반사 가군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 가군
- 2.2. 가군층
3. 성질
- 3.1. 반사 껍질
4. 예
5. 반준단환과의 관계
6. 역사
참조

1. 개요

반사 가군은 환 위의 가군과 가군층의 일종으로, 쌍대 가군을 통해 정의된다. 환 R 위의 왼쪽 가군 M의 쌍대 가군은 R-오른쪽 가군이며, M에서 쌍대 가군으로 가는 표준적인 준동형이 존재한다. 이 준동형이 단사이면 M을 준반사 가군, 전단사이면 반사 가군이라고 한다. 보다 일반적인 U-쌍대 가군과 U-준반사, U-반사 가군도 정의된다. 국소환 달린 공간 위의 가군층에서도 유사하게 정의되며, 준반사층과 반사층으로 분류된다. 사영 가군은 준반사 가군이고, 유한 생성 자유 가군은 반사 가군이다. 반사 가군은 반준단환과 관련이 있으며, 준반사 가군의 개념은 하이먼 배스에 의해 도입되었다.

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2. 정의

환 $R$ 위의 가군 $M$ 에 대하여, 그 '''쌍대 가군''' $M^\vee$ 를 정의할 수 있다. 이는 $M$ 에서 $R$ 로 가는 가군 준동형들의 모임으로 구성된다. 왼쪽 가군의 쌍대 가군은 오른쪽 가군이 되고, 오른쪽 가군의 쌍대 가군은 왼쪽 가군이 된다.

가군 $M$ 에서 그 이중 쌍대 가군 $M^{\vee\vee} = (M^\vee)^\vee$ 으로 가는 표준적인 가군 준동형 $M \to M^{\vee\vee}$ 가 존재한다. 이 준동형이 단사 사상일 경우 $M$ 을 '''준반사 가군'''(semireflexive module^영어)이라고 하며, 동형 사상일 경우 '''반사 가군'''(reflexive module^영어)이라고 한다.^[4] (일부 문헌에서는 준반사 가군을 torsionless module^영어이라고도 부른다.^[4])

보다 일반적으로, 특정 쌍가군 $U$ 를 이용하여 ''' $U$ -쌍대 가군''' 및 ''' $U$ -(준)반사 가군'''을 정의할 수도 있다.

대수기하학에서는 국소환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 $\mathcal O_X$ -가군층 $\mathcal M$ 에 대해서도 유사한 개념을 정의한다. '''쌍대 가군층''' $\mathcal M^\vee = \hom_{\mathcal O_X}(\mathcal M, \mathcal O_X)$ 을 정의하고, 표준적인 층 사상 $\mathcal M \to \mathcal M^{\vee\vee}$ 를 생각할 수 있다. 이 사상이 단사 사상이면 $\mathcal M$ 을 '''준반사층'''(semireflexive sheaf of modules^영어)이라 하고, 동형 사상이면 '''반사층'''(reflexive sheaf of modules^영어)이라고 한다. 예를 들어, 정규 스킴 위의 '''인자층'''(divisorial sheaf^영어)은 계수가 1인 반사층이다.

2. 1. 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

이 주어졌을 때, 이 가군의 '''쌍대 가군'''

M^\vee_R

은 다음과 같이 정의되는

R

-오른쪽 가군이다.

:

M^\vee = \hom(_RM, _RR)

여기서

\hom(_RM, _RR)

은

_RM

에서

_RR

로 가는 모든

R

-왼쪽 가군 준동형들의 집합을 나타낸다. 오른쪽 가군으로서의 연산은 다음과 같이 정의된다.

:

(fr)(m) = f(m)r \qquad \forall f \in M^\vee, \; r \in R, \; m \in M

마찬가지로,

R

-오른쪽 가군

N_R

의 쌍대 가군

N^\vee = \hom(N_R, R_R)

은

R

-왼쪽 가군이다.

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

에 대해,

M

에서 그것의 이중 쌍대 가군

M^{\vee\vee} = (M^\vee)^\vee = \hom(M^\vee_R, R_R)

로 가는 표준적인

R

-왼쪽 가군 준동형이 존재한다.

