군 대상

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 군 대상의 정의
- 2.2. 다른 관점에서의 정의
3. 예
- 3.1. 다양한 범주에서의 군 대상
- 3.2. 추가 예시
참조

1. 개요

군 대상은 끝 대상과 유한 곱을 갖는 범주에서 정의되는 개념으로, 데카르트 모노이드 범주에서의 모노이드 대상과 역원에 해당하는 사상으로 구성된다. 군 대상은 임의의 대상 X에 대해 hom(X, G)가 군을 이루는 대상이며, 다양한 범주에서 군, 위상군, 리 군, 대수군, 군 스킴 등으로 나타난다. 또한, 코군 객체는 군 객체의 쌍대 개념으로, 대수적 위상수학에서 활용된다.

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군 대상

2. 정의

군 대상은 끝 대상과 유한 곱을 갖는 범주에서 정의된다. 일반적인 모노이드 범주에서는 대각 사상이나 쌍대항등원이 주어지지 않기 때문에, 군 대상은 데카르트 모노이드 범주에서만 정의된다.

2. 1. 군 대상의 정의

범주

\mathcal C

의 군 대상

(G, m, e, i)

는 다음 데이터로 구성된다.

$(G,m,e)$ 는 데카르트 모노이드 범주 $(\mathcal C,\times)$ 의 모노이드 대상이다.
$i\colon G\to G$ 는 $\mathcal C$ 속의 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.

이들은 다음 성질을 만족해야 한다.

(역원의 존재) 끝 대상의 정의에 따라 유일한 사상 $\epsilon_G\colon G\to1$ 이 존재한다. 또한, $\operatorname{diag}_G\colon G\to G\times G$ 가 대각 사상이라고 하자. 그렇다면 $m\circ(\operatorname{id}_G\times i)\circ\operatorname{diag}_G=m\circ(i\times\operatorname{id}_G)\circ\operatorname{diag}_G=e\circ\epsilon_G$ 이다. 즉, 다음 그림이 가환한다.

:

\begin{matrix}G&\xrightarrow{\operatorname{diag}}&G\times G&\xrightarrow{\operatorname{id}\times i}&G\times G&\xleftarrow{i\times\operatorname{id}}&G\times G&\xleftarrow{\operatorname{diag}}&G\\&\searrow&&&\downarrow\scriptstyle m&&&\swarrow\\&&1&\xrightarrow[e]{}&G&\xleftarrow[e]{}&1\end{matrix}

위와 같은 정의 대신, 군 대상을 다음과 같이 정의할 수 있다. '''군 대상'''

G\in\operatorname{ob}(\mathcal C)

는 임의의 대상

X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)

에 대하여

\hom(X,G)

가 군을 이뤄,

X\mapsto\hom(X,G)

가

\mathcal C\to\operatorname{Grp}^{\operatorname{op}}

함자를 이루는 대상이다. 여기서

\operatorname{Grp}

은 군과 군 준동형의 범주이다.

정식적으로는 유한 곱을 가진 범주 ''C''에서 시작한다. (즉, ''C''는 종결 대상 1을 가지며, ''C''의 모든 두 대상은 곱을 가진다). ''C''에서의 '''군 대상'''은 ''C''의 대상 ''G''와 다음 사상들로 구성된다.

''m'' : ''G'' × ''G'' → ''G'' ( "군 곱셈"으로 생각)
''e'' : 1 → ''G'' ( "항등원 포함"으로 생각)
''inv'' : ''G'' → ''G'' ( "역원 연산"으로 생각)

다음 속성들 (군 공리들을 모델로 함 - 더 정확하게는, 군의 정의를 보편 대수학에서 사용)을 만족한다.

''m''은 결합적이다. 즉, 사상 ''G'' × ''G'' × ''G'' → ''G''로서 ''m'' (''m'' × id_''G'') = ''m'' (id_''G'' × ''m'')이다. 여기서 예를 들어 ''m'' × id_''G'' : ''G'' × ''G'' × ''G'' → ''G'' × ''G''이고, ''G'' × (''G'' × ''G'')는 (''G'' × ''G'') × ''G''와 정규적으로 식별된다.
''e''는 ''m''의 양쪽 단위이다. 즉, ''m'' (id_''G'' × ''e'') = ''p''₁ (여기서 ''p''₁ : ''G'' × 1 → ''G''는 표준 사영)이며, ''m'' (''e'' × id_''G'') = ''p''₂ (여기서 ''p''₂ : 1 × ''G'' → ''G''는 표준 사영)이다.
''inv''는 ''m''의 양쪽 역원이다. 즉, ''d'' : ''G'' → ''G'' × ''G''가 대각 사상이고, ''e''_''G'' : ''G'' → ''G''가 유일한 사상 ''G'' → 1 (코단위라고도 불림)과 ''e''의 합성일 때, ''m'' (id_''G'' × ''inv'') ''d'' = ''e''_''G''이며 ''m'' (''inv'' × id_''G'') ''d'' = ''e''_''G''이다.

