준군

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1. 개요

준군은 대수적 구조의 한 종류로, 집합과 부분 함수, 그리고 결합 법칙과 역원의 존재 등의 조건을 만족하는 수학적 대상이다. 범주론적으로는 모든 사상이 동형 사상인 작은 범주로 정의되며, 군의 개념을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 군, 집합, 작용 준군, 기본 준군, 동치 관계 등 다양한 수학적 구조와 관련되어 있으며, 위상 준군, 리 준군, 심플렉틱 준군과 같이 기하학적 구조를 가질 수도 있다. 1926년 하인리히 브란트에 의해 처음 도입되었다.

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준군
그룹포이드 정보
정의	모든 사상이 가역인 범주
유형	마그마
참고	군의 일반화
준군 정보
연산	이항 연산
성질	나눗셈 가능
관련 개념	마그마, 반군, 루프, 군

2. 정의

준군은 대수적 정의와 범주론적 정의, 두 가지 방식으로 정의될 수 있다.

대수적 정의에서 준군은 부분 함수를 가진 집합으로 구성된 대수적 구조이다. 정확하게는, 공집합이 아닌 집합 $G$ 에 단항 연산 ${}^{-1}:G\to G$ 와 부분 함수 $*:G\times G \rightharpoonup G$ 가 있는 구조이다. 여기서 *는 $G$ 의 모든 원소 쌍에 대해 정의될 필요가 없으므로 이항 연산이 아니다.

범주론적 정의에 따르면, 준군은 모든 사상이 동형 사상인 작은 범주이다.^[1]

대수적 정의와 범주론적 정의는 서로 동치이다. 예를 들어, 범주론적 정의에서 모든 집합 ''G''(''x'',''y'') (즉, ''x''에서 ''y''로의 사상의 집합)의 서로소 합집합을 ''G''라 하면, $\mathrm{comp}$ 와 $\mathrm{inv}$ 는 ''G''에 대한 부분 연산이 되고, $\mathrm{inv}$ 는 모든 곳에서 정의된다. 반대로, 대수적 정의에서 원소에 대한 동치 관계를 정의하여 범주론적 정의를 구성할 수도 있다.

2. 1. 대수적 정의

'''준군'''(groupoid)

(\mathcal G,\mathcal S,\cdot)

은 다음과 같은 데이터로 구성된 대수적 구조이다.

집합 $\mathcal G$
$\mathcal G\times\mathcal G$ 의 부분 집합 $\mathcal S\subseteq\mathcal G\times\mathcal G$
$\mathcal S$ 위에 정의된 함수 $\cdot\colon\mathcal S\to\mathcal G$ . $\cdot(g,h)$ 는 $gh$ 로 쓴다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

('''결합 법칙''') 임의의 $g,h,k\in\mathcal G$ 에 대하여, 만약 $(g,h),(h,k)\in\mathcal S$ 라면 $(g,hk),(gh,k)\in\mathcal S$ 이며, $g(hk)=(gh)k$ 이다.
('''역원의 존재''') 임의의 $g\in\mathcal G$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 원소 $g^{-1}\in\mathcal G$ 가 존재한다. 이를 $g$ 의 '''역원'''(inverse^영어)이라고 한다.
(정의역과 공역) $(g,g^{-1})\in\mathcal S$ 이자 $(g^{-1},g)\in\mathcal S$ 이다.
(오른쪽 항등원의 성질) 임의의 $h\in\mathcal G$ 에 대하여, 만약 $(h,g)\in\mathcal S$ 라면, $hgg^{-1}=h$ 이다.
(왼쪽 항등원의 성질) 임의의 $h\in\mathcal G$ 에 대하여, 만약 $(g,h)\in\mathcal S$ 라면, $g^{-1}gh=h$ 이다.

이 공리들로부터 임의의 원소의 역원이 유일함을 보일 수 있으나, (부분적으로 성립하는) 항등원은 유일하지 않다. 즉, 임의의

g,h\in\mathcal G

에 대하여

gg^{-1}\ne hh^{-1}

일 수 있다.

준군은 부분 함수를 가진 집합으로 구성된 대수적 구조로 볼 수 있다.