:

\Phi_M: M \to M^{\vee\vee}

:

\Phi_M(m)(f) = f(m) \qquad \forall m \in M, \; f \in M^\vee

이 표준 준동형

\Phi_M

이 단사 함수(즉, 가군 범주에서의 단사 사상)일 때, 가군

M

을 '''준반사 가군'''(semireflexive module^영어)이라고 부른다. 만약

\Phi_M

이 전단사 함수(즉, 가군 범주에서의 동형 사상)이면,

M

을 '''반사 가군'''(reflexive module^영어)이라고 한다.^[4] 일부 영문 문헌에서는 준반사 가군을 torsionless module^영어로 부르기도 하는데,^[4] 이는 표준 사상

M\to M^{\ast\ast}=\operatorname{Hom}_R(M^{\ast},R)

(여기서

M^* = M^\vee

)가 단사 사상인 것과 동치이다. 이 용어는 꼬임 없는 가군( torsion-free module^영어)과는 다른 개념이다.

꼬임 없는 가군(torsionless module, 즉 준반사 가군)은 다음과 같은 성질들을 가진다.

자유 가군은 꼬임 없는 가군이다. 더 일반적으로, 꼬임 없는 가군들의 직합 역시 꼬임 없는 가군이다.
유한 생성 자유 가군은 반사 가군이다. 일부 환 위에서는 무한히 생성된 자유 가군도 반사 가군일 수 있다. 예를 들어, 정수 $\mathbb{Z}$ 위에서 가산 무한 개의 $\mathbb{Z}$ 의 직합은 반사 가군이다.^[1]
꼬임 없는 가군의 부분가군은 꼬임 없는 가군이다. 특히, 환 $R$ 위의 모든 사영 가군은 꼬임 없는 가군이다. 또한, $R$ 의 모든 왼쪽 아이디얼은 꼬임 없는 왼쪽 가군이며, 오른쪽 아이디얼도 마찬가지이다.
정역 위에서 모든 꼬임 없는 가군(torsionless module)은 꼬임 없는 가군(torsion-free module)이다. 하지만 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 유리수의 덧셈군 $\mathbb{Q}$ 는 $\mathbb{Z}$ -가군으로서 꼬임이 없지만(torsion-free), 준반사 가군(torsionless module)은 아니다.
만약 $R$ 이 가환환이고 정역이며, $M$ 이 유한 생성된 꼬임 없는 가군(torsion-free module)이라면, $M$ 은 어떤 $n$ 에 대해 $R^n$ 의 부분가군으로 포함될 수 있으므로, $M$ 은 꼬임 없는 가군(torsionless module)이다.
오른쪽 $R$ -가군 $N$ 에 대해, 그것의 이중 쌍대 가군 $N^{\ast\ast}$ 는 왼쪽 $R$ -가군의 구조를 가진다. 이렇게 얻어지는 모든 왼쪽 $R$ -가군은 꼬임 없는 가군(torsionless module)이다. 마찬가지로, 왼쪽 $R$ -가군의 이중 쌍대 가군은 꼬임 없는 오른쪽 $R$ -가군이다.

보다 일반적으로, 환

R

,

S

와

R

-왼쪽 가군

_RM

, 그리고

(R,S)

-쌍가군

_RU_S

가 주어졌다고 하자. 이때,

_RM

의 '''

U

-쌍대 가군'''(

U

-dual module^영어)은 다음과 같은

S

-오른쪽 가군으로 정의된다.

:

M^\vee_U = \hom(_RM, _RU_S)

마찬가지로,

S

-오른쪽 가군의

U

-쌍대 가군은

R

-왼쪽 가군이 된다. 이 경우에도 표준적인

R

-가군 준동형

M \to (M^\vee_U)^\vee_U

가 존재하며, 이 준동형이 단사 함수이면

M

을 '''

U

-준반사 가군'''(

U

-semireflexive module^영어), 전단사 함수이면 '''

U

-반사 가군'''(

U

-reflexive module^영어)이라고 한다.

추가적인 성질은 다음과 같다.

