대각 사상

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대각 사상
- 2.2. 쌍대 대각 사상
3. 예시
4. 참고 문헌
참조

1. 개요

대각 사상은 기수와 범주 속 대상이 주어졌을 때, 곱 또는 쌍대곱의 보편 성질에 의해 유도되는 사상이다. 곱의 경우, 대상 X에서 X의 곱으로 가는 사상이며, 쌍대곱의 경우, X의 쌍대곱에서 X로 가는 사상을 의미한다. 이는 항등 사상과 끝 대상 또는 시작 대상으로 가는 사상으로 특수한 경우를 갖는다. 집합, 작은 범주, 조각 범주, 위상 공간, 스킴의 범주 등 다양한 범주에서 대각 사상의 개념이 활용되며, 해당 범주의 특성을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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대각 사상

2. 정의

기수 $\kappa$ 및 범주 $\mathcal C$ 속의 대상 $X$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $\kappa$ 개의 $X$ 들의 곱 $X^{\times\kappa}$ 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 $\operatorname{id}_X$ 로부터 유도되는 사상

: $\operatorname{diag}_X\colon X\to X^{\times\kappa}$

이 존재한다. 이를 '''대각 사상'''이라고 한다. 만약 $\kappa=1$ 일 경우 이는 항등 사상 $\operatorname{id}_X\colon X\to X$ 이며, 만약 $\kappa=0$ 일 경우 이는 끝 대상 $1\cong X^{\times1}$ 으로 가는 유일한 사상 $X\to1$ 이다.

마찬가지로, 만약 $\kappa$ 개의 $X$ 들의 쌍대곱 $X^{\sqcup\kappa}$ 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 $\operatorname{id}_X$ 로부터 유도되는 사상

: $\operatorname{diag}_X\colon X^{\sqcup\kappa}\to X$

이 존재한다. 이를 '''쌍대 대각 사상'''(codiagonal morphism^영어)이라고 한다. 만약 $\kappa=1$ 일 경우 이는 항등 사상 $\operatorname{id}_X\colon X\to X$ 이며, 만약 $\kappa=0$ 일 경우 이는 시작 대상 $0\cong X^{\sqcup1}$ 에서 $X$ 로 가는 유일한 사상 $0\to X$ 이다.

2. 1. 대각 사상

기수

\kappa

및 범주

\mathcal C

속의 대상

X

가 주어졌을 때,

\kappa

개의

X

들의 곱

X^{\times\kappa}

이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상

\operatorname{id}_X

로부터 유도되는 사상

:

\operatorname{diag}_X\colon X\to X^{\times\kappa}

이 존재한다. 이를 '''대각 사상'''이라고 한다. 만약

\kappa=1

일 경우 이는 항등 사상

\operatorname{id}_X\colon X\to X

이다.

\kappa=0

일 경우에는 끝 대상

1\cong X^{\times1}

으로 가는 유일한 사상

X\to1

이 된다.

만약

\kappa

개의

X

들의 쌍대곱

X^{\sqcup\kappa}

이 존재한다고 하면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상

\operatorname{id}_X

로부터 유도되는 사상

:

\operatorname{diag}_X\colon X^{\sqcup\kappa}\to X

이 존재한다. 이를 '''쌍대 대각 사상'''(codiagonal morphism^영어)이라고 한다.

\kappa=1

일 경우에는 항등 사상

\operatorname{id}_X\colon X\to X

이며,

\kappa=0

일 경우에는 시작 대상

0\cong X^{\sqcup1}

에서

X

로 가는 유일한 사상

0\to X

이다.

2. 2. 쌍대 대각 사상

기수

\kappa

와 범주

\mathcal C

속의 대상

X

가 주어졌을 때,

\kappa

개의

X

들의 쌍대곱

X^{\sqcup\kappa}

이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상

\operatorname{id}_X

로부터 유도되는 사상

:

\operatorname{diag}_X\colon X^{\sqcup\kappa}\to X

이 존재한다. 이를 '''쌍대 대각 사상'''(codiagonal morphism^영어)이라고 한다.

\kappa=1

일 경우 이는 항등 사상

\operatorname{id}_X\colon X\to X

이며,

\kappa=0

일 경우 이는 시작 대상

0\cong X^{\sqcup1}

에서

X

로 가는 유일한 사상

0\to X

이다.

3. 예시

3. 1. 집합의 범주

집합과 함수의 범주

\operatorname{Set}

는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합

X

과 기수

\kappa

가 주어졌을 때, 곱집합

X^{\times\kappa}

으로 가는 대각 함수는 다음과 같다.

:

\operatorname{diag}_X^\kappa\colon X\to X^{\times\kappa}

:

\operatorname{diag}_X^\kappa\colon x\mapsto(\overbrace{x,x,\dots,x}^\kappa)\in X^{\times\kappa}

대각 사상의 치역을 '''대각 부분 집합'''(diagonal subset^영어)이라고 한다.

\kappa=2

이며,

X

가 유한 집합이며,

X

에 임의의 전순서를 주면

X\times X

의 원소는 변의 길이가

|X|

인 정사각 행렬의 한 성분으로 생각할 수 있다. 이 경우, 대각 사상은 모든 원소를 정사각 행렬의 (왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는) 대각선 위의 성분에 대응시키며, "대각 사상"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.

:

\begin{pmatrix}\bullet\\-\\\vdots\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}\bullet&-&\cdots\\

&-&\cdots\\

\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}

:

\begin{pmatrix}

\\\bullet\\\vdots

\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}

&-&\cdots\\
&\bullet&\cdots\\

\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}

:

\vdots

3. 2. 작은 범주의 범주

작은 범주와 함자의 범주

\operatorname{Cat}

는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 작은 범주

\mathcal C

위의 대각 함자

:

\operatorname{diag}_{\mathcal C}\colon \mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C

는 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.