정확하게는, 공집합이 아닌 집합

G

에 단항 연산

{}^{-1}:G\to G,

와 부분 함수

*:G\times G \rightharpoonup G

가 있는 구조이다. 여기서 *는

G

의 모든 원소 쌍에 대해 정의될 필요가 없으므로 이항 연산이 아니다.

*

가 정의되는 정확한 조건은 명시되지 않으며 상황에 따라 다르다.

연산

\ast

와 ⁻¹는 다음과 같은 공리적 속성을 갖는다.

G

의 모든

a

,

b

,

c

에 대해,

# '''결합 법칙''': 만약

a*b

와

b*c

가 정의된다면,

(a * b) * c

와

a * (b * c)

는 정의되고 서로 같다. 반대로,

(a * b) * c

또는

a * (b * c)

중 하나가 정의되면 둘 다 정의되고 (서로 같으며),

a*b

와

b*c

도 정의된다.

# '''역원''':

a^{-1} * a

와

a*{a^{-1}}

는 항상 정의된다.

# '''항등원''': 만약

a*b

가 정의된다면,

a*b*{b^{-1}} = a

이고,

{a^{-1}} * a * b = b

이다. (앞의 두 공리는 이미 이러한 표현식이 정의되고 모호하지 않음을 보여준다.)

이러한 공리에서 다음 두 가지 속성이 도출된다.

$(a^{-1})^{-1} = a$
만약 $a*b$ 가 정의된다면, $(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}$ .^[3]

2. 2. 범주론적 정의

범주론적으로, '''준군'''은 모든 사상이 동형 사상인 작은 범주이다.^[1] 이 정의는 대수적 정의와 동치이다. 대수적 정의와 범주론적 정의는 아래 표와 같이 서로 번역할 수 있다.

준군의 대수적 정의와 범주론적 정의 비교^[3]
대수적 정의	범주론적 정의
$\mathcal G$ 의 원소	$\mathcal G$ 의 사상
$\mathcal S\subseteq\mathcal G^2$	$\bigsqcup_{A,B,C\in\operatorname{Ob}(\mathcal G)}\hom_{\mathcal G}(A,B)\times\hom_{\mathcal G}(B,C)$
$(g,h)\in\mathcal S$	$\operatorname{codom}g=\operatorname{dom}h$
$\{gg^{-1}\colon g\in\mathcal G\}\subseteq\mathcal G$	$\mathcal G$ 의 대상 집합 $\operatorname{Ob}(\mathcal G)$
$gg^{-1},hh^{-1}\in\mathcal G$ 에 대하여, $\{$
이항 연산 $\cdot\colon\mathcal S\to\mathcal G$	사상의 합성

3. 예시

군은 하나의 대상을 가진 준군과 동치이며, 이 경우 군의 원소는 준군의 사상에 대응한다. 집합은 항등 사상 외의 다른 사상을 갖지 않는 준군과 동치이며, 집합의 원소는 준군의 대상에 대응한다.

위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 의 점들을 대상으로 하고, 점 $p$ 에서 점 $q$ 로의 사상은 $p$ 에서 $q$ 까지의 연속 경로의 동치류로 정의되는 기본 군군 $\pi_1(X)$ 을 생각할 수 있다. 두 경로는 호모토피이면 동치이다.^[5] 이러한 두 사상은 먼저 첫 번째 경로를 따르고, 두 번째 경로를 따름으로써 합성되며, 호모토피 동치는 이러한 합성이 결합 법칙을 만족함을 보장한다.

3. 1. 군 (Group)

군은 하나의 대상을 가진 준군과 동치이다. 이 경우, 군의 원소는 준군의 사상에 대응한다.^[12] 군의 대상이 하나뿐인 경우, 해당 사상의 집합은 군을 형성한다. 대수적 정의를 사용하면, 이러한 종류의 군은 말 그대로 군이다.

3. 2. 집합

항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 준군은 집합과 동치이다. 이 경우, 집합의 원소는 준군의 대상들에 대응한다.

3. 3. 작용 준군 (Action Groupoid)

군

G

가 집합

S

위에 작용할 때, 이 작용을 '''작용 준군'''

\textstyle G\int S

로 나타낼 수 있다. 작용 준군은 다음과 같이 정의된다.

