역원

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1. 개요

역원은 수학에서 이항 연산과 항등원이 주어졌을 때, 특정 조건을 만족하는 원소를 의미한다. 집합 S와 이항 연산 *에 대해, 항등원 e가 존재할 때, S의 원소 a에 대해 a * b = b * a = e를 만족하는 S의 원소 b가 존재하면 b를 a의 역원이라고 한다. 역원은 군, 모노이드, 환 등 다양한 대수적 구조에서 중요한 개념으로 사용되며, 행렬, 함수, 사상 등 다양한 수학적 대상에도 적용된다.

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역원

2. 정의 및 기본 성질

집합 $S$ 와 이항 연산 $*$ 에 대해, 항등원 $e$ 가 존재한다고 가정하자. 이때 $S$ 의 원소 $a$ 에 대해 다음 식을 만족하는 $S$ 의 원소 $b$ 가 유일하게 존재할 경우, $b$ 를 $a$ 의 역원이라고 한다.

: $a * b = b * a = e$

'역원'과 '가역원'의 개념은 일반적으로 이항 연산에 대해 정의되지만, 행렬 곱셈, 함수 합성 등 모든 곳에서 정의되지 않는 부분 연산에도 적용될 수 있다. 이 경우 관련 개념들을 부분 연산에 맞게 확장하여 사용한다.

2. 1. 결합 법칙

''역원''과 ''가역원''의 개념은 일반적으로 모든 곳에서 정의되는 이항 연산에 대해 정의되지만, 부분 연산, 즉 모든 곳에서 정의되지 않는 연산에서도 흔히 사용된다. 대표적인 예로는 행렬 곱셈, 함수 합성, 그리고 범주에서의 사상 합성이 있다. 따라서 결합 법칙과 항등원의 일반적인 정의를 부분 연산에 맞게 확장할 필요가 있다.

여기서 X는 부분 연산(전체 연산일 수도 있음) * 가 정의된 집합(또는 진부분류)을 나타낸다. 부분 연산 * 가 결합 법칙을 따른다는 것은, X에 속하는 모든 x, y, z에 대해 다음 식이 성립함을 의미한다.

:x * (y * z) = (x * y) * z

이때, 등식의 한쪽이 정의되면 다른 쪽도 반드시 정의되어야 한다.

전체 연산이 아니면서 결합 법칙을 따르는 예로는 임의 크기를 갖는 행렬의 곱셈과 함수 합성이 있다.

마그마에서의 역원 정의는 군에서의 단위원에 대한 역원 개념을 일반화한 것이다. 이와 달리, 연산의 결합 법칙을 가정하는 반군에서는 단위원의 존재를 가정하지 않고도 역원 개념을 일반화할 수 있다.

반군 S의 원소 x가 ('''폰 노이만''') '''정규 원소''' ([''von Neumann''] ''regular'')^영어라는 것은, S의 원소 z가 존재하여 xzx = x를 만족하는 것을 의미한다. 이때 z를 x의 '''의사 역원''' pseudo-inverse|의사 역원^영어이라고 부르기도 한다. 만약 S의 원소 y가 xyx = x이고 y = yxy를 만족하면, y는 x의 '''역원''' inverse|역원^영어이라고 한다. 정규 원소 x (즉, xzx = x를 만족하는 z가 존재)에 대해, y = zxz는 x의 역원이 되므로, 모든 정규 원소는 적어도 하나의 역원을 가진다.

y가 x의 역원일 때, e = xy와 f = yx는 멱등원(즉, ee = e, ff = f)이 된다. 따라서 각 역원 쌍 (x, y)은 두 개의 멱등원 e, f를 결정하며, ex = xf = x이고 ye = fy = y가 성립한다. 이는 e가 x의 좌 단위 원처럼, f가 우 단위 원처럼 작용함을 의미하며, y에 대해서도 마찬가지이다. 이 관찰은 그린 관계 이론으로 일반화되어, 임의 반군의 모든 멱등원 e는 특정 부분 집합에서 좌 또는 우 단위 원 역할을 한다는 사실로 이어진다.^[5] 즉, 서로 역원인 쌍은 국소적인 좌우 단위 원을 유도한다.

단위원을 가진 반군(모노이드)에서 일반적으로 정의되는 역원 개념은 여기서 설명한 반군에서의 역원 개념보다 더 제한적이다. 모노이드의 가역원들(단위원에 대한 역원을 갖는 원소들)은 그린 관계에서 항등원 1을 포함하는 클래스 H₁에 해당하며, 이들은 모노이드의 역원 정의와 반군에서의 역원 정의 모두를 만족한다. 하지만 임의의 멱등원 e에 대한 클래스 H_e의 원소들은 반군에서의 역원 정의는 만족하지만, 모노이드의 일반적인 역원 정의는 만족하지 않을 수 있다.

이처럼 더 넓은 의미의 역원은 임의의 반군이나 모노이드에서 유일하게 존재하지 않을 수도 있고, 아예 존재하지 않을 수도 있다. 모든 원소가 정규 원소인 반군 또는 모노이드를 정규 반군이라고 하며, 여기서는 모든 원소가 적어도 하나의 역원을 가진다. 모든 원소가 정확히 하나의 역원을 갖는 반군은 역 반군이라고 한다. 멱등원이 단 하나뿐인 역 반군은 군이다. 역 반군은 흡수원 0을 가질 수 있지만 (000 = 0을 만족), 군에는 흡수원이 없다.

반군론 외의 분야에서는, 여기서 정의한 의미의 역원이 유일하게 존재할 경우, 이를 '''준 역원''' quasi-inverse|준 역원^영어이라고 부르기도 한다. 이는 많은 응용에서 결합 법칙이 성립하고, 이 개념이 단위원에 대한 (좌, 우) 역원의 일반화로 간주될 수 있기 때문이다.

2. 2. 항등원

집합 ''X''에 부분 연산

*

가 정의되어 있다고 하자. 여기서 연산

*

는 모든 원소 쌍에 대해 정의되지 않을 수도 있다.

''항등원''(identity element)은 다음 조건을 만족하는 원소 ''e''를 말한다.

:

x*e=x \quad\text{및}\quad e*y=y

이 등식은 등식의 좌변이 정의되는 모든 ''x''와 ''y''에 대해 성립해야 한다.

만약 ''e''와 ''f''가 두 개의 항등원이고

e*f

가 정의된다면,

e=f

가 성립한다. 이는 항등원의 정의에 따라

e = e*f = f

이기 때문이다.

따라서, 모든 원소 쌍에 대해 연산이 정의되는 전사 연산(total operation)은 최대 하나의 항등원을 가진다. 만약 ''e''와 ''f''가 서로 다른 항등원이라면,

e*f

는 정의되지 않는다.

예를 들어, 행렬 곱셈에서는 주어진 크기 ''n''에 대해 ''n'' × ''n'' 항등 행렬이 유일한 항등원이지만, 크기가 다른 두 항등 행렬 사이의 곱셈은 정의되지 않는다. 마찬가지로, 함수 합성에서는 항등 함수가 항등원의 역할을 하며, 서로 다른 집합 위에서 정의된 두 항등 함수의 합성은 정의되지 않는다.