:

\operatorname{diag}_{\mathcal C}\colon X\mapsto (X,X)\in\mathcal C\times\mathcal C

:

\operatorname{diag}_{\mathcal C}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f\times f\colon (X,X)\to (Y,Y)\right)

3. 3. 조각 범주

범주

\mathcal C

속의 대상

A

위의 조각 범주

\mathcal C/A

를 생각하자. 조각 범주의 대상

f\colon X\to A

의 대각 사상

\operatorname{diag}_f

은 (만약 존재한다면)

\mathcal C

에서 다음과 같다.

:

\begin{matrix}X&\overset{\operatorname{diag}_f}\to&X\times_AX&\overset{\operatorname{proj}_1}\to&X\\&&{\scriptstyle\operatorname{proj}_12}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\&&X&\underset f\to&A\end{matrix}

즉, 이는 당김

X\times_AX

에 대한 대각 사상

X\to X\times_AX

을 이룬다.

3. 4. 위상 공간의 범주

위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

에서, 대각 사상

\operatorname{diag}_X\colon X\to X\times X

은 집합으로서의 대각 함수와 같으며, 대각 사상은 항상 그 상으로의 위상 동형을 정의한다.

위상 공간

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

하우스도르프 공간이다.
대각 사상 $X\to X\times X$ 의 상이 닫힌집합이다.

3. 5. 스킴의 범주

스킴의 범주에서, 당김에 대한 대각 사상

X\to X\times_YX

는 다음과 같이 다양한 정의·정리들에 등장한다.

스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $X\to X\times_YX$ 는 항상 스킴 몰입이다. 즉, 어떤 열린 몰입 $\iota_o\colon Z\to X\times_YX$ 및 닫힌 몰입 $\iota_c\colon X\to Z$ 의 합성이다.
스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $X\to X\times_YX$ 가 준콤팩트 함수라면 $f$ 를 준분리 사상이라고 한다.
스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $X\to X\times_YX$ 가 닫힌 몰입이라면 $f$ 를 분리 사상이라고 한다.^[9] 이는 대각 사상의 상이 닫힌집합인 것과 동치이다.^[9]
국소 유한 표시 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $f\colon X\to X\times_YX$ 가 열린 몰입이라면 $f$ 를 비분기 사상이라고 한다.^[10]
스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 '''보편 단사 사상'''(universally injective morphism^영어)이라고 한다.
* 임의의 스킴 사상 $Y'\to Y$ 에 대하여, 밑 변환 $X\times_YY'\to Y'$ 이 단사 함수이다.
* 대각 사상 $X\to X\times_YX$ 가 전사 함수이다.

4. 참고 문헌

S. Awodey^영어 (1996). “수학 및 논리의 구조: 범주론적 관점”. 《철학 수학(Philosophia Mathematica)》 4 (3): 209–237. doi:10.1093/philmat/4.3.209. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
John C. Baez^영어 (2004). 〈양자 난제: 범주론적 관점〉. 《양자 중력의 구조적 기초》. 240–265쪽. arXiv:quant-ph/0404040. Bibcode:2004quant.ph..4040B. doi:10.1093/acprof:oso/9780199269693.003.0008. ISBN 978-0-19-926969-3. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
J. Scott Carter^영어; Alissa Crans^영어; Mohamed Elhamdadi^영어; Masahico Saito^영어 (2008). “범주적 자기 분배성의 코호몰로지”. 《호모토피 및 관련 구조 저널(Journal of Homotopy and Related Structures)》 3 (1): 13–63. arXiv:math/0607417. Bibcode:2006math......7417C. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
Carl Faith^영어 (1973). 〈곱과 공곱〉. 《대수》. 83–109쪽. doi:10.1007/978-3-642-80634-6_4. ISBN 978-3-642-80636-0. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
Msakia Kashiwara^영어; Pierre Schapira^영어 (2006). 〈극한〉. 《범주와 층》. 수학의 기본 원리(Grundlehren der mathematischen Wissenschaften) 332. 35–69쪽. doi:10.1007/3-540-27950-4_3. ISBN 978-3-540-27949-5. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
Barry Mitchell^영어 (1965). 《범주론》. Academic Press. ISBN 978-0-12-499250-4. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
Fernando Muro^영어 (2016). “A-무한대 대수에서의 호모토피 단위”. 《미국 수학회 회보(Trans. Amer. Math. Soc.)》 368: 2145–2184. arXiv:1111.2723. doi:10.1090/tran/6545. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
Masakatsu Uzawa^영어 (1972). “복소 공간의 몇 가지 범주적 속성, 파트 II”. 《지바 대학교 교육학부 회보(Bulletin of the Faculty of Education, Chiba University)》 21: 83–93. ISSN 0577-6856. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
Nicolae Popescu^영어; Liliana Popescu^영어 (1979). 〈범주와 함수자〉. 《범주론》. 1–148쪽. doi:10.1007/978-94-009-9550-5_1. ISBN 978-94-009-9552-9. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
R. Pupier^프랑스어 (1964). “범주의 작은 가이드(Petit guide des catégories)”. 《수학부 출판물(Publications du Département de Mathématiques (Lyon))》 1 (1): 1–18. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)

참조

_[1] harv
_[2] harv
_[3] harv
_[4] harv
_[5] harv
_[6] harv
_[7] harv
_[8] harv
_[9] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
_[10] 저널 Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie http://www.numdam.or[...] 2016-02-26

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