이는 사상의 관점에서, 즉 범주 내의 곱과 역원이 사상이어야 한다는 점에 유의해야 하며, 군 대상의 기본 "원소"에 대한 어떠한 언급 없이 제시되었다. 일반적으로 범주는 대상의 원소를 갖지 않는다.

위의 내용을 다른 방식으로 표현하면, 모든 대상 ''X'' in ''C''에 대해 ''X''에서 ''G''로 가는 사상 Hom(''X'', ''G'')에 군 구조가 존재하고, ''X''를 Hom(''X'', ''G'')에 연관시키는 것이 ''C''에서 군 범주로 가는 (반변) 함자일 때, ''G''는 범주 ''C''에서의 군 대상이라고 할 수 있다.

2. 2. 다른 관점에서의 정의

군 대상

G \in \operatorname{ob}(\mathcal C)

는 임의의 대상

X \in \operatorname{ob}(\mathcal C)

에 대하여

\hom(X, G)

가 군을 이루는 대상이다. 즉,

X \mapsto \hom(X, G)

가

\mathcal C \to \operatorname{Grp}^{\operatorname{op}}

함자를 이룬다. (

\operatorname{Grp}

은 군과 군 준동형의 범주이다.)

다른 방식으로 표현하면, 모든 대상 ''X'' in ''C''에 대해 ''X''에서 ''G''로 가는 사상 Hom(''X'', ''G'')에 군 구조가 존재하고, ''X''를 Hom(''X'', ''G'')에 연관시키는 것이 ''C''에서 군 범주로 가는 (반변) 함자일 때, ''G''는 범주 ''C''에서의 군 대상이라고 할 수 있다.

3. 예

군 대상은 다양한 범주에서 특정한 이름을 갖는다. 예를 들어, 집합과 함수의 범주에서는 군, 위상 공간과 연속 함수의 범주에서는 위상군, 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주에서는 리 군이라고 불린다.

이 외에도 리 초군, 대수군, 군 스킴(스킴 범주에서의 군 객체), 로컬 군(로케일 범주에서의 군 객체), 아벨 군, 2-군, 코군 객체 등 다양한 군 대상이 존재한다. 이러한 예시들은 하위 섹션 "다양한 범주에서의 군 대상"에서 표로 자세히 설명되어 있다.

3. 1. 다양한 범주에서의 군 대상

대표적인 범주들 속의 군 대상은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

범주	군 대상	비고
집합과 함수의 범주	군
위상 공간과 연속 함수의 범주	위상군
매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주	리 군
대수다양체와 대수다양체 사상의 범주	대수군
스킴과 스킴 사상의 범주	군 스킴(group scheme^영어)
군과 군 준동형의 범주	아벨 군	역원 사상 $g\mapsto g^{-1}$ 이 준동형을 이루는 군은 아벨 군이기 때문
모노이드와 모노이드 준동형의 범주	아벨 군
아벨 군과 군 준동형의 범주	아벨 군
작은 범주의 범주 $\operatorname{Cat}$	교차 가군(crossed module^영어)^[1]	군과 군 준동형의 범주 $\operatorname{Grp}$ 속의 내적 범주와 같다.^[1]

군 구조 (''G'', ''m'', ''u'', ⁻¹)를 정의할 수 있는 각 집합 ''G''는 집합 범주에서 군 객체로 간주될 수 있다. 여기서 맵 ''m''은 군 연산, 맵 ''e'' (도메인이 단일 집합)는 ''G''의 항등원 ''u''를 선택하고, 맵 ''inv''는 모든 군 원소에 역원을 할당한다. ''e''_''G'' : ''G'' → ''G''는 ''G''의 모든 원소를 항등원으로 보내는 맵이다.
위상군은 연속 함수를 갖는 위상 공간 범주에서의 군 객체이다.
리 군은 매끄러운 다양체와 매끄러운 사상을 갖는 다양체 범주에서의 군 객체이다.
리 초군은 초다양체 범주에서의 군 객체이다.
대수적 군은 대수적 다양체 범주에서의 군 객체이다. 현대 대수 기하학에서는 더 일반적인 군 스킴, 즉 스킴 범주에서의 군 객체를 고려한다.
로컬 군은 로케일 범주에서의 군 객체이다.
군 (또는 모노이드) 범주에서의 군 객체는 아벨 군이다. 그 이유는 ''inv''가 준동형사상이라고 가정하면 ''G''는 아벨 군이어야 하기 때문이다. 더 정확히 말하면, ''A''가 아벨 군이고, ''m''을 ''A''의 군 곱셈, ''e''를 항등원의 포함, ''inv''를 ''A''의 역 연산으로 나타내면 (''A'', ''m'', ''e'', ''inv'')는 군 (또는 모노이드) 범주에서 군 객체이다. 반대로, (''A'', ''m'', ''e'', ''inv'')가 이러한 범주 중 하나에서 군 객체이면, ''m''은 반드시 ''A''에 대한 주어진 연산과 일치하고, ''e''는 ''A''에 대한 주어진 항등원의 포함이며, ''inv''는 역 연산이고, 주어진 연산을 갖는 ''A''는 아벨 군이다. 에크만-힐턴 논증도 참조하라.
엄격한 2-군은 작은 범주 범주에서의 군 객체이다.
유한 코프로덕트를 갖는 범주 ''C''가 주어지면, '''코군 객체'''는 ''C''의 객체 ''G''와 "코곱셈" ''m'': ''G'' → ''G'' $\oplus$ ''G,'' "코항등원" ''e'': ''G'' → 0, "코역원" ''inv'': ''G'' → ''G''가 함께 있으며, 군 객체에 대한 공리들의 쌍대 버전을 만족한다. 여기서 0은 ''C''의 초기 대상이다. 코군 객체는 대수적 위상 수학에서 자연스럽게 발생한다.