대상은 $S$ 의 원소이다.
$s,t\in S$ 에 대하여, $\hom_{G\int S}=\{g\in G\colon gs=t\}$ 이다.

군 작용을 나타내는 작용 준군(또는 변환 준군)은 다음과 같이 정의된다.

객체는 $X$ 의 요소이다.
$X$ 의 두 요소 $x$ 와 $y$ 에 대해, $x$ 에서 $y$ 로의 사상은 $gx = y$ 를 만족하는 $G$ 의 요소 $g$ 이다.
사상의 합성은 $G$ 의 이항 연산을 따른다.

작용 준군은

\mathrm{ob}(C)=X

와

\mathrm{hom}(C)=G\times X

를 가지는 작은 범주이며, 소스 및 타겟 맵은

s(g,x) = x

및

t(g,x) = gx

이다. 이는

G \ltimes X

(또는 오른쪽 작용의 경우

X\rtimes G

)로 표시된다. 이때 군군에서의 곱셈(또는 합성)은

(h,y)(g,x) = (hg,x)

이며,

y=gx

일 때 정의된다.

X

의

x

에 대한 정점 군은

gx=x

인

(g,x)

로 구성되며, 이는 주어진 작용에 대한

x

에서의 등방 부분군이다. (이 때문에 정점 군은 등방 군이라고도 한다). 작용 준군의 궤도는 군 작용의 궤도이며, 군군은 군 작용이 추이적일 때만 추이적이다.

G

-집합을 설명하는 또 다른 방법은 함자 범주

[\mathrm{Gr},\mathrm{Set}]

를 이용하는 것이다. 여기서

\mathrm{Gr}

은 하나의 요소를 가지고 그룹

G

와 동형인 군군(범주)이다. 이 범주의 모든 함자

F

는 집합

X=F(\mathrm{Gr})

을 정의하며,

G

의 모든

g

에 대해 전단사

F_g

:

X\to X

를 유도한다. 함자

F

의 범주 구조는

F

가 집합

G

에 대한

G

-작용을 정의함을 보장한다. 표현 가능 함자

F

:

\mathrm{Gr} \to \mathrm{Set}

는

G

의 케일리 표현이다. 이 함자는

\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)

와 동형이며,

\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})

을 "집합"

G

로,

\mathrm{Gr}

의 사상

g

를 집합

G

의 순열

F_g

로 보낸다. 요네다 매장 정리로부터 군

G

가

\{F_g\mid g\in G\}

인 군과 동형이며,

G

의 순열 군의 부분군임을 알 수 있다.

예를 들어,

\mathbb{Z}/2

의 유한 집합

X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}

에 대한 군 작용을 생각해보자. 이 작용은 각 숫자를 그 음수로 변환한다. 즉,

-2 \mapsto 2

이고

1 \mapsto -1

이다. 몫 군군

[X/G]

는 이 군 작용으로부터 얻어진 동치류의 집합

\{[0],[1],[2]\}

이며,

[0]

은

\mathbb{Z}/2

에 대한 군 작용을 가진다.

유한군

G

가

GL(n)

으로 사상되면, 이는 아핀 공간

\mathbb{A}^n

에 대한 군 작용을 제공한다. 그러면 몫 군군

[\mathbb{A}^n/G]

의 형태를 가질 수 있으며, 이는 원점에서 안정자

G

를 갖는 한 점을 갖는다. 이러한 예들은 오비폴드 이론의 기초를 형성한다. 다른 일반적으로 연구되는 오비폴드족은 가중 투영 공간

\mathbb{P}(n_1,\ldots, n_k)

와 그 부분 공간, 예를 들어 칼라비-야우 오비폴드가 있다.

3. 4. 기본 준군 (Fundamental Groupoid)

위상 공간

X

와 그 부분 집합

S\subseteq X

가 주어졌을 때, '''기본 준군'''

\Pi(X,S)

는 다음과 같이 정의된다.

$\Pi(X,S)$ 의 대상은 $S$ 의 원소이다.
$s,t\in S$ 에 대하여, $\hom_{\Pi(X,S)}(s,t)$ 는 $s$ 에서 $t$ 로 가는 경로들의 (양끝을 고정시킨) 호모토피류들의 집합이다.