2. 3. 좌역원과 우역원

집합 ''M''에 이항 연산 •가 정의되어 있고, ''e''가 이 연산에 대한 항등원이라고 하자. 즉, (''M'', •, ''e'')는 단위적 마그마이다. 이때 ''M''에 속하는 두 원소 ''a'', ''b''에 대해 다음이 성립하면:

a \cdot b = e

''a''를 ''b''의 왼쪽 역원(left inverse^영어)이라고 하고, ''b''를 ''a''의 오른쪽 역원(right inverse^영어)이라고 부른다. 이때, ''b''는 왼쪽 가역(left invertible^영어)이며, ''a''는 오른쪽 가역(right invertible^영어)이라고 한다.

만약 어떤 원소 ''y''가 ''x''의 왼쪽 역원이면서 동시에 오른쪽 역원일 경우, 즉

x \cdot y = y \cdot x = e

가 성립하면, ''y''를 ''x''의 양쪽 역원(two-sided inverse^영어) 또는 간단히 역원(inverse^영어)이라고 부른다. 이때 ''x''는 가역원이라고 하며, ''y'' 역시 가역원이고 ''x''의 역원이 된다.

연산이 결합 법칙을 만족하고 모든 원소 쌍에 대해 정의(전역적 연산)된다고 해도, 모든 원소가 왼쪽 역원이나 오른쪽 역원을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 음이 아닌 정수의 집합에서 덧셈 연산을 생각해보자. 덧셈은 결합 법칙을 만족하고 전역적이며, 덧셈 항등원은 0이다. 하지만 0을 제외한 다른 양의 정수는 덧셈에 대한 역원(음수)을 음이 아닌 정수 집합 내에서 가지지 않는다. 즉, 0만이 덧셈 역원 0을 갖는 유일한 원소이다. 이러한 역원의 부재는 자연수를 정수로 확장하는 중요한 이유 중 하나이다.

또한, 하나의 원소가 여러 개의 왼쪽 역원 또는 여러 개의 오른쪽 역원을 가질 수도 있다. 예를 들어, 정수에서 정수로 가는 함수들의 함수 합성 연산을 생각해보자. 모든 정수 ''x''를 2''x''로 보내는 '두 배 함수'

x \mapsto 2x

는 무한히 많은 왼쪽 역원을 가진다. 이 왼쪽 역원들은 짝수 ''y''를 ''y''/2로 보내고, 홀수 ''y''에는 임의의 정수 값을 대응시키는 함수들이다. 반대로, 정수 ''n''을

\lfloor \frac n2 \rfloor

(''n''을 2로 나눈 값의 바닥 함수)로 보내는 함수는 무한히 많은 오른쪽 역원을 가진다. 이 오른쪽 역원들은 짝수 ''m''을 2''m'' 또는 2''m''+1 중 하나로 보내는 함수들이다. 더 일반적으로, 함수가 함수 합성에 대해 왼쪽 역원을 가질 필요충분조건은 그 함수가 단사 함수인 것이고, 오른쪽 역원을 가질 필요충분조건은 전사 함수인 것이다.

범주론에서는 오른쪽 역원을 단면(section), 왼쪽 역원을 리트랙션(retraction)이라고도 부른다.

만약 연산 ∗가 결합 법칙을 만족한다면(단위적 반군), 어떤 원소가 왼쪽 역원과 오른쪽 역원을 모두 가질 경우, 그 두 역원은 반드시 같다. 따라서 이 경우 그 원소는 유일한 (양쪽) 역원을 갖게 된다. 단위적 반군에서 가역인 원소들의 집합은 부분군을 이루며, 이를 단위군이라고 부른다.

왼쪽 역원을 갖는 원소(왼쪽 가역원)는 왼쪽 소거법칙을 만족시킨다. 마찬가지로 오른쪽 역원을 갖는 원소는 오른쪽 소거법칙을, 양쪽 역원을 갖는 원소는 양쪽 소거법칙을 만족시킨다.

2. 4. 역원

집합

S

와 이항연산

*

에 대해, 항등원

e

가 존재한다고 가정하자. 이때

S

의 원소

a

에 대해 다음 식을 만족하는

S

의 원소

b

가 유일하게 존재할 경우,

b

를

a

의 역원이라고 한다.

:

a * b = b * a = e

역원과 가역원의 개념은 일반적으로 모든 곳에서 정의되는 이항 연산 (즉, 연산이 해당 정의역의 임의의 두 원소에 대해 정의되는 연산)에 대해 정의된다. 그러나 이러한 개념은 행렬 곱셈, 함수 합성, 범주에서의 사상 합성처럼 모든 곳에서 정의되지 않는 부분 연산과 함께 사용되기도 한다. 이 경우 결합 법칙과 항등원의 일반적인 정의를 부분 연산으로 확장해야 한다.

어떤 원소가 연산 하에서 좌역원과 우역원을 모두 가지면 그 원소를 가역원이라고 한다.

연산이 결합적인 경우, 원소의 좌역원과 우역원은 같다면 유일하다. 예를 들어,

l

과

r

이 각각

x

의 좌역원과 우역원이라면 다음이 성립한다.

:

l = l * (x * r) = (l * x) * r = r

따라서 가역원의 역원은 유일한 좌역원이자 우역원이다.

연산이 덧셈(+)으로 표시될 때, 원소

x

의 역원, 즉 덧셈 역원은

-x

로 표시한다. 다른 연산의 경우,

x

의 역원은 일반적으로

x^{-1}

로 표시하며, 교환 법칙이 성립하는 곱셈의 경우

\frac{1}{x}

로 표시하기도 한다. 여러 연산이 혼동될 수 있을 때는 지수 앞에 연산 기호를 추가할 수 있다(예:

x^{*-1}

). 함수 합성의 경우,

\frac{1}{f}

가 곱셈 역원에 사용될 수 있으므로

f^{\circ -1}

표기는 일반적으로 사용하지 않는다.

만약

x

와

y

가 가역원이고

x * y

가 정의된다면,

x * y

도 가역원이며 그 역원은

y^{-1} * x^{-1}

이다.

가역 준동형 사상은 동형 사상이라고 한다. 범주론에서도 가역 사상을 동형 사상이라고 부른다.

집합

M

과 이항 연산

\bullet

를 갖는 대수계, 즉 마그마

(M, \bullet)

에 항등원

e

가 존재한다고 하자. 즉,

(M, \bullet, e)

는 단위적 마그마이다.

M

의 원소

a, b

에 대해

a \bullet b = e

가 성립할 때,

a

를 연산

\bullet

와 항등원

e

에 관한

b

의 왼쪽 역원 left inverse^영어,

b

를 연산

\bullet

와 항등원

e

에 관한

a

의 오른쪽 역원 right inverse^영어이라고 한다. 이때

b

는 왼쪽 가역,

a

는 오른쪽 가역이라고 한다. 만약

M

의 원소

x

에 대해,

M

의 원소

y

가

x

의 왼쪽 역원이자 오른쪽 역원일 때, 즉 다음 식이 성립할 때,

:

x \bullet y = y \bullet x = e

y

를 연산

\bullet

와 항등원

e

에 관한

x

의 양쪽 역원 two-sided inverse^영어 또는 단순히 역원 inverse^영어이라고 하며,

x

는

M

에서 가역이라고 한다. 이 경우

y

도 가역이며,

x

는

y

의 역원이 된다.