3. 2. 추가 예시

범주	군 대상	비고
집합과 함수의 범주	군
위상 공간과 연속 함수의 범주	위상군
매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주	리 군
대수다양체와 대수다양체 사상의 범주	대수군
스킴과 스킴 사상의 범주	군 스킴(group scheme^영어)
군과 군 준동형의 범주	아벨 군	역원 사상 $g\mapsto g^{-1}$ 이 준동형을 이루는 군은 아벨 군이기 때문
모노이드와 모노이드 준동형의 범주	아벨 군
아벨 군과 군 준동형의 범주	아벨 군
작은 범주의 범주 $\operatorname{Cat}$	교차 가군(crossed module^영어)^[1]	군과 군 준동형의 범주 $\operatorname{Grp}$ 속의 내적 범주와 같다.^[1]

군 구조 (''G'', ''m'', ''u'', ⁻¹)를 정의할 수 있는 각 집합 ''G''는 집합 범주에서 군 객체로 간주될 수 있다. 여기서 맵 ''m''은 군 연산, 맵 ''e'' (도메인이 단일 집합)는 ''G''의 항등원 ''u''를 선택하고, 맵 ''inv''는 모든 군 원소에 역원을 할당한다. ''e''_''G'' : ''G'' → ''G''는 ''G''의 모든 원소를 항등원으로 보내는 맵이다.
위상군은 연속 함수를 갖는 위상 공간 범주에서의 군 객체이다.
리 군은 매끄러운 다양체와 매끄러운 사상을 갖는 다양체 범주에서의 군 객체이다.
리 초군은 초다양체 범주에서의 군 객체이다.
대수적 군은 대수적 다양체 범주에서의 군 객체이다. 현대 대수 기하학에서는 더 일반적인 군 스킴, 즉 스킴 범주에서의 군 객체를 고려한다.
로컬 군은 로케일 범주에서의 군 객체이다.
군 (또는 모노이드) 범주에서의 군 객체는 아벨 군이다. 그 이유는 ''inv''가 준동형사상이라고 가정하면 ''G''는 아벨 군이어야 하기 때문이다. 더 정확히 말하면, ''A''가 아벨 군이고, ''m''을 ''A''의 군 곱셈, ''e''를 항등원의 포함, ''inv''를 ''A''의 역 연산으로 나타내면 (''A'', ''m'', ''e'', ''inv'')는 군 (또는 모노이드) 범주에서 군 객체이다. 반대로, (''A'', ''m'', ''e'', ''inv'')가 이러한 범주 중 하나에서 군 객체이면, ''m''은 반드시 ''A''에 대한 주어진 연산과 일치하고, ''e''는 ''A''에 대한 주어진 항등원의 포함이며, ''inv''는 역 연산이고, 주어진 연산을 갖는 ''A''는 아벨 군이다. 에크만-힐턴 논증도 참조하라.
엄격한 2-군은 작은 범주 범주에서의 군 객체이다.
유한 코프로덕트를 갖는 범주 ''C''가 주어지면, '''코군 객체'''는 ''C''의 객체 ''G''와 "코곱셈" ''m'': ''G'' → ''G'' $\oplus$ ''G,'' "코항등원" ''e'': ''G'' → 0, "코역원" ''inv'': ''G'' → ''G''가 함께 있으며, 군 객체에 대한 공리들의 쌍대 버전을 만족한다. 여기서 0은 ''C''의 초기 대상이다. 코군 객체는 대수적 위상 수학에서 자연스럽게 발생한다.

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