위상 공간

X

가 주어졌을 때,

X

의 기본 군군

\pi_1(X)

(또는

\Pi_1(X)

)는

X

의 점들을 대상으로 하고, 점

p

에서 점

q

로의 사상은

p

에서

q

까지의 연속 경로의 동치류로 정의된다. 두 경로는 호모토피이면 동치이다.^[5]

이러한 두 사상은 먼저 첫 번째 경로를 따르고, 두 번째 경로를 따름으로써 합성된다. 호모토피 동치는 이러한 합성이 결합 법칙을 만족함을 보장한다. 일반적인 기본군

\pi_1(X,x)

는 점

x

에 대한 정점군이다.

기본 군군

\pi_1(X)

의 궤도는

X

의 경로 연결 성분이다. 따라서, 경로 연결 공간의 기본 군군은 추이적이며, 임의의 밑점에서의 기본군이 동형이라는 알려진 사실을 얻는다. 더욱이, 이 경우 기본 군군과 기본군은 범주로서 동치이다.

A\subset X

가 선택된 "밑점" 집합인 경우, 기본 군군

\pi_1(X,A)

는

\pi_1(X)

의 부분 군군이며, 끝점이

A

에 속하는 경로만 고려한다. 집합

A

는 현재 상황의 기하학에 따라 선택될 수 있다.

3. 5. 동치 관계 (Equivalence Relation)

X

가 셋토이드, 즉 동치 관계

\sim

를 가진 집합이라면, 이 동치 관계를 "나타내는" 준군은 다음과 같이 정의할 수 있다.

준군의 대상은 $X$ 의 원소이다.
$X$ 의 임의의 두 원소 $x$ 와 $y$ 에 대해, $x\sim y$ 인 경우에만 $x$ 에서 $y$ 로의 유일한 사상 $(y,x)$ 가 존재한다.
$(z,y)$ 와 $(y,x)$ 의 합성(composition)은 $(z,x)$ 이다.

이 준군의 정점 그룹(vertex group)은 항상 자명(trivial)하다. 이 준군은 일반적으로 추이적(transitive)이지 않으며, 그 궤도(orbit)는 정확히 동치류(equivalence class)이다.

몇 가지 극단적인 예는 다음과 같다.

$X$ 의 모든 원소가 $X$ 의 다른 모든 원소와 관계가 있는 경우, $X \times X$ 전체를 사상(arrow) 집합으로 갖는 '''쌍 준군(pair groupoid)'''을 얻으며, 이는 추이적이다.
$X$ 의 모든 원소가 자기 자신과만 관계가 있는 경우, $X$ 를 사상 집합으로 갖고, $s = t = id_X$ 이며, 완전히 비추이적인 '''단위 준군(unit groupoid)'''을 얻는다. (모든 단일 집합 $\{x\}$ 는 궤도이다.)
만약 $f: X_0 \to Y$ 가 매끄러운 다양체의 전사 잠수라면, $X_0\times_YX_0 \subset X_0\times X_0$ 는 동치 관계이다.^[6] $Y$ 는 위상 공간의 전사 함수 아래에서 $X_0$ 의 몫 위상과 동형인 위상을 가지기 때문이다. 만약 $X_1 = X_0\times_YX_0$ 로 쓴다면, 다음과 같은 준군을 얻는다.

::

X_1 \rightrightarrows X_0

::이것은 때때로 매끄러운 다양체의 전사 잠수의 '''사소한 준군(trivial groupoid)'''이라고 불린다.

만약 반사성(reflexivity) 요구 사항을 완화하고 ''부분 동치 관계(partial equivalence relation)''를 고려한다면, 집합에 대한 계산 가능한 실현체(realizability)에 대한 반결정 가능한 동치 개념을 고려하는 것이 가능해진다. 이것은 준군이 ''PER 모델''이라고 불리는 집합론에 대한 계산 가능한 근사(approximation)로 사용될 수 있게 한다. 범주(category)로 간주될 때, PER 모델은 마틴 하일랜드가 소개한 유효한 토포스를 발생시키는 자연수 대상(natural number object)과 부분 대상 분류자(subobject classifier)를 가진 데카르트 닫힌 범주(cartesian closed category)이다.