단위적 마그마

L

의 모든 원소가 가역일 때,

L

은 단위적 준군 (루프)이라고 한다.

마그마

(M, \ast)

가 여러 개의 왼쪽 항등원 또는 오른쪽 항등원을 가질 경우, 왼쪽 역원 또는 오른쪽 역원도 그에 따라 여러 개 존재할 수 있다.

대수계

(M, \ast)

의 연산

\ast

가 결합 법칙을 만족할 때 (즉, 단위적 반군일 때),

M

의 원소가 왼쪽 역원과 오른쪽 역원을 모두 가지면 그것들은 같고 유일한 역원이 된다. 단위적 반군에서 가역원의 전체 집합은 군을 이루며, 이를

M

의 단위군이라고 하고

U(M)

또는

H_1

등으로 표기한다.

왼쪽 가역원은 왼쪽 소거적이며, 오른쪽 또는 양쪽 가역원에 대해서도 마찬가지이다.

=== 반군에서의 일반화된 역원 ===

역원의 개념은 연산의 결합 법칙을 가정하지만 (반군) 항등원의 존재를 가정하지 않는 형태로 일반화될 수 있다.

반군

S

의 원소

x

에 대해,

S

의 원소

z

가 존재하여

xzx = x

를 만족하면

x

를 (폰 노이만) 정규 원소 [''von Neumann''] ''regular''^영어라고 한다. 이때

z

는

x

의 의사 역원 pseudo-inverse^영어이라고 불린다. 만약

S

의 원소

y

가

xyx = x

이고

y = yxy

를 만족하면,

y

를

x

의 역원 inverse^영어이라고 한다. 모든 정규 원소는 적어도 하나의 역원을 가진다. (

x = xzx

일 때

y = zxz

는

x

의 역원이 된다.)

y

가

x

의 역원이면

e = xy

와

f = yx

는 멱등원 (

ee = e

,

ff = f

)이다. 이때

ex = xf = x

,

ye = fy = y

가 성립하여,

e

는

x

에 대한 국소적 왼쪽 항등원,

f

는

x

에 대한 국소적 오른쪽 항등원 역할을 한다. 이 관점은 그린 관계에 의해 일반화된다.^[5]

단위적 반군에서, 앞에서 정의한 역원(항등원에 대한 역원)의 개념은 여기서 정의한 반군에서의 역원 개념보다 좁다. 단위군

H_1

의 원소는 항등원에 대한 역원만 가지지만, 임의의 멱등원

e

에 대한 그린의 H-클래스

H_e

의 원소는 반군에서의 의미의 역원을 가진다. 이 넓은 의미의 역원은 유일하지 않을 수 있다. 모든 원소가 정규 원소인 반군은 정규 반군이라고 하며, 모든 원소가 정확히 하나의 역원을 갖는 반군은 역 반군이라고 한다. 단 하나의 멱등원을 갖는 역 반군은 군이다.

반군론 외의 문맥에서는, 반군에서의 의미의 역원이 유일하게 존재할 때 그것을 준 역원 quasi-inverse^영어이라고 부르기도 한다. 이 용어 사용은 결합성이 만족되는 많은 응용에서 이 개념이 항등원에 관한 (좌, 우) 역원의 일반화로 볼 수 있다는 점에서 정당화된다.

3. 군, 모노이드, 환에서의 역원

군, 모노이드, 환은 특정한 연산과 성질을 갖는 주요 대수 구조이며, 각 구조에서 역원의 개념은 중요한 역할을 한다.

군: 군은 결합 법칙을 만족하는 연산에 대해 닫혀 있고, 항등원이 존재하며, 모든 원소가 역원을 가지는 대수 구조이다. 군에서의 역원은 그 연산을 되돌리는 역할을 한다.
모노이드: 모노이드는 결합 법칙을 만족하고 항등원을 갖지만, 모든 원소가 역원을 가질 필요는 없다. 모노이드 내에서 역원을 갖는 원소를 가역원이라고 하며, 이 가역원들은 모여서 군을 이룬다.
환: 환은 덧셈과 곱셈이라는 두 가지 연산을 가지며, 각 연산에 대해 역원을 고려할 수 있다.
덧셈에 대해서는 모든 원소가 덧셈 역원을 가지며, 환은 덧셈 연산에 대해 아벨 군을 이룬다.
곱셈에 대해서는 모노이드 구조를 이루며, 곱셈에 대한 역원을 갖는 원소를 특별히 단원이라고 부른다. 환의 단원들은 곱셈 연산에 대해 단원군이라는 군을 형성한다.

3. 1. 군 (Group)

군은 집합이며, 결합 법칙을 따르는 연산이 정의되어 있고, 항등원이 존재하며, 모든 원소가 역원을 갖는 구조를 말한다.

따라서 군에서 역원은 자기 자신으로의 함수이며, 연산의 아리티가 1인 것으로 간주할 수도 있다. 또한 역원의 역원은 자기 자신이므로, 이는 인벌루션이기도 하다.

군은 집합에 작용하여 이 집합의 변환으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 군 원소

g

의 역원

g^{-1}

은

g

에 의해 정의된 변환의 역변환, 즉

g

에 의해 정의된 변환을 "되돌리는" 변환을 정의한다.

예를 들어, 큐브군은 기본 움직임의 유한 시퀀스를 나타낸다. 이러한 시퀀스의 역원은 각 움직임의 역원을 반대 순서로 적용하여 얻는다.

3. 2. 모노이드 (Monoid)

모노이드는 결합 법칙이 성립하고 항등원을 갖는 집합이다.

모노이드에서 가역원은 모노이드 연산에 대해 군을 이룬다.

환은 환 곱셈에 대한 모노이드이다. 이 경우 가역원은 단원이라고도 하며, 환의 단원군을 형성한다.

모노이드가 가환 모노이드가 아닌 경우, 좌역원 또는 우역원을 갖는 비가역원이 존재할 수 있다(둘 다 존재하지는 않으며, 그렇지 않으면 그 원소가 가역원일 것이다).

예를 들어, 집합에서 자기 자신으로 가는 함수 집합은 함수 합성에 대해 모노이드를 이룬다. 이 모노이드에서 가역원은 전단사 함수이며, 좌역원을 갖는 원소는 단사 함수이고, 우역원을 갖는 원소는 전사 함수이다.

모노이드가 주어지면 일부 원소에 역원을 추가하여 확장할 수 있다. 이는 비가환 모노이드에서는 일반적으로 불가능하지만, 가환 모노이드에서는 소거 성질을 갖는 원소에 역원을 추가하는 것이 가능하다(원소 x가 소거 성질을 갖는다는 것은 xy=xz이면 y=z이고, yx=zx이면 y=z임을 의미한다). 이러한 모노이드의 확장은 그로텐디크 군 구성을 통해 가능하다. 이는 일반적으로 자연수로부터 정수를, 정수로부터 유리수를 구성하는 데 사용되는 방법이며, 더 일반적으로는 정역의 분수체, 가환환의 국소화를 구성하는 데 사용된다.

