는 호몰로지 대수학에서 널리 사용된다. 이는 준동형사상에 대한 사슬 복합체의 범주(호모토피까지)의 국소화이다.^[1]

5. 4. 아벨 범주의 몫

아벨 범주 ''A''와 세르 부분 범주 ''B''가 주어졌을 때, ''A/B''라는 몫 범주를 정의할 수 있다. 이는 ''A''에서 ''A/B''로 가는 사상을 갖춘 아벨 범주로, 본질적 전사 함자이며 핵이 ''B''이다. 이 몫 범주는 핵과 여핵이 모두 ''B''에 속하는 사상의 클래스에 의해 ''A''를 국소화하여 구성할 수 있다.^[1]

5. 5. 등원 사상까지의 아벨 다양체

아벨 다양체 ''A''에서 ''B''로 가는 등원 사상(isogeny)은 유한 핵을 갖는 전사 함수이다.^[1] 아벨 다양체에 대한 몇몇 정리에서는 ''등원한 차이를 제외한 아벨 다양체''(abelian variety up to isogeny)라는 개념이 필요하다. 예를 들어 푸앵카레 기약성 정리(Poincaré's reducibility theorem)에 따르면, 주어진 아벨 다양체 ''A''의 아벨 부분 다양체 ''A₁''에 대하여 ''A''와 ''등원한(isogenous)'' 부분 다양체 ''A₂''가 존재하여 다음을 만족한다.

:''A₁'' × ''A₂''

이를 직합 분해라고 부르기 위해서는 이사고니까지의 아벨 다양체 범주에서 작업해야 한다. (푸앵카레의 환원 정리: 예를 들어 데이비드 멈포드의 ''아벨 다양체'' 참조).

6. 관련 개념

범주 ''C''와 ''C''의 사상의 일부 클래스 ''W''가 주어지면, 국소화 ''C''[''W''⁻¹]는 ''W''의 모든 사상을 뒤집어 얻는 또 다른 범주이다. 더 공식적으로는, 이는 보편 성질에 의해 특징지어진다. 즉, 자연 국소화 함자 ''C'' → ''C''[''W''⁻¹]가 존재하며, 다른 범주 ''D''가 주어졌을 때, 함자 ''F'': ''C'' → ''D''는 ''F''가 ''W''의 모든 화살표를 동형사상으로 보낼 때에만 ''C''[''W''⁻¹] 위에서 유일하게 인수분해된다.

따라서 범주의 국소화는 존재한다면, 범주의 유일한 동형사상까지 유일하다. 국소화의 한 가지 구성은 그 대상이 ''C''의 대상과 동일하다고 선언하지만, 사상은 ''W''의 각 사상에 대한 형식적 역을 추가하여 강화함으로써 수행된다. ''W''에 대한 적절한 가설 하에서,^[1] 객체 ''X''에서 객체 ''Y''로 가는 사상은 ''루프''로 주어진다.

: $X \stackrel f \leftarrow X' \rightarrow Y$

(여기서 ''X'''는 ''C''의 임의의 객체이고 ''f''는 주어진 사상 클래스 ''W''에 속한다), 특정 동치 관계를 적용한다.

토폴로지 공간의 국소화는 데니스 설리번에 의해 소개된 개념으로 원래 공간의 호몰로지의 국소화인 호몰로지를 갖는 또 다른 토폴로지 공간을 생성한다.

호모토피 대수에서 훨씬 더 일반적인 개념은 공간과 범주의 국소화를 특수한 경우로 포함하며, 이는 ''부스필드 국소화'' 모델 범주의 개념이다. 부스필드 국소화는 특정 사상을 약한 동치가 되도록 강제하며, 이는 일반적으로 이들이 동형 사상이 되도록 강제하는 것보다 약하다.^[3]

참조

_[1] 서적 Calculus of fractions and homotopy theory https://www.uio.no/s[...] Springer-Verlag
_[2] 웹사이트 Idempotents in Monoidal Categories http://www.math.uchi[...]
_[3] 서적 Model Categories and Their Localizations

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