3. 6. 체흐 준군 (Čech Groupoid)

체흐 군상^[6]은 어떤 다양체

X

의 열린 덮개

\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}

에 의해 주어진 동치 관계와 연관된 특별한 종류의 군상이다. 그 대상은 분리합집합으로 주어지며, 사상은 교차점으로 주어진다.

$\mathcal{G}_0 = \coprod U_i$

$\mathcal{G}_1 = \coprod U_{ij}$

소스 및 타겟 맵은 다음과 같은 유도된 맵으로 주어진다.

$\begin{align}s = \phi_j: U_{ij} \to U_j\\t = \phi_i: U_{ij} \to U_i\end{align}$

포함 맵

$\varepsilon: U_i \to U_{ii}$

은 군상의 구조를 제공한다.

이는 다음과 같이 확장될 수 있다.

$\mathcal{G}_n = \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0} \cdots \times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1$

여기서

n

은 합성 가능한 사상의

n

-튜플을 나타내는

\mathcal{G}_n

을 갖는

n

-반복된 섬유 곱이다. 섬유 곱의 구조 맵은 암묵적으로 대상 맵이다.

$\begin{matrix}U_{ijk} & \to & U_{ij} \\\downarrow & & \downarrow \\U_{ik} & \to & U_{i}\end{matrix}$

U_i

에 대한 맵이 대상 맵인 데카르트 도표이다. 이 구성은 일부 ∞-군상에 대한 모델로 볼 수 있다.

또한, 이 구성에서 어떤 상수 아벨 군의 층에 대한 k-코사이클

$[\sigma] \in \check{H}^k(\mathcal{U},\underline{A})$

는 다음과 같은 함수로 표현될 수 있다.

$\sigma:\coprod U_{i_1\cdots i_k} \to A$

이는 코호몰로지 클래스의 명시적 표현을 제공한다.

4. 군과의 관계

군은 특수한 경우의 준군이다.^[12] 대상이 하나뿐인 군의 경우, 해당 사상의 집합은 군을 형성한다. 대수적 정의에 따르면, 이러한 종류의 군은 말 그대로 군이다. 군론의 많은 개념은 군의 준동형사상을 대체하는 함자 개념을 사용하여 군으로 일반화된다.

4. 1. 정점군 (Vertex Group)

준군에서 각 대상에서 자기 자신으로 가는 사상들의 집합은 군을 이룬다. ''G'' 내의 '''정점군'''(또는 '''등방군''' 또는 '''대상군''')은 ''G''의 임의의 대상 ''x''에 대해 ''G''(''x'',''x'') 형태의 부분 집합이다.^[12] 이는 모든 쌍의 원소가 합성 가능하고 역원이 동일한 정점군에 있기 때문에 실제로 군을 이룬다.

만약 두 점

x

와

y

가 동일한 궤도에 있다면, 해당 정점군

G(x)

와

G(y)

는 동형이다.

f

가

x

에서

y

로의 임의의 사상이라면, 동형은 사상

g\to fgf^{-1}

에 의해 주어진다.

4. 2. 궤도 (Orbit)

군체 ''G''의 점

x \in X

에서의 '''궤도'''는 ''G'' 내의 사상에 의해 ''x''와 연결될 수 있는 모든 점을 포함하는 집합

s(t^{-1}(x)) \subseteq X

로 주어진다. 두 점

x

와

y

가 동일한 궤도에 있으면, 해당 정점군

G(x)

와

G(y)

는 동형이다. 만약

f

가

x

에서

y

로의 임의의 사상이라면, 동형은 사상

g\to fgf^{-1}

에 의해 주어진다.

궤도는 집합 ''X''의 분할을 형성하며, 군체는 단일 궤도만 있는 경우(동등하게는 범주로서 연결된 경우) '''추이적'''이라고 한다. 이 경우, 모든 정점군은 동형이다.

군의 대상이 하나뿐인 경우, 해당 사상의 집합은 군을 형성한다.

모든 추이적/연결된 군(즉, 임의의 두 대상이 적어도 하나의 사상으로 연결된 군)은 작용군

(G, X)

과 동형이다. 추이성에 따라 작용 아래에 궤도가 하나만 존재한다.

군이 추이적이지 않으면, 위의 유형의 군의 분리 집합과 동형이라고도 하며, 이를 '''연결 요소'''라고 한다.