3. 3. 환 (Ring)

환은 곱셈 연산에 대해서 모노이드의 구조를 가진다. 환에서 곱셈에 대한 역원을 특별히 단원이라고 부른다. 환의 단원들은 모여서 군을 이루는데, 이를 단원군이라고 한다.

4. 행렬에서의 역원

행렬 곱셈은 일반적으로 체에 대한 행렬에 대해 정의되며, 환, 반환 등의 구조에 대한 행렬로 확장될 수 있다. 이 섹션에서는 주로 가환환에 대한 행렬을 다루는데, 이는 계수나 행렬식과 같은 개념을 사용하기 때문이다.

행렬 곱셈 연산에서 항등원의 역할을 하는 것은 항등 행렬이다. 항등 행렬은 행과 열의 수가 같은 정사각 행렬이며, 주대각선의 모든 원소는 1이고 나머지 원소는 모두 0이다.

행렬 곱셈 연산에서 역원이 되는 행렬을 가역 행렬이라고 한다. 정사각 행렬의 경우, 해당 행렬이 정의된 가환환 ''R'' 위에서 그 행렬식이 ''R''의 단위(즉, ''R''에서 가역적인 원소)일 때, 그리고 오직 그 때만 가역 행렬이 된다. 만약 ''R''이 체라면, 행렬식이 0이 아닐 때 가역적이다. 가역 행렬의 역원은 역행렬이라고 부른다.

정사각 행렬이 아닌, 즉 행과 열의 수가 다른 직사각형 행렬의 경우, 역행렬은 정의되지 않지만 특정 조건을 만족하면 좌역 행렬 또는 우역 행렬을 가질 수 있다. 행렬의 계수가 열의 수와 같으면 좌역 행렬을 가질 수 있고, 계수가 행의 수와 같으면 우역 행렬을 가질 수 있다. 이러한 한쪽 역원은 일반적으로 유일하지 않다.

계수가 부족한(rank-deficient) 행렬은 역행렬이나 한쪽 역행렬을 갖지 않는다. 그러나 모든 행렬에 대해 무어-펜로즈 의사 역행렬을 정의할 수 있으며, 만약 행렬이 좌역 행렬 또는 우역 행렬을 가지는 경우, 그 의사 역행렬은 해당 역원과 일치한다.^[6]

4. 1. 가역 행렬

행렬 곱셈에서 가역원이 되는 행렬을 가역 행렬이라고 한다. 가환환 ''R'' 위의 정사각 행렬은 그 행렬식이 ''R''의 단위(즉, ''R''에서 가역적인 원소)일 때, 그리고 오직 그 때만 가역 행렬이 된다. 이 경우, 역행렬은 크라메르 공식을 이용하여 계산할 수 있다.

만약 ''R''이 체라면, 행렬식이 0이 아닐 때 가역적이다. 즉, 체 ''K''에 성분을 갖는 정사각 행렬 ''M''이 가역적이라는 것은 그 행렬식이 0이 아닐 때이며, 그때에 한한다. ''M''의 행렬식이 0이면 ''M''은 비정칙 행렬이며, 좌역원이나 우역원을 가질 수 없다.

정수를 성분으로 하는 정수 행렬의 경우, 가역 행렬은 그 역행렬 또한 정수 행렬인 경우를 말한다. 이러한 행렬은 유니모듈러 행렬이라고 불린다. 정사각 정수 행렬은 행렬식이 1 또는 -1일 때, 그리고 오직 그 때만 유니모듈러 행렬이다. 이는 정수 환의 단위가 1과 -1뿐이기 때문이다.

정사각 행렬이 아닌 행렬, 즉 행과 열의 수가 다른 직사각형 행렬의 경우, 역행렬은 정의되지 않지만, 좌역원 또는 우역원을 가질 수 있다. 행렬의 계수가 열의 수와 같을 때만 왼쪽 역행렬을 가지며, 계수가 행의 수와 같을 때만 오른쪽 역행렬을 가진다. 이러한 한쪽 역원은 일반적으로 유일하지 않다.

행렬 ''A''가 ''m'' × ''n'' 행렬이고 계수가 ''n'' (즉, full column rank^영어 (전열계수))이며 ''m'' > ''n''일 때, 좌역원 $A^{-1}_{\text{left}} = (A^{\intercal}A)^{-1}A^{\intercal}$ 이 존재하여 $A^{-1}_{\text{left}} A = I_{n}$ 을 만족한다.
행렬 ''A''가 ''m'' × ''n'' 행렬이고 계수가 ''m'' (즉, full row rank^영어 (전행계수))이며 ''m'' < ''n''일 때, 우역원 $A^{-1}_{\text{right}} = A^{\intercal}(AA^{\intercal})^{-1}$ 이 존재하여 $A A^{-1}_{\text{right}} = I_{m}$ 을 만족한다.^[6]

rank-deficient^영어 (계수 부족) 행렬은 역원이나 한쪽 역원을 갖지 않는다. 그러나 모든 행렬에 대해 무어-펜로즈 의사 역행렬(pseudo-inverse)이 존재하며, 만약 행렬이 좌역원 또는 우역원을 가지면 의사 역행렬은 그것과 일치한다.

예를 들어, 2 × 3 행렬

A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{bmatrix}

는 행의 수(2)보다 열의 수(3)가 많고 계수가 2 (전행계수)이므로 우역원을 가진다. 계산하면 다음과 같다.

A^{-1}_\text{right} = A^{\intercal}(AA^{\intercal})^{-1} = \frac{1}{18}\begin{bmatrix}-17 & 8\\-2 & 2\\13 & -4\end{bmatrix}

이 행렬은 좌역원은 갖지 않는데,

A^{\intercal}A = \begin{bmatrix}17 & 22 & 27 \\22 & 29 & 36\\27 & 36 & 45\end{bmatrix}

가 비정칙 행렬이기 때문이다.

4. 2. 좌역 행렬과 우역 행렬

행렬

A

가

m \times n

행렬(즉,

m

개의 행과

n

개의 열을 가진 행렬)일 때, 행렬 곱셈에 대한 좌역 행렬과 우역 행렬을 생각할 수 있다.

행렬

A

는 그 계수(rank)가 열의 수

n

과 같을 때, 즉

\text{rank}(A) = n

일 때만 좌역 행렬을 가진다. 이는

A

의 열벡터들이 선형 독립임을 의미한다. 이 좌역 행렬

A^{-1}_\text{left}

는

A^{-1}_\text{left} A = I_n

(

I_n

은

n \times n

항등 행렬)을 만족하며,

A

가 정사각 행렬이 아니라면 일반적으로 유일하지 않다.

마찬가지로, 행렬

A

는 그 계수가 행의 수

m

과 같을 때, 즉

\text{rank}(A) = m

일 때만 우역 행렬을 가진다. 이는

A

의 행벡터들이 선형 독립임을 의미한다. 이 우역 행렬

A^{-1}_\text{right}

는

A A^{-1}_\text{right} = I_m

(

I_m

은

m \times m

항등 행렬)을 만족하며,

A

가 정사각 행렬이 아니라면 일반적으로 유일하지 않다.