데데킨트 정역 위에서, 유한 생성 가군이 반사 가군일 필요충분조건은 그 가군이 꼬임 없는 가군(torsionless module)인 것이다.^[2]
$R$ 이 노에터 환이고 $M$ 이 $R$ 위의 반사적인 유한 생성 가군이라고 하자. 만약 $S$ 가 $R$ 위의 평탄 가군이라면, 텐서곱 $M \otimes_R S$ 는 $S$ 위의 반사 가군이다.^[3]

2. 2. 가군층

국소환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal M

에 대하여, 쌍대 가군층

\mathcal M^\vee

는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathcal M^\vee=\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal M,\mathcal O_X)

이때, 다음과 같은 표준적인

\mathcal O_X

-가군층 사상

\mathcal M\to\mathcal M^{\vee\vee}

를 정의할 수 있다.

:

\left(s\in\Gamma(U;\mathcal M)\right)\mapsto \left((f\in\Gamma\left(U;\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal O_X,\mathcal M)\right)\mapsto f(s)\right)\qquad\forall U\in\operatorname{Open}(X)

이 가군층 사상이 단사 사상일 경우,

\mathcal M

을 '''준반사층'''(semireflexive sheaf of modules^영어)이라고 부른다. 만약 이 사상이 동형 사상이라면,

\mathcal M

을 '''반사층'''(reflexive sheaf of modules^영어)이라고 한다.

정규 스킴 위의 '''인자층'''(divisorial sheaf^영어)은 계수 1의 반사층이다.

3. 성질

가군 $M$ 에서 그것의 이중 쌍대 가군 $M^{\ast\ast}$ 로 가는 표준적인 가군 준동형 사상이 존재한다.

: $\Phi_M: M\to M^{\ast\ast}=\operatorname{Hom}_R(M^{\ast},R), \quad m\mapsto (f\mapsto f(m)), \quad m\in M, f\in M^{\ast}$

이 사상 $\Phi_M$ 이 단사 사상일 경우, 가군 $M$ 을 '''준반사 가군'''(quasi-reflexive module^영어) 또는 '''꼬임 없는 가군'''(torsionless module^영어)이라고 한다. 만약 이 사상이 동형 사상(즉, 전단사)이라면, $M$ 을 '''반사 가군'''(reflexive module^영어)이라고 한다. 모든 반사 가군은 정의상 준반사 가군(꼬임 없는 가군)이다.

반사 가군과 준반사 가군은 다음과 같은 성질들을 가진다.

모든 사영 가군은 준반사 가군(꼬임 없는 가군)이다.^[4]
환 $R$ 위의 모든 왼쪽 아이디얼은 반사 왼쪽 가군이다.^[4] (오른쪽 아이디얼도 마찬가지로 반사 오른쪽 가군이다.) 따라서 모든 아이디얼은 꼬임 없는 가군이다.
유한 생성 자유 가군은 반사 가군이다.
더 일반적으로, 자유 가군은 유한 생성될 때 반사 가군이 된다. 일부 환의 경우, 무한 생성 자유 가군도 반사 가군이 될 수 있다. 예를 들어, 정수환 '''Z''' 위의 가산 무한 개의 직합은 반사 가군이다.^[1]
단위원을 갖는 자유 가군은 꼬임 없는 가군이다.
꼬임 없는 가군의 직합은 꼬임 없는 가군이다.
꼬임 없는 가군의 부분 가군은 꼬임 없는 가군이다.

환

R

의 종류에 따라 다음과 같은 성질들이 추가로 성립한다.

정역 $R$ 위의 유한 생성 가군 $M$ 이 꼬임 없는 가군이면, $M$ 은 준반사 가군이다.
* 만약 $R$ 이 가환환인 정역이고 $M$ 이 유한 생성 꼬임 없는 가군이라면, $M$ 은 어떤 자연수 $n$ 에 대해 $R^n$ 의 부분 가군으로 여길 수 있다.
프뤼퍼 정역 위의 가군에 대하여, 모든 준반사 가군은 평탄 가군이다.
데데킨트 정역 위의 가군에 대하여, 다음 두 조건은 동치이다.^[2]
* 가군이 꼬임 없는 가군이다.
* 가군이 반사 가군이다.
$R$ 이 노에터 환이고 $M$ 이 $R$ 위의 반사 유한 생성 가군이라고 하자. 만약 $S$ 가 $R$ 위의 평탄 가군이라면, 텐서곱 $M \otimes_R S$ 는 $S$ 위의 반사 가군이다.^[3]

또한, 쌍대화 연산과 관련하여 다음 성질이 성립한다.