군 ''G''의 부분군 ''H''는 ''G''의 잉여류 집합에 대한 ''G''의 작용을 생성하므로, 예를 들어, ''K''가 ''H''와 동형인 정점군을 가진 군인 경우, ''G''에서 ''K''로의 덮개 사상

p

가 생성된다.

4. 3. 추이적 준군 (Transitive Groupoid)

군의 작용과 동형인 준군을 추이적 준군이라고 한다. 모든 대상이 서로 연결된 준군은 군의 작용과 동형이라는 성질을 갖는다.^[12]

임의의 두 대상이 적어도 하나의 사상으로 연결된 준군을 추이적 준군이라고 한다. 이러한 추이적 준군은 작용 군

(G, X)

과 동형이다. 여기서

G

는 군이고,

X

는 집합이다. 이때, 작용 군은 군 작용이 추이적일 때만 추이적이다.

만약 군

G

가 집합

X

에 작용한다면, 이 군 작용을 나타내는 작용 군군(변환 군군)을 만들 수 있다.

객체: 집합 $X$ 의 원소들이다.
사상: $X$ 의 두 원소 $x$ 와 $y$ 에 대해, $x$ 에서 $y$ 로의 사상은 $gx = y$ 를 만족하는 $G$ 의 원소 $g$ 에 해당한다.
사상의 합성: $G$ 의 이항 연산을 따른다.

이 작용 군군은

G \ltimes X

(또는 오른쪽 작용의 경우

X\rtimes G

)로 표시된다.

5. 준군의 범주 (Category of Groupoids)

준군들의 범주는 대상이 군체이고 사상이 군체 사상인 범주로, Grpd로 표기한다. 이 범주는 데카르트 닫힌 범주이며, 완비 범주이자 공완비 범주이다.^[1]
Grpd는 데카르트 닫힌 범주이므로, 임의의 군체 $H, K$ 에 대해 대상이 사상 $H \to K$ 이고 화살표가 사상의 자연 동치인 군체 $\operatorname{GPD}(H, K)$ 를 구성할 수 있다. $H, K$ 가 단순히 군인 경우, 이러한 화살표는 사상의 공액이다. 임의의 군체 $G, H, K$ 에 대해 다음과 같은 자연스러운 전단사 함수가 존재한다.

: $\operatorname{Grpd}(G \times H, K) \cong \operatorname{Grpd}(G, \operatorname{GPD}(H, K)).$

이 결과는 모든 군체 $G, H, K$ 가 단순히 군인 경우에도 유효하다.

5. 1. 작은 범주 (Category of Small Categories)와의 관계

포함 사상

i : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{Cat}

는 왼쪽 및 오른쪽 수반 함자를 모두 갖는다.

:

\hom_{\mathbf{Grpd}}(C[C^{-1}], G) \cong \hom_{\mathbf{Cat}}(C, i(G))

:

\hom_{\mathbf{Cat}}(i(G), C) \cong \hom_{\mathbf{Grpd}}(G, \mathrm{Core}(C))

여기서

C[C^{-1}]

는 모든 사상을 뒤집는 범주의 국소화를 나타내고,

\mathrm{Core}(C)

는 모든 동형 사상의 하위 범주를 나타낸다.

5. 2. 심플리셜 집합 (Simplicial Set)과의 관계

신경 함자

N :  \mathbf{Grpd} \to \mathbf{sSet}

는 '''Grpd'''를 심플리셜 집합 범주의 가득찬 부분 범주로 임베딩한다. 준군의 신경은 항상 칸 복합체이다.^[1]

신경은 왼쪽 수반을 갖는다.^[1]

:

\hom_{\mathbf{Grpd}}(\pi_1(X), G) \cong \hom_{\mathbf{sSet}}(X, N(G))

여기서

\pi_1(X)

는 심플리셜 집합 X의 기본 준군을 나타낸다.^[1]

5. 3. Grpd 내의 준군 (Groupoids in Grpd)

범주 내의 군에서 파생될 수 있는 추가적인 구조는 '''이중 군'''(double-groupoid)이다.^[13]^[14] '''Grpd'''는 2-범주이기 때문에, 이러한 대상들은 1-범주 대신 2-범주를 형성하며, 이는 추가적인 구조가 있기 때문이다. 본질적으로, 이들은 다음과 같은 함자를 가진 군

\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_0

이다.