만약

A

가 정사각 행렬(

m=n

)이고 가역 행렬이라면, 좌역 행렬과 우역 행렬은 모두 존재하며 서로 같고, 이는

A

의 유일한 역행렬

A^{-1}

과 일치한다. 체

K

위의 정사각 행렬

M

이 가역적일 필요충분조건은 그 행렬식이 0이 아닌 것이다. 행렬식이 0이면

M

은 정칙 행렬이 아니며, 좌역 행렬이나 우역 행렬 어느 쪽도 가질 수 없다. 더 일반적으로, 가환환

R

위의 정사각 행렬이 가역적이기 위한 필요충분조건은 그 행렬식이

R

의 가역원인 것이다.

전계수(full-rank) 비정방 행렬은 한쪽 역원을 가진다.^[6]

행렬 $A$ 가 $m \times n$ 행렬이고 $m > n$ 이며 $\text{rank}(A) = n$ (최대 열 계수)일 때, 좌역 행렬이 존재하며 다음과 같이 주어진다:

A^{-1}_\text{left} = (A^{\intercal}A)^{-1}A^{\intercal}

이때

A^{-1}_\text{left} A = I_{n}

이 성립한다. 여기서

A^{\intercal}

는

A

의 전치 행렬이고,

A^{\intercal}A

는 가역적인

n \times n

행렬이다.

행렬 $A$ 가 $m \times n$ 행렬이고 $m < n$ 이며 $\text{rank}(A) = m$ (최대 행 계수)일 때, 우역 행렬이 존재하며 다음과 같이 주어진다:

A^{-1}_\text{right} = A^{\intercal}(AA^{\intercal})^{-1}

이때

A A^{-1}_\text{right} = I_{m}

이 성립한다. 여기서

AA^{\intercal}

는 가역적인

m \times m

행렬이다.

계수가 감소한(rank-deficient) 행렬, 즉

\text{rank}(A) < \min(m, n)

인 행렬은 역원도 한쪽 역원도 갖지 않는다. 그러나, 무어-펜로즈 의사 역행렬은 임의의 행렬에 대해 존재하며, 만약 행렬

A

가 좌역 행렬 또는 우역 행렬을 가지는 경우, 그 의사 역행렬은 해당 역원과 일치한다.

행렬의 우역 행렬 예시를 살펴보자.

m < n

인 경우로, 2 × 3 행렬

A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{bmatrix}

을 생각해보자. 이 행렬은

m=2, n=3

이고, 두 행벡터

[1, 2, 3]

과

[4, 5, 6]

은 선형 독립이므로 계수는 2이다 (

\text{rank}(A) = m = 2

). 따라서 우역 행렬

A^{-1}_\text{right} = A^{\intercal}(AA^{\intercal})^{-1}

이 존재한다. 계산 과정은 다음과 같다.

AA^{\intercal} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4\\2 & 5\\3 & 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3) & (1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6) \\ (4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 3) & (4 \cdot 4 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}14 & 32\\32 & 77\end{bmatrix}

(AA^{\intercal})^{-1} = \frac{1}{14 \times 77 - 32 \times 32} \begin{bmatrix}77 & -32\\-32 & 14\end{bmatrix} = \frac{1}{1078 - 1024} \begin{bmatrix}77 & -32\\-32 & 14\end{bmatrix} = \frac{1}{54} \begin{bmatrix}77 & -32\\-32 & 14\end{bmatrix}

A^{-1}_\text{right} = A^{\intercal}(AA^{\intercal})^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 4\\2 & 5\\3 & 6\end{bmatrix} \frac{1}{54} \begin{bmatrix}77 & -32\\-32 & 14\end{bmatrix} = \frac{1}{54} \begin{bmatrix} (1 \cdot 77 + 4 \cdot -32) & (1 \cdot -32 + 4 \cdot 14) \\ (2 \cdot 77 + 5 \cdot -32) & (2 \cdot -32 + 5 \cdot 14) \\ (3 \cdot 77 + 6 \cdot -32) & (3 \cdot -32 + 6 \cdot 14) \end{bmatrix} = \frac{1}{54} \begin{bmatrix} -51 & 24 \\ -6 & 6 \\ 39 & -12 \end{bmatrix} = \frac{1}{18}\begin{bmatrix}-17 & 8\\-2 & 2\\13 & -4\end{bmatrix}

따라서 우역 행렬은

A^{-1}_\text{right} = \frac{1}{18}\begin{bmatrix}-17 & 8\\-2 & 2\\13 & -4\end{bmatrix}

이다.

반면, 이 행렬

A

의 좌역 행렬은 존재하지 않는다. 왜냐하면

\text{rank}(A) = 2 \neq n = 3

이기 때문이다. 실제로

A^{\intercal}A

를 계산하면

A^{\intercal}A = \begin{bmatrix}1 & 4\\2 & 5\\3 & 6\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}17 & 22 & 27 \\22 & 29 & 36\\27 & 36 & 45\end{bmatrix}

이 행렬은 3x3 정사각 행렬이지만, 행렬식이 0이므로 비정칙 행렬이고 역행렬을 갖지 않는다. 따라서

(A^{\intercal}A)^{-1}

를 계산할 수 없으므로 좌역 행렬을 위 공식으로 구할 수 없다.

5. 함수, 준동형 사상, 사상에서의 역원

합성은 부분 연산으로, 대수 구조의 준동형 사상과 범주의 사상으로 일반화될 수 있다. 이러한 일반화된 '합성' 연산은 함수 합성의 많은 속성을 공유한다.

모든 경우에서 합성은 결합 법칙을 따른다.

주어진 두 사상 $f\colon X\to Y$ 와 $g\colon Y'\to Z$ 에 대해, 합성 $g\circ f$ 는 다음 조건 하에 정의된다.

함수와 준동형 사상의 경우: ''f''의 공역 $Y$ 가 ''g''의 정의역 $Y'$ 과 같거나( $Y=Y'$ ), ''g''의 정의역에 포함될 때( $Y\subset Y'$ ).
사상의 경우: ''f''의 공역 $Y$ 가 ''g''의 정의역 $Y'$ 과 정확히 같을 때( $Y=Y'$ ).

모든 대상 ''X'' (집합, 대수 구조, 또는 대상)에 대해, 자기 자신으로 가는 항등사상

\operatorname{id}_X \colon X \to X

이 존재한다. 함수의 경우 이는 항등 함수라고 불린다.

함수, 준동형 사상, 사상에서는 각각의 구조에 맞는 역원의 개념이 정의되며, 이는 사상의 가역성과 밀접하게 연관된다. 가역적인 사상과 그 역원에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

5. 1. 동형 사상

가역적인 준동형 사상 또는 사상은 동형 사상이라고 불린다.^[1] 함수는 그 함수가 전단사 함수일 때에만 가역적이다. 대수 구조의 준동형 사상은 전단사 함수일 때에만 동형 사상이다.^[1] 전단사 함수의 역은 역함수라고 불리며, 다른 경우에는 '역동형 사상'이라고 한다.^[1]

사상 ''g''가 사상 ''f''의 왼쪽(또는 오른쪽) 역사상이라는 것은

g \circ f = \text{id}_{\operatorname{dom}f}

(또는

f \circ g = \text{id}_{\operatorname{codom}f}

)을 만족하는 것을 말한다.^[2] 여기서

\text{id}_{\operatorname{dom}f}

와

\text{id}_{\operatorname{codom}f}

는 각각 ''f''의 정의역(domain^영어)과 공역(codomain^영어) 상의 항등사상이다.^[2] 사상 ''f''의 역사상은 종종

f^{-1}

로 표기된다.^[2] 사상이 양쪽 역사상을 모두 가지는 것은 그 사상이 전단사일 때이며, 이 경우에만 해당한다.^[2]

5. 2. 분할 전사/단사 사상

함수는 각각 단사 함수이거나 전사 함수일 때만 왼쪽 역함수 또는 오른쪽 역함수를 가진다. 대수 구조의 준동형 사상이 왼쪽 역함수 또는 오른쪽 역함수를 가지면 각각 단사적이거나 전사적이지만, 그 역이 항상 성립하는 것은 아니다. 예를 들어, 그 역은 벡터 공간의 경우에는 참이지만, 환 위의 가군에서는 그렇지 않다.

