블로흐 구면

3. 수학적 표현

어떤 순수 상태의 2준위 양자계든지 기저 벡터의 Superposition|중첩 상태^eng로 표현할 수 있다.^[1] 정규 직교 기저가 주어지면, 2준위 양자계의 모든 순수 상태 $|\backslash psi\backslash rangle$는 기저 벡터 $|0\backslash rangle$와 $|1\backslash rangle$의 중첩으로 표현할 수 있으며, 각 기저 벡터에 대한 계수는 복소수이다. 하지만 양자계의 전체 위상은 측정할 수 없으므로, 두 기저 벡터 계수 간의 상대 위상만이 물리적인 의미를 가진다. 이 때문에 $|0\backslash rangle$의 계수를 음이 아닌 실수로 선택할 수 있다.

또한, 양자역학의 기본 원리에 따라 시스템이 어떤 상태에 있을 확률의 총합은 1이어야 한다. 이는 수학적으로 정규화 조건 $\backslash langle\backslash psi\; |\; \backslash psi\backslash rangle\; =\; 1$ (또는 동등하게 $\backslash big\backslash |\; |\backslash psi\backslash rangle\; \backslash big\backslash |^2\; =\; 1$)으로 표현된다.

이러한 조건들을 고려하면, 임의의 순수 상태 $|\backslash psi\backslash rangle$를 다음과 같이 두 개의 실수 매개변수 $\backslash theta$와 $\backslash phi$를 사용하여 나타낼 수 있다.

:$$

|\psi\rangle =

\cos\left(\theta /2\right) |0 \rangle \, + \, e^{i\phi} \sin\left(\theta /2\right) |1\rangle =

\cos\left(\theta /2\right) |0 \rangle \, + \, (\cos \phi + i \sin \phi) \, \sin\left(\theta /2\right) |1\rangle

여기서 $0\; \backslash leq\; \backslash theta\; \backslash leq\; \backslash pi$ 이고 이다.

이 표현에서 상태 $|\backslash psi\backslash rangle$가 기저 상태 $|0\; \backslash rangle$ ($\backslash theta=0$) 또는 $|1\; \backslash rangle$ ($\backslash theta=\backslash pi$)일 때는 $\backslash phi$ 값이 유일하게 결정되지 않지만, $\backslash theta$와 $\backslash phi$로 정의되는 블로흐 구 위의 점은 항상 유일하게 결정된다.

매개변수 $\backslash theta$와 $\backslash phi$는 구면 좌표계에서 각각 ''z''축에 대한 극각과 ''x''축에 대한 방위각으로 해석될 수 있으며, 3차원 실수 공간($\backslash mathbb\{R\}^3$)의 단위 구 위의 한 점 $\backslash vec\{a\}$를 지정한다.

:$\backslash vec\{a\}\; =\; (\backslash sin\backslash theta\; \backslash cos\backslash phi,\backslash ;\; \backslash sin\backslash theta\; \backslash sin\backslash phi,\backslash ;\; \backslash cos\backslash theta)\; =\; (u,\; v,\; w)$

순수 상태는 이 단위 구의 표면 위의 점으로 표현된다.

혼합 상태는 밀도 연산자 $\backslash rho$를 사용하여 기술한다. 임의의 2차원 밀도 연산자 $\backslash rho$는 단위 행렬 $I$와 에르미트이고 대각합이 0인 파울리 행렬 $\backslash vec\{\backslash sigma\}\; =\; (\backslash sigma\_x,\; \backslash sigma\_y,\; \backslash sigma\_z)$의 선형 결합으로 전개할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\rho &= \frac{1}{2}\left(I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}\right) \\

&= \frac{1}{2}\left(I + a_x \sigma_x + a_y \sigma_y + a_z \sigma_z \right) \\

&= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}

1 + a_z & a_x - ia_y \\

a_x + ia_y & 1 - a_z

\end{pmatrix}

\end{align}

여기서 벡터 $\backslash vec\{a\}\; =\; (a\_x,\; a\_y,\; a\_z)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^3$는 해당 상태를 나타내는 '''블로흐 벡터'''라고 한다.

밀도 연산자는 양의 준정부호(positive semi-definite)여야 하므로, 그 고유값은 음수가 될 수 없다. $\backslash rho$의 고유값은 $\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1\; \backslash pm\; |\backslash vec\{a\}|\backslash right)$로 주어지므로, $\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1\; -\; |\backslash vec\{a\}|\backslash right)\; \backslash ge\; 0$ 이어야 한다. 따라서 블로흐 벡터의 크기는 $\backslash left|\backslash vec\{a\}\backslash right|\; \backslash le\; 1$ 이라는 제약을 받는다.