$s,t: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0$

그리고 항등 함자에 의해 주어진 매립이 있다.

$i:\mathcal{G}_0 \to\mathcal{G}_1$

이러한 2-군을 생각하는 한 가지 방법은, 이들이 수직 및 수평으로 함께 결합될 수 있는 대상, 사상 및 사각형을 포함한다는 것이다. 예를 들어, 다음과 같은 사각형이 주어졌을 때,

$\begin{matrix}\bullet & \to & \bullet \\\downarrow & & \downarrow \\\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet\end{matrix}$ and $\begin{matrix}\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\\downarrow & & \downarrow \\\bullet & \to & \bullet\end{matrix}$

여기서

a

는 동일한 사상이며, 다음과 같은 다이어그램을 제공하여 수직으로 결합될 수 있다.

$\begin{matrix}\bullet & \to & \bullet \\\downarrow & & \downarrow \\\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\\downarrow & & \downarrow \\\bullet & \to & \bullet\end{matrix}$

이는 수직 화살표를 결합하여 다른 사각형으로 변환될 수 있다. 사각형의 수평 부착에 대한 유사한 결합 법칙이 있다.

6. 기하학적 구조를 가진 준군

기하학적 객체를 연구할 때 발생하는 군은 종종 위상을 가지며, 이를 위상 군으로 만들거나, 어떤 미분 가능한 구조를 가져 리 군으로 만들기도 한다.

6. 1. 위상 준군 (Topological Groupoid)

기하학에서 발생하는 군은 종종 군 곱셈과 상호 작용하는 추가적인 구조를 가진다. 예를 들어, 푸아송 기하학에서는 호환 가능한 심플렉틱 형식을 갖춘 리 군인 심플렉틱 군 개념이 있다. 마찬가지로, 호환 가능한 리만 계량 또는 복소 구조 등을 가진 군을 가질 수 있다.^[1]

6. 2. 리 준군 (Lie Groupoid)

미분 가능한 구조를 가진 준군을 리 군과 리 대수 사이의 관계에 비추어 리 준군이라 하며, 관련 리 대수의 관점에서 연구될 수도 있다.^[1]

푸아송 기하학에서는 호환 가능한 심플렉틱 형식을 갖춘 리 군인 심플렉틱 군 개념이 있다.^[1] 마찬가지로, 호환 가능한 리만 계량 또는 복소 구조 등을 가진 군을 가질 수 있다.^[1]

6. 3. 심플렉틱 준군 (Symplectic Groupoid)

심플렉틱 형식을 갖춘 리 군인 심플렉틱 군과 유사하게, 심플렉틱 준군은 호환 가능한 심플렉틱 형식을 갖춘 리 준군이다.

7. 역사

1926년에 하인리히 브란트(Heinrich Brandt^de)가 도입하였다.^[15]

참조

_[1] 서적 The Group Fixed by a Family of Injective Endomorphisms of a Free Group https://books.google[...]
_[2] 서적 Brandt semi-group SpringerEOM
_[3] 문서
_[4] 서적 A Concise Course in Algebraic Topology The University of Chicago Press
_[5] 웹사이트 fundamental groupoid in nLab https://ncatlab.org/[...] 2017-09-17
_[6] arXiv Mukai duality for gerbes with connection 2009-01-09
_[7] 웹사이트 Localization and Gromov-Witten Invariants https://www.math.ubc[...]
_[8] 서적 An Introduction to Groups, Groupoids and Their Representations: An Introduction https://www.crcpress[...] CRC Press
_[9] 웹사이트 Puzzles, Groups, and Groupoids https://cornellmath.[...] 2008
_[10] 웹사이트 The 15-puzzle groupoid (1) http://www.neverendi[...] 2015-12-25
_[11] 웹사이트 The 15-puzzle groupoid (2) http://www.neverendi[...] 2015-12-25
_[12] 웹사이트 delooping in nLab https://ncatlab.org/[...] 2017-10-31
_[13] arXiv Double groupoids and homotopy 2-types 2010-03-19
_[14] 학술지 Catégories et structures : extraits http://www.numdam.or[...] 1964
_[15] 저널 Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes

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