왼쪽 역함수 또는 오른쪽 역함수를 갖는 가군의 준동형 사상은 각각 분할 전사 사상 또는 분할 단사 사상이라고 불린다. 이 용어는 모든 범주의 사상에도 사용된다.

사상 ''g''가 사상 ''f''의 왼쪽 역사상(left inverse)이라는 것은 두 사상의 합성

g \circ f

가 ''f''의 정의역 상의 항등사상

\operatorname{id}_{\operatorname{dom}f}

과 같다는 것을 의미한다. 즉, 다음을 만족한다.

:

g \circ f = \operatorname{id}_{\operatorname{dom}f}

마찬가지로, 사상 ''g''가 사상 ''f''의 오른쪽 역사상(right inverse)이라는 것은 합성

f \circ g

가 ''f''의 공역 상의 항등사상

\operatorname{id}_{\operatorname{codom}f}

과 같다는 것을 의미한다. 즉, 다음을 만족한다.

:

f \circ g = \operatorname{id}_{\operatorname{codom}f}

사상 ''f''의 역사상은 종종 ''f''⁻¹로 표기된다.

6. 일반화

군에서의 역원 개념은 항등원과 결합 법칙이 성립하는 비교적 제한된 구조에서 정의된다. 그러나 이 개념은 항등원이나 결합 법칙 중 일부 조건만을 만족하는 더 일반적인 대수 구조로 확장될 수 있다.

먼저, 결합 법칙은 성립하지 않지만 항등원은 존재하는 유니탈 마그마에서 역원을 정의할 수 있다. 이 경우, 어떤 원소에 대해 연산을 했을 때 항등원이 되는 다른 원소를 역원이라고 부르며, 연산 순서에 따라 '''왼쪽 역원'''과 '''오른쪽 역원'''을 구분한다. 양쪽 모두에 해당하는 역원이 존재할 수도 있지만, 결합 법칙이 없기 때문에 군에서처럼 역원이 유일하게 존재한다고 보장할 수는 없다. 심지어 하나의 원소가 여러 개의 양쪽 역원을 가질 수도 있다.

다음으로, 항등원의 존재를 요구하지 않고 결합 법칙만 만족하는 반군에서도 역원의 개념을 일반화할 수 있다. 반군에서는 특정 조건을 만족하는 원소를 '''(폰 노이만) 정규 원소'''라고 하며, 이와 관련된 '''유사 역원''' 또는 '''역원'''을 정의한다. 반군에서의 역원은 멱등원과 밀접한 관련이 있으며, 모든 원소가 이러한 역원을 갖는 정규 반군이나, 유일한 역원을 갖는 역 반군 등의 구조로 이어진다.^[2] 반군 이론 밖에서는 이러한 유일 역원을 '''준 역원'''이라고 부르기도 한다.

더 나아가, 반군에 특정 조건을 만족하는 단항 연산을 추가하여 역원 개념을 확장한 '''U-반군'''이라는 구조도 연구된다. 대표적으로 ''I''-반군과 *-반군이 있으며, 후자는 대합 연산을 통해 무어-펜로즈 역원과 같은 일반화된 역원의 개념으로 이어진다.^[3]

이처럼 '역원'이라는 개념은 기본적인 군의 정의를 넘어서 다양한 대수적 맥락에서 그 의미가 확장되고 일반화되어 사용된다. 각 구조의 특성에 따라 역원의 정의와 성질이 달라지므로, 어떤 대수 구조를 다루는지에 따라 역원의 의미를 명확히 이해하는 것이 중요하다.

6. 1. 유니탈 마그마 (Unital Magma)

집합

S

와 이항 연산

*

, 그리고 항등원

e \in S

가 주어졌을 때, 대수 구조

(S, *, e)

를 유니탈 마그마(Unital Magma^영어)라고 한다. 유니탈 마그마에서 역원의 개념은 다음과 같이 정의된다.

S

의 두 원소

a, b

에 대해, 만약

a * b = e

가 성립하면,

a

를

b

의 '''왼쪽 역원'''(left inverse^영어)이라 하고,

b

를

a

의 '''오른쪽 역원'''(right inverse^영어)이라고 한다. 이때

b

는 '''왼쪽 가역'''이고,

a

는 '''오른쪽 가역'''이다.

만약

S

의 원소

x

에 대해,

S

의 원소

y

가 존재하여

x

의 왼쪽 역원이면서 동시에 오른쪽 역원이 될 때, 즉 다음 식이 성립할 때,

:

x * y = y * x = e

y

를

x

의 '''양쪽 역원'''(two-sided inverse^영어) 또는 단순히 '''역원'''(inverse^영어)이라고 부른다. 양쪽 역원을 갖는 원소

x

는

S

에서 '''가역원'''이라고 하며, 이 경우

y

또한 가역이고

x

의 역원이 된다.

유니탈 마그마

(S,*)

의 원소는 여러 개의 왼쪽 역원, 오른쪽 역원, 또는 양쪽 역원을 가질 수 있다. 예를 들어, 아래 케일리 표로 주어진 마그마에서는 원소 2와 3이 각각 두 개의 양쪽 역원(1)을 갖는다.

*	1	2	3
1	1	2	3
2	2	1	1
3	3	1	1

그러나 연산 $*$ 가 결합 법칙을 만족하는 경우, 즉 유니탈 마그마가 모노이드인 경우에는 상황이 다르다. 모노이드에서 어떤 원소가 왼쪽 역원과 오른쪽 역원을 모두 가지면, 그 두 역원은 반드시 서로 같다. 따라서 모노이드의 각 원소는 최대 하나의 역원만을 가질 수 있다. 모노이드 내에서 가역원인 원소들의 집합은 군을 이루며, 이를 $S$ 의 단위군이라고 부르고 $U(S)$ 또는 $H_1$ 으로 표기한다.

모든 원소가 가역원인 유니탈 마그마라고 해서 반드시 루프가 되는 것은 아니다. 루프는 모든 원소가 유일한 왼쪽 및 오른쪽 역원을 가져야 하며, 케일리 표가 라틴 방진이어야 한다. 예를 들어, 다음 케일리 표로 주어진 마그마 $(S,*)$ 는 모든 원소가 유일한 양쪽 역원(자기 자신)을 갖지만, 케일리 표가 라틴 방진이 아니므로 루프가 아니다.