순수 상태의 경우, $\backslash rho\; =\; |\backslash psi\backslash rangle\backslash langle\backslash psi|$ 이므로 $\backslash rho^2\; =\; \backslash rho$ 이다. 따라서 $\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\backslash rho^2\backslash right)\; =\; \backslash operatorname\{tr\}(\backslash rho)\; =\; 1$ 이다. 이를 밀도 연산자 표현식을 이용하여 계산하면,

:$\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\backslash rho^2\backslash right)\; =\; \backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{4\}(I\; +\; \backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})^2\; \backslash right)\; =\; \backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{4\}(I\; +\; 2\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\}\; +\; (\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})^2)\; \backslash right)$

여기서 $(\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})^2\; =\; |\backslash vec\{a\}|^2\; I$ 이고 $\backslash operatorname\{tr\}(\backslash sigma\_i)=0$ 이므로,

:$\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\backslash rho^2\backslash right)\; =\; \backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{4\}((1+|\backslash vec\{a\}|^2)I\; +\; 2\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash sigma\})\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; [\; (1+|\backslash vec\{a\}|^2)\backslash operatorname\{tr\}(I)\; +\; 2\backslash vec\{a\}\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{tr\}(\backslash vec\{\backslash sigma\})\; ]\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; [\; (1+|\backslash vec\{a\}|^2)\; \backslash cdot\; 2\; +\; 0\; ]\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1\; +\; \backslash left|\backslash vec\{a\}\backslash right|^2\; \backslash right)$

순수 상태 조건 $\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\backslash rho^2\backslash right)\; =\; 1$로부터 $\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1\; +\; \backslash left|\backslash vec\{a\}\backslash right|^2\; \backslash right)\; =\; 1$ 이므로, $\backslash left|\backslash vec\{a\}\backslash right|\; =\; 1$ 이다. 이는 순수 상태가 블로흐 구의 표면에 위치한다는 결과와 일치한다.^[2]

결론적으로, 블로흐 구의 표면($\backslash left|\backslash vec\{a\}\backslash right|\; =\; 1$)은 2준위 양자 시스템의 모든 순수 상태를 나타내고, 블로흐 구의 내부()는 모든 혼합 상태에 해당한다.

4. 순수 상태

n단계 양자 시스템은 n차원 힐베르트 공간 ''H_n''으로 기술된다. 이 힐베르트 공간에서 순수 상태는 방향이 같은 상태 벡터들의 집합, 즉 '광선'(ray)의 집합으로 정의된다. 이는 벡터 자체의 크기나 전체적인 위상(phase)은 물리적으로 구분되지 않음을 의미한다.

크기 ''n''의 유니타리 행렬로 이루어진 리 군 U(''n'')은 ''H_n''의 순수 상태 전체에 작용하며, 이 작용은 추이적이라는 중요한 성질을 갖는다. 이는 어떤 순수 상태든 적절한 유니타리 변환을 통해 다른 어떤 순수 상태로든 변환될 수 있음을 뜻한다.

이 성질 덕분에, 순수 상태 공간은 수학적으로 다음과 같은 잉여류 공간으로 표현될 수 있으며, 이 공간은 콤팩트하다.

:$\backslash operatorname\{U\}(n)\; /(\backslash operatorname\{U\}(n\; -\; 1)\; \backslash times\; \backslash operatorname\{U\}(1)).$

여기서 $\backslash operatorname\{U\}(n\; -\; 1)\; \backslash times\; \backslash operatorname\{U\}(1)$은 특정 순수 상태를 변화시키지 않는 변환들의 부분군, 즉 등방군에 해당한다.

U(''n'') 군 자체의 실수 차원은 ''n''²이다. 이로부터 순수 상태 공간의 실수 차원을 계산할 수 있는데, 그 결과는 2''n'' − 2이다.

:$n^2\; -\; \backslash left((n\; -\; 1)^2\; +\; 1\backslash right)\; =\; 2n\; -\; 2.\; \backslash quad$

이 결과를 ''m''개의 큐비트로 구성된 양자 레지스터에 적용해 보자. 이 시스템의 힐베르트 공간 차원은 ''n'' = 2^''m''이다. 따라서 ''m''-큐비트 양자 레지스터의 순수 상태 공간의 실수 차원은 2^''m''+1 − 2가 된다.