오른쪽 $R$ -가군 $N$ 에 대하여, 그것의 이중 쌍대 가군 $N^{\ast\ast}$ 는 꼬임 없는 왼쪽 $R$ -가군이다. 마찬가지로, 왼쪽 $R$ -가군 $M$ 의 이중 쌍대 가군 $M^{\ast\ast}$ 는 꼬임 없는 오른쪽 $R$ -가군이다.

3. 1. 반사 껍질

(X,\mathcal O_X)

가 국소 뇌터 정역 스킴이라고 하고, 그 위에 주어진 연접층

\mathcal M

을 생각해 보자. 그렇다면,

\mathcal M

의 이중 쌍대 가군층인

:

\mathcal M^{\vee\vee}

은 항상 반사 가군층이다. 이

\mathcal M^{\vee\vee}

를

\mathcal M

의 '''반사 껍질'''(reflexive hull^영어)이라고 부른다. 물론, 반사 가군층은 스스로의 반사 껍질과 동형 관계에 있다.

4. 예

체 위의 가군 (즉, 벡터 공간)은 항상 준반사 가군이며, 반사 가군이 되는 것과 유한 차원인 것은 서로 필요충분조건이다.

$\mathbb Z$ 위의 가군 $\mathbb Q$ 는 꼬임 없는 가군이지만, 준반사 가군은 아니다.^[4] 꼬임 없는 가군을 준반사 가군이라고도 부르기도 하지만, 모든 꼬임 없는 가군이 준반사 가군인 것은 아니다.

몇 가지 다른 예시는 다음과 같다.

자유 가군은 꼬임이 없다. 꼬임 없는 가군들의 직합 역시 꼬임이 없다.
유한 생성 자유 가군은 반사 가군이다. 일부 환에서는 무한 생성 자유 가군도 반사 가군이 될 수 있다. 예를 들어, 정수 $\mathbb Z$ 위의 가산 무한 개의 직합 $\mathbb Z^{\oplus \mathbb N}$ 은 반사 가군이다.^[1]
꼬임 없는 가군의 부분 가군은 꼬임이 없다. 특히, 환 $R$ 위의 모든 사영 가군은 꼬임이 없으며, $R$ 의 모든 왼쪽 아이디얼은 꼬임 없는 왼쪽 가군이고, 오른쪽 아이디얼도 마찬가지이다.
데데킨트 정역 위에서는, 유한 생성 가군이 반사 가군인 것과 꼬임 없는 가군인 것이 동치이다.^[2]
만약 $R$ 이 노에터 환이고 $M$ 이 $R$ 위의 반사 유한 생성 가군이라면, $S$ 가 $R$ 위의 평탄 가군일 때마다 $M \otimes_R S$ 는 $S$ 위의 반사 가군이다.^[3]

5. 반준단환과의 관계

스티븐 체이스(Stephen Chase)는 반준단환과 비틀림 없는 가군의 관계에 대해 다음과 같은 특징을 증명했다.

임의의 환 ''R''에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

''R''은 좌반준단환이다.
모든 비틀림 없는 오른쪽 ''R''-가군은 평탄 가군이다.
환 ''R''은 좌코히어런트 환이며, 다음의 네 가지 조건 중 하나를 만족한다. 이 네 가지 조건은 서로 동치인 것으로 알려져 있다.
* ''R''의 모든 오른쪽 아이디얼은 평탄하다.
* ''R''의 모든 왼쪽 아이디얼은 평탄하다.
* 모든 오른쪽 평탄 ''R''-가군의 부분 가군은 평탄하다.
* 모든 왼쪽 평탄 ''R''-가군의 부분 가군은 평탄하다.

(위 명제에서 좌/우 형용사의 혼합은 실수가 ''아니다''.)

6. 역사

준반사 가군의 개념은 하이먼 배스가 도입하였다.^[4]^[5]^[6]

참조

_[1] 서적 Almost Free Modules - Set-theoretic Methods
_[2] 문서
_[3] 간행물
_[4] 서적 Lectures on modules and rings Springer
_[5] 서적 Algebra, ''K''-theory, groups, and education on the occasion of Hyman Bass’s 65th birthday American Mathematical Society 1999
_[6] 저널 Injective dimension in Noetherian rings 1962-01

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