*	1	2	3
1	1	2	3
2	2	1	2
3	3	2	1

반대로, 루프라고 해서 모든 원소가 (양쪽) 역원을 가질 필요는 없다. 예를 들어, 다음 케일리 표로 주어진 루프에서는 항등원 1만이 유일하게 양쪽 역원을 갖는다.

*	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	3	1	5	4
3	3	4	5	1	2
4	4	5	2	3	1
5	5	1	4	2	3

모든 원소가 가역원인 유니탈 마그마 $L$ 을 루프(단위적 준군)라고 정의하기도 한다.

왼쪽 가역원은 왼쪽 소거 가능하며, 오른쪽 또는 양쪽 가역원에 대해서도 마찬가지이다.

6. 2. 반군 (Semigroup)

군에서의 역원 개념은 항등원의 존재를 필요로 하지만, 이 항등원 조건을 제외하고 결합 법칙만 유지하는 반군에서도 역원의 개념을 일반화할 수 있다.

반군 ''S''의 원소 ''x''에 대해, ''xzx'' = ''x''를 만족하는 ''S''의 원소 ''z''가 존재할 경우 ''x''를 (폰 노이만) 정규 원소((von Neumann) regular^eng)라고 부른다. 이때 ''z''는 종종 ''x''의 유사 역원(pseudo-inverse^eng)이라고 불린다. 만약 ''S''의 원소 ''y''가 ''xyx'' = ''x'' 와 ''y'' = ''yxy'' 두 조건을 모두 만족하면, ''y''는 ''x''의 역원(inverse^eng)이라고 정의된다.

모든 정규 원소는 적어도 하나의 역원을 가진다. 만약 ''x'' = ''xzx'' 라면, ''y'' = ''zxz''는 위 정의에 따른 ''x''의 역원이 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 또한, ''y''가 ''x''의 역원이라면, ''e'' = ''xy'' 와 ''f'' = ''yx'' 는 멱등원(즉, ''ee'' = ''e'' 이고 ''ff'' = ''f'')이 된다. 이 역원 쌍 (''x'', ''y'')은 두 개의 멱등원을 생성하며, ''ex'' = ''xf'' = ''x'', ''ye'' = ''fy'' = ''y'' 가 성립한다. 이는 ''e''가 ''x''에 대해 왼쪽 항등원처럼, ''f''가 오른쪽 항등원처럼 작용하며, ''y''에 대해서는 역할이 반대로 작용함을 의미한다. 이러한 관찰은 그린 관계를 통해 일반화될 수 있으며, 임의의 반군에서 모든 멱등원 ''e''는 특정 부분 집합에서 각각 왼쪽 항등원과 오른쪽 항등원의 역할을 한다.^[2]^[5]

모노이드(항등원을 가진 반군)에서 정의되는 역원은 반군에서의 역원보다 더 엄격한 개념이다. 모노이드에서는 특정 부분집합(''H''₁)의 원소만이 항등원을 기준으로 한 역원을 갖지만, 반군의 일반적인 정의에서는 임의의 멱등원 ''e''에 대해 ''H''_e의 원소들이 여기서 정의된 역원을 가질 수 있다. 이 더 일반화된 정의에 따르면, 반군 또는 모노이드에서 역원은 유일하지 않을 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있다.

모든 원소가 정규 원소인 반군(또는 모노이드)을 정규 반군이라고 하며, 이 경우 모든 원소는 적어도 하나의 역원을 갖는다. 만약 모든 원소가 위에서 정의된 반군 역원을 정확히 하나만 갖는다면, 그 반군을 역 반군이라고 한다. 멱등원이 하나뿐인 역 반군은 군과 동일한 구조를 가진다. 역 반군은 000 = 0을 만족하는 흡수 원소 0을 가질 수 있지만, 군에는 이러한 원소가 존재하지 않는다.

반군 이론 외의 분야에서는, 위에서 정의된 유일한 역원을 준 역원(quasi-inverse^eng)이라고 부르기도 한다. 이는 많은 응용에서 결합 법칙이 성립하므로 이 개념이 항등원을 기준으로 한 역원의 일반화로 볼 수 있기 때문이다(일반화 역원 참조).

6. 3. U-반군

역반군의 개념을 자연스럽게 일반화하여, 반군 ''S''의 모든 원소 ''a''에 대해 (''a''°)° = ''a''를 만족하는 단항 연산 °를 정의할 수 있다. 이는 ''S''에 유형 ⟨2,1⟩의 대수 구조를 부여하며, 이러한 연산이 추가된 반군을 ''U''-반군이라고 부른다. 이때 ''a''°가 ''a''의 역원처럼 보일 수 있지만, 반드시 그런 것은 아니다. 의미 있는 개념을 얻기 위해서는 단항 연산이 반군 연산과 어떤 방식으로든 상호 작용해야 한다. 주로 연구되는 ''U''-반군의 두 종류는 다음과 같다.^[3]

''I''-반군: 상호 작용 공리로 ''aa''°''a'' = ''a''를 만족한다.
*-반군: 상호 작용 공리로 (''ab'')° = ''b''°''a''°를 만족한다. 이 연산 °는 대합이라고 하며, 보통 ''a''*로 표시한다.

군은 ''I''-반군이자 *-반군임이 명백하다.

반군 이론에서 중요한 반군의 종류 중 하나는 완전 정규 반군이다. 이는 ''I''-반군이면서 추가적으로 ''aa''° = ''a''°''a''를 만족하는 반군이다. 즉, 모든 원소 ''a''는 자신과 교환 가능한 유사 역원 ''a''°를 가진다. 이러한 반군의 구체적인 예는 대부분 완전 단순 반군이다. 반대로, *-반군의 하위 부류인 *-정규 반군은 (고유한) 유사 역원의 잘 알려진 예인 무어-펜로즈 역원을 제공한다. 그러나 이 경우 대합 ''a''*는 유사 역원이 아니다. 오히려 ''x''의 유사 역원은 ''xyx'' = ''x'', ''yxy'' = ''y'', (''xy'')* = ''xy'', (''yx'')* = ''yx''를 만족하는 유일한 원소 ''y''이다. *-정규 반군은 역반군을 일반화하므로, *-정규 반군에서 이러한 방식으로 정의된 유일한 원소는 일반화 역원 또는 무어-펜로즈 역원이라고 불린다.

6. 4. 준정칙 원소 (Semiring)

곱셈 항등원을 반드시 갖지는 않는 결합환 ''K''에서 '''의사 곱셈'''이라는 연산 * 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

x*y = x + y - xy

이 연산 * 에 대한 항등원은 덧셈의 항등원인 영원 0과 같다. 환 ''K''의 두 원소 ''x'', ''y''에 대해

:

x*y = 0

이 만족될 때, ''x''를 ''y''의 '''왼쪽 준역원'''(left quasi-inverse^영어), ''y''를 ''x''의 '''오른쪽 준역원'''(right quasi-inverse^영어)이라고 부른다.

원소 ''x''가 왼쪽 준역원과 오른쪽 준역원을 모두 가지면, ''x''를 '''준정칙 원소'''(quasi-regular element^영어)라고 한다. 이 준정칙 원소의 개념은 제이콥슨 근기를 정의하는 데 사용된다.