가장 기본적인 예로 하나의 큐비트, 즉 2준위계(n=2)를 생각하면, 순수 상태 공간의 실수 차원은 2(2) - 2 = 2이다. 이는 3차원 공간 속 구면의 차원과 같으며, 이것이 블로흐 구가 큐비트 상태를 표현하는 데 사용되는 이유 중 하나이다. 2준위계의 임의의 순수 상태는 두 개의 직교 기저 상태 $|0\; \backslash rangle$, $|1\; \backslash rangle$의 중첩으로 표현될 수 있다. 상태 벡터의 전체 위상은 물리적 의미가 없고 정규화 조건($\backslash langle\; \backslash psi\; |\; \backslash psi\; \backslash rangle\; =\; 1$)을 만족해야 하므로, 상태는 두 개의 실수 매개변수로 결정된다. 이를 각도 $\backslash theta$와 $\backslash phi$를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$|\backslash psi\backslash rangle\; =\; \backslash cos(\backslash theta/2)\; |0\; \backslash rangle\; +\; e^\{i\; \backslash phi\}\; \backslash sin(\backslash theta/2)\; |1\; \backslash rangle$

여기서 $0\; \backslash leq\; \backslash theta\; \backslash leq\; \backslash pi$, 이다. 이 매개변수 표현은 블로흐 구 표면 위의 점과 직접적으로 대응된다. 기저 상태 $|0\; \backslash rangle$ ($\backslash theta=0$)과 $|1\; \backslash rangle$ ($\backslash theta=\backslash pi$)는 각각 블로흐 구의 북극과 남극에 해당하며, 이때 $\backslash phi$ 값은 정의되지 않지만 상태 표현은 유일하다.

4. 1. 입체 투영을 통한 순수 상태 표현

5. 혼합 상태

혼합 상태는 밀도 연산자를 사용하여 설명한다. 2차원 양자계(큐비트)의 모든 밀도 연산자 ρ는 항등원 I와 에르미트이고 대각합이 0인 파울리 행렬 $\backslash vec\{\backslash sigma\}\; =\; (\backslash sigma\_x,\; \backslash sigma\_y,\; \backslash sigma\_z)$의 선형 결합으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\rho &= \frac{1}{2}\left(I + \vec{a} \cdot \vec{\sigma}\right) \\

&= \frac{1}{2}\left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + a_x \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + a_y \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + a_z \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right) \\

&= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + a_z & a_x - ia_y \\ a_x + ia_y & 1 - a_z \end{pmatrix} \end{align}

여기서 $\backslash vec\{a\}\; =\; (a\_x,\; a\_y,\; a\_z)$는 실수 성분을 가지는 3차원 벡터로, 블로흐 벡터라고 불린다. 이 벡터는 주어진 상태에 해당하는 블로흐 구 내부 또는 표면 위의 점 $(a\_x,\; a\_y,\; a\_z)$를 나타낸다.

밀도 연산자 ρ의 고유값은 $\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1\; \backslash pm\; |\backslash vec\{a\}|\backslash right)$이다. 밀도 연산자는 물리적으로 확률 분포를 나타내므로 양의 준정부호여야 하며, 이는 고유값이 음수가 될 수 없음을 의미한다. 따라서 블로흐 벡터의 크기는 $\backslash left|\backslash vec\{a\}\backslash right|\; \backslash le\; 1$ 이어야 한다.

순수 상태의 경우, 밀도 행렬은 $\backslash rho\; =\; |\backslash psi\backslash rangle\backslash langle\backslash psi|$ 꼴이며, 이 경우 $\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\backslash rho^2\backslash right)\; =\; 1$ 이라는 성질을 만족한다. 위 식을 이용하여 계산하면 $\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\backslash rho^2\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(1\; +\; \backslash left|\backslash vec\{a\}\backslash right|^2\; \backslash right)$ 이므로, 순수 상태는 $\backslash left|\backslash vec\{a\}\backslash right|\; =\; 1$ 인 경우에 해당한다. 이는 순수 상태가 블로흐 구의 표면에 있는 점으로 표현된다는 것을 의미한다.^[2]

반면, 인 경우는 혼합 상태에 해당하며, 블로흐 구의 내부에 있는 점으로 표현된다. 특히 $\backslash vec\{a\}\; =\; \backslash vec\{0\}$ 인 경우, 즉 $\backslash rho\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}I$ 인 상태는 완전히 무작위한 상태(maximally mixed state)로, 블로흐 구의 중심에 해당한다.

결과적으로, 블로흐 구의 표면은 2차원 양자 시스템의 모든 순수 상태를 나타내고, 구의 내부는 모든 혼합 상태를 나타낸다. 블로흐 구의 표면과 내부 전체를 합쳐 블로흐 볼(Bloch ball)이라고 부른다.