만약 환 ''K''가 곱셈에 대한 항등원 1을 가진다면,

:

x*y = x + y - xy\iff (1-x)(1-y)=1-x*y

이 성립한다. 따라서 이 경우, ''x''가 준정칙 원소인 것은 1 − ''x''가 곱셈에 대해 가역원인 것과 동치이다. 즉, 1 − ''x''가 곱셈 역원을 갖는다는 의미이다.

7. 예시

이 절에서 다루는 모든 예시는 결합 연산자를 포함한다.

각각의 예시는 모두 결합 연산에 관한 것이며, 따라서 단위적 마그마에 대한 좌·우 역원과 일반적인 경우의 준역원을 살펴볼 수 있다.

7. 1. 실수의 역원

실수 집합

\mathbb{R}

과 덧셈 연산에 대해, 어떤 실수

x

의 덧셈에 대한 역원은

-x

이다. 이 덧셈에 대한 역원을 반수라고 부르기도 한다.

\mathbb{R}

에서 0을 제외한 집합과 곱셈 연산에 대해, 0이 아닌 실수

x

의 곱셈에 대한 역원은

{1 \over x}

이다. 이 곱셈에 대한 역원을 역수라고 부른다. 예를 들어, 실수 5의 곱셈에 대한 역수(승법적 역원)는

{1 \over 5}

이다.

반면, 실수 0은 곱셈에 대한 역원을 갖지 않는다. 즉,

0 \times y = 1

을 만족하는 실수

y

는 존재하지 않는다. 다만, 0은 0 자신을 유일한 준역원으로 가진다.

7. 2. 사상의 역원

이 절의 모든 예시는 결합 연산자를 포함한다.

사상 ''g''가 (사상 합성에 관한) 왼쪽 역사상 ''f''라는 것은 다음을 만족하는 것을 말한다.

:

g \circ f = \text{id}_{\operatorname{dom}f}

마찬가지로, 오른쪽 역사상 ''f''는 다음을 만족한다.

:

f \circ g = \text{id}_{\operatorname{codom}f}

여기서

\text{id}_{\operatorname{dom}f}

와

\text{id}_{\operatorname{codom}f}

는 각각 ''f''의 정의역 domain|도메인^eng과 공역 codomain|코도메인^eng 상의 항등사상이다. 사상 ''f''의 역사상은 보통 ''f''⁻¹로 표기한다.

어떤 사상이 양쪽 역사상(즉, 역사상)을 가지려면 그 사상은 반드시 전단사여야 하며, 전단사인 경우에만 역사상이 존재한다. 하지만 모든 사상은 준역사상(quasi-inverse)을 가진다. 이 때문에 전변환 반군은 정규 반군이 된다. 어떤 집합 위의 부분 사상 전체가 이루는 단위적 반군 역시 정규 반군이다. 반면, 단사 부분 변환 전체가 이루는 단위적 반군은 역반군의 대표적인 예시이다.

7. 3. 갈루아 연결 (Galois Connection)

(단조) 갈루아 연결에서 아래 수반 함수 L과 위 수반 함수 G는 서로 quasi-inverse|준-역함수^eng 관계에 있다. 이는 ''LGL'' = ''L'' 이고 ''GLG'' = ''G'' 임을 의미하며, L과 G 중 하나가 다른 하나를 유일하게 결정한다. 하지만 L과 G는 서로의 왼쪽 역함수나 오른쪽 역함수는 아니다.

7. 4. 역행렬과 의사 역행렬

체 ''K''의 성분을 갖는 정방 행렬 ''M''은 행렬식이 0이 아닐 때만 가역적이다. 만약 ''M''의 행렬식이 0이면, ''M''은 좌 역원이나 우 역원 어느 쪽도 가질 수 없다. (더 자세한 내용은 정칙 행렬 문서 참고) 더 일반적으로, 가환환 ''R'' 위의 정방 행렬이 가역적이기 위한 필요충분조건은 그 행렬식이 ''R''의 가역원이어야 한다.

전계수 행렬(full-rank)인 비정방 행렬은 한쪽 역원을 가질 수 있다.^[6]

행렬 ''A''가 ''m'' × ''n'' 행렬이고 ''m'' > ''n'' (행의 개수가 열의 개수보다 많을 때)이면, 좌 역원(좌 역행렬) $A^{-1}_\text{left} = (A^{\intercal}A)^{-1}A^{\intercal}$ 이 존재하여 $A^{-1}_\text{left} A = I_{n}$ 을 만족한다.
행렬 ''A''가 ''m'' × ''n'' 행렬이고 ''m'' < ''n'' (열의 개수가 행의 개수보다 많을 때)이면, 우 역원(우 역행렬) $A^{-1}_\text{right} = A^{\intercal}(AA^{\intercal})^{-1}$ 이 존재하여 $A A^{-1}_\text{right} = I_{m}$ 을 만족한다.

계수가 감소된(rank-deficient) 행렬은 역원이나 한쪽 역원을 갖지 않는다. 하지만 무어-펜로즈 의사 역행렬은 모든 행렬에 대해 존재하며, 만약 행렬이 (좌 또는 우) 역원을 가지면 의사 역행렬은 그 역원과 일치한다.

행렬의 역원의 예를 들면 다음과 같다. ''m'' < ''n''인 경우, 즉 2 × 3 행렬

A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{bmatrix}

을 생각해보자. 이 행렬은 열의 개수가 행의 개수보다 많으므로 우 역원

A^{-1}_\text{right} = A^{\intercal}(AA^{\intercal})^{-1}

이 존재한다. 계산 과정은 다음과 같다.

\begin{align}A^{-1}_\text{right}& = A^{\intercal}(AA^{\intercal})^{-1}= \begin{bmatrix}1 & 4\\2 & 5\\3 & 6\end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 4\\2 & 5\\3 & 6\end{bmatrix}\right)^{\!\!\!-1} \\[10pt]& = \begin{bmatrix}1 & 4\\2 & 5\\3 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}14 & 32\\32 & 77\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{54} \begin{bmatrix}1 & 4\\2 & 5\\3 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}77 & -32\\-32 & 14\end{bmatrix}= \frac{1}{18}\begin{bmatrix}-17 & 8\\-2 & 2\\13 & -4\end{bmatrix}\end{align}

한편, 좌 역원은 존재하지 않는다. 왜냐하면

A^{\intercal}A= \begin{bmatrix}1 & 4\\2 & 5\\3 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}17 & 22 & 27 \\22 & 29 & 36\\27 & 36 & 45\end{bmatrix}

는 정칙 행렬이 아니므로 역행렬을 갖지 않기 때문이다.

참조

_[1] 문서 The usual definition of an identity element has been generalized for including the identity functions as identity elements for function composition, and identity matrices as identity elements for matrix multiplication.
_[2] 서적 Howie, prop. 2.3.3, p. 51
_[3] 서적 Howie p. 102
_[4] 웹사이트 MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 – Left and Right Inverses; Pseudoinverse. http://ocw.mit.edu/O[...]
_[5] 서적 Howie, prop. 2.3.3, p. 51
_[6] 웹사이트 MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 - Left and Right Inverses; Pseudoinverse. http://ocw.mit.edu/O[...]

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