혼합 상태는 여러 순수 상태의 확률적 앙상블로 이해할 수 있다. 만약 시스템이 확률 $p\_i$로 순수 상태 $|\backslash psi\_i\backslash rangle$ (블로흐 벡터 $\backslash vec\{a\}\_i\; =\; (x\_i,\; y\_i,\; z\_i)$)에 있을 수 있다면, 이 혼합 상태에 해당하는 밀도 연산자는 $\backslash rho\; =\; \backslash sum\_i\; p\_i\; |\backslash psi\_i\backslash rangle\backslash langle\backslash psi\_i|$ 이고, 해당 블로흐 벡터는 각 순수 상태 블로흐 벡터의 가중 평균인 $\backslash vec\{a\}\; =\; \backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash vec\{a\}\_i$ 가 된다. 따라서 혼합 상태는 블로흐 볼 내부의 점 $\backslash left(\; \backslash sum\; p\_i\; x\_i,\; \backslash sum\; p\_i\; y\_i,\; \backslash sum\; p\_i\; z\_i\; \backslash right)$ 로 표현된다. 이는 블로흐 볼 내부의 모든 점이 순수 상태들의 볼록 조합으로 표현될 수 있음을 의미한다.

블로흐 구(볼)는 2준위 시스템(큐비트)의 상태를 시각적으로 표현하는 매우 유용한 도구이지만, 이를 3개 이상의 준위를 가진 고차원 양자 시스템으로 일반화하는 것은 간단하지 않다. 고차원 시스템의 상태 공간 구조는 훨씬 더 복잡하며, 상태를 나타내는 "블로흐 바디"의 기하학적 형태는 단순한 구가 아니다.

6. u, v, w 표현

블로흐 벡터 $\backslash vec\{a\}\; =\; (u,v,w)$는 밀도 연산자 $\backslash rho$를 참조하여 다음 기저로 표현될 수 있다.

:$u\; =\; \backslash rho\_\{10\}\; +\; \backslash rho\_\{01\}\; =\; 2\; \backslash operatorname\{Re\}(\backslash rho\_\{01\})$

:$v\; =\; i(\backslash rho\_\{01\}\; -\; \backslash rho\_\{10\})\; =\; 2\; \backslash operatorname\{Im\}(\backslash rho\_\{10\})$

:$w\; =\; \backslash rho\_\{00\}\; -\; \backslash rho\_\{11\}$

여기서 밀도 연산자 $\backslash rho$는 다음과 같다.

:$\backslash rho\; =$

\begin{pmatrix} \rho_{00} & \rho_{01} \\ \rho_{10} & \rho_{11} \end{pmatrix} =

\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+w & u-iv \\ u+iv & 1-w \end{pmatrix}.



이 기저는 $w$가 인구 반전으로 알려진 레이저 이론에서 자주 사용된다. 이 기저에서 숫자 $u,\; v,\; w$는 세 개의 파울리 행렬 $X,\; Y,\; Z$의 기대값이므로, 세 좌표를 각각 x, y, z 축과 동일시할 수 있다.

7. 회전

블로흐 구면 표현의 중요한 장점 중 하나는 큐비트 상태의 시간에 따른 변화, 즉 진화를 블로흐 구면 위에서의 벡터 회전으로 시각적으로 나타낼 수 있다는 점이다. 이는 복잡한 양자 상태의 변화를 직관적으로 이해하는 데 도움을 준다.

이러한 표현이 가능한 수학적인 이유는 양자역학에서 상태 변화를 나타내는 유니타리 행렬과 에르미트 행렬로 구성된 SU(2) 그룹의 리 대수가, 우리가 일상적으로 경험하는 3차원 공간에서의 회전을 나타내는 SO(3) 그룹의 리 대수와 수학적으로 같은 구조(동형)를 가지기 때문이다.^[3] 즉, 큐비트 상태를 조작하는 연산과 3차원 공간에서의 회전 연산 사이에 깊은 수학적 유사성이 존재한다. 구체적인 회전 연산 방식은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

7. 1. 블로흐 기저에 대한 회전 연산자

• i \sin \theta/2 & \cos \theta/2

7. 2. 일반 축에 대한 회전

7. 3. 블로흐 회전 생성자의 유도

참조

_[1] 웹사이트 Bloch sphere | Quantiki http://www.quantiki.[...]
_[2] 문서 The idempotent density matrix acts on the state eigenvector with eigenvalue 1, so like a projection operator for it.
_[3] 간행물 SU(2) and SO(3) https://www.mat.univ[...] 2008
_[4] 서적 Quantum Computation and Information 2010
_[5] 서적 Quantum Mechanics - A Modern Development 2014